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    2e Bac Sciences physiques (PC)

    Ondes mécaniques progressives

    Ondes mécaniques progressives 2e Bac PC : célérité, retard temporel, ondes transversales et longitudinales, 9 exercices corrigés et QCM.

    Prérequis : Vitesse moyenne et unités SI (tronc commun, 1re Bac), notion de mouvement d'un point matériel

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    En bref

    Niveau
    2e Bac Sciences physiques (PC)
    Matière
    Physique-Chimie
    Contenu
    cours, méthodes, 9 exercices corrigés, QCM de 7 questions
    Durée
    45 min
    Prérequis
    Vitesse moyenne et unités SI (tronc commun, 1re Bac), notion de mouvement d'un point matériel
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    Licence
    contenu original 9raya, gratuit, CC BY-NC-SA 4.0.

    L'essentiel

    Tu laisses tomber un caillou dans l'eau calme : des ronds s'éloignent du point d'impact, mais un bouchon posé sur l'eau ne part pas avec eux, il monte et descend sur place. Ce chapitre explique ce qui voyage réellement (une perturbation, pas de la matière) et comment mesurer la vitesse de ce voyage.

    1. Onde mécanique progressive

    Définition

    Une onde mécanique progressive est le phénomène de propagation d'une perturbation, de proche en proche, dans un milieu matériel élastique, sans transport de matière mais avec transport d'énergie.

    La perturbation est une modification locale du milieu : un point de la corde déplacé vers le haut, une zone d'air comprimée, un creux à la surface de l'eau. L'endroit où elle est créée s'appelle la source, notée S.

    • Il faut un milieu matériel (solide, liquide ou gaz) : une onde mécanique ne se propage pas dans le vide. Le son, lui, a besoin d'air, d'eau ou d'un solide ; la lumière (chapitre 3) n'en a pas besoin.
    • Chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source avec un certain retard, puis retrouve sa position d'équilibre une fois la perturbation passée. La matière oscille localement ; elle ne voyage pas avec l'onde.
    • L'onde transporte de l'énergie : une vague peut soulever un bateau, une onde sismique peut abattre un immeuble.

    Exemple

    Un bouchon flotte sur l'eau d'un bassin. Une vague passe : le bouchon monte puis redescend, mais il reste au même endroit. C'est la déformation de la surface qui avance, pas l'eau.

    2. Classification des ondes mécaniques

    Selon la dimension du milieu de propagation :

    • onde à une dimension : corde, ressort, barre métallique ;
    • onde à deux dimensions : surface de l'eau, membrane d'un tambour ;
    • onde à trois dimensions : son dans l'air, ondes sismiques dans la Terre.

    Selon la direction de la perturbation :

    Définition

    Une onde est transversale si la direction de la perturbation (le déplacement des points du milieu) est perpendiculaire à la direction de propagation. Elle est longitudinale si ces deux directions sont parallèles.

    SituationDimensionNature
    Corde agitée de haut en bas1transversale
    Ressort comprimé puis relâché à une extrémité1longitudinale
    Vague à la surface de l'eau2transversale (modèle usuel)
    Son dans l'air (compressions et dilatations)3longitudinale
    Ondes sismiques P (primaires)3longitudinales
    Ondes sismiques S (secondaires)3transversales

    Remarque

    À la surface de l'eau, les particules décrivent en réalité des trajectoires circulaires ou elliptiques (déplacement à la fois vertical et horizontal). On modélise l'onde comme transversale, ce qui suffit pour ce chapitre.

    3. Célérité d'une onde

    Définition

    La célérité vv d'une onde est la vitesse de propagation de la perturbation. Si la perturbation parcourt la distance dd pendant la durée Δt\Delta t :

    v=dΔtv = \frac{d}{\Delta t}

    La célérité s'exprime en m.s−1\text{m.s}^{-1}. Trois idées à retenir :

    • Elle dépend du milieu (son inertie, son élasticité, sa température, sa tension pour une corde). Dans un milieu donné, elle ne dépend ni de l'amplitude, ni de la forme de la perturbation, ni de la force avec laquelle tu as donné la secousse.
    • Il ne faut pas confondre la célérité de l'onde (constante dans un milieu homogène) avec la vitesse d'un point du milieu (qui change à chaque instant quand le point oscille).
    • Pour une corde tendue de tension FF et de masse linéique μ\mu (masse par unité de longueur), on admet :
    v=Fμavec F en N, μ=mL en kg.m−1v = \sqrt{\frac{F}{\mu}} \qquad \text{avec } F \text{ en N, } \mu = \frac{m}{L} \text{ en kg.m}^{-1}

    Exemple

    Si tu quadruples la tension d'une corde, la célérité est multipliée par 4=2\sqrt{4} = 2. Si tu prends une corde quatre fois plus lourde (même longueur, même tension), μ\mu est multipliée par 4 et la célérité est divisée par 2.

