2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)

Dérivation et étude des fonctions

Cours Dérivation et étude des fonctions 2e Bac PC/SVT : dérivabilité, tangentes, concavité, branches infinies, 9 exercices corrigés et QCM.

75 min
9 exercices corrigés
QCM de 8 questions

Prérequis : Limites et continuité (2e Bac), dérivation (1re Bac), tableaux de signes

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L'essentiel

1. Dérivabilité en un point

On peut aussi écrire $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Interprétation géométrique. On note $(C_f)$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ et $A(a, f(a))$ .

Si $f$ est dérivable en $a$ , $(C_f)$ admet en $A$ la tangente d'équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Si $f$ est dérivable à droite en $a$ , $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente à droite de coefficient directeur $f'_d(a)$ (de même à gauche).
Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , le point $A$ est un point anguleux : la courbe y admet deux demi-tangentes de directions différentes.
Si $f$ est continue à droite (ou à gauche) en $a$ et si la limite du taux d'accroissement à droite (ou à gauche) en $a$ vaut $+\infty$ ou $-\infty$ , $f$ n'est pas dérivable à droite (ou à gauche) en $a$ et $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale. Elle est dirigée vers le haut si $f(x) > f(a)$ près de $a$ , vers le bas si $f(x) < f(a)$ .

Pour $h$ proche de $0$ , on a l'approximation affine $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$ .

2. Dérivées usuelles et opérations

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Validité
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n$ entier, $n \geq 1$ )	$n x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$
$\frac{1}{x^n}$ ( $n \geq 1$ )	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0, +\infty[$
$\sqrt[n]{x}$ ( $n \geq 2$ )	$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$]0, +\infty[$
$x^r$ ( $r$ rationnel non nul)	$r x^{r-1}$	$]0, +\infty[$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$	tout intervalle où $\cos x \neq 0$

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ :

Fonction	Dérivée	Condition
$u + v$	$u' + v'$	aucune
$ku$ ( $k$ réel)	$ku'$	aucune
$uv$	$u'v + uv'$	aucune
$\frac{1}{v}$	$-\frac{v'}{v^2}$	$v$ ne s'annule pas sur $I$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u'v - uv'}{v^2}$	$v$ ne s'annule pas sur $I$
$u^n$ ( $n \geq 1$ )	$n u' u^{n-1}$	aucune
$\sqrt{u}$	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$ sur $I$
$\sqrt[n]{u}$ ( $n \geq 2$ )	$\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$	$u > 0$ sur $I$
$u^r$ ( $r$ rationnel non nul)	$r u' u^{r-1}$	$u > 0$ sur $I$
$x \mapsto u(ax + b)$	$x \mapsto a u'(ax + b)$	$ax + b \in I$

3. Dérivée d'une fonction composée

4. Dérivée de la fonction réciproque

5. Sens de variation et extremums

6. Concavité et points d'inflexion

7. Branches infinies

Quand $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$ , on suit ces étapes (de même en $-\infty$ ) :

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ .
Si cette limite vaut $\pm\infty$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si elle vaut $0$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si elle vaut un réel $a \neq 0$ : calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)$ .
Si cette dernière limite est un réel $b$ , la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique ; si elle vaut $\pm\infty$ , $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$ .

La position de $(C_f)$ par rapport à une asymptote $y = ax + b$ se lit sur le signe de $f(x) - (ax + b)$ : positif, la courbe est au-dessus ; négatif, elle est au-dessous.

8. Éléments de symétrie

Cas particuliers : si $f$ est paire, l'axe des ordonnées est axe de symétrie ; si $f$ est impaire, l'origine $O$ est centre de symétrie. Une symétrie permet de réduire l'étude à une moitié de $D_f$ .

9. Position relative d'une courbe et d'une tangente

Pour comparer $(C_f)$ et sa tangente $(T)$ au point d'abscisse $a$ , on étudie le signe de $d(x) = f(x) - \left(f'(a)(x - a) + f(a)\right)$ . Si $d(x) \geq 0$ , la courbe est au-dessus de $(T)$ . On peut aussi utiliser la concavité : sur un intervalle où $(C_f)$ est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

10. Plan d'étude d'une fonction

Domaine de définition $D_f$ ; réduction éventuelle grâce à la parité, la périodicité ou une symétrie.
Limites aux bornes de $D_f$ et étude des branches infinies.
Continuité et dérivabilité aux points particuliers (bornes fermées, points de raccord), avec interprétation géométrique.
Calcul de $f'(x)$ , étude de son signe, tableau de variations.
Si c'est demandé : calcul de $f''(x)$ , concavité, points d'inflexion.
Points utiles : intersections avec les axes, tangentes, position par rapport aux asymptotes.
Tracé de $(C_f)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Méthodes

Méthode 1 : Étudier la dérivabilité en un point

Écris le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ et simplifie-le.
Calcule sa limite en $a$ (à droite et/ou à gauche).
Conclus et interprète : limite réelle, (demi-)tangente ; limite infinie, demi-tangente verticale ; limites à droite et à gauche différentes, point anguleux.

