2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)

Nombres complexes (partie 2)

Nombres complexes partie 2, 2e Bac PC/SVT : forme exponentielle, Moivre, Euler, équation du second degré, rotation et homothétie, 9 exercices corrigés.

60 min
9 exercices corrigés
QCM de 8 questions

Prérequis : Nombres complexes (partie 1), trigonométrie (1re Bac)

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L'essentiel

Dans la partie 1, tu as appris à manipuler la forme algébrique et la forme trigonométrique. Ici, une notation plus compacte, $e^{i\theta}$ , rend les calculs de produits et de puissances presque immédiats. Elle sert ensuite à résoudre des équations, à linéariser des puissances de cosinus et de sinus, et à écrire les transformations du plan.

1. Notation exponentielle

Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit donc :

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}

C'est la forme exponentielle de $z$ (avec $r > 0$ ).

Valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$ , $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ , $e^{i\pi} = -1$ , $e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$ , $e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ces règles sont celles des puissances : c'est tout l'intérêt de la notation. Par exemple $r e^{i\theta} \times r' e^{i\theta'} = r r' e^{i(\theta + \theta')}$ .

2. Formule de Moivre

Deux usages principaux :

calculer une puissance : si $z = r e^{i\theta}$ , alors $z^n = r^n e^{in\theta}$ ;
exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ , en développant le membre de gauche puis en identifiant parties réelles et imaginaires.

Pour $n = 2$ , on retrouve $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ . Pour $n = 3$ , on obtient (voir l'exercice 5) :

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \qquad \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

3. Formules d'Euler et linéarisation

Linéariser une expression comme $\cos^3 x$ , c'est l'écrire comme une somme de termes du type $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$ , sans puissance. C'est très utile pour dériver, chercher une primitive ou calculer une valeur exacte. Résultats à connaître :

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4} \qquad \sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}

4. Équation du second degré à coefficients réels

On considère l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a$ , $b$ , $c$ réels et $a \neq 0$ , et son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Dans tous les cas (avec $z_1 = z_2 = z_0$ si $\Delta = 0$ ) : $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$ , $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$ . Ces deux dernières relations te permettent de vérifier tes solutions en quelques secondes.

5. Transformations du plan et écriture complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Une transformation associe à tout point $M(z)$ un point $M'(z')$ . Son écriture complexe exprime $z'$ en fonction de $z$ .

Lecture géométrique de la rotation : si $M \neq \Omega$ , alors $\Omega M' = \Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) \equiv \theta \ [2\pi]$ . Le centre $\Omega$ est le seul point invariant (si $\theta \not\equiv 0 \ [2\pi]$ ).

Pour $a \neq 1$ , le centre s'obtient en cherchant le point invariant : $\omega = a\omega + b \iff \omega = \frac{b}{1 - a}$ . En soustrayant membre à membre $z' = az + b$ et $\omega = a\omega + b$ , on obtient $z' - \omega = a(z - \omega)$ : c'est exactement l'écriture d'une homothétie de centre $\Omega$ (si $a$ est réel) ou d'une rotation de centre $\Omega$ (si $a = e^{i\theta}$ ). Cette justification suffit à reconnaître la transformation.

6. Caractérisations géométriques utiles

Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ distincts :

$ABC$ est équilatéral direct (équilatéral avec $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$ ) $\iff z_C - z_A = e^{i\frac{\pi}{3}}(z_B - z_A)$ : $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ .
$ABC$ est rectangle isocèle en $A$ $\iff z_C - z_A = e^{i\frac{\pi}{2}}(z_B - z_A)$ ou $z_C - z_A = e^{-i\frac{\pi}{2}}(z_B - z_A)$ , c'est-à-dire $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \pm i$ .
Plus généralement, $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{AC}{AB} e^{i\alpha}$ où $\alpha$ est une mesure de $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ .

Méthodes

Méthode 1 : Calculer une puissance avec la forme exponentielle

Écris $z$ sous la forme $r e^{i\theta}$ (module, puis argument avec cosinus et sinus).
Applique Moivre : $z^n = r^n e^{in\theta}$ .
Réduis l'angle $n\theta$ modulo $2\pi$ pour le ramener dans $]-\pi ; \pi]$ .
Reviens à la forme algébrique si on te la demande.

