2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)

Fonctions logarithmes

Cours complet sur les fonctions logarithmes 2e Bac PC/SVT : ln, propriétés, limites, dérivée de ln u, log décimal, 10 exercices corrigés et QCM.

60 min
10 exercices corrigés
QCM de 8 questions

Prérequis : Limites et continuité, dérivation et étude de fonctions, fonctions primitives (2e Bac)

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L'essentiel

1. Définition de la fonction logarithme népérien

Cette définition a un sens : la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur l'intervalle $]0,+\infty[$ , donc elle admet des primitives sur cet intervalle, et une seule d'entre elles prend la valeur $0$ en $1$ .

Conséquences immédiates de la définition :

$\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ et $\ln 1 = 0$ .
$\ln$ est dérivable (donc continue) sur $]0,+\infty[$ et $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ .
Comme $\frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$ , la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

Ce nombre existe et il est unique, car $\ln$ est continue et strictement croissante de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ (voir les limites au paragraphe 3) : le réel $1$ a donc exactement un antécédent.

2. Propriétés algébriques

Plus généralement, pour tout nombre rationnel $r$ , on a $\ln(a^r) = r\ln a$ . Par exemple, $\ln(e^n) = n$ pour tout entier relatif $n$ .

3. Limites usuelles

Les limites aux bornes de l'ensemble de définition :

\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

Les limites à connaître par cœur :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ .
$\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\lim_{x \to 0^+} x^n\ln x = 0$ .
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ .

4. Étude de la fonction ln et courbe représentative

$x$	$0$		$1$		$e$		$+\infty$
$\ln'(x)$		$+$		$+$		$+$
$\ln x$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$

On note $(C)$ la courbe de $\ln$ dans un repère orthonormé.

La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C)$ .
Comme $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .
La tangente au point $A(1, 0)$ a pour équation $y = x - 1$ ; la tangente au point $B(e, 1)$ a pour équation $y = \frac{1}{e}x$ (elle passe par l'origine).
$\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ : la courbe est concave, elle est située en dessous de ses tangentes. En particulier, pour tout $x > 0$ : $\ln x \le x - 1$ .
$\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : tout réel a un unique antécédent par $\ln$ .

5. Dérivée de $\ln u$ et de $\ln|u|$

Pour l'ensemble de définition : $x \mapsto \ln(u(x))$ est définie quand $u(x) > 0$ , et $x \mapsto \ln|u(x)|$ est définie quand $u(x) \neq 0$ .

6. Primitives de $\frac{u'}{u}$

7. Logarithme de base $a$ et logarithme décimal

Propriétés de $\log_a$ :

$\log_a(1) = 0$ , $\log_a(a) = 1$ et $\log_a(a^r) = r$ pour tout rationnel $r$ .
$\log_a$ a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ : $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ et $\log_a(x^n) = n\log_a x$ .
$\log_a$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $(\log_a)'(x) = \frac{1}{x\ln a}$ : elle est strictement croissante si $a > 1$ et strictement décroissante si $0 < a < 1$ .
Le logarithme de base $e$ est la fonction $\ln$ elle-même.

Méthodes

Méthode 1 : Déterminer l'ensemble de définition

Repère chaque expression $\ln(u(x))$ : elle impose la condition $u(x) > 0$ .
Pour une expression $\ln|u(x)|$ , la condition est seulement $u(x) \neq 0$ .
Ajoute les autres conditions (dénominateur non nul, racine carrée...) et prends l'intersection de toutes les conditions.

Exemple : $f(x) = \ln\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)$ . Il faut $x \neq -2$ et $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ . Le quotient a le signe de $(x - 1)(x + 2)$ , qui est strictement positif à l'extérieur des racines $-2$ et $1$ . Donc $D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]1, +\infty[$ .

Méthode 2 : Résoudre une équation ou une inéquation

Détermine l'ensemble $D$ sur lequel l'équation (ou l'inéquation) a un sens.
Sur $D$ , transforme l'écriture en $\ln A = \ln B$ (ou $\ln A < \ln B$ ) grâce aux propriétés algébriques.
Utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $\ln A < \ln B \iff A < B$ (valables pour $A > 0$ et $B > 0$ ).
Ne garde que les solutions qui appartiennent à $D$ .

