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    2e Bac Sciences physiques (PC)

    Dipôle RC

    Cours complet sur le dipôle RC en 2e Bac PC : condensateur, capacité, charge et décharge, constante de temps RC, énergie, 10 exercices corrigés et QCM.

    • 60 min
    • 10 exercices corrigés
    • QCM de 8 questions

    Prérequis : Intensité et tension électriques, loi d'Ohm, équation différentielle y' = ay + b (cours de maths 2e Bac)

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    L'essentiel

    1. Le condensateur

    Un condensateur est un dipôle formé de deux armatures conductrices en regard, séparées par un isolant appelé diélectrique (air, papier, plastique, céramique…). Quand on le relie à un générateur, une armature, notée A, se charge positivement et l'autre, notée B, se charge négativement.

    Comme CC est constante, on obtient en dérivant q=C uCq = C\,u_C la relation entre l'intensité et la tension :

    2. Association de condensateurs

    On remplace plusieurs condensateurs par un seul, de capacité équivalente CeqC_{eq}, qui a la même charge pour la même tension.

    3. Charge à intensité constante

    Un générateur de courant impose une intensité constante I0I_0. Le condensateur étant initialement déchargé, on a q(t)=I0 tq(t) = I_0\,t, donc :

    uC(t)=I0C tu_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t

    La tension croît linéairement avec le temps : la courbe uC(t)u_C(t) est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur I0C\frac{I_0}{C}. Mesurer cette pente permet de déterminer la capacité CC.

    4. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension : la charge

    On associe en série un générateur idéal de tension EE, un conducteur ohmique de résistance RR, un condensateur de capacité CC et un interrupteur. Le condensateur est initialement déchargé : uC(0)=0u_C(0) = 0. À t=0t = 0, on ferme l'interrupteur.

    Équation différentielle. La loi d'additivité des tensions donne E=uR+uCE = u_R + u_C. Avec uR=R iu_R = R\,i et i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} :

    RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E

    Solution. On la met sous la forme duCdt=−1RC uC+ERC\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{RC}\,u_C + \frac{E}{RC}, du type y′=ay+by' = ay + b avec a=−1RCa = -\frac{1}{RC} et b=ERCb = \frac{E}{RC}. Les solutions sont uC(t)=A e−t/RC+Eu_C(t) = A\,e^{-t/RC} + E. La condition initiale uC(0)=0u_C(0) = 0 donne A=−EA = -E :

    On en déduit les autres grandeurs :

    q(t)=CE(1−e−t/τ)i(t)=ER e−t/τuR(t)=E e−t/τq(t) = C E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \qquad u_R(t) = E\,e^{-t/\tau}

    L'intensité est maximale à t=0+t = 0^+ : i(0+)=ERi(0^+) = \frac{E}{R}. Elle varie brusquement de 00 à ER\frac{E}{R} à la fermeture, alors que uCu_C reste continue. Quand t→+∞t \to +\infty, uC→Eu_C \to E et i→0i \to 0 : c'est le régime permanent.

    Voici les valeurs de uCu_C pendant la charge :

    tt00τ\tau2τ2\tau3τ3\tau4τ4\tau5τ5\tau
    uC/Eu_C / E0063,2 %63{,}2\ \%86,5 %86{,}5\ \%95,0 %95{,}0\ \%98,2 %98{,}2\ \%99,3 %99{,}3\ \%

    On considère que la charge est terminée au bout d'une durée de l'ordre de 5τ5\tau.

    5. La constante de temps

    Dimension. D'après uR=R iu_R = R\,i, on a [R]=[U] [I]−1[R] = [U]\,[I]^{-1}. D'après i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, on a [C]=[I] [T] [U]−1[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1}. Donc [RC]=[T][RC] = [T] : τ\tau a la dimension d'un temps et s'exprime en secondes (1 Ω×1 F=1 s1\,\Omega \times 1\,\text{F} = 1\,\text{s}).

    Détermination graphique de τ\tau, sur la courbe uC(t)u_C(t) de la charge :

    • la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale uC=Eu_C = E au point d'abscisse t=τt = \tau ;
    • τ\tau est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 0,63 E0{,}63\,E.

    6. La décharge

    Le condensateur est chargé sous la tension EE : uC(0)=Eu_C(0) = E. À t=0t = 0, on le relie au seul conducteur ohmique RR (échelon descendant : le générateur n'est plus dans le circuit). La loi d'additivité des tensions donne uR+uC=0u_R + u_C = 0, soit :

    RC duCdt+uC=0RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0

    On en déduit :

    q(t)=CE e−t/τi(t)=C duCdt=−ER e−t/τuR(t)=−E e−t/τq(t) = C E\,e^{-t/\tau} \qquad i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \qquad u_R(t) = -E\,e^{-t/\tau}

    L'intensité est négative : le courant circule en sens inverse de celui de la charge. Après la durée τ\tau, la tension est uC(τ)=E e−1≈0,37 Eu_C(\tau) = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E ; la décharge est pratiquement terminée après 5τ5\tau. Sur la courbe uC(t)u_C(t), la tangente à l'origine coupe l'axe des temps au point d'abscisse t=τt = \tau.