Exemple 1. Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0, +\infty[$ . Pour $x > 0$ : $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \sqrt{x}$ , qui tend vers $0$ . Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0) = 0$ : $(C_f)$ admet en $O$ une demi-tangente horizontale.

Exemple 2. Soit $g(x) = \sqrt{1 - x}$ sur $]-\infty, 1]$ . Pour $x < 1$ , comme $x - 1 = -(\sqrt{1 - x})^2$ :

\frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{1 - x}}{x - 1} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x}}

Cette expression tend vers $-\infty$ quand $x \to 1^-$ . Donc $g$ n'est pas dérivable à gauche en $1$ et sa courbe admet au point $(1, 0)$ une demi-tangente verticale, dirigée vers le haut car $g(x) > 0 = g(1)$ pour $x < 1$ .

Méthode 2 : Dériver une fonction composée

Repère la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure $v$ .
Applique $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ ou une formule du tableau : $u^n$ , $\sqrt{u}$ , $\sqrt[n]{u}$ , $u(ax + b)$ .
Factorise le résultat pour pouvoir étudier son signe.

Exemple. Pour $f(x) = (x^2 + 1)^3$ : $f'(x) = 3 \times 2x \times (x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$ .

Pour $g(x) = \sin(\sqrt{x})$ sur $]0, +\infty[$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x})$ .

Pour $h(x) = \sqrt[3]{2x + 5}$ sur $]-\frac{5}{2}, +\infty[$ : $h'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 5)^2}}$ .

Méthode 3 : Étudier une branche infinie

Calcule la limite de $f$ à la borne concernée.
Si elle est finie, c'est une asymptote horizontale ; si elle est infinie, suis les étapes de la partie 7 du cours.
En cas d'asymptote, étudie le signe de $f(x) - (ax + b)$ pour la position relative.

Exemple. Soit $f(x) = \frac{2x^2 - 3x}{x + 1}$ en $+\infty$ . On a $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x} = +\infty$ . Puis $\frac{f(x)}{x} = \frac{2x - 3}{x + 1}$ tend vers $2$ . Ensuite $f(x) - 2x = \frac{-5x}{x + 1}$ tend vers $-5$ . La droite $y = 2x - 5$ est donc asymptote oblique en $+\infty$ . Enfin $f(x) - (2x - 5) = \frac{5}{x + 1} > 0$ pour $x > -1$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote sur $]-1, +\infty[$ .

Méthode 4 : Montrer un centre ou un axe de symétrie

Vérifie que si $x \in D_f$ , alors $2a - x \in D_f$ .
Calcule $f(2a - x)$ et simplifie.
Compare avec $f(x)$ pour un axe, ou calcule $f(2a - x) + f(x)$ pour un centre.

Exemple 1. Soit $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace 1 \rbrace$ . Si $x \neq 1$ , alors $2 - x \neq 1$ . On calcule $f(2 - x) = \frac{(2 - x)^2 - 2(2 - x) + 2}{(2 - x) - 1} = \frac{x^2 - 2x + 2}{1 - x} = -f(x)$ . Donc $f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ : le point $\Omega(1, 0)$ est centre de symétrie.

Exemple 2. Soit $g(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 5}$ . Comme $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 > 0$ , on a $D_g = \mathbb{R}$ . On calcule $(-4 - x)^2 + 4(-4 - x) + 5 = x^2 + 4x + 5$ , donc $g(-4 - x) = g(x)$ : la droite $x = -2$ est axe de symétrie.

Méthode 5 : Étudier la concavité et les points d'inflexion

Calcule $f''(x)$ .
Étudie son signe.
Conclus : $f'' \geq 0$ , courbe convexe ; $f'' \leq 0$ , courbe concave ; changement de signe en $a$ , point d'inflexion $A(a, f(a))$ .