Exemple. Calculer $(-1 + i)^6$ . On a $|-1 + i| = \sqrt{2}$ et $-1 + i = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$ . Donc :

(-1 + i)^6 = (\sqrt{2})^6 e^{i\frac{18\pi}{4}} = 8 e^{i\frac{9\pi}{2}} = 8 e^{i\frac{\pi}{2}} = 8i

car $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ .

Méthode 2 : Linéariser avec les formules d'Euler

Remplace chaque $\cos x$ par $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ et chaque $\sin x$ par $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ .
Développe (binôme : coefficients $1, 2, 1$ puis $1, 3, 3, 1$ puis $1, 4, 6, 4, 1$ ).
Regroupe les termes deux à deux : $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ et $e^{ikx} - e^{-ikx} = 2i\sin(kx)$ .
Simplifie les constantes.

Exemple. Linéariser $\sin^3 x$ . Comme $(2i)^3 = -8i$ :

\sin^3 x = \frac{\left(e^{ix} - e^{-ix}\right)^3}{-8i} = \frac{e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}}{-8i} = \frac{2i\sin 3x - 6i\sin x}{-8i}

Donc $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$ . Contrôle pour $x = \frac{\pi}{2}$ : à gauche $1$ , à droite $\frac{3 - (-1)}{4} = 1$ .

Méthode 3 : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Vérifie que les coefficients sont réels et calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Si $\Delta < 0$ , écris $\Delta = -(\sqrt{-\Delta})^2 = (i\sqrt{-\Delta})^2$ .
Donne les deux solutions conjuguées $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
Contrôle : somme $= -\frac{b}{a}$ et produit $= \frac{c}{a}$ .

Exemple. $3z^2 - 2z + 1 = 0$ . $\Delta = 4 - 12 = -8 = (2i\sqrt{2})^2$ . Les solutions sont :

z_1 = \frac{2 - 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{1 - i\sqrt{2}}{3} \qquad z_2 = \frac{1 + i\sqrt{2}}{3}

Contrôle : $z_1 + z_2 = \frac{2}{3}$ et $z_1 z_2 = \frac{1 + 2}{9} = \frac{1}{3}$ , conformes à $-\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$ .

Méthode 4 : Écrire une transformation et calculer une image

Identifie la transformation et ses éléments (vecteur, centre, rapport, angle).
Écris la formule du cours : $z' = z + b$ , $z' - \omega = k(z - \omega)$ ou $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
Pour l'image d'un point, remplace $z$ par son affixe et calcule.
Contrôle avec une distance : pour une rotation, $\Omega M' = \Omega M$ .

Exemple. $R$ est la rotation de centre $\Omega(2 - i)$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Image du point $A(2 + i)$ :

z_{A'} = \omega + e^{i\frac{\pi}{3}}(z_A - \omega) = 2 - i + \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(2i) = 2 - i + i - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}

Contrôle : $\Omega A = |2i| = 2$ et $\Omega A' = |-\sqrt{3} + i| = 2$ .

Méthode 5 : Reconnaître une transformation à partir de z' = az + b

Regarde $a$ : $a = 1$ (translation), $a$ réel différent de $1$ (homothétie), $|a| = 1$ avec $a \neq 1$ (rotation).
Pour une homothétie ou une rotation, calcule le centre $\omega = \frac{b}{1 - a}$ .
Le rapport est $a$ (homothétie) ; l'angle est $\arg(a)$ (rotation).
Vérifie que $a\omega + b = \omega$ , puis justifie en écrivant $z' - \omega = a(z - \omega)$ .

Exemple 1. $z' = iz + 1 - i$ : $|i| = 1$ , donc rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et de centre $\omega = \frac{1 - i}{1 - i} = 1$ . Contrôle : $i \times 1 + 1 - i = 1$ .

Exemple 2. $z' = 3z - 4i$ : $a = 3$ est réel, donc homothétie de rapport $3$ et de centre $\omega = \frac{-4i}{1 - 3} = 2i$ . Contrôle : $3 \times 2i - 4i = 2i$ .