    7. Énergie emmagasinée

    La puissance reçue par le condensateur est p=uC i=C uC duCdt=ddt(12 C uC2)p = u_C\,i = C\,u_C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\,C\,u_C^{2}\right). L'énergie reçue est donc stockée :

    L'énergie EeE_e est une fonction continue du temps, car uCu_C est continue. À la fin de la charge, elle vaut 12 C E2\frac{1}{2}\,C\,E^{2}. Pendant la décharge, cette énergie est restituée au circuit et dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique.

    Méthodes

    Méthode 1 : Établir l'équation différentielle de uCu_C

    1. Flèche la tension uCu_C et l'intensité ii en convention récepteur pour le condensateur, et la tension uRu_R pour le conducteur ohmique.
    2. Écris la loi d'additivité des tensions : E=uR+uCE = u_R + u_C pour la charge, 0=uR+uC0 = u_R + u_C pour la décharge.
    3. Remplace uR=R iu_R = R\,i et i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}.
    4. Ordonne : RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E (ou 00).

    Méthode 2 : Vérifier qu'une fonction est solution et identifier τ\tau

    1. Écris la fonction proposée, par exemple uC=A e−t/τ+Bu_C = A\,e^{-t/\tau} + B, et calcule sa dérivée : duCdt=−Aτ e−t/τ\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{A}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
    2. Remplace dans l'équation différentielle RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E et regroupe : A e−t/τ(1−RCτ)+B=EA\,e^{-t/\tau}\left(1 - \frac{RC}{\tau}\right) + B = E.
    3. Cette égalité est vraie pour tout tt. Le terme en exponentielle doit donc être nul : τ=RC\tau = RC. Le terme constant donne B=EB = E.
    4. Détermine AA avec la condition initiale : uC(0)=A+E=0u_C(0) = A + E = 0 donne A=−EA = -E.

    Méthode 3 : Déterminer τ\tau graphiquement, puis RR ou CC

    1. Repère l'asymptote horizontale et lis EE.
    2. Trace la tangente à l'origine : son intersection avec l'asymptote a pour abscisse τ\tau. Ou bien cherche l'abscisse du point d'ordonnée 0,63 E0{,}63\,E.
    3. Déduis la grandeur inconnue avec τ=RC\tau = RC.

    Méthode 4 : Calculer une durée ou une tension

    1. Pour la charge, isole l'exponentielle dans uC=E(1−e−t/τ)u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) : t=−τ ln⁡(1−uCE)t = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{u_C}{E}\right).
    2. Pour la décharge, dans uC=E e−t/τu_C = E\,e^{-t/\tau} : t=τ ln⁡(EuC)t = \tau\,\ln\left(\frac{E}{u_C}\right).
    3. Vérifie que le résultat est cohérent avec la valeur de τ\tau (de l'ordre de τ\tau, pas de 100 τ100\,\tau).

    Méthode 5 : Utiliser la continuité et le régime permanent

    1. Juste après la fermeture (t=0+t = 0^+) : uCu_C garde sa valeur d'avant. On en déduit uRu_R avec la loi des mailles, puis i=uRRi = \frac{u_R}{R}.
    2. En régime permanent : i=0i = 0, donc uR=0u_R = 0 et, pour la charge, uC=Eu_C = E.
    3. Ne suppose jamais que ii est continue.

    Exercices corrigés

    Exercice 1 : Capacité, charge et énergie

    Facile

    Un condensateur de capacité C=4,7 μFC = 4{,}7\,\mu\text{F} est soumis à la tension uC=12 Vu_C = 12\,\text{V}.

    1. Calcule la charge qq de son armature positive.
    2. Calcule l'énergie qu'il emmagasine.
    3. On double la tension. Comment varient la charge et l'énergie ? Calcule la nouvelle énergie.
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    1) q=C uC=4,7×10−6×12=5,6×10−5 Cq = C\,u_C = 4{,}7\times 10^{-6} \times 12 = 5{,}6\times 10^{-5}\,\text{C}, soit 56 μC56\,\mu\text{C}.

    2) Ee=12 C uC2=12×4,7×10−6×122=3,4×10−4 JE_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{1}{2} \times 4{,}7\times 10^{-6} \times 12^{2} = 3{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}.

    3) La charge est proportionnelle à la tension : elle est doublée, q′=1,1×10−4 Cq' = 1{,}1\times 10^{-4}\,\text{C}. L'énergie est proportionnelle au carré de la tension : elle est multipliée par 4. Ee′=12×4,7×10−6×242=1,4×10−3 JE_e' = \frac{1}{2} \times 4{,}7\times 10^{-6} \times 24^{2} = 1{,}4\times 10^{-3}\,\text{J}.

    Exercice 2 : Constante de temps et durée de charge

    Facile

    Un condensateur de capacité C=2,2 μFC = 2{,}2\,\mu\text{F}, initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance R=10 kΩR = 10\,\text{k}\Omega par un générateur idéal de tension E=5,0 VE = 5{,}0\,\text{V}.