    Ordres de grandeur (à retenir comme repères, pas comme valeurs exactes) :

    MilieuCélérité du son (ordre de grandeur)
    Air à 20 ∘C20\,^\circ\text{C}340 m.s−1340\,\text{m.s}^{-1}
    Eau1,5×103 m.s−11{,}5 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}
    Acier5×103 m.s−15 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}

    En général, le son va plus vite dans un solide que dans un liquide, et plus vite dans un liquide que dans un gaz.

    4. Retard temporel

    Propriété

    Si la perturbation se propage sans se déformer, un point M du milieu situé à la distance SMSM de la source reproduit le mouvement de S avec un retard τ\tau :

    τ=SMvetyM(t)=yS(t−τ)\tau = \frac{SM}{v} \qquad \text{et} \qquad y_M(t) = y_S(t - \tau)

    Ici yy désigne l'élongation (écart du point par rapport à sa position d'équilibre). Pour t<τt < \tau, la perturbation n'est pas encore arrivée : yM(t)=0y_M(t) = 0. Sur un enregistrement, la courbe yM(t)y_M(t) se déduit de la courbe yS(t)y_S(t) par une translation de τ\tau vers la droite (vers les temps croissants).

    Remarque

    Pour deux points A et B alignés avec la source (SA<SBSA < SB), le retard de B par rapport à A est τAB=ABv=tB−tA\tau_{AB} = \dfrac{AB}{v} = t_B - t_A. Tu peux donc obtenir la célérité v=ABtB−tAv = \dfrac{AB}{t_B - t_A} sans connaître la date d'émission de la perturbation.

    Attention

    La relation yM(t)=yS(t−τ)y_M(t) = y_S(t - \tau) suppose que la perturbation garde sa forme (pas de déformation ni d'amortissement) : c'est le modèle de l'onde à une dimension du programme. Le calcul du retard τ=SMv\tau = \dfrac{SM}{v} reste valable à deux ou trois dimensions, mais l'énergie se répartit alors sur un cercle ou une sphère de plus en plus grands : l'amplitude diminue avec la distance et yMy_M n'est plus une copie exacte de ySy_S.

    5. Deux ondes qui se croisent

    Quand deux ondes se rencontrent, elles se croisent sans se perturber : chacune repart ensuite comme si l'autre n'avait jamais existé. Pendant le croisement, l'élongation d'un point est la somme des élongations que chaque onde donnerait seule. C'est pourquoi tu peux entendre deux personnes parler en même temps.

    6. L'onde sonore

    Le son est une onde mécanique longitudinale : une source vibrante (haut-parleur, corde vocale) comprime puis dilate l'air voisin, et ces compressions et dilatations se propagent de proche en proche. Les molécules d'air oscillent le long de la direction de propagation sans être transportées. La célérité du son dans l'air vaut environ 340 m.s−1340\,\text{m.s}^{-1} à 20 ∘C20\,^\circ\text{C} ; elle augmente légèrement avec la température.

    Méthodes

    Méthode 1 : Calculer une célérité, un retard ou une distance

    1. Repère la distance réellement parcourue par la perturbation : trajet simple, ou aller-retour (écho, sonar) qui compte alors deux fois la distance.
    2. Convertis en unités SI : mètres, secondes, m.s−1\text{m.s}^{-1}.
    3. Applique v=dΔtv = \dfrac{d}{\Delta t}, ou τ=dv\tau = \dfrac{d}{v}, ou d=v Δtd = v\,\Delta t.
    4. Garde le bon nombre de chiffres significatifs (celui de la donnée la moins précise).

    Exemple

    Un randonneur crie face à une falaise et entend l'écho 3,0 s3{,}0\,\text{s} plus tard (v=340 m.s−1v = 340\,\text{m.s}^{-1}). Le son fait un aller-retour : 2d=v Δt2d = v\,\Delta t, donc d=340×3,02=5,1×102 md = \dfrac{340 \times 3{,}0}{2} = 5{,}1 \times 10^{2}\,\text{m} (deux chiffres significatifs, comme 3,0 s3{,}0\,\text{s}).

    Méthode 2 : Mesurer la célérité avec deux points

    1. Note les positions xAx_A et xBx_B de deux points sur la même ligne de propagation, et les dates tAt_A et tBt_B où la perturbation les atteint.
    2. Calcule v=xB−xAtB−tAv = \dfrac{x_B - x_A}{t_B - t_A}. La date d'émission n'intervient pas.
    3. Vérifie la cohérence : tA−xAvt_A - \dfrac{x_A}{v} doit donner la date d'émission si elle est connue.