Exemple. Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ . On a $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ et $f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$ . Donc $(C_f)$ est concave sur $]-\infty, 2]$ et convexe sur $[2, +\infty[$ . Comme $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe et que $f(2) = 3$ , le point $I(2, 3)$ est un point d'inflexion.

Méthode 6 : Calculer le nombre dérivé d'une réciproque

Vérifie que $f$ est continue, strictement monotone et dérivable.
Trouve le réel $a$ tel que $f(a) = b$ , souvent en essayant des valeurs simples.
Vérifie que $f'(a) \neq 0$ et conclus : $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ .

Exemple. Soit $f(x) = x + \sqrt{x}$ sur $[0, +\infty[$ , continue et strictement croissante. Pour $x > 0$ , $f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . On a $f(4) = 4 + 2 = 6$ et $f'(4) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \neq 0$ . Donc $(f^{-1})'(6) = \frac{4}{5}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Calculs de dérivées

Facile

Calcule la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = (2x - 1)^4$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ sur $]2, +\infty[$
$k(x) = \cos(x^2)$ sur $\mathbb{R}$
$m(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$

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1. Avec $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ , $u(x) = 2x - 1$ et $u'(x) = 2$ : $f'(x) = 4 \times 2 \times (2x - 1)^3 = 8(2x - 1)^3$ .

2. Ici $u(x) = x^2 + 3 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$ .

3. Avec la formule du quotient :

h'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}

4. Avec $u(x) = x^2$ et $v = \cos$ : $k'(x) = 2x \times (-\sin(x^2)) = -2x\sin(x^2)$ .

5. Ici $u(x) = x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $m'(x) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$ .

Exercice 2 : Tangentes

Facile

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et $(C_f)$ sa courbe.

Détermine une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$ .
Détermine les points de $(C_f)$ en lesquels la tangente est horizontale.

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1. On a $f'(x) = 3x^2 - 3$ . Donc $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ et $f'(2) = 12 - 3 = 9$ . La tangente a pour équation $y = 9(x - 2) + 3$ , soit $y = 9x - 15$ .

2. La tangente est horizontale quand $f'(x) = 0$ , c'est-à-dire $3x^2 - 3 = 0$ , soit $x = 1$ ou $x = -1$ . Comme $f(1) = -1$ et $f(-1) = 3$ , les points cherchés sont $(1, -1)$ et $(-1, 3)$ .

Exercice 3 : Dérivabilité et interprétation géométrique

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}(1 - x)$ . Étudie la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interprète le résultat.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \lvert x^2 - 4 \rvert$ . Étudie la dérivabilité de $g$ en $2$ et interprète le résultat.

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1. Pour $x > 0$ : $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sqrt{x}(1 - x)}{x} = \frac{1 - x}{\sqrt{x}}$ . Quand $x \to 0^+$ , le numérateur tend vers $1$ et $\sqrt{x}$ tend vers $0$ par valeurs positives, donc le quotient tend vers $+\infty$ . Ainsi $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ : $(C_f)$ admet en $O(0, 0)$ une demi-tangente verticale. Pour $0 < x < 1$ , $f(x) > 0 = f(0)$ , donc elle est dirigée vers le haut.

2. On a $g(2) = 0$ . Pour $x \geq 2$ , $x^2 - 4 \geq 0$ donc $g(x) = x^2 - 4$ . Pour $-2 \leq x \leq 2$ , $g(x) = 4 - x^2$ .

À droite : pour $x > 2$ , $\frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ , qui tend vers $4$ . Donc $g'_d(2) = 4$ .

À gauche : pour $-2 < x < 2$ , $\frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \frac{4 - x^2}{x - 2} = -(x + 2)$ , qui tend vers $-4$ . Donc $g'_g(2) = -4$ .

Comme $g'_d(2) \neq g'_g(2)$ , $g$ n'est pas dérivable en $2$ . Le point $A(2, 0)$ est un point anguleux : la courbe y admet deux demi-tangentes, d'équations $y = 4(x - 2)$ pour $x \geq 2$ et $y = -4(x - 2)$ pour $x \leq 2$ .

Exercice 4 : Branches infinies

Moyen

Soit $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace 1 \rbrace$ . Vérifie que $f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ , puis étudie les branches infinies de $(C_f)$ et sa position par rapport à son asymptote oblique.
Étudie la branche infinie en $+\infty$ de la courbe de $g(x) = x - \sqrt{x}$ .
Même question pour $h(x) = 3\sqrt{x} - 1$ .
Même question pour $k(x) = x^2 - 3x$ .