    1. Calcule la constante de temps τ\tau et vérifie par une analyse dimensionnelle que RCRC est homogène à un temps.
    2. Calcule uCu_C aux dates τ\tau, 3τ3\tau et 5τ5\tau.
    3. On remplace RR par 47 kΩ47\,\text{k}\Omega. Calcule la nouvelle constante de temps et compare les durées de charge (5τ5\tau) dans les deux cas.
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    1) τ=RC=1,0×104×2,2×10−6=2,2×10−2 s=22 ms\tau = RC = 1{,}0\times 10^{4} \times 2{,}2\times 10^{-6} = 2{,}2\times 10^{-2}\,\text{s} = 22\,\text{ms}. Dimension : uR=R iu_R = R\,i donne [R]=[U] [I]−1[R] = [U]\,[I]^{-1} ; i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} donne [C]=[I] [T] [U]−1[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1}. Donc [RC]=[U] [I]−1×[I] [T] [U]−1=[T][RC] = [U]\,[I]^{-1} \times [I]\,[T]\,[U]^{-1} = [T] : c'est bien un temps.

    2) On utilise uC=E(1−e−t/τ)u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right).

    • uC(τ)=5,0(1−e−1)=3,2 Vu_C(\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-1}\right) = 3{,}2\,\text{V} ;
    • uC(3τ)=5,0(1−e−3)=4,8 Vu_C(3\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-3}\right) = 4{,}8\,\text{V} ;
    • uC(5τ)=5,0(1−e−5)=5,0 Vu_C(5\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-5}\right) = 5{,}0\,\text{V} : le condensateur est pratiquement chargé.

    3) τ′=4,7×104×2,2×10−6=0,10 s\tau' = 4{,}7\times 10^{4} \times 2{,}2\times 10^{-6} = 0{,}10\,\text{s}. La durée de charge passe de 5τ=0,11 s5\tau = 0{,}11\,\text{s} à 5τ′=0,52 s5\tau' = 0{,}52\,\text{s} : elle est multipliée par 4,74{,}7, comme la résistance.

    Exercice 3 : Association de condensateurs

    Facile

    On dispose de deux condensateurs initialement déchargés, de capacités C1=6,0 μFC_1 = 6{,}0\,\mu\text{F} et C2=3,0 μFC_2 = 3{,}0\,\mu\text{F}.

    1. Calcule la capacité équivalente de leur association en série, puis en dérivation.
    2. L'association en série est soumise à la tension U=18 VU = 18\,\text{V}. Calcule la charge de chaque condensateur et la tension à ses bornes.
    3. L'association en dérivation est soumise à la même tension U=18 VU = 18\,\text{V}. Calcule la charge de chaque condensateur.
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    1) En série : 1Ceq=16,0+13,0=36,0\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6{,}0} + \frac{1}{3{,}0} = \frac{3}{6{,}0}, donc Ceq=2,0 μFC_{eq} = 2{,}0\,\mu\text{F}. En dérivation : Ceq′=C1+C2=9,0 μFC_{eq}' = C_1 + C_2 = 9{,}0\,\mu\text{F}.

    2) En série, les deux condensateurs portent la même charge : q=Ceq U=2,0×10−6×18=3,6×10−5 C=36 μCq = C_{eq}\,U = 2{,}0\times 10^{-6} \times 18 = 3{,}6\times 10^{-5}\,\text{C} = 36\,\mu\text{C}. Les tensions sont u1=qC1=366,0=6,0 Vu_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{36}{6{,}0} = 6{,}0\,\text{V} et u2=qC2=363,0=12 Vu_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{36}{3{,}0} = 12\,\text{V}. On vérifie : u1+u2=18 V=Uu_1 + u_2 = 18\,\text{V} = U.

    3) En dérivation, la tension est la même : q1=C1 U=6,0×18=108 μCq_1 = C_1\,U = 6{,}0 \times 18 = 108\,\mu\text{C} et q2=C2 U=3,0×18=54 μCq_2 = C_2\,U = 3{,}0 \times 18 = 54\,\mu\text{C}. La charge totale est 162 μC=Ceq′ U=9,0×18162\,\mu\text{C} = C_{eq}'\,U = 9{,}0 \times 18.

    Exercice 4 : Charge à intensité constante

    Moyen

    Un générateur de courant impose l'intensité constante I0=20 μAI_0 = 20\,\mu\text{A} dans un condensateur de capacité inconnue CC, initialement déchargé. On mesure la tension uCu_C à différentes dates :

    tt (s)002020404060608080
    uCu_C (V)000,850{,}851,701{,}702,552{,}553,403{,}40
    1. Montre que uC(t)=I0C tu_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t et explique pourquoi la courbe uC(t)u_C(t) est une droite passant par l'origine.
    2. Calcule le coefficient directeur de la droite, puis la capacité CC.
    3. Calcule la charge et l'énergie emmagasinée à t=60 st = 60\,\text{s}.
    4. À quelle date la tension atteint-elle 5,0 V5{,}0\,\text{V} ?
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    1) Comme i=dqdt=I0i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = I_0 est constante et que q(0)=0q(0) = 0, on a q(t)=I0 tq(t) = I_0\,t. Avec q=C uCq = C\,u_C : uC(t)=I0C tu_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t. C'est une fonction linéaire de tt : sa courbe est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur I0C\frac{I_0}{C}.

