[{"_1":2,"_3":-5,"_4":-5},"loaderData",{"_5":6},"actionData","errors","routes/v2/exercices",{"_7":8,"_9":10},"cle","/2bac/sciences-physiques/mathematiques/suites-numeriques","chapitre",{"_11":12,"_13":14},"meta",{"_22":662,"_663":664,"_665":666,"_667":668,"_669":670,"_671":189,"_672":673,"_674":675,"_676":677,"_678":679,"_680":681,"_682":683},"sections",[15,16,17,18,19,20],{"_7":498,"_22":499,"_24":500,"_26":501},{"_7":427,"_22":428,"_24":427,"_26":429},{"_7":149,"_22":150,"_24":151,"_26":152},{"_7":58,"_22":59,"_24":58,"_26":60},{"_7":45,"_22":46,"_24":47,"_26":48},{"_7":21,"_22":23,"_24":25,"_26":27},"retenir","titre","À retenir","id","a-retenir","blocs",[28],{"_29":30,"_31":32,"_33":34},"type","liste","ordonnee",false,"items",[35,36,37,38,39,40,41,42,43,44],"Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.","Monotonie : signe de $u_{n+1} - u_n$, ou $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$ si les termes sont strictement positifs.","Arithmétique : $u_n = u_p + (n - p)r$ et somme $= N \\times \\frac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2}$.","Géométrique : $u_n = u_p\\,q^{n-p}$ et somme $= \\text{premier} \\times \\frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ pour $q \\neq 1$.","$\\lim q^n = 0$ si $-1 < q < 1$, $+\\infty$ si $q > 1$, pas de limite si $q \\leq -1$.","Pour $a$ rationnel strictement positif : $\\lim n^{a} = +\\infty$ et $\\lim \\frac{1}{n^{a}} = 0$.","Croissante et majorée (ou décroissante et minorée) implique convergente.","Gendarmes, ou $|u_n - \\ell| \\leq v_n$ avec $\\lim v_n = 0$, pour les suites avec $(-1)^n$, $\\sin n$, $\\cos n$.","Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $f(I) \\subset I$ : la limite (si elle existe et appartient à $I$) vérifie $f(\\ell) = \\ell$.","Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ avec $a \\neq 1$ : pose $v_n = u_n - \\alpha$ avec $\\alpha = a\\alpha + b$, elle est géométrique de raison $a$.","erreurs","Erreurs fréquentes","erreurs-frequentes",[49],{"_29":30,"_31":32,"_33":50},[51,52,53,54,55,56,57],"Oublier l'initialisation dans une récurrence : l'hérédité seule ne prouve rien. Écris toujours les trois étapes.","Se tromper sur le nombre de termes : $u_0 + u_1 + \\dots + u_n$ compte $n + 1$ termes, pas $n$.","Écrire « croissante et majorée par $M$, donc elle converge vers $M$ » : la limite est seulement inférieure ou égale à $M$.","Croire que $\\lim q^n = 0$ dès que $q < 1$ : il faut $-1 < q < 1$. Pour $q \\leq -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.","Résoudre $f(\\ell) = \\ell$ sans avoir prouvé la convergence : l'équation donne seulement les limites possibles.","Garder une solution de $f(\\ell) = \\ell$ qui n'est pas dans l'intervalle $I$, ou qui contredit la monotonie de la suite.","Passer à la limite en gardant une inégalité stricte : $u_n < 4$ pour tout $n$ donne seulement $\\ell \\leq 4$.","qcm","QCM",[61],{"_29":58,"_62":63},"questions",[64,65,66,67,68,69,70,71],{"_72":140,"_74":141,"_76":142},{"_72":131,"_74":132,"_76":133},{"_72":123,"_74":124,"_76":125},{"_72":114,"_74":115,"_76":116},{"_72":105,"_74":106,"_76":107},{"_72":96,"_74":97,"_76":98},{"_72":87,"_74":88,"_76":89},{"_72":73,"_74":75,"_76":77},"question","$\\lim \\frac{(-1)^n}{n}$ (pour $n \\geq 1$) :","options",[78,79,80],"explication","$\\left|\\frac{(-1)^n}{n}\\right| = \\frac{1}{n}$ et $\\lim \\frac{1}{n} = 0$, donc la suite tend vers $0$.",{"_81":85,"_83":86},{"_81":84,"_83":32},{"_81":82,"_83":32},"texte","n'existe pas","correcte","vaut $1$","vaut $0$",true,"Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 2}$. On admet que $(u_n)$ converge et que $u_n \\geq 0$. Sa limite est :",[90,91,92],"La limite vérifie $\\ell = \\sqrt{\\ell + 2}$ avec $\\ell \\geq 0$, soit $\\ell^2 - \\ell - 2 = 0$ : $\\ell = 2$ ($\\ell = -1$ est rejetée).",{"_81":95,"_83":32},{"_81":94,"_83":32},{"_81":93,"_83":86},"$2$","$1$","$-1$","$\\lim \\frac{n^3 - 2n}{1 - 4n^3}$ vaut :",[99,100,101],"On garde les termes de plus haut degré : $\\frac{n^3}{-4n^3} = -\\frac{1}{4}$.",{"_81":104,"_83":32},{"_81":103,"_83":86},{"_81":102,"_83":32},"$-\\infty$","$-\\frac{1}{4}$","$0$","Une suite croissante et majorée par $5$ :",[108,109,110],"Croissante et majorée, elle converge ; par passage à la limite dans $u_n \\leq 5$, on a $\\ell \\leq 5$, sans que $\\ell$ soit forcément égal à $5$.",{"_81":113,"_83":32},{"_81":112,"_83":86},{"_81":111,"_83":32},"tend vers $+\\infty$","converge vers un réel $\\ell \\leq 5$","converge vers $5$","Soit $u_n = n^2 - 10n$ pour $n \\in \\mathbb{N}$. La suite $(u_n)$ est :",[117,118,119],"$u_{n+1} - u_n = 2n - 9$, qui est positif si et seulement si $n \\geq 5$.",{"_81":122,"_83":32},{"_81":121,"_83":32},{"_81":120,"_83":86},"croissante à partir du rang $5$","décroissante sur $\\mathbb{N}$","croissante sur $\\mathbb{N}$","Quelle est la limite de la suite $\\left(\\left(-\\frac{6}{5}\\right)^n\\right)$ ?",[126,127,128],"La raison $q = -\\frac{6}{5}$ vérifie $q \\leq -1$ : les termes changent de signe et leur valeur absolue tend vers $+\\infty$.",{"_81":104,"_83":32},{"_81":130,"_83":32},{"_81":129,"_83":86},"Elle n'a pas de limite","$+\\infty$","La somme $1 + 3 + 3^2 + \\dots + 3^{6}$ est égale à :",[134,135,136],"Il y a $7$ termes : $\\frac{1 - 3^7}{1 - 3} = \\frac{3^7 - 1}{2} = \\frac{2186}{2} = 1093$.",{"_81":139,"_83":32},{"_81":138,"_83":32},{"_81":137,"_83":86},"$1093$","$\\frac{3^{6} - 1}{2}$","$729$","$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $-2$. Que vaut $u_{10}$ ?",[143,144,145],"$u_{10} = u_0 + 10r = 5 - 20 = -15$.",{"_81":148,"_83":32},{"_81":147,"_83":86},{"_81":146,"_83":32},"$-13$","$-15$","$-25$","exercices","Exercices corrigés","exercices-corriges",[153,154,155,156,157,158,159,160,161],{"_29":162,"_163":408,"_22":409,"_166":370,"_24":410,"_169":411,"_171":412},{"_29":162,"_163":192,"_22":388,"_166":370,"_24":389,"_169":390,"_171":391},{"_29":162,"_163":189,"_22":369,"_166":370,"_24":371,"_169":372,"_171":373},{"_29":162,"_163":186,"_22":347,"_166":289,"_24":348,"_169":349,"_171":350},{"_29":162,"_163":181,"_22":323,"_166":289,"_24":324,"_169":325,"_171":326},{"_29":162,"_163":287,"_22":288,"_166":289,"_24":290,"_169":291,"_171":292},{"_29":162,"_163":248,"_22":249,"_166":207,"_24":250,"_169":251,"_171":252},{"_29":162,"_163":205,"_22":206,"_166":207,"_24":208,"_169":209,"_171":210},{"_29":162,"_163":164,"_22":165,"_166":167,"_24":168,"_169":170,"_171":172},"exercice","numero",9,"Approcher 2 avec une suite","difficulte","difficile","exercice-9","enonce",[196,197],"solution",[173,174,175,176,177,178],{"_29":30,"_31":86,"_33":194},{"_29":30,"_31":86,"_33":191,"_180":192},{"_29":30,"_31":86,"_33":188,"_180":189},{"_29":30,"_31":86,"_33":185,"_180":186},{"_29":183,"_81":184},{"_29":30,"_31":86,"_33":179,"_180":181},[182],"debut",5,"Il suffit que $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n \\leq 10^{-3}$, soit $2^n \\geq 1000$. Comme $2^{10} = 1024$, l'entier $n = 10$ convient. En réalité, la convergence est bien plus rapide : $u_2 = \\frac{313}{156} \\approx 2{,}0064$ et $u_3 \\approx 2{,}00001$.","p","Comme $-1 < \\frac{1}{2} < 1$, $\\lim \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n = 0$. Avec $|u_n - 2| \\leq \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$, on conclut : $\\lim u_n = 2$.",[187],4,"Par récurrence : pour $n = 0$, $0 \\leq u_0 - 2 = 1 \\leq \\left(\\frac{1}{2}\\right)^0$. Si $0 \\leq u_n - 2 \\leq \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$, alors avec 2. et 3. : $0 \\leq u_{n+1} - 2 \\leq \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n+1}$.",[190],3,"On écrit $u_{n+1} - 2 = (u_n - 2) \\times \\frac{u_n - 2}{2u_n}$. Comme $u_n \\geq 2$, on a $0 \\leq u_n - 2 < u_n$, donc $0 \\leq \\frac{u_n - 2}{2u_n} < \\frac{1}{2}$. En multipliant par $u_n - 2 \\geq 0$ : $u_{n+1} - 2 \\leq \\frac{1}{2}(u_n - 2)$.",[193],2,"Initialisation : $u_0 = 3 \\geq 2$. Hérédité : si $u_n \\geq 2$, alors $u_n > 0$ et, d'après 1., $u_{n+1} - 2 = \\frac{(u_n - 2)^2}{2u_n} \\geq 0$. Conclusion : $u_n \\geq 2$ pour tout $n$.",[195],"$u_{n+1} - 2 = \\frac{u_n^2 + 4}{2u_n} - 2 = \\frac{u_n^2 - 4u_n + 4}{2u_n} = \\frac{(u_n - 2)^2}{2u_n}$.",{"_29":183,"_81":204},{"_29":30,"_31":86,"_33":198},[199,200,201,202,203],"Montre que, si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} - 2 = \\frac{(u_n - 2)^2}{2u_n}$.","Montre par récurrence que $u_n \\geq 2$ pour tout $n$.","Montre que $u_{n+1} - 2 \\leq \\frac{1}{2}(u_n - 2)$ pour tout $n$.","Déduis que $0 \\leq u_n - 2 \\leq \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$, puis calcule $\\lim u_n$.","Donne un entier $n$ pour lequel $u_n$ est une valeur approchée de $2$ à $10^{-3}$ près.","Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \\frac{1}{2}\\left(u_n + \\frac{4}{u_n}\\right)$.",8,"Étude de fonction et suite récurrente","type