    Exemple

    Deux capteurs placés à 1,5 m1{,}5\,\text{m} et 4,5 m4{,}5\,\text{m} de la source d'un long ressort détectent la perturbation à 0,25 s0{,}25\,\text{s} et 0,75 s0{,}75\,\text{s}. Alors v=4,5−1,50,75−0,25=6,0 m.s−1v = \dfrac{4{,}5 - 1{,}5}{0{,}75 - 0{,}25} = 6{,}0\,\text{m.s}^{-1}.

    Méthode 3 : Déduire le mouvement d'un point de celui de la source

    1. Calcule le retard τ=SMv\tau = \dfrac{SM}{v}.
    2. Pour t<τt < \tau : yM(t)=0y_M(t) = 0.
    3. Pour t≥τt \geq \tau : yM(t)=yS(t−τ)y_M(t) = y_S(t - \tau). Tu lis la valeur de ySy_S à la date t−τt - \tau.

    Exemple

    La source a l'élongation suivante : yS=0y_S = 0 à 0 s0\,\text{s}, 2 cm2\,\text{cm} à 0,1 s0{,}1\,\text{s}, 4 cm4\,\text{cm} à 0,2 s0{,}2\,\text{s}, 2 cm2\,\text{cm} à 0,3 s0{,}3\,\text{s}, 00 à 0,4 s0{,}4\,\text{s}. Un point M a un retard τ=0,15 s\tau = 0{,}15\,\text{s}. Alors yM(0,10)=0y_M(0{,}10) = 0 (pas encore atteint), yM(0,25)=yS(0,10)=2 cmy_M(0{,}25) = y_S(0{,}10) = 2\,\text{cm} et yM(0,35)=yS(0,20)=4 cmy_M(0{,}35) = y_S(0{,}20) = 4\,\text{cm}.

    Méthode 4 : Déterminer la nature et la dimension d'une onde

    1. Dimension : regarde la forme du milieu où l'onde se propage (corde : 1 ; surface : 2 ; volume : 3).
    2. Nature : compare la direction du déplacement des points du milieu à la direction de propagation. Perpendiculaires : transversale. Parallèles : longitudinale.
    3. Justifie toujours avec une phrase qui nomme les deux directions.

    Méthode 5 : Utiliser v=F/μv = \sqrt{F/\mu}

    1. Calcule la masse linéique μ=mL\mu = \dfrac{m}{L} en kg.m−1\text{kg.m}^{-1}.
    2. Calcule v=Fμv = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}} avec FF en newtons.
    3. Pour une variation, raisonne avec les rapports : si FF est multipliée par kk, vv est multipliée par k\sqrt{k} ; si μ\mu est multipliée par kk, vv est divisée par k\sqrt{k}.

    Exercices corrigés

    Exercice 1 : L'orage

    Facile

    Un éclair est suivi du tonnerre 6,0 s6{,}0\,\text{s} plus tard. Données : célérité du son dans l'air v=340 m.s−1v = 340\,\text{m.s}^{-1} ; célérité de la lumière c=3,00×108 m.s−1c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}.

    1. Calcule la distance entre l'observateur et l'éclair.
    2. Calcule la durée que met la lumière de l'éclair pour parcourir cette distance. Peut-on la négliger devant 6,0 s6{,}0\,\text{s} ?
    3. Le tonnerre est-il une onde mécanique ? Justifie.
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    1. Le son parcourt la distance dd en Δt=6,0 s\Delta t = 6{,}0\,\text{s} :
    d=v Δt=340×6,0=2,0×103 md = v\,\Delta t = 340 \times 6{,}0 = 2{,}0 \times 10^{3}\,\text{m}

    soit environ 2,0 km2{,}0\,\text{km} (deux chiffres significatifs, comme 6,0 s6{,}0\,\text{s}).

    1. Δtlumieˋre=dc=2,0×1033,00×108=6,7×10−6 s\Delta t_{\text{lumière}} = \dfrac{d}{c} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{3}}{3{,}00 \times 10^{8}} = 6{,}7 \times 10^{-6}\,\text{s}. Cette durée vaut environ 7 μs7\,\mu\text{s}, près d'un million de fois moins que 6,0 s6{,}0\,\text{s} : on peut la négliger. Le décalage observé vient uniquement de la lenteur du son.
    1. Oui : le tonnerre est une onde sonore. C'est une perturbation de l'air qui se propage de proche en proche dans un milieu matériel, sans transport de matière. Elle est longitudinale.
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    Exercice 2 : Reconnaître les ondes

    Facile

    Pour chacune des situations suivantes, indique la dimension de la propagation et la nature de l'onde (transversale ou longitudinale) :