    2) Coefficient directeur : 3,40−080−0=4,25×10−2 V.s−1\frac{3{,}40 - 0}{80 - 0} = 4{,}25\times 10^{-2}\,\text{V.s}^{-1}. Donc C=I0pente=20×10−64,25×10−2=4,7×10−4 F=470 μFC = \frac{I_0}{\text{pente}} = \frac{20\times 10^{-6}}{4{,}25\times 10^{-2}} = 4{,}7\times 10^{-4}\,\text{F} = 470\,\mu\text{F}.

    3) q=I0 t=20×10−6×60=1,2×10−3 Cq = I_0\,t = 20\times 10^{-6} \times 60 = 1{,}2\times 10^{-3}\,\text{C}. Ee=q22C=(1,2×10−3)22×4,7×10−4=1,5×10−3 JE_e = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{\left(1{,}2\times 10^{-3}\right)^{2}}{2 \times 4{,}7\times 10^{-4}} = 1{,}5\times 10^{-3}\,\text{J}.

    4) t=C uCI0=4,7×10−4×5,020×10−6=1,2×102 st = \frac{C\,u_C}{I_0} = \frac{4{,}7\times 10^{-4} \times 5{,}0}{20\times 10^{-6}} = 1{,}2\times 10^{2}\,\text{s}, soit environ 22 minutes.

    Exercice 5 : Charge dans un circuit RC

    Moyen

    Un condensateur de capacité C=100 μFC = 100\,\mu\text{F}, initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance R=1,0 kΩR = 1{,}0\,\text{k}\Omega par un générateur idéal de tension E=6,0 VE = 6{,}0\,\text{V}.

    1. Établis l'équation différentielle vérifiée par uCu_C et calcule la constante de temps τ\tau.
    2. Résous cette équation avec la condition initiale uC(0)=0u_C(0) = 0.
    3. Donne l'expression de i(t)i(t) et calcule i(0+)i(0^+).
    4. Calcule uCu_C à la date t=0,25 st = 0{,}25\,\text{s}.
    5. À quelle date uC=4,0 Vu_C = 4{,}0\,\text{V} ?
    6. Au bout de quelle durée la tension atteint-elle 99 %99\ \% de EE ? Compare à 5τ5\tau.
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    1) E=uR+uC=R i+uCE = u_R + u_C = R\,i + u_C et i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, donc RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E. Ici τ=RC=1,0×103×1,0×10−4=0,10 s\tau = RC = 1{,}0\times 10^{3} \times 1{,}0\times 10^{-4} = 0{,}10\,\text{s}.

    2) On écrit duCdt=−10 uC+60\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -10\,u_C + 60. Les solutions sont uC(t)=α e−10t+6,0u_C(t) = \alpha\,e^{-10t} + 6{,}0. Avec uC(0)=0u_C(0) = 0 : α=−6,0\alpha = -6{,}0, donc uC(t)=6,0(1−e−10t)u_C(t) = 6{,}0\left(1 - e^{-10t}\right) en volts.

    3) i=C duCdt=1,0×10−4×60 e−10t=6,0×10−3 e−10ti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 1{,}0\times 10^{-4} \times 60\,e^{-10t} = 6{,}0\times 10^{-3}\,e^{-10t} en ampères. i(0+)=6,0 mAi(0^+) = 6{,}0\,\text{mA}, qui est bien ER\frac{E}{R}.

    4) uC(0,25)=6,0(1−e−2,5)=5,5 Vu_C(0{,}25) = 6{,}0\left(1 - e^{-2{,}5}\right) = 5{,}5\,\text{V}.

    5) 6,0(1−e−10t)=4,0  ⟺  e−10t=13  ⟺  t=ln⁡310=0,11 s6{,}0\left(1 - e^{-10t}\right) = 4{,}0 \iff e^{-10t} = \frac{1}{3} \iff t = \frac{\ln 3}{10} = 0{,}11\,\text{s}.

    6) 1−e−10t=0,99  ⟺  e−10t=0,01  ⟺  t=ln⁡10010=0,46 s1 - e^{-10t} = 0{,}99 \iff e^{-10t} = 0{,}01 \iff t = \frac{\ln 100}{10} = 0{,}46\,\text{s}, soit 4,6 τ4{,}6\,\tau. C'est cohérent avec la durée de charge d'environ 5τ=0,50 s5\tau = 0{,}50\,\text{s}.