bac","exercice-8",[233,234,235,236,237],[211,212,213,214,215,216,217,218],{"_29":183,"_81":232},{"_29":30,"_31":86,"_33":230},{"_29":30,"_31":86,"_33":228,"_180":192},{"_29":183,"_81":227},{"_29":30,"_31":86,"_33":225},{"_29":30,"_31":86,"_33":223,"_180":192},{"_29":30,"_31":86,"_33":221,"_180":189},{"_29":30,"_31":86,"_33":219,"_180":186},[220],"$(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc elle converge vers un réel $\\ell \\in [0, 1]$. La fonction $f$ est continue sur $[0, 1]$, $f([0, 1]) \\subset [0, 1]$ et $u_0 \\in [0, 1]$, donc $f(\\ell) = \\ell$, c'est-à-dire $(\\ell - 1)^2(\\ell + 2) = 0$. Comme $\\ell \\in [0, 1]$, on rejette $\\ell = -2$ : $\\lim u_n = 1$.",[222],"$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \\geq 0$ d'après A.2, car $u_n \\in [0, 1]$. La suite est croissante.",[224],"Initialisation : $u_0 = 0 \\in [0, 1]$. Hérédité : si $u_n \\in [0, 1]$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \\in f([0, 1]) \\subset [0, 1]$. Conclusion : $0 \\leq u_n \\leq 1$ pour tout $n$.",[226],"$u_1 = f(0) = \\frac{2}{3}$ et $u_2 = f\\left(\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{\\frac{8}{27} + 2}{3} = \\frac{62}{81}$.","Partie B",[229],"$f(x) - x = \\frac{x^3 - 3x + 2}{3}$. En développant : $(x - 1)^2(x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$. D'où l'égalité. Sur $[0, 1]$, $(x - 1)^2 \\geq 0$ et $x + 2 > 0$, donc $f(x) - x \\geq 0$.",[231],"$f'(x) = \\frac{3x^2}{3} = x^2 \\geq 0$, donc $f$ est croissante sur $\\mathbb{R}$, en particulier sur $[0, 1]$. Pour $0 \\leq x \\leq 1$ : $f(0) \\leq f(x) \\leq f(1)$, soit $\\frac{2}{3} \\leq f(x) \\leq 1$. Donc $f([0, 1]) = \\left[\\frac{2}{3}, 1\\right] \\subset [0, 1]$.","Partie A",{"_29":183,"_81":247},{"_29":183,"_81":232},{"_29":30,"_31":86,"_33":244},{"_29":183,"_81":243},{"_29":30,"_31":86,"_33":238},[239,240,241,242],"Calcule $u_1$ et $u_2$.","Montre par récurrence que $0 \\leq u_n \\leq 1$ pour tout $n$.","Montre que $(u_n)$ est croissante.","Déduis que $(u_n)$ converge et calcule sa limite.","Partie B : soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.",[245,246],"Calcule $f'(x)$ et montre que $f$ est croissante sur $[0, 1]$. Déduis que $f([0, 1]) \\subset [0, 1]$.","Vérifie que $f(x) - x = \\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{3}$, puis déduis le signe de $f(x) - x$ sur $[0, 1]$.","Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\frac{x^3 + 2}{3}$.",7,"Suite homographique et suite auxiliaire","exercice-7",[280,281],[253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263],{"_29":30,"_31":86,"_33":278},{"_29":183,"_81":277},{"_29":30,"_31":86,"_33":275,"_180":192},{"_29":183,"_81":274},{"_29":30,"_31":86,"_33":272,"_180":189},{"_29":266,"_267":271},{"_29":183,"_81":270},{"_29":183,"_81":269},{"_29":266,"_267":268},{"_29":183,"_81":265},{"_29":183,"_81":264},"c) Comme $-1 < \\frac{2}{3} < 1$, $\\lim \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n = 0$, donc $\\lim u_n = \\frac{4}{2} = 2$.","Contrôle : pour $n = 0$, on retrouve $\\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3 = u_0$.","math","tex","u_n = \\frac{2 - v_n}{1 - v_n} = \\frac{4 - \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n}{2 - \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n}","b) $v_n = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^n$. De $v_n(u_n - 1) = u_n - 2$, on tire $u_n(1 - v_n) = 2 - v_n$, et $v_n \\leq \\frac{1}{2}$ donc $1 - v_n \\neq 0$ :","La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\\frac{2}{3}$, de premier terme $v_0 = \\frac{3 - 2}{3 - 1} = \\frac{1}{2}$.","v_{n+1} = \\frac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} - 1} = \\frac{2(u_n - 2)}{3(u_n - 1)} = \\frac{2}{3}\\,v_n",[273],"a) Comme $u_n > 2$, $u_n - 1 \\neq 0$ et $v_n$ est bien défini. On calcule $u_{n+1} - 1 = \\frac{4u_n - 2 - (u_n + 1)}{u_n + 1} = \\frac{3(u_n - 1)}{u_n + 1}$. Avec 1. a) :","b) Comme $u_n > 2$ : $u_n - 1 > 0$, $u_n - 2 > 0$ et $u_n + 1 > 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite est décroissante et minorée par $2$ : elle converge.",[276],"a) $u_{n+1} - u_n = \\frac{4u_n - 2 - u_n(u_n + 1)}{u_n + 1} = \\frac{-u_n^2 + 3u_n - 2}{u_n + 1} = -\\frac{(u_n - 1)(u_n - 2)}{u_n + 1}$, car $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.","b) Initialisation : $u_0 = 3 > 2$. Hérédité : si $u_n > 2$, alors $u_n - 2 > 0$ et $u_n + 1 > 0$, donc $u_{n+1} - 2 > 0$ d'après a). Conclusion : $u_n > 2$ pour tout $n$.",[279],"a) $u_{n+1} - 2 = \\frac{4u_n - 2 - 2(u_n + 1)}{u_n + 1} = \\frac{2u_n - 4}{u_n + 1} = \\frac{2(u_n - 2)}{u_n + 