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1. On a $(x - 1)(x + 2) + 3 = x^2 + x - 2 + 3 = x^2 + x + 1$ , d'où $f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ .

En $1$ : quand $x \to 1^+$ , $\frac{3}{x - 1} \to +\infty$ , donc $f(x) \to +\infty$ ; quand $x \to 1^-$ , $f(x) \to -\infty$ . La droite $x = 1$ est asymptote verticale.

En $\pm\infty$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $f(x) - (x + 2) = \frac{3}{x - 1}$ tend vers $0$ . La droite $(D) : y = x + 2$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Position : $\frac{3}{x - 1} > 0$ pour $x > 1$ et $< 0$ pour $x < 1$ . La courbe est au-dessus de $(D)$ sur $]1, +\infty[$ et au-dessous sur $]-\infty, 1[$ .

2. Pour $x > 0$ , $g(x) = x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ , donc $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ . Puis $\frac{g(x)}{x} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers $1$ , et $g(x) - x = -\sqrt{x}$ tend vers $-\infty$ . La courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ .

3. On a $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ et $\frac{h(x)}{x} = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x}$ tend vers $0$ . La courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

4. On a $\lim_{x \to +\infty} k(x) = +\infty$ et $\frac{k(x)}{x} = x - 3$ tend vers $+\infty$ . La courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

Exercice 5 : Centre et axe de symétrie

Moyen

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ . Montre que le point $\Omega(1, 0)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ .
Calcule $f''(x)$ et vérifie que $\Omega$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ .
Soit $g(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$ . Justifie que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ , puis montre que la droite d'équation $x = 1$ est axe de symétrie de $(C_g)$ .

Voir le corrigé

1. $D_f = \mathbb{R}$ , donc pour tout $x$ , $2 - x \in D_f$ . On développe : $(2 - x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$ et $3(2 - x)^2 = 12 - 12x + 3x^2$ . Donc :

f(2 - x) = 8 - 12x + 6x^2 - x^3 - 12 + 12x - 3x^2 + 2 = -x^3 + 3x^2 - 2

Ainsi $f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ : $\Omega(1, 0)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ .

2. On a $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ . La dérivée seconde est négative pour $x < 1$ , positive pour $x > 1$ : elle s'annule en $1$ en changeant de signe. Comme $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , le point $\Omega(1, 0)$ est un point d'inflexion.

3. On a $x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 > 0$ pour tout réel $x$ , donc $D_g = \mathbb{R}$ . Pour tout $x$ : $(2 - x)^2 - 2(2 - x) + 5 = 4 - 4x + x^2 - 4 + 2x + 5 = x^2 - 2x + 5$ . Donc $g(2 - x) = g(x)$ et la droite $x = 1$ est axe de symétrie de $(C_g)$ .

Exercice 6 : Concavité, inflexion et tangente

Moyen

Soit $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$ .

Étudie la concavité de $(C_f)$ et détermine ses points d'inflexion.
Détermine une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point $A$ d'abscisse $1$ .
Vérifie que $f(x) - (-8x + 4) = (x - 1)^3(x + 3)$ , puis étudie la position de $(C_f)$ par rapport à $(T)$ .

Voir le corrigé

1. On a $f'(x) = 4x^3 - 12x$ et $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$(C_f)$		convexe		concave		convexe

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$ . Comme $f(-1) = f(1) = 1 - 6 + 1 = -4$ , les points d'inflexion sont $B(-1, -4)$ et $A(1, -4)$ .

2. On a $f(1) = -4$ et $f'(1) = 4 - 12 = -8$ . Donc $(T) : y = -8(x - 1) - 4$ , soit $y = -8x + 4$ .

3. On développe : $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ , puis $(x - 1)^3(x + 3) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ . Par ailleurs $f(x) - (-8x + 4) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ . L'égalité est vérifiée. On note $d(x)$ cette différence.

$x$		$-3$		$1$
$(x - 1)^3$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x + 3$	$-$	$0$	$+$		$+$
$d(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

La courbe est au-dessus de $(T)$ sur $]-\infty, -3[$ et sur $]1, +\infty[$ , au-dessous sur $]-3, 1[$ . Elle coupe $(T)$ au point d'abscisse $-3$ , de coordonnées $(-3, 28)$ , et au point $A$ , où elle traverse sa tangente : c'est cohérent avec le fait que $A$ est un point d'inflexion.