    Exercice 6 : Lecture d'un enregistrement

    Moyen

    Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance R=22 kΩR = 22\,\text{k}\Omega par un générateur idéal de tension EE. Un oscilloscope donne la tension uCu_C :

    tt (ms)0010102020303040406060100100150150500500
    uCu_C (V)001,181{,}182,052{,}052,692{,}693,163{,}163,773{,}774,284{,}284,454{,}454,504{,}50
    1. Quelle est la valeur de EE ? Justifie.
    2. Calcule 0,63 E0{,}63\,E et détermine τ\tau par interpolation linéaire entre deux points du tableau.
    3. Déduis la capacité CC.
    4. Calcule le coefficient directeur de la tangente à l'origine et l'intensité i(0+)i(0^+).
    5. Vérifie que la valeur de uCu_C à t=3τt = 3\tau est cohérente avec le tableau.
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    1) Les dernières valeurs n'évoluent presque plus (4,45 V4{,}45\,\text{V} à 150 ms150\,\text{ms}, 4,50 V4{,}50\,\text{V} à 500 ms500\,\text{ms}) : la courbe a atteint son asymptote, c'est le régime permanent. Alors i=0i = 0, donc uR=0u_R = 0 et uC=Eu_C = E. Donc E=4,50 VE = 4{,}50\,\text{V}.

    2) 0,63 E=0,63×4,50=2,835 V0{,}63\,E = 0{,}63 \times 4{,}50 = 2{,}835\,\text{V}. Cette valeur est comprise entre 2,69 V2{,}69\,\text{V} (à 30 ms30\,\text{ms}) et 3,16 V3{,}16\,\text{V} (à 40 ms40\,\text{ms}). Par interpolation linéaire : t=30+10×2,835−2,693,16−2,69=33 mst = 30 + 10 \times \frac{2{,}835 - 2{,}69}{3{,}16 - 2{,}69} = 33\,\text{ms}. Donc τ≈33 ms\tau \approx 33\,\text{ms}.

    3) C=τR=33×10−322×103=1,5×10−6 F=1,5 μFC = \frac{\tau}{R} = \frac{33\times 10^{-3}}{22\times 10^{3}} = 1{,}5\times 10^{-6}\,\text{F} = 1{,}5\,\mu\text{F}.

    4) La tangente à l'origine passe par (0 ; 0)(0\,;\,0) et par (τ ; E)(\tau\,;\,E). Son coefficient directeur est Eτ=4,5033=0,14 V.ms−1\frac{E}{\tau} = \frac{4{,}50}{33} = 0{,}14\,\text{V.ms}^{-1}, soit 1,4×102 V.s−11{,}4\times 10^{2}\,\text{V.s}^{-1}. À t=0+t = 0^+, uC=0u_C = 0 donc i(0+)=ER=4,5022×103=2,0×10−4 A=0,20 mAi(0^+) = \frac{E}{R} = \frac{4{,}50}{22\times 10^{3}} = 2{,}0\times 10^{-4}\,\text{A} = 0{,}20\,\text{mA}.

    5) 3τ=99 ms3\tau = 99\,\text{ms} et uC(3τ)=4,50(1−e−3)=4,28 Vu_C(3\tau) = 4{,}50\left(1 - e^{-3}\right) = 4{,}28\,\text{V}. Le tableau donne bien 4,28 V4{,}28\,\text{V} à t=100 mst = 100\,\text{ms}.

    Exercice 7 : Décharge et énergie

    Moyen

    Un condensateur de capacité C=200 μFC = 200\,\mu\text{F} est chargé sous la tension E=9,0 VE = 9{,}0\,\text{V}. À t=0t = 0, on le relie aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance R=5,0 kΩR = 5{,}0\,\text{k}\Omega.

    1. Établis l'équation différentielle de la décharge et écris la solution uC(t)u_C(t).
    2. Calcule la constante de temps τ\tau, puis uCu_C à la date t=2,0 st = 2{,}0\,\text{s}.
    3. Calcule l'intensité i(0+)i(0^+) et interprète son signe.
    4. Calcule l'énergie initialement emmagasinée, puis l'énergie restante à t=2,0 st = 2{,}0\,\text{s}.
    5. À quelle date l'énergie emmagasinée est-elle divisée par 2 ?
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    1) Pour la décharge, uR+uC=0u_R + u_C = 0, soit RC duCdt+uC=0RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0. La solution avec uC(0)=Eu_C(0) = E est uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,e^{-t/\tau}.

    2) τ=RC=5,0×103×200×10−6=1,0 s\tau = RC = 5{,}0\times 10^{3} \times 200\times 10^{-6} = 1{,}0\,\text{s}. uC(2,0)=9,0 e−2,0=1,2 Vu_C(2{,}0) = 9{,}0\,e^{-2{,}0} = 1{,}2\,\text{V}.

    3) i(t)=C duCdt=−ER e−t/τi(t) = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}, donc i(0+)=−9,05,0×103=−1,8×10−3 A=−1,8 mAi(0^+) = -\frac{9{,}0}{5{,}0\times 10^{3}} = -1{,}8\times 10^{-3}\,\text{A} = -1{,}8\,\text{mA}. Le signe négatif signifie que le courant circule en sens inverse du sens positif choisi pour la charge : le condensateur joue le rôle de générateur.

    4) Ee(0)=12 C E2=12×200×10−6×9,02=8,1×10−3 JE_e(0) = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 200\times 10^{-6} \times 9{,}0^{2} = 8{,}1\times 10^{-3}\,\text{J}. À t=2,0 st = 2{,}0\,\text{s} : Ee=12 C uC2=12×200×10−6×1,2182=1,5×10−4 JE_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{1}{2} \times 200\times 10^{-6} \times 1{,}218^{2} = 1{,}5\times 10^{-4}\,\text{J}, soit Ee(0) e−4E_e(0)\,e^{-4}, environ 1,8 %1{,}8\ \% de l'énergie initiale.