1}$.",{"_29":183,"_81":286},{"_29":30,"_31":86,"_33":282},[283,284,285],"a) Vérifie que $u_{n+1} - 2 = \\frac{2(u_n - 2)}{u_n + 1}$. b) Montre par récurrence que $u_n > 2$ pour tout $n$.","a) Montre que $u_{n+1} - u_n = -\\frac{(u_n - 1)(u_n - 2)}{u_n + 1}$. b) Déduis que $(u_n)$ est décroissante, puis qu'elle est convergente.","On pose $v_n = \\frac{u_n - 2}{u_n - 1}$. a) Montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $\\frac{2}{3}$ et calcule $v_0$. b) Exprime $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$. c) Calcule $\\lim u_n$.","Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \\frac{4u_n - 2}{u_n + 1}$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.",6,"Suite récurrente avec une racine carrée","moyen","exercice-6",[316,317],[293,294,295,296,297,298,299,300,301,302],{"_29":30,"_31":86,"_33":314},{"_29":183,"_81":313},{"_29":183,"_81":312},{"_29":30,"_31":86,"_33":310,"_180":192},{"_29":266,"_267":309},{"_29":183,"_81":308},{"_29":30,"_31":86,"_33":306,"_180":189},{"_29":183,"_81":305},{"_29":266,"_267":304},{"_29":183,"_81":303},"On rejette $\\ell = -1$ : donc $\\lim u_n = 4$.","\\sqrt{3\\ell + 4} = \\ell \\iff \\ell^2 = 3\\ell + 4 \\ \\text{et} \\ \\ell \\geq 0 \\iff (\\ell - 4)(\\ell + 1) = 0 \\ \\text{et} \\ \\ell \\geq 0","La fonction $f : x \\mapsto \\sqrt{3x + 4}$ est continue sur $I = [0, 4]$, croissante, avec $f(0) = 2$ et $f(4) = 4$, donc $f(I) = [2, 4] \\subset I$. Comme $u_0 \\in I$ et $\\ell \\in I$, on a $f(\\ell) = \\ell$ :",[307],"$(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, donc elle converge vers un réel $\\ell$, et $0 \\leq \\ell \\leq 4$ par passage à la limite.","Or $-x^2 + 3x + 4 = (4 - x)(x + 1)$ (on vérifie en développant). D'où la formule. Comme $0 \\leq u_n < 4$ : $4 - u_n > 0$, $u_n + 1 > 0$ et le dénominateur est supérieur ou égal à $2$. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite est strictement croissante.","u_{n+1} - u_n = \\sqrt{3u_n + 4} - u_n = \\frac{3u_n + 4 - u_n^2}{\\sqrt{3u_n + 4} + u_n}",[311],"On multiplie par la quantité conjuguée :","Conclusion : $0 \\leq u_n < 4$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.","Hérédité : supposons $0 \\leq u_n < 4$. Alors $4 \\leq 3u_n + 4 < 16$, et comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0, +\\infty[$ : $2 \\leq \\sqrt{3u_n + 4} < 4$. Donc $0 \\leq u_{n+1} < 4$.",[315],"Initialisation : $u_0 = 0$ vérifie $0 \\leq u_0 < 4$.",{"_29":183,"_81":322},{"_29":30,"_31":86,"_33":318},[319,320,321],"Montre par récurrence que $0 \\leq u_n < 4$ pour tout $n$.","Montre que $u_{n+1} - u_n = \\frac{(4 - u_n)(u_n + 1)}{\\sqrt{3u_n + 4} + u_n}$, puis déduis le sens de variation de $(u_n)$.","Montre que $(u_n)$ converge et détermine sa limite.","Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \\sqrt{3u_n + 4}$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.","Monotonie, bornes et convergence","exercice-5",[339,340],[327,328,329,330],{"_29":30,"_31":86,"_33":336},{"_29":266,"_267":335},{"_29":183,"_81":334},{"_29":30,"_31":86,"_33":331,"_180":189},[332,333],"La suite est croissante, donc $u_n \\geq u_0 = \\frac{1}{2}$. De plus $\\frac{5}{n+2} > 0$, donc $u_n < 3$.","$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle converge. Comme $\\lim \\frac{5}{n+2} = 0$, on a $\\lim u_n = 3$.","La suite est strictement croissante.","u_{n+1} - u_n = -\\frac{5}{n+3} + \\frac{5}{n+2} = \\frac{5\\big((n+3) - (n+2)\\big)}{(n+2)(n+3)} = \\frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0",[337,338],"$3 - \\frac{5}{n+2} = \\frac{3(n+2) - 5}{n+2} = \\frac{3n + 1}{n + 2} = u_n$.","On calcule :",{"_29":183,"_81":346},{"_29":30,"_31":86,"_33":341},[342,343,344,345],"Vérifie que $u_n = 3 - \\frac{5}{n + 2}$.","Étudie le sens de variation de $(u_n)$.","Montre que $\\frac{1}{2} \\leq u_n < 3$ pour tout $n$.","Justifie que $(u_n)$ converge et calcule sa limite.","Soit $(u_n)$ définie pour $n \\in \\mathbb{N}$ par $u_n = \\frac{3n + 1}{n + 2}$.","Limites par comparaison","exercice-4",[364],[351,352,353,354,355],{"_29":30,"_31":86,"_33":362},{"_29":266,"_267":361},{"_29":183,"_81":360},{"_29":30,"_31":86,"_33":358,"_180":192},{"_29":30,"_31":86,"_33":356,"_180":189},[357],"Comme $(-1)^n\\,n \\geq -n$, on a $w_n \\geq n^2 - n = n(n - 1)$. Or $\\lim n(n-1) = +\\infty$, donc $\\lim w_n = +\\infty$.",[359],"Comme $|\\cos n| \\leq 1$, on a $|v_n - 0| = \\frac{|\\cos n|}{\\sqrt{n}} \\leq \\frac{1}{\\sqrt{n}}$, et $\\lim \\frac{1}{\\sqrt{n}} = 0$. Donc $\\lim v_n = 0$.","Les deux suites qui encadrent tendent vers $2$ (quotient des termes de plus haut degré). D'après le théorème des gendarmes, $\\lim u_n = 2$.","\\frac{2n - 1}{n + 3} \\leq u_n \\leq \\frac{2n + 1}{n + 3}",[363],"On a $-1 \\leq (-1)^n \\leq 1$ et $n + 3 > 0$, donc :",{"_29":30,"_31":86,"_33":365},[366,367,368],"Soit $u_n = \\frac{2n + (-1)^n}{n + 3}$ pour $n \\in \\mathbb{N}$. Calcule $\\lim u_n$.","Soit $v_n = \\frac{\\cos n}{\\sqrt{n}}$ pour $n \\geq 1$. Calcule $\\lim v_n$.","Soit $w_n = n^2 + (-1)^n\\,n$ pour $n \\in \\mathbb{N}$. Calcule $\\lim w_n$.","Calculs de limites","facile","exercice-3",[380,381],[374],{"_29":30,"_31":86,"_33":375},[376,377,378,379],"On factorise par $n^2$ : $u_n = \\frac{3 - \\frac{1}{n} + \\frac{1}{n^2}}{2 + \\frac{5}{n^2}}$. Donc $\\lim u_n = \\frac{3}{2}$.","Forme indéterminée « $+\\infty - \\infty$ ». On multiplie par la quantité conjuguée : $v_n = \\frac{(n+1) - n}{\\sqrt{n+1} + \\sqrt{n}} = \\frac{1}{\\sqrt{n+1} + \\sqrt{n}}$. Le dénominateur tend vers $+\\infty$, donc $\\lim v_n = 0$.","On divise numérateur et dénominateur par $5^n$ : $w_n = \\frac{\\left(\\frac{2}{5}\\right)^n - 1}{\\left(\\frac{3}{5}\\right)^n + 1}$. Comme $\\frac{2}{5}$ et $\\frac{3}{5}$ sont dans $]-1, 1[$, leurs puissances tendent vers $0$, donc $\\lim w_n = \\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.","Forme « $+\\infty - \\infty$ ». On factorise : $t_n = n(\\sqrt{n} - 4)$. Comme $\\lim n = +\\infty$ et $\\lim (\\sqrt{n} - 4) = +\\infty$, on obtient $\\lim t_n = +\\infty$.",{"_29":183,"_81":387},{"_29":30,"_31":86,"_33":382},[383,384,385,386],"$u_n = \\frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}$","$v_n = \\sqrt{n+1} - \\sqrt{n}$","$w_n = \\frac{2^n - 5^n}{3^n + 5^n}$","$t_n = n\\sqrt{n} - 4n$","Calcule la limite de chaque suite.","Suite géométrique et somme","exercice-2",[401,402],[392,393,394],{"_29":30,"_31":86,"_33":397},{"_29":266,"_267":396},{"_29":183,"_81":395},"Comme $-1 < \\frac{1}{3} < 1$, on a $\\lim \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n+1} = 0$, donc $\\lim S_n = 81$.","S_n = 54 \\times \\frac{1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n+1}}{1 - \\frac{1}{3}} = 81\\left(1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n+1}\\right)",[398,399,400],"On a $v_4 = v_1\\,q^3$, donc $q^3 = \\frac{2/3}{18} = \\frac{1}{27}$, d'où $q = \\frac{1}{3}$. Puis $v_0 = \\frac{v_1}{q} = 18 \\times 3 = 54$.","$v_n = 54\\left(\\frac{1}{3}\\right)^n$.","$S_n$ compte $n + 1$ termes et $q \\neq 1$, donc :",{"_29":183,"_81":407},{"_29":30,"_31":86,"_33":403},[404,405,406],"Détermine la raison $q$ et $v_0$.","Exprime $v_n$ en fonction de $n$.","On pose $S_n = v_0 + v_1 + \\dots + v_n$. Exprime $S_n$ en fonction de $n$, puis calcule $\\lim S_n$.","$(v_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$ est une suite géométrique telle que $v_1 = 18$ et $v_4 = \\frac{2}{3}$.",1,"Suite arithmétique","exercice-1",[420,421],[413,414],{"_29":30,"_31":86,"_33":416},{"_29":266,"_267":415},"S = 21 \\times \\frac{2 + 62}{2} = 21 \\times 32 = 672",[417,418,419],"On a $u_{10} = u_3 + (10 - 3)r$, donc $32 = 11 + 7r$, d'où $r = 3$. Puis $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$.","$u_n = u_0 + nr = 2 + 3n$.","La somme compte $20 - 0 + 1 = 21$ termes. Le dernier terme est $u_{20} = 2 + 60 = 62$. Donc :",{"_29":183,"_81":426},{"_29":30,"_31":86,"_33":422},[423,424,425],"Détermine la raison $r$ et le premier terme $u_0$.","Exprime $u_n$ en fonction de $n$.","Calcule $S = u_0 + u_1 + \\dots + u_{20}$.","$(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$ est une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_{10} = 32$.","methodes","Méthodes",[430,431,432,433,434,435,436,437,438,439,440,441,442,443,444],{"_29":457,"_81":496,"_24":497},{"_29":30,"_31":86,"_33":491},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":488},{"_29":457,"_81":486,"_24":487},{"_29":30,"_31":86,"_33":482},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":479},{"_29":457,"_81":477,"_24":478},{"_29":30,"_31":86,"_33":472},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":469},{"_29":457,"_81":467,"_24":468},{"_29":30,"_31":86,"_33":463},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":460},{"_29":457,"_81":458,"_24":459},{"_29":30,"_31":86,"_33":452},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":449},"encadre","genre","exemple","",[450],{"_29":183,"_81":451},"Soit $u_0 = \\frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = u_n^2$, avec $f(x) = x^2$ et $I = [0, 1]$. On a $f(I) = [0, 1] \\subset I$, donc $u_n \\in [0, 1]$ pour tout $n$. Sur $I$, $f(x) - x = x(x - 1) \\leq 0$, donc la suite est décroissante. Décroissante et minorée par $0$, elle converge vers $\\ell \\in [0, 1]$ avec $\\ell^2 = \\ell$, soit $\\ell = 0$ ou $\\ell = 1$. Or $u_n \\leq u_0 = \\frac{1}{2}$, donc $\\ell \\leq \\frac{1}{2}$ : $\\lim u_n = 0$.",[453,454,455,456],"Trouve un intervalle $I$ tel que $f(I) \\subset I$ (souvent avec le tableau de variations de $f$), puis montre par récurrence que $u_n \\in I$.","Étudie le signe de $f(x) - x$ sur $I$ : il donne le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$, donc la monotonie.","Monotone et bornée : la suite converge.","La limite $\\ell$ est une solution de $f(x) = x$ dans $I$ ; élimine les solutions incompatibles.","h3","Méthode 5 : Étudier une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$","methode-5-etudier-une-suite-recurrente-u-n-1-f-u-n",[461],{"_29":183,"_81":462},"Soit $u_n = \\frac{3 + \\sin n}{n}$ pour $n \\geq 1$. Comme $2 \\leq 3 + \\sin n \\leq 4$ et $n > 0$ : $\\frac{2}{n} \\leq u_n \\leq \\frac{4}{n}$. Les deux suites qui encadrent tendent vers $0$, donc $\\lim u_n = 0$.",[464,465,466],"Repère le terme « qui oscille » ($(-1)^n$, $\\sin n$, $\\cos n$) et encadre-le (par exemple $-1 \\leq \\sin n \\leq 1$).","Déduis un encadrement de $u_n$ (attention au signe quand tu multiplies ou divises).","Conclus avec les gendarmes, ou avec $|u_n - \\ell| \\leq v_n$ et $\\lim v_n = 0$.","Méthode 4 : Calculer une limite par comparaison","methode-4-calculer-une-limite-par-comparaison",[470],{"_29":183,"_81":471},"Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \\frac{1}{3}u_n + 2$. On résout $\\alpha = \\frac{1}{3}\\alpha + 2$, soit $\\alpha = 3$. Avec $v_n = u_n - 3$ : $v_{n+1} = \\frac{1}{3}u_n + 2 - 3 = \\frac{1}{3}(u_n - 3) = \\frac{1}{3}v_n$. Comme $v_0 = 2$, on obtient $v_n = 2\\left(\\frac{1}{3}\\right)^n$ et $u_n = 3 + 2\\left(\\frac{1}{3}\\right)^n$. Puisque $-1 < \\frac{1}{3} < 1$, $\\lim u_n = 3$.",[473,474,475,476],"Avec $a \\neq 1$, cherche le réel $\\alpha$ tel que $\\alpha = a\\alpha + b$, soit $\\alpha = \\frac{b}{1 - a}$ (si $a = 1$, la suite est arithmétique de raison $b$).","Pose $v_n = u_n - \\alpha$ et montre que $v_{n+1} = a\\,v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.","Écris $v_n = v_0\\,a^n$, puis $u_n = v_n + \\alpha$.","Déduis la limite de $(u_n)$ à partir de celle de $(a^n)$.","Méthode 3 : Utiliser une suite auxiliaire pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$","methode-3-utiliser-une-suite-auxiliaire-pour-u-n-1-a-u-n-b",[480],{"_29":183,"_81":481},"Soit $u_n = \\frac{n}{2^n}$ pour $n \\geq 1$. Les termes sont strictement positifs et $\\frac{u_{n+1}}{u_n} = \\frac{n+1}{2^{n+1}} \\times \\frac{2^n}{n} = \\frac{n+1}{2n}$. Or $\\frac{n+1}{2n} \\leq 1 \\iff n + 1 \\leq 2n \\iff n \\geq 1$. Donc $u_{n+1} \\leq u_n$ pour tout $n \\geq 1$ : la suite est décroissante (on a d'ailleurs $u_1 = u_2 = \\frac{1}{2}$).",[483,484,485],"Calcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe.","Si tous les termes sont strictement positifs et s'il y a des puissances ou des produits, compare plutôt $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.","Si $u_n = f(n)$, tu peux étudier les variations de $f$ sur $[n_0, +\\infty[$.","Méthode 2 : Étudier le sens de variation d'une suite","methode-2-etudier-le-sens-de-variation-d-une-suite",[489],{"_29":183,"_81":490},"Montrons que $2^n \\geq n + 1$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$. Initialisation : $2^0 = 1 \\geq 0 + 1$. Hérédité : si $2^n \\geq n + 1$, alors $2^{n+1} = 2 \\times 2^n \\geq 2n + 2 \\geq n + 2$. Conclusion : $2^n \\geq n + 1$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.",[492,493,494,495],"Écris clairement la propriété $P(n)$ à démontrer.","Initialisation : vérifie $P(n_0)$ par un calcul.","Hérédité : suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, puis démontre $P(n+1)$ en partant de l'hypothèse.","Conclusion : « d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \\geq n_0$ ».","Méthode 1 : Rédiger une démonstration par