    • a) on secoue verticalement l'extrémité d'une longue corde tendue horizontalement ;
    • b) on comprime quelques spires à l'extrémité d'un ressort puis on les relâche ;
    • c) une goutte tombe dans un bassin d'eau calme ;
    • d) un haut-parleur émet un son dans une salle ;
    • e) un séisme émet des ondes S qui traversent la croûte terrestre.
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    a) Propagation à une dimension (le long de la corde). Le déplacement des points est vertical, la propagation horizontale : directions perpendiculaires, onde transversale.

    b) Propagation à une dimension. Les spires oscillent le long de l'axe du ressort, direction de propagation : onde longitudinale.

    c) Propagation à deux dimensions (la surface de l'eau). Les points montent et descendent, la propagation est horizontale : onde modélisée comme transversale.

    d) Propagation à trois dimensions. Les molécules d'air oscillent dans la direction de propagation : onde longitudinale.

    e) Propagation à trois dimensions. Les ondes S sont transversales : les points de la roche se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation.

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    Exercice 3 : Profondeur d'un lac au sondeur

    Facile

    Un sondeur ultrasonore, fixé sous un bateau, émet une brève impulsion vers le fond d'un lac. L'écho est reçu 24 ms24\,\text{ms} plus tard. La célérité des ultrasons dans l'eau vaut 1,5×103 m.s−11{,}5 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}.

    1. Calcule la profondeur du lac sous le bateau.
    2. Un élève répond d=v Δt=36 md = v\,\Delta t = 36\,\text{m}. Quelle erreur a-t-il commise ?
    3. Quelle serait la durée entre l'émission et la réception de l'écho si le lac avait 30 m30\,\text{m} de profondeur ?
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    1. L'impulsion descend jusqu'au fond puis remonte : la distance parcourue est 2d2d pendant Δt=24×10−3 s\Delta t = 24 \times 10^{-3}\,\text{s} :
    d=v Δt2=1,5×103×24×10−32=18 md = \frac{v\,\Delta t}{2} = \frac{1{,}5 \times 10^{3} \times 24 \times 10^{-3}}{2} = 18\,\text{m}
    1. L'élève a calculé la distance de l'aller-retour (1,5×103×0,024=36 m1{,}5 \times 10^{3} \times 0{,}024 = 36\,\text{m}) et l'a prise pour la profondeur. Il fallait diviser par 2.
    1. L'aller-retour représente 2×30=60 m2 \times 30 = 60\,\text{m} :
    Δt=601,5×103=4,0×10−2 s=40 ms\Delta t = \frac{60}{1{,}5 \times 10^{3}} = 4{,}0 \times 10^{-2}\,\text{s} = 40\,\text{ms}
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    Exercice 4 : Corde tendue

    Moyen

    Une corde homogène de longueur L=8,0 mL = 8{,}0\,\text{m} et de masse m=0,40 kgm = 0{,}40\,\text{kg} est tendue horizontalement avec une tension F=20 NF = 20\,\text{N}. On admet que la célérité d'une onde le long de la corde est v=F/μv = \sqrt{F/\mu}, où μ\mu est la masse linéique.

    1. Calcule μ\mu puis la célérité vv.
    2. Quel est le retard d'un point situé à 5,0 m5{,}0\,\text{m} de la source par rapport à la source ?
    3. Combien de temps la perturbation met-elle pour parcourir toute la corde ?
    4. On porte la tension à 80 N80\,\text{N}. Détermine la nouvelle célérité sans refaire tout le calcul.
    5. On revient à F=20 NF = 20\,\text{N} mais on utilise une corde de même longueur, quatre fois plus lourde. Que devient la célérité ?
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    1. μ=mL=0,408,0=5,0×10−2 kg.m−1\mu = \dfrac{m}{L} = \dfrac{0{,}40}{8{,}0} = 5{,}0 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^{-1} et
    v=Fμ=205,0×10−2=400=20 m.s−1v = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{20}{5{,}0 \times 10^{-2}}} = \sqrt{400} = 20\,\text{m.s}^{-1}
    1. τ=SMv=5,020=0,25 s\tau = \dfrac{SM}{v} = \dfrac{5{,}0}{20} = 0{,}25\,\text{s}.
    1. Δt=Lv=8,020=0,40 s\Delta t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{8{,}0}{20} = 0{,}40\,\text{s}.
    1. La tension est multipliée par 8020=4\dfrac{80}{20} = 4, donc la célérité est multipliée par 4=2\sqrt{4} = 2 : v′=40 m.s−1v' = 40\,\text{m.s}^{-1}.
    1. La masse linéique est multipliée par 4, donc la célérité est divisée par 4=2\sqrt{4} = 2 : v′′=10 m.s−1v'' = 10\,\text{m.s}^{-1}. Contrôle : μ′′=0,20 kg.m−1\mu'' = 0{,}20\,\text{kg.m}^{-1} et 20/0,20=100=10 m.s−1\sqrt{20/0{,}20} = \sqrt{100} = 10\,\text{m.s}^{-1}.
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    Exercice 5 : Deux capteurs sur une corde

    Moyen

    Une corde est secouée à son extrémité S : la perturbation est créée à partir de la date t=0t = 0. L'élongation de la source est : yS=0y_S = 0 pour t<0t < 0 ; elle croît linéairement de 00 à 4,0 cm4{,}0\,\text{cm} entre t=0t = 0 et t=0,020 st = 0{,}020\,\text{s} ; elle décroît linéairement jusqu'à 00 entre t=0,020 st = 0{,}020\,\text{s} et t=0,040 st = 0{,}040\,\text{s} ; elle reste nulle ensuite.