    5) Ee(t)=12 C E2 e−2t/τE_e(t) = \frac{1}{2}\,C\,E^{2}\,e^{-2t/\tau}. On veut e−2t/τ=12e^{-2t/\tau} = \frac{1}{2}, donc t=τ2 ln⁡2=0,35 st = \frac{\tau}{2}\,\ln 2 = 0{,}35\,\text{s}. L'énergie diminue plus vite que la tension, car elle dépend de uC2u_C^{2}.

    Exercice 8 : Minuterie d'éclairage

    Difficile

    Dans une minuterie, un condensateur de capacité C=470 μFC = 470\,\mu\text{F}, initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique RR par une source idéale de tension E=9,0 VE = 9{,}0\,\text{V}. Un comparateur éteint la lampe quand la tension uCu_C atteint Us=6,0 VU_s = 6{,}0\,\text{V}.

    1. Exprime la durée d'allumage tst_s en fonction de RR, CC, EE et UsU_s.
    2. Calcule la résistance RR pour obtenir ts=30 st_s = 30\,\text{s}.
    3. On ne dispose que d'une résistance de 56 kΩ56\,\text{k}\Omega. Calcule la durée obtenue.
    4. La capacité de ce condensateur est connue à ±20 %\pm 20\ \%. Donne l'intervalle dans lequel se trouve la durée tst_s avec R=56 kΩR = 56\,\text{k}\Omega.
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    1) uC(t)=E(1−e−t/RC)u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right). La condition uC(ts)=Usu_C(t_s) = U_s donne e−ts/RC=1−UsE=E−UsEe^{-t_s/RC} = 1 - \frac{U_s}{E} = \frac{E - U_s}{E}, donc :

    ts=RC ln⁡(EE−Us)t_s = RC\,\ln\left(\frac{E}{E - U_s}\right)

    2) ln⁡(9,03,0)=ln⁡3=1,0986\ln\left(\frac{9{,}0}{3{,}0}\right) = \ln 3 = 1{,}0986. Donc R=tsC ln⁡3=30470×10−6×1,0986=5,8×104 Ω=58 kΩR = \frac{t_s}{C\,\ln 3} = \frac{30}{470\times 10^{-6} \times 1{,}0986} = 5{,}8\times 10^{4}\,\Omega = 58\,\text{k}\Omega.

    3) ts=56×103×470×10−6×1,0986=28,9 st_s = 56\times 10^{3} \times 470\times 10^{-6} \times 1{,}0986 = 28{,}9\,\text{s}, soit environ 29 s29\,\text{s}.

    4) La durée tst_s est proportionnelle à CC. Avec −20 %-20\ \% : 0,8×28,9=23 s0{,}8 \times 28{,}9 = 23\,\text{s}. Avec +20 %+20\ \% : 1,2×28,9=35 s1{,}2 \times 28{,}9 = 35\,\text{s}. La durée est donc comprise entre 23 s23\,\text{s} et 35 s35\,\text{s} : avec une telle tolérance, la durée d'allumage est imprécise.

    Exercice 9 : Flash d'appareil photo

    Type Bac

    Pour étudier la charge du condensateur d'un flash, on réalise le montage suivant : un générateur idéal de tension E=12 VE = 12\,\text{V}, un conducteur ohmique de résistance R=2,0 kΩR = 2{,}0\,\text{k}\Omega, un condensateur de capacité CC inconnue, initialement déchargé, et un interrupteur KK, tous en série. À t=0t = 0, on ferme KK. On enregistre uC(t)u_C(t). La tangente à la courbe à l'origine coupe l'asymptote horizontale à la date t=0,60 st = 0{,}60\,\text{s}.

    1. Établis l'équation différentielle vérifiée par uC(t)u_C(t).
    2. La solution est de la forme uC(t)=A(1−e−αt)u_C(t) = A\left(1 - e^{-\alpha t}\right). Détermine AA et α\alpha en fonction de EE, RR et CC.
    3. Montre par analyse dimensionnelle que le produit RCRC est homogène à un temps.
    4. Détermine graphiquement la constante de temps τ\tau, puis la capacité CC.
    5. Donne l'expression de i(t)i(t), puis calcule i(0+)i(0^+) et i(τ)i(\tau).
    6. Calcule l'énergie emmagasinée par le condensateur en fin de charge.
    7. À quelle date l'énergie emmagasinée vaut-elle la moitié de sa valeur finale ?
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    1) Loi d'additivité des tensions : E=uR+uC=R i+uCE = u_R + u_C = R\,i + u_C. Avec i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} :

    RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E

    2) On a duCdt=Aα e−αt\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = A\alpha\,e^{-\alpha t}. En remplaçant : RC Aα e−αt+A−A e−αt=ERC\,A\alpha\,e^{-\alpha t} + A - A\,e^{-\alpha t} = E, soit A e−αt(RC α−1)+A=EA\,e^{-\alpha t}\left(RC\,\alpha - 1\right) + A = E. Cette égalité est vraie pour tout tt : le terme en exponentielle est nul, donc α=1RC\alpha = \frac{1}{RC}, et A=EA = E. Ainsi uC(t)=E(1−e−t/RC)u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right) et τ=RC\tau = RC.