récurrence","methode-1-rediger-une-demonstration-par-recurrence","essentiel","L'essentiel","l-essentiel",[502,503,504,505,506,507,508,509,510,511,512,513,514,515,516,517,518,519,520,521,522,523,524,525,526,527,528,529,530,531,532,533,534,535,536,537,538,539],{"_29":183,"_81":661},{"_29":457,"_81":659,"_24":660},{"_29":445,"_446":554,"_22":448,"_26":656},{"_29":183,"_81":655},{"_29":457,"_81":653,"_24":654},{"_29":445,"_446":606,"_22":448,"_26":650},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":647},{"_29":457,"_81":645,"_24":646},{"_29":445,"_446":606,"_22":448,"_26":642},{"_29":183,"_81":641},{"_29":30,"_31":32,"_33":637},{"_29":445,"_446":560,"_22":448,"_26":634},{"_29":457,"_81":632,"_24":633},{"_29":585,"_586":615,"_588":616},{"_29":445,"_446":540,"_22":448,"_26":612},{"_29":457,"_81":610,"_24":611},{"_29":445,"_446":606,"_22":448,"_26":607},{"_29":445,"_446":554,"_22":448,"_26":603},{"_29":183,"_81":602},{"_29":445,"_446":554,"_22":448,"_26":599},{"_29":183,"_81":598},{"_29":585,"_586":587,"_588":589},{"_29":183,"_81":584},{"_29":457,"_81":582,"_24":583},{"_29":183,"_81":581},{"_29":30,"_31":32,"_33":575},{"_29":445,"_446":560,"_22":448,"_26":572},{"_29":457,"_81":570,"_24":571},{"_29":445,"_446":547,"_22":448,"_26":567},{"_29":445,"_446":554,"_22":448,"_26":564},{"_29":445,"_446":560,"_22":448,"_26":561},{"_29":457,"_81":558,"_24":559},{"_29":445,"_446":554,"_22":448,"_26":555},{"_29":445,"_446":447,"_22":448,"_26":551},{"_29":445,"_446":547,"_22":448,"_26":548},{"_29":183,"_81":546},{"_29":457,"_81":544,"_24":545},{"_29":445,"_446":540,"_22":448,"_26":541},"remarque",[542],{"_29":183,"_81":543},"La notion de suites adjacentes n'est pas au programme des filières PC et SVT (elle est étudiée en Sciences mathématiques). Tu n'en as pas besoin : en PC/SVT, on démontre la convergence grâce à la monotonie (croissante majorée, décroissante minorée) ou par comparaison.","9. Hors programme PC/SVT","9-hors-programme-pc-svt","La condition $f(I) \\subset I$ garantit, par récurrence, que tous les termes $u_n$ sont dans $I$. Attention : ce théorème ne prouve pas la convergence. Il donne seulement les limites possibles, c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x) = x$ dans $I$.","theoreme",[549],{"_29":183,"_81":550},"Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f(I) \\subset I$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \\in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$ appartenant à $I$, alors $f(\\ell) = \\ell$.",[552],{"_29":183,"_81":553},"$\\lim \\frac{1}{n} = 0$ et la fonction cosinus est continue en $0$, donc $\\lim \\cos\\left(\\frac{1}{n}\\right) = \\cos 0 = 1$.","propriete",[556],{"_29":183,"_81":557},"Si $\\lim u_n = \\ell$ et si $f$ est continue en $\\ell$, alors $\\lim f(u_n) = f(\\ell)$.","8. Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$","8-suites-du-type-u-n-1-f-u-n","attention",[562],{"_29":183,"_81":563},"Une suite croissante et majorée par $M$ converge vers une limite $\\ell \\leq M$, mais pas forcément vers $M$. Exemple : $u_n = 1 - \\frac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $5$, et converge vers $1$.",[565],{"_29":183,"_81":566},"Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\\ell$, alors $u_n \\leq \\ell$ pour tout $n$. Une suite croissante non majorée tend vers $+\\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\\infty$.",[568],{"_29":183,"_81":569},"Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.","7. Suites monotones et convergence","7-suites-monotones-et-convergence",[573],{"_29":183,"_81":574},"Le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes : $\\frac{1}{n} > 0$ pour tout $n \\geq 1$, et pourtant $\\lim \\frac{1}{n} = 0$.",[576,577,578,579,580],"Si $|u_n - \\ell| \\leq v_n$ et $\\lim v_n = 0$, alors $\\lim u_n = \\ell$.","Si $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ et $\\lim v_n = \\lim w_n = \\ell$, alors $\\lim u_n = \\ell$ (théorème des gendarmes).","Si $u_n \\geq v_n$ et $\\lim v_n = +\\infty$, alors $\\lim u_n = +\\infty$.","Si $u_n \\leq v_n$ et $\\lim v_n = -\\infty$, alors $\\lim u_n = -\\infty$.","Si $u_n \\leq v_n$, $\\lim u_n = \\ell$ et $\\lim v_n = \\ell'$, alors $\\ell \\leq \\ell'$.","Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites et $\\ell$ un réel. Les inégalités sont supposées vraies à partir d'un certain rang.","6. Critères de convergence par comparaison","6-criteres-de-convergence-par-comparaison","Les opérations sur les limites (somme, produit, quotient) et les formes indéterminées sont les mêmes que pour les fonctions. De plus, si $u_n = f(n)$ et $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = \\ell$ (finie ou infinie), alors $\\lim u_n = \\ell$.","tableau","entetes",[593,594,595,596,597],"lignes",[590],[591,592,104,94,130],"$\\lim q^n$","pas de limite","Valeur de $q$","$q \\leq -1$","$-1 < q < 1$","$q = 1$","$q > 1$","Limite de la suite géométrique $(q^n)$ :",[600],{"_29":183,"_81":601},"Pour tout rationnel $a > 0$ : $\\lim n^{a} = +\\infty$ et $\\lim n^{-a} = \\lim \\frac{1}{n^{a}} = 0$. En particulier $\\lim \\sqrt{n} = \\lim n^2 = +\\infty$ et $\\lim \\frac{1}{n} = \\lim \\frac{1}{\\sqrt{n}} = 0$.","Une suite peut diverger de deux façons : en tendant vers $+\\infty$ ou $-\\infty$ (par exemple $u_n = n^2$), ou en n'ayant aucune limite (par exemple $u_n = (-1)^n$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$).",[604],{"_29":183,"_81":605},"Si une suite converge, sa limite est unique.","definition",[608],{"_29":183,"_81":609},"On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n = \\ell$, ou simplement $\\lim u_n = \\ell$. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.","5. Limite d'une suite","5-limite-d-une-suite",[613],{"_29":183,"_81":614},"La somme $u_p + u_{p+1} + \\dots + u_n$ compte $n - p + 1$ termes. Par exemple $1 + 2 + \\dots + n = \\frac{n(n+1)}{2}$ et, pour $q \\neq 1$, $1 + q + q^2 + \\dots + q^{n} = \\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.",[629,630,631],[617,618,619],[626,627,628],[623,624,625],[620,621,622],"Somme de $N$ termes consécutifs","$N \\times \\frac{\\text{premier terme} + \\text{dernier terme}}{2}$","$\\text{premier terme} \\times \\frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ (si $q \\neq 1$)","Terme général","$u_n = u_p + (n-p)\\,r$","$u_n = u_p\\,q^{n-p}$","Relation de récurrence","$u_{n+1} = u_n + r$","$u_{n+1} = q\\,u_n$","Notion","Suite arithmétique de raison $r$","Suite géométrique de raison $q$","4. Suites arithmétiques et géométriques (rappels)","4-suites-arithmetiques-et-geometriques-rappels",[635],{"_29":183,"_81":636},"Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas directement celui de $(u_n)$ : étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$, souvent à l'aide d'une récurrence.",[638,639,640],"étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ;","si tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ;","si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[n_0, +\\infty[$, alors $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$.","Pour étudier la monotonie, tu as trois outils :",[643],{"_29":183,"_81":644},"La suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \\geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \\leq u_n$ pour tout $n$, constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$. Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.","3. Monotonie","3-monotonie",[648],{"_29":183,"_81":649},"Pour $u_n = \\frac{1}{n+1}$ avec $n \\in \\mathbb{N}$, on a $0 < u_n \\leq 1$ : la suite est bornée.",[651],{"_29":183,"_81":652},"La suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \\leq M$ pour tout $n$. Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \\geq m$ pour tout $n$. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.","2. Suites majorées, minorées, bornées","2-suites-majorees-minorees-bornees","Rédige toujours les trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion. Dans l'hérédité, tu fixes un entier $n \\geq n_0$, tu supposes $P(n)$ vraie (c'est l'hypothèse de récurrence) et tu démontres $P(n+1)$.",[657],{"_29":183,"_81":658},"Soit $P(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n \\geq n_0$. Si $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et si, pour tout $n \\geq n_0$, « $P(n)$ vraie » entraîne « $P(n+1)$ vraie » (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \\geq n_0$.","1. Le raisonnement par récurrence","1-le-raisonnement-par-recurrence","Une suite numérique est une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ (ou sur l'ensemble des entiers $n \\geq n_0$) à valeurs dans $\\mathbb{R}$. On note $u_n$ le terme de rang $n$ et $(u_n)_{n \\geq n_0}$ la suite. Dans ce chapitre, tu apprends à répondre à trois questions : la suite est-elle bornée ? est-elle monotone ? converge-t-elle, et vers quelle limite ?","Suites numériques","niveau","2bac","filiere","sciences-physiques","matiere","mathematiques","slug","suites-numeriques","ordre","public","2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)","description","Suites numériques 2e Bac PC/SVT : récurrence, monotonie, suites arithmétiques et géométriques, convergence, 9 exercices corrigés et QCM.","duree","60 min","prerequis","Suites (1re Bac), limites et continuité, dérivation et étude de fonctions","statut","publie","verifie","2026-10-03"]