Méthode 6 : Utiliser la technique de l'angle moitié

Factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ : $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ .
Étudie le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle donné.
S'il est strictement positif : module $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et argument $\frac{\theta}{2}$ .
S'il est strictement négatif : module $-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et argument $\frac{\theta}{2} + \pi$ .

Exemple. $1 + e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}\, e^{i\frac{\pi}{6}}$ . Contrôle algébrique : $1 + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , et $\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$ donne bien la même chose.

Exercices corrigés

Exercice 1 : Formes exponentielles

Facile

On donne $z_1 = 1 + i$ , $z_2 = -2\sqrt{3} + 2i$ et $z_3 = -5i$ .

Écris $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle.
Déduis-en la forme exponentielle de $\overline{z_2}$ , de $z_1 z_2$ , de $\frac{z_2}{z_1}$ et de $z_1 z_3$ .

Voir le corrigé

$|z_1| = \sqrt{2}$ et $z_1 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , donc $z_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ .
$|z_2| = \sqrt{12 + 4} = 4$ et $z_2 = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$ : cosinus négatif, sinus positif, donc $z_2 = 4 e^{i\frac{5\pi}{6}}$ .
$z_3 = 5 \times (-i)$ , donc $z_3 = 5 e^{-i\frac{\pi}{2}}$ .

2. On applique les règles de calcul sur les exponentielles.

$\overline{z_2} = 4 e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ .
$z_1 z_2 = 4\sqrt{2}\, e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}\right)} = 4\sqrt{2}\, e^{i\frac{13\pi}{12}} = 4\sqrt{2}\, e^{-i\frac{11\pi}{12}}$ (on retire $2\pi$ ).
$\frac{z_2}{z_1} = \frac{4}{\sqrt{2}} e^{i\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)} = 2\sqrt{2}\, e^{i\frac{7\pi}{12}}$ .
$z_1 z_3 = 5\sqrt{2}\, e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\right)} = 5\sqrt{2}\, e^{-i\frac{\pi}{4}}$ .

Exercice 2 : Puissances avec Moivre

Facile

Calcule sous forme algébrique : $(1 + i)^8$ , $(1 - i\sqrt{3})^6$ et $(\sqrt{3} + i)^7$ .

Voir le corrigé

$1 + i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ , donc $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i\frac{8\pi}{4}} = 16 e^{2i\pi} = 16$ .
$1 - i\sqrt{3} = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$ , donc $(1 - i\sqrt{3})^6 = 2^6 e^{-2i\pi} = 64$ .
$\sqrt{3} + i = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$ , donc $(\sqrt{3} + i)^7 = 2^7 e^{i\frac{7\pi}{6}} = 128\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -64\sqrt{3} - 64i$ .

Développer ces puissances avec le binôme serait beaucoup plus long : dès que l'exposant dépasse 3, pense à la forme exponentielle.

Exercice 3 : Équations du second degré

Facile

Résous dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

$z^2 - 4z + 13 = 0$
$2z^2 + 2z + 1 = 0$ (donne aussi les solutions sous forme exponentielle)
$z^2 + 9 = 0$

Voir le corrigé

1. $\Delta = 16 - 52 = -36 = (6i)^2$ . Les solutions sont $z = \frac{4 \pm 6i}{2}$ , soit $z_1 = 2 - 3i$ et $z_2 = 2 + 3i$ . Contrôle : somme $4$ , produit $4 + 9 = 13$ .

2. $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . Les solutions sont $z = \frac{-2 \pm 2i}{4}$ , soit $z_1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$ et $z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ .

Module : $|z_2| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , donc $z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$ . Comme $z_1 = \overline{z_2}$ : $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ .

3. $z^2 = -9 = (3i)^2$ , donc $z = 3i$ ou $z = -3i$ .

Exercice 4 : Linéariser cos⁴x

Moyen

À l'aide des formules d'Euler, montre que pour tout réel $x$ : $\cos^4 x = \frac{\cos 4x + 4\cos 2x + 3}{8}$ .
Déduis-en la valeur exacte de $\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)$ .