Exercice 7 : Dérivée d'une fonction réciproque

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x$ .

Montre que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .
Justifie que $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , puis calcule $(f^{-1})'(2)$ , $(f^{-1})'(0)$ et $(f^{-1})'(10)$ .
Donne une équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ au point d'abscisse $2$ .
Montre que $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable à droite en $0$ et interprète ce résultat.

Voir le corrigé

1. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante. Comme $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , on a $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ . Donc $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

2. La dérivée $f'$ ne s'annule jamais, donc $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ .

Comme $f(1) = 2$ , on a $f^{-1}(2) = 1$ et $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$ .

Comme $f(0) = 0$ , on a $(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(0)} = 1$ .

Comme $f(2) = 10$ , on a $(f^{-1})'(10) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{13}$ .

3. Le point de la courbe de $f^{-1}$ d'abscisse $2$ est $(2, 1)$ . La tangente a pour équation $y = \frac{1}{4}(x - 2) + 1$ , soit $y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$ .

4. Pour $x > 0$ , comme $x = (\sqrt[3]{x})^3$ : $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{0}}{x - 0} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ . Quand $x \to 0^+$ , cette expression tend vers $+\infty$ . Donc $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable à droite en $0$ et sa courbe admet en $O$ une demi-tangente verticale, dirigée vers le haut. C'est cohérent avec le cours : $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est la réciproque de $x \mapsto x^3$ sur $[0, +\infty[$ , dont la dérivée s'annule en $0$ .

Exercice 8 : Problème d'étude de fonction

Type Bac

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x}$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Montre que $D_f = ]-\infty, -2] \cup [0, +\infty[$ .
Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . Montre que pour tout $x \leq -2$ : $f(x) = \frac{-2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$ , puis déduis $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et interprète.
Montre que $\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - (2x + 1)\right) = 0$ et interprète. Étudie la position de $(C_f)$ par rapport à la droite $(\Delta) : y = 2x + 1$ sur $[0, +\infty[$ .
Étudie la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et à gauche en $-2$ . Interprète les résultats.
Montre que pour tout $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]0, +\infty[$ : $f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}}$ . Montre que pour $x < -2$ , $\sqrt{x^2 + 2x} < -(x + 1)$ , puis dresse le tableau de variations de $f$ .
On admet que pour tout $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]0, +\infty[$ : $f''(x) = \frac{-1}{(x^2 + 2x)\sqrt{x^2 + 2x}}$ . Étudie la concavité de $(C_f)$ .
Soit $g$ la restriction de $f$ à $I = [0, +\infty[$ . Montre que $g$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à préciser, et que $g^{-1}(x) = \frac{x^2}{2x + 2}$ pour tout $x \in J$ . Déduis la solution dans $I$ de l'équation $f(x) = 3$ .
Construis $(\Delta)$ et $(C_f)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Voir le corrigé

1. $f(x)$ existe si et seulement si $x^2 + 2x \geq 0$ , c'est-à-dire $x(x + 2) \geq 0$ . Ce produit est positif ou nul pour $x \leq -2$ ou $x \geq 0$ . Donc $D_f = ]-\infty, -2] \cup [0, +\infty[$ .

2. En $+\infty$ : $x^2 + 2x \to +\infty$ , donc $\sqrt{x^2 + 2x} \to +\infty$ , et $f(x) \to +\infty$ .

En $-\infty$ , on a une forme $-\infty + \infty$ . Pour $x \leq -2$ , on multiplie par la quantité conjuguée (non nulle car $x < 0$ ) :

f(x) = \frac{x^2 - (x^2 + 2x)}{x - \sqrt{x^2 + 2x}} = \frac{-2x}{x - \sqrt{x^2 + 2x}}

Pour $x < 0$ , $\sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{x^2}\sqrt{1 + \frac{2}{x}} = -x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}$ . Donc $x - \sqrt{x^2 + 2x} = x\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\right)$ , et en simplifiant par $x$ on obtient $f(x) = \frac{-2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$ . Comme $\frac{2}{x} \to 0$ , on a $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{-2}{2} = -1$ . La droite d'équation $y = -1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .

3. Pour $x \geq 0$ :

f(x) - (2x + 1) = \sqrt{x^2 + 2x} - (x + 1) = \frac{(x^2 + 2x) - (x + 1)^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x + 1} = \frac{-1}{\sqrt{x^2 + 2x} + x + 1}

Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite vaut $0$ : la droite $(\Delta) : y = 2x + 1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ . Pour $x \geq 0$ , le dénominateur est strictement positif, donc $f(x) - (2x + 1) < 0$ : $(C_f)$ est au-dessous de $(\Delta)$ sur $[0, +\infty[$ .

4. À droite en $0$ : $f(0) = 0$ et, pour $x > 0$ , $\frac{f(x) - f(0)}{x} = 1 + \frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$ . Quand $x \to 0^+$ , $\frac{2}{x} \to +\infty$ , donc le taux tend vers $+\infty$ . Ainsi $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ : $(C_f)$ admet en $O$ une demi-tangente verticale, dirigée vers le haut car $f(x) > 0 = f(0)$ pour $x > 0$ .

À gauche en $-2$ : $f(-2) = -2$ . Pour $x < -2$ , on a $x + 2 < 0$ , donc $x + 2 = -\sqrt{(x + 2)^2}$ et :

\frac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = 1 + \frac{\sqrt{x(x + 2)}}{x + 2} = 1 - \sqrt{\frac{x}{x + 2}}

Quand $x \to -2^-$ , $x \to -2$ et $x + 2 \to 0^-$ , donc $\frac{x}{x + 2} \to +\infty$ et le taux tend vers $-\infty$ . Ainsi $f$ n'est pas dérivable à gauche en $-2$ : $(C_f)$ admet au point $B(-2, -2)$ une demi-tangente verticale. Près de $-2$ , $x + 2 < 0$ et le taux est négatif, donc $f(x) - f(-2) > 0$ : la demi-tangente est dirigée vers le haut.

5. Sur $]-\infty, -2[ \cup ]0, +\infty[$ , on a $x^2 + 2x > 0$ , donc $f$ est dérivable et :

f'(x) = 1 + \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x}} = \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}}

Le signe de $f'(x)$ est celui de $N(x) = \sqrt{x^2 + 2x} + x + 1$ .

Sur $]0, +\infty[$ : $x + 1 > 0$ , donc $N(x) > 0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ .

Sur $]-\infty, -2[$ : on a $x^2 + 2x < x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ , donc $\sqrt{x^2 + 2x} < \lvert x + 1 \rvert = -(x + 1)$ car $x + 1 < 0$ . Ainsi $N(x) < 0$ et $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, -2]$ .

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$		non définie		$+$
$f(x)$	$-1$	$\searrow$	$-2$	non définie	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

6. Pour $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]0, +\infty[$ , on a $(x^2 + 2x)\sqrt{x^2 + 2x} > 0$ , donc $f''(x) < 0$ . La courbe $(C_f)$ est concave sur $]-\infty, -2]$ et sur $[0, +\infty[$ ; elle n'a pas de point d'inflexion.

7. D'après la question 5, $g$ est continue et strictement croissante sur $I$ . Elle réalise donc une bijection de $I$ sur $J = [g(0), \lim_{x \to +\infty} g(x)[ = [0, +\infty[$ .

Soient $x \in J$ et $y \in I$ . L'équation $g(y) = x$ s'écrit $\sqrt{y^2 + 2y} = x - y$ . Si elle est vraie, alors en élevant au carré : $y^2 + 2y = x^2 - 2xy + y^2$ , soit $2y(1 + x) = x^2$ , donc $y = \frac{x^2}{2x + 2}$ (car $x + 1 > 0$ ). Réciproquement, ce $y$ est positif et $x - y = \frac{x^2 + 2x}{2x + 2} \geq 0$ , donc l'élévation au carré est réversible. Ainsi, pour tout $x \in [0, +\infty[$ :

g^{-1}(x) = \frac{x^2}{2x + 2}

L'équation $f(x) = 3$ avec $x \in I$ s'écrit $g(x) = 3$ , d'où $x = g^{-1}(3) = \frac{9}{8}$ . Vérification : $f\left(\frac{9}{8}\right) = \frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64} + \frac{144}{64}} = \frac{9}{8} + \frac{15}{8} = 3$ .