    3) [R]=[U] [I]−1[R] = [U]\,[I]^{-1} (car uR=R iu_R = R\,i) et [C]=[I] [T] [U]−1[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1} (car i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}). Donc [RC]=[T][RC] = [T] : RCRC est homogène à un temps.

    4) L'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote est τ\tau : τ=0,60 s\tau = 0{,}60\,\text{s}. Donc C=τR=0,602,0×103=3,0×10−4 F=3,0×102 μFC = \frac{\tau}{R} = \frac{0{,}60}{2{,}0\times 10^{3}} = 3{,}0\times 10^{-4}\,\text{F} = 3{,}0\times 10^{2}\,\mu\text{F}.

    5) i=C duCdt=ER e−t/τi = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}. i(0+)=122,0×103=6,0×10−3 A=6,0 mAi(0^+) = \frac{12}{2{,}0\times 10^{3}} = 6{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = 6{,}0\,\text{mA}. i(τ)=6,0 e−1=2,2 mAi(\tau) = 6{,}0\,e^{-1} = 2{,}2\,\text{mA}.

    6) En fin de charge, uC=Eu_C = E : Ee=12 C E2=12×3,0×10−4×122=2,2×10−2 JE_e = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 3{,}0\times 10^{-4} \times 12^{2} = 2{,}2\times 10^{-2}\,\text{J}.

    7) Ee=12 C uC2E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} vaut la moitié de 12 C E2\frac{1}{2}\,C\,E^{2} quand uC2=E22u_C^{2} = \frac{E^{2}}{2}, c'est-à-dire uC=E2u_C = \frac{E}{\sqrt{2}}. Alors 1−e−t/τ=121 - e^{-t/\tau} = \frac{1}{\sqrt{2}}, donc t=−τ ln⁡(1−12)=−0,60×ln⁡(0,293)=0,74 st = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -0{,}60 \times \ln(0{,}293) = 0{,}74\,\text{s}.

    Exercice 10 : Charge puis décharge d'un condensateur

    Type Bac

    Un générateur idéal de tension E=10 VE = 10\,\text{V}, un conducteur ohmique de résistance R=5,0 kΩR = 5{,}0\,\text{k}\Omega et un condensateur de capacité C=2,0 μFC = 2{,}0\,\mu\text{F} sont reliés par un interrupteur KK à deux positions. Position 1 : le générateur, RR et CC sont en série (charge). Position 2 : RR et CC sont reliés seuls (décharge). Le condensateur est initialement déchargé. À t=0t = 0, on place KK en position 1.

    1. Charge : établis l'équation différentielle vérifiée par uCu_C, donne sa solution et calcule la constante de temps τ\tau.
    2. Calcule la durée t99t_{99} au bout de laquelle uCu_C atteint 99 %99\ \% de EE.
    3. À la date t1=60 mst_1 = 60\,\text{ms}, on bascule KK en position 2. On prend une nouvelle origine des dates : t′=t−t1t' = t - t_1. Vérifie que le condensateur peut être considéré comme chargé à t1t_1, puis établis l'équation différentielle de la décharge et donne uC(t′)u_C(t').
    4. Donne l'expression de i(t′)i(t') pendant la décharge, calcule i(0+)i(0^+) et interprète le signe.
    5. Calcule l'énergie dissipée par effet Joule dans RR pendant la décharge.
    6. À quelle date t′t' la tension uCu_C vaut-elle 2,0 V2{,}0\,\text{V} ?
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    1) E=R i+uCE = R\,i + u_C avec i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} donne RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E. Avec uC(0)=0u_C(0) = 0, la solution est uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), avec τ=RC=5,0×103×2,0×10−6=1,0×10−2 s=10 ms\tau = RC = 5{,}0\times 10^{3} \times 2{,}0\times 10^{-6} = 1{,}0\times 10^{-2}\,\text{s} = 10\,\text{ms}.

    2) 1−e−t/τ=0,99  ⟺  e−t/τ=0,01  ⟺  t99=τ ln⁡100=46 ms1 - e^{-t/\tau} = 0{,}99 \iff e^{-t/\tau} = 0{,}01 \iff t_{99} = \tau\,\ln 100 = 46\,\text{ms}, soit 4,6 τ4{,}6\,\tau.

    3) À t1=60 ms=6τt_1 = 60\,\text{ms} = 6\tau : uC=10(1−e−6)=9,98 Vu_C = 10\left(1 - e^{-6}\right) = 9{,}98\,\text{V}, qui est pratiquement EE : le condensateur est chargé. En position 2, uR+uC=0u_R + u_C = 0, donc RC duCdt+uC=0RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0. Avec uC(t′=0)=Eu_C(t' = 0) = E (continuité de uCu_C), la solution est uC(t′)=E e−t′/τu_C(t') = E\,e^{-t'/\tau}.