Exemple 1 : résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 3$ . Il faut $x > 0$ et $x > 2$ , donc $D = ]2,+\infty[$ . Sur $D$ , l'équation s'écrit $\ln\left(x(x - 2)\right) = \ln 3$ , soit $x^2 - 2x - 3 = 0$ , dont les racines sont $3$ et $-1$ . Seul $3$ appartient à $D$ : $S = \{3\}$ .

Exemple 2 : résous $\ln(2x - 1) \le \ln(x + 3)$ . Il faut $x > \frac{1}{2}$ et $x > -3$ , donc $D = ]\frac{1}{2},+\infty[$ . Sur $D$ : $2x - 1 \le x + 3 \iff x \le 4$ . Donc $S = ]\frac{1}{2}, 4]$ .

Méthode 3 : Lever une forme indéterminée

Repère la forme indéterminée : $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$ .
Factorise par le terme qui « l'emporte » pour faire apparaître une limite usuelle ( $\frac{\ln x}{x}$ , $x\ln x$ ...).
Si besoin, fais un changement de variable ( $t = \sqrt{x}$ , $t = 3x$ ...).

Exemple 1 : $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)$ est de la forme $+\infty - \infty$ . On écrit $x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)$ . Comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$ , la parenthèse tend vers $1$ et la limite vaut $+\infty$ .

Exemple 2 : pour $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ , pose $t = \sqrt{x}$ . Alors $x = t^2$ , $\ln x = 2\ln t$ et $\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{2\ln t}{t}$ . Quand $x \to +\infty$ , $t \to +\infty$ , donc la limite vaut $0$ .

Exemple 3 : $\frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \times \frac{\ln(1 + 3x)}{3x}$ . Avec $t = 3x \to 0$ , on obtient $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3$ .

Méthode 4 : Étudier une fonction contenant ln

Détermine l'ensemble de définition.
Calcule les limites aux bornes (méthode 3 si forme indéterminée).
Calcule la dérivée (souvent avec $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ ) et étudie son signe : le dénominateur est souvent positif, seul le numérateur compte.
Dresse le tableau de variations et étudie les branches infinies.

Exemple : $f(x) = x - \ln x$ sur $]0,+\infty[$ . On a $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , du signe de $x - 1$ . En $0^+$ , $-\ln x \to +\infty$ donc $f(x) \to +\infty$ ; en $+\infty$ , $f(x) \to +\infty$ (méthode 3).

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$

Conclusion : pour tout $x > 0$ , $f(x) \ge 1$ , donc $\ln x \le x - 1 < x$ .

Méthode 5 : Trouver une primitive de la forme $\frac{u'}{u}$

Repère au dénominateur une fonction $u$ et vérifie que le numérateur est $u'$ , à une constante multiplicative près.
Ajuste cette constante.
Écris $\ln|u| + C$ , ou $\ln u + C$ si $u > 0$ sur l'intervalle.

Exemples :

Sur $\mathbb{R}$ , une primitive de $x \mapsto \frac{2x}{x^2 + 1}$ est $x \mapsto \ln(x^2 + 1)$ .
Sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ , $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{(\cos x)'}{\cos x}$ avec $\cos x > 0$ : une primitive de $\tan$ est $x \mapsto -\ln(\cos x)$ .

Méthode 6 : Utiliser ln pour trouver un exposant

Pour résoudre $a^n \ge b$ (avec $a > 0$ , $b > 0$ , $n$ entier inconnu), applique $\ln$ , qui est croissante : $n\ln a \ge \ln b$ .
Divise par $\ln a$ en regardant son signe : si $a > 1$ , $\ln a > 0$ et le sens ne change pas ; si $0 < a < 1$ , $\ln a < 0$ et le sens de l'inégalité change.

Exemple 1 : le plus petit entier $n$ tel que $2^n \ge 1000$ . On a $n\ln 2 \ge \ln 1000$ , soit $n \ge \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$ . Donc $n = 10$ (vérification : $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$ ).

Exemple 2 : le plus petit entier $n$ tel que $0{,}9^n \le 0{,}5$ . On a $n\ln 0{,}9 \le \ln 0{,}5$ et $\ln 0{,}9 < 0$ , donc $n \ge \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$ . Donc $n = 7$ (vérification : $0{,}9^6 \approx 0{,}531$ et $0{,}9^7 \approx 0{,}478$ ).

