Génétique des populations

1. $f(M//M) = \frac{320}{1000} = 0{,}32$ ; $f(M//N) = 0{,}48$ ; $f(N//N) = 0{,}20$ (somme : $1$).

2. Les allèles sont codominants : on compte directement.

Vérification : $p + q = 1$.

3. Effectifs attendus :

• $M//M$ : $p^2 \times 1000 = 0{,}56^2 \times 1000 = 313{,}6$ ;
• $M//N$ : $2pq \times 1000 = 2 \times 0{,}56 \times 0{,}44 \times 1000 = 492{,}8$ ;
• $N//N$ : $q^2 \times 1000 = 0{,}44^2 \times 1000 = 193{,}6$.

Les écarts sont de 6,4 ; 12,8 et 6,4 individus sur 1 000, soit au plus 1,3 point de pourcentage. Les effectifs observés sont proches des effectifs attendus : la population est compatible avec l'équilibre de Hardy-Weinberg. Si l'on applique le test du khi-deux : $\chi^2 = \frac{6{,}4^2}{313{,}6} + \frac{12{,}8^2}{492{,}8} + \frac{6{,}4^2}{193{,}6} \approx 0{,}67$, inférieur au seuil $3{,}84$ : même conclusion.

1. Les malades sont $a//a$ : $q^2 = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001$, donc $q = \sqrt{0{,}0001} = 0{,}01$ et $p = 1 - q = 0{,}99$.

2. $f(A//a) = 2pq = 2 \times 0{,}99 \times 0{,}01 = 0{,}0198$, soit environ 2 % de la population, c'est-à-dire environ 1 personne sur 50.

3. Malades : $0{,}0001 \times 2\,000\,000 = 200$. Porteurs sains : $0{,}0198 \times 2\,000\,000 = 39\,600$. Il y a environ 198 porteurs pour 1 malade.

4. Les exemplaires de $a$ se répartissent entre les malades (2 exemplaires chacun) et les porteurs (1 exemplaire chacun). Rapportés à un individu, ils représentent $q^2 = 0{,}0001$ (malades) et $\frac{2pq}{2} = 0{,}0099$ (porteurs), pour un total $q = 0{,}0100$. La part portée par les hétérozygotes est $\frac{0{,}0099}{0{,}0100} = 99\ \%$. Conclusion : l'allèle rare est presque entièrement « caché » chez des personnes en bonne santé ; c'est pourquoi une maladie récessive rare ne disparaît pas, même si les malades se reproduisent peu.

1. Fréquences génotypiques : $\frac{220}{400} = 0{,}55$ ; $\frac{120}{400} = 0{,}30$ ; $\frac{60}{400} = 0{,}15$. Fréquences alléliques : $p = 0{,}55 + \frac{0{,}30}{2} = 0{,}70$ et $q = 0{,}15 + \frac{0{,}30}{2} = 0{,}30$ (vérification : $p + q = 1$).

2. Effectifs attendus :

• $A//A$ : $0{,}7^2 \times 400 = 196$ ;
• $A//a$ : $2 \times 0{,}7 \times 0{,}3 \times 400 = 168$ ;
• $a//a$ : $0{,}3^2 \times 400 = 36$.

Il y a un fort déficit en hétérozygotes (120 au lieu de 168) et un excès d'homozygotes (220 et 60 au lieu de 196 et 36). Les écarts sont nets (jusqu'à 48 individus sur 400) : la population n'est pas à l'équilibre. Le test du khi-deux le confirme : $\chi^2 = \frac{24^2}{196} + \frac{48^2}{168} + \frac{24^2}{36} \approx 32{,}7$, très supérieur au seuil $3{,}84$.

3. Une génération de panmixie rétablit l'équilibre sans changer $p$ et $q$ : $p = 0{,}70$ et $q = 0{,}30$ ; $f(A//A) = 0{,}49$, $f(A//a) = 0{,}42$, $f(a//a) = 0{,}09$. Sur 400 individus : 196, 168 et 36.

4. Un déficit en hétérozygotes avec un excès d'homozygotes est typique d'unions qui ne se font pas au hasard : consanguinité ou unions préférentielles entre individus de même génotype (homogamie). Une subdivision de la population en groupes qui se reproduisent séparément produirait aussi cet effet.

1. $q^2 = 0{,}0001$ donc $q = 0{,}01$, $p = 0{,}99$ et $2pq = 0{,}0198$ (environ $\frac{1}{50}$).

2. Il faut que les deux soient hétérozygotes et transmettent chacun l'allèle de la maladie :

Le résultat est cohérent avec la fréquence de la maladie dans la population ($\frac{1}{10\,000}$).