    Un capteur C1C_1 placé à d1=0,60 md_1 = 0{,}60\,\text{m} de S détecte le début de la perturbation à t1=0,050 st_1 = 0{,}050\,\text{s}. Un capteur C2C_2 placé à d2=1,80 md_2 = 1{,}80\,\text{m} de S la détecte à t2=0,150 st_2 = 0{,}150\,\text{s}.

    1. Calcule la célérité de l'onde.
    2. Vérifie que ces mesures sont compatibles avec une émission à la date t=0t = 0.
    3. Donne l'élongation du point de C2C_2 aux dates 0,120 s0{,}120\,\text{s}, 0,160 s0{,}160\,\text{s} et 0,180 s0{,}180\,\text{s}.
    4. À quelle date ce point retrouve-t-il définitivement sa position d'équilibre ?
    Voir le corrigé
    1. Les deux capteurs sont alignés avec S :
    v=d2−d1t2−t1=1,80−0,600,150−0,050=12 m.s−1v = \frac{d_2 - d_1}{t_2 - t_1} = \frac{1{,}80 - 0{,}60}{0{,}150 - 0{,}050} = 12\,\text{m.s}^{-1}
    1. La perturbation atteint C1C_1 après d1v=0,6012=0,050 s\dfrac{d_1}{v} = \dfrac{0{,}60}{12} = 0{,}050\,\text{s}, ce qui correspond bien à t1=0,050 st_1 = 0{,}050\,\text{s} avec une émission à t=0t = 0. De même, d2v=0,150 s=t2\dfrac{d_2}{v} = 0{,}150\,\text{s} = t_2.
    1. Le retard de C2C_2 est τ2=d2v=0,150 s\tau_2 = \dfrac{d_2}{v} = 0{,}150\,\text{s} et yC2(t)=yS(t−τ2)y_{C_2}(t) = y_S(t - \tau_2) pour t≥τ2t \geq \tau_2.
    • t=0,120 s<τ2t = 0{,}120\,\text{s} < \tau_2 : la perturbation n'est pas arrivée, y=0y = 0.
    • t=0,160 st = 0{,}160\,\text{s} : t−τ2=0,010 st - \tau_2 = 0{,}010\,\text{s}, phase de croissance : y=4,0×0,0100,020=2,0 cmy = 4{,}0 \times \dfrac{0{,}010}{0{,}020} = 2{,}0\,\text{cm}.
    • t=0,180 st = 0{,}180\,\text{s} : t−τ2=0,030 st - \tau_2 = 0{,}030\,\text{s}, phase de décroissance : y=4,0×0,040−0,0300,020=2,0 cmy = 4{,}0 \times \dfrac{0{,}040 - 0{,}030}{0{,}020} = 2{,}0\,\text{cm}.
    1. La source retrouve le repos à 0,040 s0{,}040\,\text{s}, donc le point de C2C_2 à 0,150+0,040=0,190 s0{,}150 + 0{,}040 = 0{,}190\,\text{s}.
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    Exercice 6 : Les rides du bassin

    Moyen

    Un caillou tombe en un point O de la surface d'un grand bassin d'eau calme. Un bouchon B1B_1 situé à 1,2 m1{,}2\,\text{m} de O commence à bouger 3,0 s3{,}0\,\text{s} après l'impact.

    1. Calcule la célérité de l'onde à la surface de l'eau.
    2. À quelle date un second bouchon B2B_2, situé à 2,4 m2{,}4\,\text{m} de O, commence-t-il à bouger ?
    3. Décris le mouvement de B1B_1 pendant et après le passage de l'onde. Le bouchon s'éloigne-t-il de O ?
    4. L'onde est-elle à une, deux ou trois dimensions ? Pourquoi les ondulations se font-elles de plus en plus faibles loin de O ?
    Voir le corrigé
    1. v=OB1τ1=1,23,0=0,40 m.s−1v = \dfrac{OB_1}{\tau_1} = \dfrac{1{,}2}{3{,}0} = 0{,}40\,\text{m.s}^{-1}.
    1. τ2=OB2v=2,40,40=6,0 s\tau_2 = \dfrac{OB_2}{v} = \dfrac{2{,}4}{0{,}40} = 6{,}0\,\text{s} après l'impact.
    1. Quand l'onde atteint B1B_1, le bouchon se met à monter et à descendre sur place, en reproduisant le mouvement de la surface au point d'impact avec un retard de 3,0 s3{,}0\,\text{s}. Quand l'onde est passée, il retrouve sa position d'équilibre. Il ne s'éloigne pas de O : il n'y a pas de transport de matière.
    1. L'onde se propage à la surface : elle est à deux dimensions. L'énergie apportée par le caillou se répartit sur des cercles de plus en plus grands, donc l'amplitude de l'onde diminue quand on s'éloigne de O.
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    Exercice 7 : Le coup sur le rail