Voir le corrigé

1. $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ , donc $\cos^4 x = \frac{\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^4}{16}$ . Le binôme (coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ ) donne :

\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^4 = e^{4ix} + 4e^{2ix} + 6 + 4e^{-2ix} + e^{-4ix}

On regroupe : $e^{4ix} + e^{-4ix} = 2\cos 4x$ et $4\left(e^{2ix} + e^{-2ix}\right) = 8\cos 2x$ . Donc :

\cos^4 x = \frac{2\cos 4x + 8\cos 2x + 6}{16} = \frac{\cos 4x + 4\cos 2x + 3}{8}

Contrôle pour $x = 0$ : $\frac{1 + 4 + 3}{8} = 1 = \cos^4 0$ .

2. Pour $x = \frac{\pi}{8}$ : $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ et $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Donc :

\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{0 + 2\sqrt{2} + 3}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}

Valeur approchée : $0{,}729$ , et en effet $\cos\frac{\pi}{8} \approx 0{,}924$ donne $0{,}924^4 \approx 0{,}729$ .

Exercice 5 : cos 3θ et une équation du troisième degré

Moyen

À l'aide de la formule de Moivre, exprime $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin 3\theta$ en fonction de $\sin\theta$ .
Déduis-en que le réel $\cos\frac{\pi}{9}$ est solution de l'équation $8x^3 - 6x - 1 = 0$ .

Voir le corrigé

1. On pose $c = \cos\theta$ et $s = \sin\theta$ . D'après Moivre, $\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (c + is)^3$ . On développe avec $(p + q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$ , en utilisant $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ :

(c + is)^3 = c^3 + 3ic^2 s - 3cs^2 - is^3 = (c^3 - 3cs^2) + i(3c^2 s - s^3)

On identifie les parties réelles et imaginaires, puis on utilise $s^2 = 1 - c^2$ et $c^2 = 1 - s^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

\sin 3\theta = 3(1 - s^2)s - s^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

2. Pour $\theta = \frac{\pi}{9}$ , on a $3\theta = \frac{\pi}{3}$ et $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ . Avec $x = \cos\frac{\pi}{9}$ :

4x^3 - 3x = \frac{1}{2} \iff 8x^3 - 6x - 1 = 0

Donc $\cos\frac{\pi}{9}$ est bien solution (valeur approchée $0{,}940$ ; on vérifie que $8 \times 0{,}940^3 - 6 \times 0{,}940 - 1 \approx 0$ ).

Exercice 6 : Rotation, homothétie, translation

Moyen

On considère les points $\Omega(1 + i)$ et $A(3 + i)$ .

Écris l'écriture complexe de la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ , puis calcule l'affixe de $R(A)$ .
Même question pour l'homothétie $h$ de centre $\Omega$ et de rapport $-2$ .
Calcule l'affixe de l'image de $A$ par la translation $t$ de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $2 - 3i$ .
Reconnais la transformation $T$ d'écriture complexe $z' = -z + 4$ .

Voir le corrigé

1. $z' - (1 + i) = e^{i\frac{\pi}{2}}\left(z - (1 + i)\right) = i(z - 1 - i)$ , donc $z' = iz - i + 1 + 1 + i$ , soit :

R : z' = iz + 2

$R(A)$ a pour affixe $i(3 + i) + 2 = 3i - 1 + 2 = 1 + 3i$ . Contrôle : $\Omega A = |2| = 2$ et $\Omega A' = |2i| = 2$ .

2. $z' - (1 + i) = -2\left(z - (1 + i)\right)$ , donc $z' = -2z + 2 + 2i + 1 + i$ , soit :

h : z' = -2z + 3 + 3i

$h(A)$ a pour affixe $-2(3 + i) + 3 + 3i = -6 - 2i + 3 + 3i = -3 + i$ . Contrôle : $\overrightarrow{\Omega A'}$ a pour affixe $-4$ , c'est bien $-2$ fois l'affixe $2$ de $\overrightarrow{\Omega A}$ .

3. $t : z' = z + 2 - 3i$ , donc $t(A)$ a pour affixe $3 + i + 2 - 3i = 5 - 2i$ .