Exercices corrigés

Exercice 1 : Calculs avec les propriétés algébriques

Facile

Exprime en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ : $A = \ln 72$ , $B = \ln\left(\frac{16}{9}\right)$ et $C = \ln\sqrt{6} + \ln\left(\frac{1}{12}\right)$ .
Simplifie $D = \ln(e^2) - \ln\left(\frac{1}{e}\right) + \ln\sqrt{e}$ .

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1) On décompose en facteurs premiers : $72 = 2^3 \times 3^2$ , donc $A = 3\ln 2 + 2\ln 3$ .

$B = \ln 16 - \ln 9 = \ln(2^4) - \ln(3^2) = 4\ln 2 - 2\ln 3$ .

$C = \frac{1}{2}\ln 6 - \ln 12 = \frac{1}{2}(\ln 2 + \ln 3) - (2\ln 2 + \ln 3) = -\frac{3}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3$ .

Contrôle numérique : $C = \ln\left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \approx -1{,}589$ et $-\frac{3}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3 \approx -1{,}589$ .

2) $\ln(e^2) = 2$ , $\ln\left(\frac{1}{e}\right) = -1$ et $\ln\sqrt{e} = \frac{1}{2}$ . Donc $D = 2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ .

Exercice 2 : Équations avec ln

Facile

Résous dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

$\ln(2x + 1) = \ln(x + 4)$
$\ln(x - 1) = 2$
$(\ln x)^2 - \ln x - 6 = 0$

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1) Il faut $2x + 1 > 0$ et $x + 4 > 0$ , soit $x > -\frac{1}{2}$ : $D = ]-\frac{1}{2},+\infty[$ . Sur $D$ : $2x + 1 = x + 4 \iff x = 3$ , et $3 \in D$ . Donc $S = \{3\}$ .

2) Il faut $x > 1$ . Comme $2 = \ln(e^2)$ , l'équation s'écrit $\ln(x - 1) = \ln(e^2)$ , soit $x - 1 = e^2$ , donc $x = 1 + e^2$ , qui est bien strictement supérieur à $1$ . $S = \{1 + e^2\}$ .

3) Il faut $x > 0$ . On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - X - 6 = 0$ . Le discriminant vaut $1 + 24 = 25$ , donc $X = \frac{1 + 5}{2} = 3$ ou $X = \frac{1 - 5}{2} = -2$ .

$\ln x = 3 \iff x = e^3$ et $\ln x = -2 \iff x = e^{-2}$ . Les deux valeurs sont strictement positives : $S = \{e^{-2}, e^3\}$ .

Exercice 3 : Inéquations avec ln

Moyen

Résous dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

$\ln(3 - x) \ge 0$
$\ln x + \ln(x + 1) < \ln 6$
$(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 \le 0$

Voir le corrigé

1) Il faut $3 - x > 0$ , soit $x < 3$ . Comme $0 = \ln 1$ , l'inéquation s'écrit $\ln(3 - x) \ge \ln 1$ , soit $3 - x \ge 1$ , donc $x \le 2$ . Avec la condition $x < 3$ : $S = ]-\infty, 2]$ .

2) Il faut $x > 0$ et $x + 1 > 0$ , donc $D = ]0,+\infty[$ . Sur $D$ , l'inéquation s'écrit $\ln\left(x(x + 1)\right) < \ln 6$ , soit $x^2 + x - 6 < 0$ . Les racines de $x^2 + x - 6$ sont $2$ et $-3$ , et ce trinôme est strictement négatif entre ses racines : $-3 < x < 2$ . Avec $x > 0$ : $S = ]0, 2[$ .

3) Il faut $x > 0$ . Avec $X = \ln x$ : $X^2 - 3X + 2 \le 0$ , soit $(X - 1)(X - 2) \le 0$ , donc $1 \le X \le 2$ . Ainsi $\ln e \le \ln x \le \ln(e^2)$ , ce qui donne $e \le x \le e^2$ . $S = [e, e^2]$ .

Exercice 4 : Calculs de limites

Moyen

Calcule les limites suivantes.

$\lim_{x \to +\infty} (x - 2\ln x)$
$\lim_{x \to 0^+} (x - 1)\ln x$
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{3x}$
$\lim_{x \to +\infty} \left(\ln(x + 1) - \ln x\right)$
$\lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2$
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2 - 1}$

Voir le corrigé

1) Forme $+\infty - \infty$ . On factorise : $x - 2\ln x = x\left(1 - 2\frac{\ln x}{x}\right)$ . Comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$ , la parenthèse tend vers $1$ , donc la limite vaut $+\infty$ .

