Fonctions exponentielles

L'essentiel

1. Définition : la réciproque de ln

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$, avec $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$. C'est donc une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : elle admet une fonction réciproque.

Conséquences immédiates :

• Pour tout réel $x$, $\exp(x) > 0$.
• Pour tout réel $x$, $\ln\left(\exp(x)\right) = x$ ; pour tout réel $y > 0$, $\exp(\ln y) = y$.
• $\exp(0) = 1$ (car $\ln 1 = 0$) et $\exp(1) = e$ (car $\ln e = 1$).

2. Propriétés algébriques

3. Dérivée, variations et limites

En effet, $\exp$ est la réciproque de $\ln$, dont la dérivée ne s'annule pas. D'après la dérivée d'une fonction réciproque : $\exp'(x) = \frac{1}{\ln'(e^x)} = \frac{1}{1/e^x} = e^x$.

Les limites aux bornes :

Les limites à connaître par cœur :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.
• $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ (c'est le nombre dérivé de $\exp$ en $0$).

On note $(C)$ la courbe de $\exp$ dans un repère orthonormé.

• L'axe des abscisses (la droite $y = 0$) est asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $-\infty$.
• Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
• La tangente au point $(0, 1)$ a pour équation $y = x + 1$.
• $(e^x)'' = e^x > 0$ : la courbe est convexe, elle est au-dessus de ses tangentes. En particulier, pour tout réel $x$ : $e^x \ge x + 1$.
• Les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$, car ces fonctions sont réciproques l'une de l'autre.

4. Dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$

5. La fonction $x \mapsto a^x$ ($a > 0$)

Propriétés (pour $a > 0$, $b > 0$ et $x$, $y$ réels) :

• $\ln(a^x) = x\ln a$, $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.
• $a^{x+y} = a^x \times a^y$, $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, $(a^x)^y = a^{xy}$ et $(ab)^x = a^x \times b^x$.
• La fonction $x \mapsto a^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(a^x)' = \ln a \times a^x$.
• Si $a > 1$ : elle est strictement croissante, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$.
• Si $0 < a < 1$ : elle est strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$.
• Si $a = 1$ : elle est constante, égale à $1$.
• Si $a \neq 1$, pour tout $x > 0$ et tout réel $y$ : $y = \log_a(x) \iff x = a^y$. Par exemple, $x \mapsto 10^x$ est la réciproque du logarithme décimal.

Méthodes

Méthode 1 : Résoudre une équation ou une inéquation avec exp

1. Mets l'équation sous la forme $e^A = e^B$, $e^A < e^B$ ou $e^A = b$ avec $b > 0$.
2. Utilise $e^A = e^B \iff A = B$, $e^A < e^B \iff A < B$, et $e^A = b \iff A = \ln b$.
3. Si $e^x$ et $e^{2x}$ apparaissent ensemble, pose $X = e^x$ (avec $X > 0$), résous l'équation en $X$ et ne garde que les valeurs strictement positives.

Exemple 1 : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Avec $X = e^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$, donc $X = 1$ ou $X = 2$. Ainsi $e^x = 1$ ou $e^x = 2$, soit $x = 0$ ou $x = \ln 2$. $S = \{0, \ln 2\}$.

Exemple 2 : $e^{2x-1} > 3 \iff 2x - 1 > \ln 3 \iff x > \frac{1 + \ln 3}{2}$. $S = ]\frac{1 + \ln 3}{2},+\infty[$.

Exemple 3 : l'équation $e^x = -2$ n'a pas de solution, car $e^x > 0$ pour tout réel $x$.

Méthode 2 : Lever une forme indéterminée avec exp

1. En $+\infty$, factorise par le terme qui « l'emporte » (en général l'exponentielle).
2. Fais apparaître $\frac{e^x}{x^n}$ (en $+\infty$), $x^n e^x$ (en $-\infty$) ou $\frac{e^x - 1}{x}$ (en $0$).
3. Si besoin, change de variable ($t = 3x$, $t = -x$...).

Exemple 1 : $e^x - x^2 = x^2\left(\frac{e^x}{x^2} - 1\right)$. Comme $\frac{e^x}{x^2} \to +\infty$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = +\infty$.

Exemple 2 : $(x + 2)e^x = xe^x + 2e^x$. En $-\infty$, $xe^x \to 0$ et $e^x \to 0$, donc $\lim_{x \to -\infty} (x + 2)e^x = 0$.

Exemple 3 : $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \times \frac{e^{3x} - 1}{3x}$. Avec $t = 3x \to 0$, la limite en $0$ vaut $3$.

Exemple 4 : $xe^{-x} = \frac{x}{e^x} = \frac{1}{e^x/x}$. Comme $\frac{e^x}{x} \to +\infty$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$.

Méthode 3 : Étudier le signe d'une dérivée avec exp

1. Dérive avec $(e^u)' = u'e^u$ et la dérivée d'un produit ou d'un quotient.
2. Factorise par l'exponentielle $e^{u(x)}$.
3. Comme $e^{u(x)} > 0$, le signe de la dérivée est celui de l'autre facteur.

Exemple : $f(x) = (x - 1)e^x$. On a $f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x$, du signe de $x$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$, croissante sur $[0,+\infty[$, et son minimum vaut $f(0) = -1$.

Autre exemple : $g(x) = x^2e^{-x}$. On a $g'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$, du signe de $x(2 - x)$.

Méthode 4 : Trouver une primitive avec exp

1. Reconnais la forme $u'e^u$, quitte à ajuster une constante multiplicative.
2. Pour une expression du type $(ax + b)e^x$, cherche une primitive de la forme $(\alpha x + \beta)e^x$ : dérive-la et identifie les coefficients.

Exemple 1 : $xe^{x^2} = \frac{1}{2} \times 2xe^{x^2}$ : une primitive est $\frac{1}{2}e^{x^2}$.

Exemple 2 : une primitive de $e^{-2x+1}$ est $-\frac{1}{2}e^{-2x+1}$.

Exemple 3 : on cherche une primitive de $xe^x$ de la forme $F(x) = (\alpha x + \beta)e^x$. On a $F'(x) = (\alpha x + \alpha + \beta)e^x$. Il faut $\alpha = 1$ et $\alpha + \beta = 0$, soit $\beta = -1$ : $F(x) = (x - 1)e^x$.

Méthode 5 : Travailler avec $a^x$

1. Réécris $a^x = e^{x\ln a}$.
2. Pour $a^x = b$ (avec $b > 0$ et $a \neq 1$) : $x\ln a = \ln b$, donc $x = \frac{\ln b}{\ln a}$.
3. Pour une inéquation, regarde le signe de $\ln a$ avant de diviser : si $0 < a < 1$, $\ln a < 0$ et le sens change.

Exemple 1 : $2^x = 5 \iff x\ln 2 = \ln 5 \iff x = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$.

Exemple 2 : $0{,}5^x \ge 8 \iff x\ln 0{,}5 \ge \ln 8 \iff -x\ln 2 \ge 3\ln 2 \iff x \le -3$. $S = ]-\infty, -3]$.

Exercices corrigés