4. Ici $a = -1$ est un réel différent de $1$ : $T$ est l'homothétie de rapport $-1$ et de centre $\omega = \frac{4}{1 - (-1)} = 2$ . En effet $z' - 2 = -z + 2 = -(z - 2)$ . C'est la symétrie centrale de centre le point d'affixe $2$ (ou la rotation de centre ce point et d'angle $\pi$ ).

Exercice 7 : Reconnaître une rotation

Difficile

Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$ , associe le point $M'(z')$ tel que :

z' = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \sqrt{3} - i

On note $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $b = \sqrt{3} - i$ .

Écris $a$ sous forme exponentielle, puis montre que $1 - a = e^{-i\frac{\pi}{3}}$ .
Détermine le nombre complexe $\omega$ tel que $\omega = a\omega + b$ .
Montre que pour tout $z$ : $z' - \omega = e^{i\frac{\pi}{3}}(z - \omega)$ , puis déduis-en la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.
Soit $O'$ l'image de l'origine $O$ par $f$ . Montre que le triangle $\Omega O O'$ est équilatéral, où $\Omega$ est le point d'affixe $\omega$ .

Voir le corrigé

1. $|a| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ , avec $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $a = e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Puis $1 - a = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$ .

2. $\omega = a\omega + b \iff \omega(1 - a) = b \iff \omega = \frac{b}{1 - a}$ (car $1 - a \neq 0$ ). Avec $b = \sqrt{3} - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ :

\omega = \frac{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}{e^{-i\frac{\pi}{3}}} = 2e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)} = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + i

Contrôle : $a\omega = 2e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i$ , et $2i + \sqrt{3} - i = \sqrt{3} + i = \omega$ .

3. On soustrait membre à membre $z' = az + b$ et $\omega = a\omega + b$ : $z' - \omega = a(z - \omega) = e^{i\frac{\pi}{3}}(z - \omega)$ . C'est l'écriture complexe de la rotation de centre $\Omega(\sqrt{3} + i)$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ : $f$ est cette rotation.

4. $z_{O'} = a \times 0 + b = \sqrt{3} - i$ . Par définition de la rotation, $\Omega O' = \Omega O$ et $(\overrightarrow{\Omega O}, \overrightarrow{\Omega O'}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$ : un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure $\frac{\pi}{3}$ est équilatéral.

Vérification par les distances : $\Omega O = |\sqrt{3} + i| = 2$ , $OO' = |\sqrt{3} - i| = 2$ et $\Omega O' = |(\sqrt{3} - i) - (\sqrt{3} + i)| = |-2i| = 2$ .

Exercice 8 : Équation, rotation et homothétie

Type Bac

1. Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2\sqrt{3}\,z + 4 = 0$ .

2. On pose $a = \sqrt{3} + i$ et $b = \sqrt{3} - i$ .

2. a) Écris $a$ et $b$ sous forme exponentielle.

2. b) Montre que $a^6 + b^6 = -128$ .

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , on considère les points $A(a)$ et $B(b)$ , et la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ .

3. a) Donne l'écriture complexe de $R$ .

3. b) Montre que $R(B) = A$ , puis déduis-en la nature du triangle $OAB$ .

4. Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ , et $C = h(O)$ .

4. a) Montre que l'affixe de $C$ est $c = -\sqrt{3} - i$ .

4. b) Calcule $\frac{c - b}{a - b}$ et déduis-en que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

4. c) Montre que $A$ , $B$ et $C$ sont sur un même cercle dont tu donneras le centre et le rayon.

Voir le corrigé

1. $\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 16 = 12 - 16 = -4 = (2i)^2$ . Les solutions sont :

z_1 = \frac{2\sqrt{3} - 2i}{2} = \sqrt{3} - i \qquad z_2 = \sqrt{3} + i

Contrôle : somme $2\sqrt{3}$ , produit $3 + 1 = 4$ .

2. a) $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$ et $a = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ . Comme $b = \overline{a}$ : $b = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ .

2. b) $a^6 = 2^6 e^{i\pi} = -64$ et $b^6 = 2^6 e^{-i\pi} = -64$ . Donc $a^6 + b^6 = -128$ .