3. La femme a des parents sains et un frère malade : ses parents sont hétérozygotes, elle est donc hétérozygote avec la probabilité $\frac{2}{3}$. L'homme choisi au hasard est hétérozygote avec la probabilité $0{,}0198$ :

4. $\frac{R_2}{R_1} = \frac{0{,}0033}{0{,}000098} \approx 34$ : un antécédent familial multiplie le risque par environ 34. Ce n'est pas surprenant : la probabilité d'être porteur passe de $\frac{1}{50}$ à $\frac{2}{3}$, soit un facteur $\frac{2/3}{0{,}0198} \approx 34$. Cela justifie le conseil génétique dans les familles touchées.

1. Un homme n'a qu'un exemplaire du gène : il est atteint s'il porte $X^a$. La fréquence des hommes atteints est donc $q = 0{,}06$ et $p = 1 - q = 0{,}94$.

2. Chez les femmes :

• $X^A X^A$ : $p^2 = 0{,}94^2 = 0{,}8836$ ;
• $X^A X^a$ (conductrices) : $2pq = 2 \times 0{,}94 \times 0{,}06 = 0{,}1128$ ;
• $X^a X^a$ (atteintes) : $q^2 = 0{,}06^2 = 0{,}0036$.

Vérification : $0{,}8836 + 0{,}1128 + 0{,}0036 = 1$.

3. $\frac{q}{q^2} = \frac{0{,}06}{0{,}0036} \approx 16{,}7$ : il y a environ 17 fois plus d'hommes atteints que de femmes atteintes. Une femme doit recevoir l'allèle $a$ de ses deux parents, un homme d'un seul (sa mère).

4. Avec autant d'hommes que de femmes, la proportion de personnes atteintes est la moyenne des deux fréquences :

soit environ 3,2 % de la population.

1. $p = 0{,}6$ : $f(A//A) = 0{,}36$, $f(A//a) = 0{,}48$, $f(a//a) = 0{,}16$.

2. Les reproducteurs sont les $A//A$ (0,36) et les $A//a$ (0,48), soit $0{,}84$ de la population. Les gamètes portant $a$ viennent uniquement des hétérozygotes, dont la moitié des gamètes portent $a$ :

Donc $p_1 \approx 0{,}714$. La génération 1 est issue d'unions au hasard : $f(A//A) = p_1^2 \approx 0{,}510$, $f(A//a) = 2 p_1 q_1 \approx 0{,}408$, $f(a//a) = q_1^2 \approx 0{,}082$.

3. Génération 2 : reproducteurs $0{,}510 + 0{,}408 = 0{,}918$ ; $q_2 = \frac{0{,}408/2}{0{,}918} \approx 0{,}222$, $p_2 \approx 0{,}778$ ; $f(A//A) \approx 0{,}605$, $f(A//a) \approx 0{,}346$, $f(a//a) \approx 0{,}049$.

4. La fréquence de $a$ diminue à chaque génération (0,400 puis 0,286 puis 0,222), mais de moins en moins vite (baisses de 0,114 puis de 0,064). La sélection n'élimine que les homozygotes $a//a$, dont la fréquence $q^2$ devient de plus en plus petite : la majeure partie des allèles $a$ est cachée chez les hétérozygotes, à l'abri de la sélection. L'allèle disparaît donc très lentement : même après de nombreuses générations il en subsiste (on peut montrer que dans ce cas $q_n = \frac{q_0}{1 + n q_0}$, soit environ 0,08 après 10 générations).

1. Les migrants et les résidents comptent chacun deux exemplaires du gène par individu : la fréquence est la moyenne pondérée par les effectifs.

Donc $q = 0{,}25$. La fréquence de $A$ est passée de $0{,}80$ à $0{,}75$ : la population d'accueil s'est rapprochée de celle des migrants.

2. À la génération suivante : $f(A//A) = 0{,}75^2 = 0{,}5625$ ; $f(A//a) = 2 \times 0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}375$ ; $f(a//a) = 0{,}25^2 = 0{,}0625$ (somme : 1).

3. En une génération, $\Delta f(a) = u \times f(A) = 2 \times 10^{-5} \times 0{,}75 = 1{,}5 \times 10^{-5}$. Après 100 générations, la fréquence de $A$ est $0{,}75 \times (1 - 2 \times 10^{-5})^{100} \approx 0{,}7485$ : $f(a)$ a augmenté d'environ $1{,}5 \times 10^{-3}$, soit $0{,}0015$.