    4) i(t′)=C duCdt′=−ER e−t′/τi(t') = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t'} = -\frac{E}{R}\,e^{-t'/\tau}. i(0+)=−105,0×103=−2,0×10−3 A=−2,0 mAi(0^+) = -\frac{10}{5{,}0\times 10^{3}} = -2{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = -2{,}0\,\text{mA}. Le signe négatif indique que le courant circule en sens inverse de celui de la charge : le condensateur se comporte en générateur. À la bascule, ii passe brusquement d'une valeur pratiquement nulle (fin de charge) à −2,0 mA-2{,}0\,\text{mA}, alors que uCu_C reste continue.

    5) Toute l'énergie du condensateur est dissipée dans RR : EJ=12 C E2=12×2,0×10−6×102=1,0×10−4 JE_J = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 2{,}0\times 10^{-6} \times 10^{2} = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{J}.

    6) E e−t′/τ=2,0  ⟺  t′=τ ln⁡(E2,0)=10×ln⁡5=16 msE\,e^{-t'/\tau} = 2{,}0 \iff t' = \tau\,\ln\left(\frac{E}{2{,}0}\right) = 10 \times \ln 5 = 16\,\text{ms}.

    QCM

    Question 1.Dans le système international, la capacité d'un condensateur s'exprime en :
    Question 2.Pour un condensateur en convention récepteur, l'intensité s'écrit :
    Question 3.À la fermeture de l'interrupteur dans un circuit RC série, quelle grandeur est continue ?
    Question 4.Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé, à la date t=τt = \tau la tension uCu_C vaut environ :
    Question 5.L'équation différentielle de la charge d'un condensateur sous un échelon EE est :
    Question 6.Avec R=2,0 kΩR = 2{,}0\,\text{k}\Omega et C=5,0 μFC = 5{,}0\,\mu\text{F}, la constante de temps vaut :
    Question 7.On double la tension aux bornes d'un condensateur. L'énergie qu'il emmagasine est :
    Question 8.Deux condensateurs de capacité 6,0 μF6{,}0\,\mu\text{F} chacun sont associés en série. La capacité équivalente est :

    Erreurs fréquentes

    • Écrire i=qCi = \frac{q}{C} ou i=C uCi = C\,u_C. La bonne relation est i=C duCdti = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, et q=C uCq = C\,u_C relie la charge à la tension.
    • Croire que l'intensité est continue à la fermeture de l'interrupteur. C'est uCu_C qui est continue ; ii passe brusquement de 00 à ER\frac{E}{R} dans la charge.
    • Oublier le signe de l'intensité pendant la décharge : i(t)=−ER e−t/τi(t) = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} est négative avec le sens de la charge.
    • Mélanger les deux valeurs de repère : en charge uC(τ)=0,63 Eu_C(\tau) = 0{,}63\,E, en décharge uC(τ)=0,37 Eu_C(\tau) = 0{,}37\,E.
    • Appliquer à la décharge la méthode de la charge : en décharge, la tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t=τt = \tau, et non l'asymptote uC=Eu_C = E (l'asymptote est l'axe des temps).
    • Écrire l'équation de la décharge avec EE au second membre. Pour la décharge, le second membre est 00.
    • Calculer τ=RC\tau = RC sans convertir les unités (µF, kΩ). Convertis en F et en Ω\Omega avant de calculer.
    • Écrire Ee=12 C uCE_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C : il manque le carré. Doubler la tension multiplie l'énergie par 44.
    • Confondre EE, la tension du générateur, avec EeE_e, l'énergie emmagasinée.

    À retenir

    • Pour un condensateur (convention récepteur) : q=C uCq = C\,u_C et i=dqdt=C duCdti = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} ; la capacité s'exprime en farads.
    • La tension uCu_C est continue ; l'intensité ii peut varier brusquement. En régime permanent, i=0i = 0 : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert.
    • Condensateurs en série : 1Ceq=∑1Ck\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{1}{C_k} ; en dérivation : Ceq=∑CkC_{eq} = \sum C_k.
    • Charge sous un échelon EE : RC duCdt+uC=ERC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E, de solution uC=E(1−e−t/τ)u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) et i=ER e−t/τi = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}.
    • Décharge : RC duCdt+uC=0RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0, de solution uC=E e−t/τu_C = E\,e^{-t/\tau} et i=−ER e−t/τi = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}.
    • La constante de temps τ=RC\tau = RC s'exprime en secondes. Elle se lit avec la tangente à l'origine ou avec 0,63 E0{,}63\,E (charge) ; le régime transitoire dure environ 5τ5\tau.
    • Durées : charge t=−τ ln⁡(1−uCE)t = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{u_C}{E}\right), décharge t=τ ln⁡(EuC)t = \tau\,\ln\left(\frac{E}{u_C}\right).
    • L'énergie emmagasinée est Ee=12 C uC2=q22CE_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{q^{2}}{2C} ; elle est continue et vaut 12 C E2\frac{1}{2}\,C\,E^{2} en fin de charge.
    • En charge à courant constant I0I_0 : uC=I0C tu_C = \frac{I_0}{C}\,t, une droite passant par l'origine.

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