3. a) Le centre est $O$ (affixe $0$ ) : $z' - 0 = e^{i\frac{\pi}{3}}(z - 0)$ , soit $R : z' = e^{i\frac{\pi}{3}} z$ .

3. b) $e^{i\frac{\pi}{3}} b = e^{i\frac{\pi}{3}} \times 2e^{-i\frac{\pi}{6}} = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = a$ , donc $R(B) = A$ . Ainsi $OA = OB$ et $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$ : le triangle $OAB$ est équilatéral (de côté $2$ ).

4. a) $h : z' - a = 2(z - a)$ . Pour $z = 0$ : $c = a - 2a = -a = -\sqrt{3} - i$ . On remarque que $O$ est le milieu de $[AC]$ .

4. b) $c - b = -\sqrt{3} - i - \sqrt{3} + i = -2\sqrt{3}$ et $a - b = 2i$ . Donc :

\frac{c - b}{a - b} = \frac{-2\sqrt{3}}{2i} = -\sqrt{3} \times \frac{1}{i} = -\sqrt{3} \times (-i) = i\sqrt{3}

Ce quotient est imaginaire pur non nul : $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) \equiv \arg(i\sqrt{3}) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$ , donc $(BA) \perp (BC)$ et le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ . On lit aussi $\frac{BC}{BA} = \sqrt{3}$ .

4. c) $OA = |a| = 2$ , $OB = |b| = 2$ et $OC = |c| = |-a| = 2$ . Les trois points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ . C'est cohérent : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , et $O$ est le milieu de l'hypoténuse $[AC]$ .

Exercice 9 : Un triangle inscrit dans le cercle unité

Type Bac

Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $]0 ; \pi[$ .

1. Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - (2\cos\theta)z + 1 = 0$ .

2. Dans le plan complexe, on considère les points $A(1)$ , $M(e^{i\theta})$ , $N(e^{-i\theta})$ et $P$ d'affixe $p = 1 + e^{i\theta}$ .

2. a) Montre que $p = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ , puis donne le module et un argument de $p$ .

2. b) Montre que $e^{i\theta} - 1 = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$ , puis déduis-en la distance $AM$ .

3. Montre que $MN = 2\sin\theta$ et que $AN = AM$ .

4. Détermine la valeur de $\theta$ pour laquelle le triangle $AMN$ est équilatéral.

5. Dans ce cas, on note $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ . Montre que $R(A) = M$ , $R(M) = N$ et $R(N) = A$ .

Voir le corrigé

1. Les coefficients sont réels. $\Delta = 4\cos^2\theta - 4 = -4\sin^2\theta$ . Comme $\theta \in ]0 ; \pi[$ , on a $\sin\theta > 0$ , donc $\Delta < 0$ et $\Delta = (2i\sin\theta)^2$ . Les solutions sont :

z = \frac{2\cos\theta \pm 2i\sin\theta}{2} = \cos\theta \pm i\sin\theta

soit $z_1 = e^{i\theta}$ et $z_2 = e^{-i\theta}$ . Contrôle : produit $e^{i\theta}e^{-i\theta} = 1$ , somme $2\cos\theta$ (formule d'Euler).

2. a) On factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et on utilise Euler :

p = 1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}

Comme $\frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on a $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ : c'est une forme exponentielle. Donc $|p| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et $\arg(p) \equiv \frac{\theta}{2} \ [2\pi]$ .

Lecture géométrique : $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OM}$ avec $OA = OM = 1$ , donc $OAPM$ est un losange et sa diagonale $(OP)$ partage l'angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ en deux.

2. b) De même :

e^{i\theta} - 1 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right) = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}

car $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ . Comme $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ : $AM = |e^{i\theta} - 1| = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ .

3. $MN = |e^{i\theta} - e^{-i\theta}| = |2i\sin\theta| = 2\sin\theta$ (car $\sin\theta > 0$ ). De plus $e^{-i\theta} - 1 = \overline{e^{i\theta} - 1}$ , et un nombre et son conjugué ont le même module : $AN = AM$ . Le triangle $AMN$ est donc toujours isocèle en $A$ .