2) Pas de forme indéterminée : $x - 1 \to -1$ et $\ln x \to -\infty$ , donc le produit tend vers $+\infty$ .

3) On écrit $\frac{\ln(1 + 2x)}{3x} = \frac{2}{3} \times \frac{\ln(1 + 2x)}{2x}$ . Avec $t = 2x \to 0$ , $\frac{\ln(1 + t)}{t} \to 1$ . La limite vaut $\frac{2}{3}$ .

4) Pour $x > 0$ : $\ln(x + 1) - \ln x = \ln\left(\frac{x + 1}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ . Comme $1 + \frac{1}{x} \to 1$ et que $\ln$ est continue en $1$ , la limite vaut $\ln 1 = 0$ .

5) Forme $0 \times \infty$ . Pose $t = \sqrt{x}$ : $x = t^2$ et $\ln x = 2\ln t$ , donc $x(\ln x)^2 = t^2 \times 4(\ln t)^2 = 4(t\ln t)^2$ . Quand $x \to 0^+$ , $t \to 0^+$ et $t\ln t \to 0$ . La limite vaut $0$ .

6) Forme $\frac{0}{0}$ . On écrit $\frac{\ln x}{x^2 - 1} = \frac{\ln x}{x - 1} \times \frac{1}{x + 1}$ . Comme $\frac{\ln x}{x - 1} \to 1$ et $\frac{1}{x + 1} \to \frac{1}{2}$ , la limite vaut $\frac{1}{2}$ .

Exercice 5 : Calculs de dérivées

Moyen

Pour chaque fonction, précise l'ensemble sur lequel elle est dérivable et calcule sa dérivée.

$f_1(x) = \ln(x^2 + x + 1)$
$f_2(x) = x\ln x - x$
$f_3(x) = \frac{\ln x}{x}$
$f_4(x) = \ln|x - 3|$
$f_5(x) = \ln(\ln x)$

Déduis ensuite de la question 3 que, pour tout $x > 0$ , $\ln x \le \frac{x}{e}$ .

Voir le corrigé

1) Le trinôme $x^2 + x + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = -3 < 0$ : il est strictement positif sur $\mathbb{R}$ . Donc $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_1'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$ .

2) Sur $]0,+\infty[$ : $f_2'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ .

3) Sur $]0,+\infty[$ : $f_3'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ .

4) $f_4$ est dérivable sur $]-\infty, 3[$ et sur $]3,+\infty[$ , et sur chacun de ces intervalles $f_4'(x) = \frac{1}{x - 3}$ .

5) Il faut $x > 0$ et $\ln x > 0$ , soit $x > 1$ . Sur $]1,+\infty[$ , avec $u = \ln x$ : $f_5'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{1/x}{\ln x} = \frac{1}{x\ln x}$ .

Conséquence. $f_3'(x)$ a le signe de $1 - \ln x$ : positif sur $]0, e]$ , négatif sur $[e,+\infty[$ . Donc $f_3$ admet un maximum en $e$ , égal à $f_3(e) = \frac{1}{e}$ . Ainsi, pour tout $x > 0$ , $\frac{\ln x}{x} \le \frac{1}{e}$ , d'où $\ln x \le \frac{x}{e}$ .

Exercice 6 : Calculs de primitives

Moyen

Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle $I$ indiqué.

$f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 5}$ sur $I = \mathbb{R}$
$g(x) = \frac{\ln x}{x}$ sur $I = ]0,+\infty[$
$h(x) = \frac{1}{x\ln x}$ sur $I = ]1,+\infty[$
$k(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ sur $I = ]1,+\infty[$ , puis la primitive $K$ de $k$ sur $I$ telle que $K(2) = 0$
$m(x) = \frac{3}{1 - x}$ sur $I = ]1,+\infty[$

Voir le corrigé

1) Avec $u(x) = x^2 + 3x + 5$ , on a $u'(x) = 2x + 3$ . Le discriminant de $u$ vaut $9 - 20 = -11 < 0$ , donc $u > 0$ sur $\mathbb{R}$ . Une primitive est $F(x) = \ln(x^2 + 3x + 5)$ .

2) $g(x) = \frac{1}{x} \times \ln x$ est de la forme $u'u$ avec $u = \ln x$ . Une primitive est $G(x) = \frac{1}{2}(\ln x)^2$ .