8. La figure se fait sur ta copie, dans cet ordre. Trace d'abord l'asymptote horizontale $y = -1$ et l'asymptote oblique $(\Delta) : y = 2x + 1$ . Place $B(-2, -2)$ et $O(0, 0)$ avec leurs demi-tangentes verticales. Place quelques points : $\left(\frac{9}{8}, 3\right)$ (question 7), $(1, 1 + \sqrt{3})$ avec $1 + \sqrt{3} \approx 2{,}73$ , et $(-4, -4 + 2\sqrt{2})$ avec $-4 + 2\sqrt{2} \approx -1{,}17$ . Trace enfin les deux branches. Sur $]-\infty, -2]$ , la courbe est décroissante, concave et au-dessous de la droite $y = -1$ (car $f$ prend ses valeurs dans $[-2, -1[$ ). Sur $[0, +\infty[$ , elle est croissante, concave et au-dessous de $(\Delta)$ . Aucun point de la courbe n'a une abscisse strictement comprise entre $-2$ et $0$ .

Exercice 9 : Étude d'une fonction rationnelle

Type Bac

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$ par $f(x) = x + \frac{2}{x^2}$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Calcule les limites de $f$ en $0$ , en $-\infty$ et en $+\infty$ . Interprète la limite en $0$ .
Montre que la droite $(D) : y = x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , et étudie leur position relative.
Montre que $f'(x) = \frac{x^3 - 4}{x^3}$ , dresse le tableau de variations de $f$ et montre que $f(\sqrt[3]{4}) = \frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$ .
Calcule $f''(x)$ et déduis la concavité de $(C_f)$ .
Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}^{\ast}$ , puis que $\alpha = -\sqrt[3]{2}$ .
Détermine une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse $-1$ . Vérifie que pour $x \neq 0$ : $f(x) - (5x + 6) = \frac{-2(x + 1)^2(2x - 1)}{x^2}$ , puis étudie la position de $(C_f)$ par rapport à $(T)$ .
Soit $h$ la restriction de $f$ à $]-\infty, 0[$ . Montre que $h$ admet une fonction réciproque définie sur $\mathbb{R}$ , puis calcule $(h^{-1})'(1)$ .

Voir le corrigé

1. En $0$ : $x^2 \to 0$ par valeurs positives, donc $\frac{2}{x^2} \to +\infty$ et $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ (à droite comme à gauche). La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale. En $\pm\infty$ : $\frac{2}{x^2} \to 0$ , donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ .

2. On a $f(x) - x = \frac{2}{x^2}$ , qui tend vers $0$ en $\pm\infty$ : la droite $(D) : y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ . Comme $\frac{2}{x^2} > 0$ pour tout $x \neq 0$ , $(C_f)$ est toujours au-dessus de $(D)$ .

3. On a $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^3} = \frac{x^3 - 4}{x^3}$ . Comme $t \mapsto t^3$ est strictement croissante, $x^3 - 4 \geq 0 \iff x \geq \sqrt[3]{4}$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$\sqrt[3]{4}$		$+\infty$
$x^3 - 4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x^3$		$-$	$0$	$+$		$+$
$f'(x)$		$+$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty \Vert +\infty$	$\searrow$	$\frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$	$\nearrow$	$+\infty$

Calcul du minimum : $(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$ , donc $\frac{2}{(\sqrt[3]{4})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ . Or $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$ , donc $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ . Ainsi $f(\sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{4} + \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$ , soit environ $2{,}38$ .

4. On a $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^3}$ et $\left(\frac{1}{x^3}\right)' = -\frac{3}{x^4}$ , donc $f''(x) = \frac{12}{x^4} > 0$ . La courbe $(C_f)$ est convexe sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$ .

5. Sur $]0, +\infty[$ , le minimum de $f$ vaut $\frac{3}{2}\sqrt[3]{4} > 0$ , donc l'équation n'a pas de solution. Sur $]-\infty, 0[$ , $f$ est continue et strictement croissante, et son image est $]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to 0^-} f(x)[ = \mathbb{R}$ . Comme $0 \in \mathbb{R}$ , l'équation admet une unique solution $\alpha < 0$ . Enfin, pour $x \neq 0$ , $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2}$ , donc $f(x) = 0 \iff x^3 = -2$ . L'exposant $3$ est impair, d'où $\alpha = -\sqrt[3]{2}$ , soit environ $-1{,}26$ .

6. On a $f(-1) = -1 + 2 = 1$ et $f'(-1) = \frac{-1 - 4}{-1} = 5$ . Donc $(T) : y = 5(x + 1) + 1$ , soit $y = 5x + 6$ .

Pour $x \neq 0$ : $f(x) - (5x + 6) = \frac{x^3 + 2 - 5x^3 - 6x^2}{x^2} = \frac{-2(2x^3 + 3x^2 - 1)}{x^2}$ . Or $(x + 1)^2(2x - 1) = (x^2 + 2x + 1)(2x - 1) = 2x^3 + 3x^2 - 1$ , ce qui donne l'égalité demandée.