4. Le triangle étant isocèle en $A$ , il est équilatéral si et seulement si $AM = MN$ . Avec $\sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ :

AM = MN \iff 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\theta \iff 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

Comme $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \neq 0$ , on divise : $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{2}$ . Avec $\frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on obtient $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{3}$ , soit $\theta = \frac{2\pi}{3}$ .

5. $R : z' = e^{i\frac{2\pi}{3}} z$ . Avec $\theta = \frac{2\pi}{3}$ :

$R(A)$ : $e^{i\frac{2\pi}{3}} \times 1 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ , c'est $M$ ;
$R(M)$ : $e^{i\frac{2\pi}{3}} \times e^{i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\frac{4\pi}{3}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ (on retire $2\pi$ ), c'est $N$ ;
$R(N)$ : $e^{i\frac{2\pi}{3}} \times e^{-i\frac{2\pi}{3}} = e^{0} = 1$ , c'est $A$ .

La rotation fait « tourner » le triangle sur lui-même : c'est une autre façon de voir qu'il est équilatéral, de centre $O$ .

QCM

1.La forme exponentielle de

-1 + i\sqrt{3}

est :

2.Le nombre

(1 + i)^{10}

est égal à :

3.Les solutions dans

\mathbb{C}

z^2 + 2z + 5 = 0

sont :

4.L'écriture complexe de la rotation de centre

\Omega(i)

et d'angle

\frac{\pi}{2}

est :

5.La transformation d'écriture

z' = -3z + 4i

est :

6.La linéarisation de

\sin^2 x

est :

7.Le nombre

e^{i\frac{\pi}{3}} + e^{-i\frac{\pi}{3}}

vaut :

8.Trois points vérifient

z_C - z_A = e^{-i\frac{\pi}{2}}(z_B - z_A)

. Alors le triangle

ABC

est :

Erreurs fréquentes

Écrire $e^{i\theta} + e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ : cette règle vaut pour le produit $e^{i\theta} \times e^{i\theta'}$ , jamais pour la somme.
Écrire la rotation sous la forme $z' = e^{i\theta}z + \omega$ : la bonne formule est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ , soit $z' = e^{i\theta}z + \omega(1 - e^{i\theta})$ .
Garder $\sqrt{\Delta}$ quand $\Delta < 0$ : ce symbole n'a pas de sens pour un réel négatif ; on écrit $\Delta = (i\sqrt{-\Delta})^2$ .
Oublier le module dans Moivre : $\left(r e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$ , et non $r e^{in\theta}$ .
Lire $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ comme une forme exponentielle sans vérifier le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ : s'il est négatif, l'argument devient $\frac{\theta}{2} + \pi$ .
Linéariser $\cos^2 x$ en $\frac{1 + \cos x}{2}$ : l'angle double, c'est $\frac{1 + \cos 2x}{2}$ .
Calculer le centre de $z' = az + b$ avec $\frac{b}{a - 1}$ : le point invariant vérifie $\omega = a\omega + b$ , donc $\omega = \frac{b}{1 - a}$ .
Croire que $z' = 2iz$ est une homothétie : le coefficient $2i$ n'est pas réel et son module n'est pas $1$ ; ce n'est ni une homothétie ni une rotation (et son étude est hors programme PC et SVT).

À retenir

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ .
Règles : $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ , $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$ , $\left(r e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$ (Moivre).
Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; ils servent à linéariser.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ et $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ .
Angle moitié : $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ et $e^{i\theta} - 1 = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ .
Si $\Delta < 0$ (coefficients réels), les solutions sont conjuguées : $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ; contrôle avec somme $-\frac{b}{a}$ et produit $\frac{c}{a}$ .
Translation $z' = z + b$ ; homothétie $z' - \omega = k(z - \omega)$ ; rotation $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
Pour $z' = az + b$ : $a = 1$ translation, $a$ réel différent de $1$ homothétie, $|a| = 1$ et $a \neq 1$ rotation d'angle $\arg(a)$ ; centre $\omega = \frac{b}{1 - a}$ , et alors $z' - \omega = a(z - \omega)$ .
$ABC$ équilatéral direct ( $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3}$ ) $\iff z_C - z_A = e^{i\frac{\pi}{3}}(z_B - z_A)$ .

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