3) $h(x) = \frac{1/x}{\ln x}$ est de la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = \ln x > 0$ sur $]1,+\infty[$ . Une primitive est $H(x) = \ln(\ln x)$ .

4) $k(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 - 1}$ et $x^2 - 1 > 0$ sur $]1,+\infty[$ . Les primitives sont $x \mapsto \frac{1}{2}\ln(x^2 - 1) + C$ . La condition $K(2) = 0$ donne $\frac{1}{2}\ln 3 + C = 0$ , donc $K(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 1) - \frac{1}{2}\ln 3$ .

5) Avec $u(x) = 1 - x$ , on a $u'(x) = -1$ , donc $m(x) = -3 \times \frac{-1}{1 - x} = -3\frac{u'}{u}$ . Sur $]1,+\infty[$ , $u$ ne s'annule pas et $|1 - x| = x - 1$ . Une primitive est $M(x) = -3\ln(x - 1)$ . Vérification : $M'(x) = \frac{-3}{x - 1} = \frac{3}{1 - x}$ .

Exercice 7 : Logarithme décimal et logarithme de base a

Moyen

Calcule sans calculatrice $\log 1000$ , $\log 0{,}01$ , $\log\sqrt{10}$ et $\log_2 32$ .
Une solution a une concentration $[\text{H}_3\text{O}^+] = 4 \times 10^{-3}$ mol/L. Calcule son pH à $10^{-2}$ près, sachant que $\log 4 \approx 0{,}602$ .
On dilue cette solution dix fois : la concentration est divisée par $10$ . Montre que le pH augmente de $1$ .
Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $3^n > 10^6$ .
Étudie le sens de variation de la fonction $\log_{\frac{1}{2}}$ .

Voir le corrigé

1) $\log 1000 = \log(10^3) = 3$ ; $\log 0{,}01 = \log(10^{-2}) = -2$ ; $\log\sqrt{10} = \frac{1}{2}\log 10 = \frac{1}{2}$ ; $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .

2) $\text{pH} = -\log(4 \times 10^{-3}) = -(\log 4 + \log 10^{-3}) = 3 - \log 4 \approx 3 - 0{,}602$ , donc $\text{pH} \approx 2{,}40$ .

3) Si $c$ est la concentration initiale, le nouveau pH vaut $-\log\left(\frac{c}{10}\right) = -\log c + \log 10 = \text{pH} + 1$ .

4) $\ln$ est strictement croissante, donc $3^n > 10^6 \iff n\ln 3 > 6\ln 10 \iff n > \frac{6\ln 10}{\ln 3}$ , car $\ln 3 > 0$ . Or $\frac{6\ln 10}{\ln 3} \approx 12{,}58$ , donc $n = 13$ . Vérification : $3^{12} = 531\,441 < 10^6$ et $3^{13} = 1\,594\,323 > 10^6$ .

5) $\log_{\frac{1}{2}}(x) = \frac{\ln x}{\ln\frac{1}{2}} = -\frac{\ln x}{\ln 2}$ . Sa dérivée vaut $-\frac{1}{x\ln 2} < 0$ sur $]0,+\infty[$ : la fonction est strictement décroissante.

Exercice 8 : Un encadrement de $\ln$ et la limite d'une suite

Difficile

Étudie la fonction $\varphi(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0,+\infty[$ et déduis que, pour tout $x > 0$ , $\ln x \le x - 1$ .
En remplaçant $x$ par $\frac{1}{x}$ , montre que, pour tout $x > 0$ , $1 - \frac{1}{x} \le \ln x$ .
Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_n = n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ . Montre que $\frac{n}{n + 1} \le u_n \le 1$ .
Déduis la limite de la suite $(u_n)$ .

Voir le corrigé

1) $\varphi'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ : négative sur $]0, 1]$ , positive sur $[1,+\infty[$ . Donc $\varphi$ admet un minimum en $1$ , égal à $\varphi(1) = 0$ . Pour tout $x > 0$ , $\varphi(x) \ge 0$ , c'est-à-dire $\ln x \le x - 1$ .

2) Pour $x > 0$ , on a $\frac{1}{x} > 0$ , donc $\ln\frac{1}{x} \le \frac{1}{x} - 1$ , soit $-\ln x \le \frac{1}{x} - 1$ . En multipliant par $-1$ : $\ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$ .

3) On applique les deux inégalités à $x = 1 + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n}$ :

1 - \frac{n}{n + 1} \le \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \le \frac{1}{n}

Comme $1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , on multiplie par $n > 0$ : $\frac{n}{n + 1} \le u_n \le 1$ .

4) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n + 1} = 1$ . D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ . C'est cohérent avec la limite usuelle $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$ , appliquée à $t = \frac{1}{n}$ .

Exercice 9 : Étude d'une fonction avec une fonction auxiliaire

Type Bac

Partie I. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x) = x^2 - 1 + \ln x$ .

Calcule $g'(x)$ et montre que $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .
Calcule $g(1)$ et déduis le signe de $g(x)$ sur $]0,+\infty[$ .

Partie II. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x - 1 - \frac{\ln x}{x}$ , et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Calcule $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interprète graphiquement le résultat.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et montre que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudie la position relative de $(C)$ et $(\Delta)$ .
Montre que, pour tout $x > 0$ , $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ , puis dresse le tableau de variations de $f$ .
Déduis que $f(x) \ge 0$ pour tout $x > 0$ .
Détermine la primitive $F$ de $f$ sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en $1$ .

Voir le corrigé

Partie I.

1) $g'(x) = 2x + \frac{1}{x}$ . Pour $x > 0$ , les deux termes sont strictement positifs, donc $g'(x) > 0$ et $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

2) $g(1) = 1 - 1 + \ln 1 = 0$ . Comme $g$ est strictement croissante : $g(x) < 0$ sur $]0, 1[$ , $g(1) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]1,+\infty[$ .

Partie II.

1) Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac{1}{x} \to +\infty$ , donc $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$ et $-\frac{\ln x}{x} \to +\infty$ . Comme $x - 1 \to -1$ , on obtient $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ . La droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à $(C)$ .

2) Quand $x \to +\infty$ : $\frac{\ln x}{x} \to 0$ et $x - 1 \to +\infty$ , donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ . De plus $f(x) - (x - 1) = -\frac{\ln x}{x} \to 0$ : la droite $(\Delta)$ est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .

3) $f(x) - (x - 1) = -\frac{\ln x}{x}$ a le signe de $-\ln x$ (car $x > 0$ ). Sur $]0, 1[$ , $-\ln x > 0$ : $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$ . Sur $]1,+\infty[$ , $-\ln x < 0$ : $(C)$ est en dessous de $(\Delta)$ . Les deux se coupent au point $A(1, 0)$ .

4) $f'(x) = 1 - \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$ . Donc $f'(x)$ a le signe de $g(x)$ (partie I).

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

5) $f$ admet un minimum en $1$ , égal à $f(1) = 1 - 1 - 0 = 0$ . Donc $f(x) \ge 0$ pour tout $x > 0$ , avec égalité seulement en $x = 1$ . La tangente à $(C)$ en $A(1, 0)$ est horizontale. Pour construire $(C)$ , place l'asymptote verticale $x = 0$ , la droite $(\Delta)$ , le point $A$ avec sa tangente horizontale, et respecte la position relative de la question 3.

6) Une primitive de $x \mapsto x - 1$ est $x \mapsto \frac{x^2}{2} - x$ . Comme $\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x} \times \ln x$ est de la forme $u'u$ avec $u = \ln x$ , une primitive est $\frac{1}{2}(\ln x)^2$ . Donc $F(x) = \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C$ . La condition $F(1) = 0$ donne $\frac{1}{2} - 1 + C = 0$ , soit $C = \frac{1}{2}$ :

F(x) = \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{2}(\ln x)^2 + \frac{1}{2}

Exercice 10 : Étude d'une fonction polynomiale en $\ln x$

Type Bac

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x$ , et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Calcule $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Montre que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ et interprète le résultat.
Montre que $f'(x) = \frac{2(\ln x - 1)}{x}$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
Détermine les points d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses.
Montre que $f''(x) = \frac{2(2 - \ln x)}{x^2}$ . Déduis que $(C)$ admet un point d'inflexion $I$ dont tu donneras les coordonnées, puis écris l'équation de la tangente à $(C)$ en $I$ .
Résous dans $]0,+\infty[$ l'inéquation $f(x) \le 3$ .
Discute, suivant les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

Voir le corrigé

1) On factorise : $f(x) = \ln x(\ln x - 2)$ . Quand $x \to 0^+$ , $\ln x \to -\infty$ et $\ln x - 2 \to -\infty$ , donc $f(x) \to +\infty$ . Quand $x \to +\infty$ , les deux facteurs tendent vers $+\infty$ , donc $f(x) \to +\infty$ .