Comme $(x + 1)^2 \geq 0$ et $x^2 > 0$ , le signe de la différence est celui de $-(2x - 1)$ quand $x \neq -1$ . La courbe est au-dessus de $(T)$ sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, \frac{1}{2}[$ , et au-dessous sur $]\frac{1}{2}, +\infty[$ . Elle touche $(T)$ au point $A(-1, 1)$ et la coupe au point $\left(\frac{1}{2}, \frac{17}{2}\right)$ . La position au-dessus de $(T)$ sur $]-\infty, 0[$ confirme la convexité sur cet intervalle.

7. D'après la question 5, $h$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty, 0[$ , d'image $\mathbb{R}$ : elle admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ . De plus $h'(x) > 0$ sur $]-\infty, 0[$ , donc $h^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Comme $h(-1) = 1$ et $h'(-1) = 5$ , on obtient $(h^{-1})'(1) = \frac{1}{h'(-1)} = \frac{1}{5}$ .

QCM

1.La dérivée de

x \mapsto \sqrt{2x + 1}

sur

]-\frac{1}{2}, +\infty[

est :

2.Soit

f

une fonction continue sur

[0, +\infty[

telle que

\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = +\infty

. Alors :

3.On suppose

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0

. Alors

(C_f)

admet en

+\infty

4.La courbe de

f(x) = x^3 + 3x^2

admet un point d'inflexion de coordonnées :

5.La courbe de

f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}

admet pour centre de symétrie le point :

f

est une bijection dérivable avec

f(1) = 3

f'(1) = 4

. Alors

(f^{-1})'(3)

vaut :

7.La courbe de

f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x}

admet en

+\infty

l'asymptote oblique d'équation :

8.Pour

f(x) = x^3

, laquelle de ces affirmations est vraie ?

Erreurs fréquentes

Oublier la dérivée de la fonction intérieure : $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ et non $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ ; de même $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ .
Croire que $f'(a) = 0$ suffit pour un extremum : il faut que $f'$ change de signe en $a$ (contre-exemple : $x^3$ en $0$ ).
Conclure à une asymptote oblique dès que $\lim \frac{f(x)}{x} = a$ : il faut encore calculer $\lim (f(x) - ax)$ , qui peut être infinie (branche parabolique).
Étudier la dérivabilité en une borne en dérivant la formule puis en prenant la limite de $f'(x)$ : la méthode sûre est la limite du taux d'accroissement.
Écrire $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(b)}$ : la bonne formule est $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$ .
Étudier la position courbe-asymptote avec le signe de $f(x)$ : c'est le signe de $f(x) - (ax + b)$ qu'il faut étudier.
Affirmer qu'il y a un point d'inflexion dès que $f''(a) = 0$ : pour $x \mapsto x^4$ , $f''(0) = 0$ mais $f''$ ne change pas de signe.
Oublier que $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert = -x$ quand $x < 0$ : erreur classique dans les limites en $-\infty$ .

À retenir

$f$ est dérivable en $a$ si le taux $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ a une limite réelle en $a$ ; la tangente en $A$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Taux de limite infinie : demi-tangente verticale ; dérivées à droite et à gauche différentes : point anguleux.
Dérivée d'une composée : $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ ; en particulier $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ et $(\sqrt[n]{u})' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ .
Dérivée de la réciproque : $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ avec $b = f(a)$ et $f'(a) \neq 0$ .
Le signe de $f'$ donne les variations ; un extremum en $a$ correspond à un changement de signe de $f'$ en $a$ .
$f'' \geq 0$ : courbe convexe (au-dessus de ses tangentes) ; $f'' \leq 0$ : courbe concave ; $f''$ qui change de signe en $a$ : point d'inflexion.
Branches infinies : calcule $\lim \frac{f(x)}{x}$ , puis $\lim (f(x) - ax)$ , pour choisir entre asymptote oblique et branche parabolique.
Axe $x = a$ : $f(2a - x) = f(x)$ ; centre $\Omega(a, b)$ : $f(2a - x) + f(x) = 2b$ .
Position par rapport à une droite (asymptote ou tangente) : étudie le signe de la différence $f(x) - y$ .

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