    Difficile

    Un technicien frappe un rail d'acier rectiligne à l'une de ses extrémités. À l'autre extrémité, un observateur entend deux sons successifs : le premier se propage dans l'acier, le second dans l'air. Célérités : vacier=5,0×103 m.s−1v_{\text{acier}} = 5{,}0 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1} et vair=340 m.s−1v_{\text{air}} = 340\,\text{m.s}^{-1}.

    1. Pourquoi l'observateur entend-il le son du rail avant celui de l'air ?
    2. Le rail mesure d=1,0 kmd = 1{,}0\,\text{km}. Calcule la durée qui sépare les deux sons.
    3. Sur un autre rail, de longueur inconnue dd, l'observateur mesure un intervalle Δt=1,50 s\Delta t = 1{,}50\,\text{s} entre les deux sons. Établis l'expression de dd en fonction de Δt\Delta t, vairv_{\text{air}} et vacierv_{\text{acier}}, puis calcule dd.
    4. A-t-on besoin de connaître la date du coup de marteau ?
    Voir le corrigé
    1. Les deux sons partent au même instant mais la célérité est plus grande dans l'acier (5,0×103 m.s−15{,}0 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}) que dans l'air (340 m.s−1340\,\text{m.s}^{-1}) : l'onde dans le rail arrive la première.
    1. Dans l'air : tair=dvair=1000340=2,94 st_{\text{air}} = \dfrac{d}{v_{\text{air}}} = \dfrac{1000}{340} = 2{,}94\,\text{s}. Dans l'acier : tacier=10005,0×103=0,20 st_{\text{acier}} = \dfrac{1000}{5{,}0 \times 10^{3}} = 0{,}20\,\text{s}. D'où
    Δt=2,94−0,20=2,7 s\Delta t = 2{,}94 - 0{,}20 = 2{,}7\,\text{s}
    1. On a Δt=dvair−dvacier=d vacier−vairvair vacier\Delta t = \dfrac{d}{v_{\text{air}}} - \dfrac{d}{v_{\text{acier}}} = d\,\dfrac{v_{\text{acier}} - v_{\text{air}}}{v_{\text{air}}\,v_{\text{acier}}}, donc
    d=Δt vair vaciervacier−vair=1,50×340×5,0×1035,0×103−340=5,5×102 md = \Delta t\,\frac{v_{\text{air}}\,v_{\text{acier}}}{v_{\text{acier}} - v_{\text{air}}} = 1{,}50 \times \frac{340 \times 5{,}0 \times 10^{3}}{5{,}0 \times 10^{3} - 340} = 5{,}5 \times 10^{2}\,\text{m}

    Contrôle : 547340−5475000=1,61−0,11=1,50 s\dfrac{547}{340} - \dfrac{547}{5000} = 1{,}61 - 0{,}11 = 1{,}50\,\text{s}.

    1. Non : seule la différence des durées intervient, ce qui permet de mesurer la distance sans connaître l'instant exact du coup.
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    Exercice 8 : Perturbation le long d'une corde

    Type Bac

    Une longue corde élastique horizontale, de longueur L=10 mL = 10\,\text{m}, est tendue avec une tension F=24 NF = 24\,\text{N}. À la date t=0t = 0, on donne une brève secousse verticale à l'extrémité S. Deux capteurs, A et B, placés aux abscisses xA=2,0 mx_A = 2{,}0\,\text{m} et xB=6,0 mx_B = 6{,}0\,\text{m} (origine en S), détectent le passage de la perturbation aux dates tA=0,10 st_A = 0{,}10\,\text{s} et tB=0,30 st_B = 0{,}30\,\text{s}. On néglige l'amortissement et les réflexions.