4. La migration a modifié la fréquence allélique de $0{,}05$ en une seule génération ; la mutation de $1{,}5 \times 10^{-5}$ en une génération, soit un facteur d'environ $\frac{0{,}05}{1{,}5 \times 10^{-5}} \approx 3\,300$. À court terme, la mutation est un facteur très lent de modification des fréquences ; son rôle essentiel est de créer de nouveaux allèles, matière première sur laquelle la sélection, la migration et la dérive agissent ensuite.

1. Pour $N = 10\,000$, $f(a)$ reste proche de la valeur de départ : de $0{,}47$ à $0{,}53$, moyenne $0{,}50$. Pour $N = 10$, les valeurs sont très dispersées, de $0$ à $1$ : dans cinq populations sur huit, l'un des deux allèles a disparu (trois fois $f(a) = 1$, deux fois $f(a) = 0$) ; dans les trois autres, $f(a)$ vaut $0{,}15$, $0{,}80$ et $0{,}35$. La moyenne des huit populations de petit effectif est proche de $0{,}54$, donc de la valeur initiale.

2. Il n'y a ni sélection, ni mutation, ni migration : la variation de $f(a)$ d'une génération à l'autre est due au hasard de l'échantillonnage des gamètes qui forment la génération suivante. Avec 10 individus, très peu de gamètes participent à la reproduction et la composition de la génération suivante peut s'écarter beaucoup de celle de la précédente ; ces écarts s'accumulent d'une génération à l'autre, sans direction privilégiée. Avec 10 000 individus, les écarts se compensent et $f(a)$ varie peu. Comme les moyennes restent proches de $0{,}5$, la dérive n'a pas de « direction » : elle disperse les populations et conduit à la fixation ou à la perte d'un allèle, donc à une perte de diversité génétique.

3. Chez les fondateurs : $f(a) = \frac{2}{2 \times 20} = \frac{2}{40} = 0{,}05$ (deux allèles $a$ parmi $40$ exemplaires du gène). Comparée à $0{,}001$, elle est $\frac{0{,}05}{0{,}001} = 50$ fois plus élevée. Les fondateurs ne représentent pas fidèlement la population d'origine : c'est l'effet fondateur, une forme de dérive génétique. Si la colonie se développe, la maladie récessive y sera plus fréquente que dans la population d'origine (car $q^2$ passe de $10^{-6}$ à $2{,}5 \times 10^{-3}$, en supposant l'équilibre).

4. La sélection est dirigée : elle dépend de l'effet de l'allèle sur la survie ou la reproduction, et fait varier les fréquences dans un sens prévisible. La dérive est aléatoire : elle ne dépend pas de l'avantage des allèles, elle est d'autant plus forte que l'effectif est petit, et elle peut éliminer un allèle favorable ou fixer un allèle défavorable.

1. $p = f(A) = 0{,}90$ et $q = f(S) = 0{,}10$ : $f(A//A) = 0{,}81$ ; $f(A//S) = 2 \times 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}18$ ; $f(S//S) = 0{,}01$.

2. On multiplie la fréquence à la naissance par la survie.

Fréquence de $S$ parmi les survivants :

• Région A : $\frac{0{,}18 / 2 + 0{,}002}{0{,}8705} = \frac{0{,}092}{0{,}8705} \approx 0{,}1057$ ;
• Région B : $\frac{0{,}092}{0{,}992} \approx 0{,}0927$.

3. Dans la région A, $f(S)$ augmente (de $0{,}100$ à $0{,}106$) ; dans la région B, elle diminue (de $0{,}100$ à $0{,}093$). Dans les deux régions, la sélection élimine des individus $S//S$, qui sont rarement reproducteurs, ce qui fait baisser $f(S)$. Dans la région A, les individus $A//A$ ont aussi une survie plus faible à cause du paludisme, et les hétérozygotes ont la meilleure survie ; cet avantage de l'hétérozygote compense, et au-delà, la perte due aux $S//S$.

4. En présence de paludisme, l'allèle $S$ est défavorable chez les $S//S$ mais favorable chez les $A//S$, qui sont les plus nombreux à porter l'allèle $S$. La sélection agit donc dans deux sens opposés : contre $S//S$ (qui élimine $S$) et contre $A//A$ (qui élimine $A$). Les deux allèles sont alors maintenus ensemble dans la population (sélection équilibrante). Un calcul plus poussé (hors programme) montre que $f(S)$ se stabilise autour de $0{,}16$ pour ces données. Sans paludisme (région B), l'avantage des hétérozygotes disparaît et $f(S)$ continue de diminuer.