    1. Définis une onde mécanique progressive. L'onde est-elle transversale ou longitudinale ? Justifie.
    2. Calcule la célérité vv de l'onde. Vérifie la cohérence avec la date d'émission.
    3. Calcule le retard de B par rapport à A, puis le retard de B par rapport à S.
    4. On admet v=F/μv = \sqrt{F/\mu}. Calcule la masse linéique μ\mu puis la masse de la corde.
    5. On double la tension de la corde. Calcule la nouvelle célérité puis le nouveau retard de B par rapport à A.
    6. À quelle date, avec la tension initiale, un point C d'abscisse xC=8,0 mx_C = 8{,}0\,\text{m} commence-t-il à bouger ?
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    1. Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation, de proche en proche, dans un milieu matériel, sans transport de matière. Ici la secousse est verticale et la propagation horizontale : les deux directions sont perpendiculaires, l'onde est transversale.
    1. v=xB−xAtB−tA=6,0−2,00,30−0,10=20 m.s−1v = \dfrac{x_B - x_A}{t_B - t_A} = \dfrac{6{,}0 - 2{,}0}{0{,}30 - 0{,}10} = 20\,\text{m.s}^{-1}. Cohérence : la perturbation arrive en A à xAv=2,020=0,10 s\dfrac{x_A}{v} = \dfrac{2{,}0}{20} = 0{,}10\,\text{s} et en B à 6,020=0,30 s\dfrac{6{,}0}{20} = 0{,}30\,\text{s}, ce qui correspond à une émission à t=0t = 0.
    1. τAB=tB−tA=0,20 s\tau_{AB} = t_B - t_A = 0{,}20\,\text{s} (ou ABv=4,020\dfrac{AB}{v} = \dfrac{4{,}0}{20}). Le retard de B par rapport à S est τB=xBv=0,30 s\tau_B = \dfrac{x_B}{v} = 0{,}30\,\text{s}.
    1. De v=F/μv = \sqrt{F/\mu}, on tire μ=Fv2=24202=6,0×10−2 kg.m−1\mu = \dfrac{F}{v^2} = \dfrac{24}{20^2} = 6{,}0 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^{-1}. La masse de la corde est m=μL=6,0×10−2×10=0,60 kgm = \mu L = 6{,}0 \times 10^{-2} \times 10 = 0{,}60\,\text{kg}.
    1. F′=2FF' = 2F, donc v′=v2=20×1,414=28,3 m.s−1v' = v\sqrt{2} = 20 \times 1{,}414 = 28{,}3\,\text{m.s}^{-1}, soit environ 28 m.s−128\,\text{m.s}^{-1}. Le retard de B par rapport à A devient τAB′=ABv′=4,028,3=0,14 s\tau'_{AB} = \dfrac{AB}{v'} = \dfrac{4{,}0}{28{,}3} = 0{,}14\,\text{s} (il diminue, car l'onde va plus vite).
    1. tC=xCv=8,020=0,40 st_C = \dfrac{x_C}{v} = \dfrac{8{,}0}{20} = 0{,}40\,\text{s}.
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    Exercice 9 : Localiser un séisme

    Type Bac

    Lors d'un séisme, le foyer émet simultanément des ondes P (primaires) et des ondes S (secondaires). On suppose qu'elles se propagent en ligne droite avec des célérités constantes : vP=8,0 km.s−1v_P = 8{,}0\,\text{km.s}^{-1} et vS=4,5 km.s−1v_S = 4{,}5\,\text{km.s}^{-1}. Les ondes P sont longitudinales, les ondes S transversales. Une station sismique enregistre d'abord les ondes P, puis les ondes S. On néglige la profondeur du foyer : la distance au foyer est assimilée à la distance à l'épicentre.

    1. Explique la différence entre une onde longitudinale et une onde transversale.
    2. Pourquoi les ondes P sont-elles enregistrées avant les ondes S ?
    3. Une station est à d=300 kmd = 300\,\text{km} du foyer. Calcule les durées de propagation tPt_P et tSt_S puis le décalage Δt=tS−tP\Delta t = t_S - t_P entre les deux arrivées.
    4. Une autre station mesure un décalage Δt=40 s\Delta t = 40\,\text{s} entre l'arrivée des ondes S et celle des ondes P. Exprime la distance dd au foyer en fonction de Δt\Delta t, vPv_P et vSv_S, puis calcule-la.
    5. Une seule station suffit-elle pour localiser l'épicentre ? Justifie en une phrase.
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    1. Dans une onde longitudinale, les points du milieu se déplacent parallèlement à la direction de propagation (compressions et dilatations). Dans une onde transversale, ils se déplacent perpendiculairement à cette direction.
    1. Les deux ondes partent en même temps du foyer et parcourent la même distance, mais vP>vSv_P > v_S : les ondes P arrivent les premières.
    1. tP=dvP=3008,0=37,5 st_P = \dfrac{d}{v_P} = \dfrac{300}{8{,}0} = 37{,}5\,\text{s} et tS=dvS=3004,5=66,7 st_S = \dfrac{d}{v_S} = \dfrac{300}{4{,}5} = 66{,}7\,\text{s}. Le décalage vaut Δt=66,7−37,5=29,2 s\Delta t = 66{,}7 - 37{,}5 = 29{,}2\,\text{s}, soit environ 29 s29\,\text{s} avec deux chiffres significatifs, comme les célérités.
    1. Δt=dvS−dvP=d vP−vSvP vS\Delta t = \dfrac{d}{v_S} - \dfrac{d}{v_P} = d\,\dfrac{v_P - v_S}{v_P\,v_S}, d'où
    d=Δt vP vSvP−vS=40×8,0×4,58,0−4,5=4,1×102 kmd = \Delta t\,\frac{v_P\,v_S}{v_P - v_S} = 40 \times \frac{8{,}0 \times 4{,}5}{8{,}0 - 4{,}5} = 4{,}1 \times 10^{2}\,\text{km}

    Contrôle avec d=411,4 kmd = 411{,}4\,\text{km} : 411,44,5−411,48,0=91,4−51,4=40,0 s\dfrac{411{,}4}{4{,}5} - \dfrac{411{,}4}{8{,}0} = 91{,}4 - 51{,}4 = 40{,}0\,\text{s}.

    1. Non : une station donne seulement la distance au foyer, donc un cercle de positions possibles autour d'elle. Il faut au moins trois stations : l'épicentre est à l'intersection des trois cercles.
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    QCM

    Question 1.Une onde mécanique progressive :
    Question 2.Dans une onde longitudinale, la direction de la perturbation est :
    Question 3.Une perturbation parcourt 3,0 m3{,}0\,\text{m} en 0,15 s0{,}15\,\text{s}. Sa célérité vaut :
    Question 4.Pour une corde donnée, la célérité d'une onde dépend :
    Question 5.Un point M reçoit une onde de la source S avec un retard τ\tau. Son élongation vérifie :
    Question 6.Un sondeur reçoit l'écho d'une impulsion 0,10 s0{,}10\,\text{s} après l'émission (v=1,5×103 m.s−1v = 1{,}5 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}). La profondeur est :
    Question 7.On quadruple la tension d'une corde sans changer la corde. La célérité est :

    Erreurs fréquentes

    • Croire que la matière voyage avec l'onde. Le bouchon, la corde, l'air oscillent sur place. Seule la perturbation (et l'énergie) se propage.
    • Oublier l'aller-retour pour un écho ou un sonar. La distance à l'obstacle est d=v Δt2d = \dfrac{v\,\Delta t}{2}, pas v Δtv\,\Delta t.
    • Confondre direction de propagation et direction de la perturbation. Pour la nature de l'onde, c'est le mouvement des points du milieu qui compte : perpendiculaire à la propagation (transversale) ou parallèle (longitudinale).
    • Penser que la célérité augmente quand on donne une secousse plus forte. Elle dépend du milieu (tension, masse linéique, température), pas de l'amplitude ni de la force de l'excitation.
    • Se tromper de signe dans yM(t)=yS(t−τ)y_M(t) = y_S(t - \tau). Le point M a un retard : il imite S avec un décalage vers les dates plus grandes, pas plus petites.
    • Mélanger les unités. Passe les centimètres en mètres et les millisecondes en secondes avant de calculer τ=dv\tau = \dfrac{d}{v}.
    • Dire que le son se propage dans le vide. Le son est une onde mécanique : il lui faut un milieu matériel, contrairement à la lumière.

    À retenir

    • Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière, avec transport d'énergie.
    • Une onde est transversale si la perturbation est perpendiculaire à la propagation, longitudinale si elle lui est parallèle ; elle est à 1, 2 ou 3 dimensions.
    • Célérité : v=dΔtv = \dfrac{d}{\Delta t} en m.s−1\text{m.s}^{-1} ; elle ne dépend que du milieu, pas de la forme ni de l'amplitude de la perturbation.
    • Pour une corde, v=Fμv = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}} avec μ=mL\mu = \dfrac{m}{L} : quadrupler la tension double la célérité.
    • Retard temporel : τ=SMv\tau = \dfrac{SM}{v} et yM(t)=yS(t−τ)y_M(t) = y_S(t - \tau) ; avant τ\tau, le point M est au repos.
    • Avec deux capteurs alignés avec la source : v=xB−xAtB−tAv = \dfrac{x_B - x_A}{t_B - t_A}, sans avoir besoin de la date d'émission.
    • Écho et sonar : l'onde fait un aller-retour, donc d=v Δt2d = \dfrac{v\,\Delta t}{2}.
    • Le son est une onde mécanique longitudinale qui ne se propage pas dans le vide ; en général, il va plus vite dans les solides que dans les liquides, et plus vite dans les liquides que dans les gaz.
    • Deux ondes qui se croisent ne se perturbent pas : chacune poursuit sa route.

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