2) $\frac{f(x)}{x} = \frac{(\ln x)^2}{x} - 2\frac{\ln x}{x}$ . Le second terme tend vers $0$ . Pour le premier, pose $t = \sqrt{x}$ : $\frac{(\ln x)^2}{x} = \frac{(2\ln t)^2}{t^2} = 4\left(\frac{\ln t}{t}\right)^2 \to 0$ . Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ : $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .

3) $f'(x) = 2\ln x \times \frac{1}{x} - \frac{2}{x} = \frac{2(\ln x - 1)}{x}$ . Pour $x > 0$ , $f'(x)$ a le signe de $\ln x - 1$ : négatif sur $]0, e[$ , nul en $e$ , positif sur $]e,+\infty[$ . De plus $f(e) = 1 - 2 = -1$ .

$x$	$0$		$e$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

4) $f(x) = 0 \iff \ln x = 0$ ou $\ln x = 2 \iff x = 1$ ou $x = e^2$ . Les points d'intersection sont $(1, 0)$ et $(e^2, 0)$ .

5) On dérive $f'(x) = \frac{2\ln x - 2}{x}$ comme un quotient : $f''(x) = \frac{\frac{2}{x} \times x - (2\ln x - 2)}{x^2} = \frac{4 - 2\ln x}{x^2} = \frac{2(2 - \ln x)}{x^2}$ . Elle s'annule en $x = e^2$ en changeant de signe (positive avant, négative après). Le point $I(e^2, f(e^2))$ est un point d'inflexion, avec $f(e^2) = 4 - 4 = 0$ , donc $I(e^2, 0)$ .

$f'(e^2) = \frac{2(2 - 1)}{e^2} = \frac{2}{e^2}$ , donc la tangente en $I$ a pour équation $y = \frac{2}{e^2}(x - e^2)$ , soit $y = \frac{2}{e^2}x - 2$ .

6) Avec $X = \ln x$ : $X^2 - 2X - 3 \le 0$ , soit $(X - 3)(X + 1) \le 0$ , donc $-1 \le X \le 3$ . Ainsi $e^{-1} \le x \le e^3$ et $S = [\frac{1}{e}, e^3]$ (environ $[0{,}37 ; 20{,}09]$ ).

7) D'après le tableau : $f$ est continue et strictement décroissante de $]0, e]$ sur $[-1,+\infty[$ , puis continue et strictement croissante de $[e,+\infty[$ sur $[-1,+\infty[$ .

Si $m < -1$ : aucune solution.
Si $m = -1$ : une seule solution, $x = e$ .
Si $m > -1$ : deux solutions, l'une dans $]0, e[$ et l'autre dans $]e,+\infty[$ .

QCM

1.La valeur de

\ln(e^2) - \ln\left(\frac{1}{e}\right)

est :

2.L'ensemble de définition de

f(x) = \ln(x^2 - 4)

est :

\lim_{x \to 0^+} x\ln x

vaut :

4.La dérivée de

x \mapsto \ln(x^2 + 1)

est :

5.Une primitive de

x \mapsto \frac{1}{2x + 1}

sur

]-\frac{1}{2},+\infty[

est :

6.L'ensemble des solutions de l'inéquation

\ln x < 1

est :

\log(0{,}001)

est égal à :

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}

vaut :

Erreurs fréquentes

Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ : c'est faux. La règle concerne le produit : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .
Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$ : pour $x = e$ , $(\ln e)^2 = 1$ alors que $\ln(e^2) = 2$ .
Écrire $\ln(x^2) = 2\ln x$ pour tout $x \neq 0$ : la formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ , car $x$ peut être négatif.
Résoudre sans chercher le domaine : dans $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 3$ , la valeur $-1$ vérifie $x^2 - 2x - 3 = 0$ mais n'est pas solution.
Remplacer $\ln x + \ln(x - 2)$ par $\ln\left(x(x - 2)\right)$ sans préciser que c'est valable seulement pour $x > 2$ .
Dériver $\ln u$ en $\frac{1}{u}$ : la dérivée est $\frac{u'}{u}$ , il ne faut pas oublier $u'$ .
Diviser une inégalité par $\ln a$ sans regarder son signe : si $0 < a < 1$ , alors $\ln a < 0$ et le sens de l'inégalité change.
Croire que $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $1$ ou vers $+\infty$ en $+\infty$ : la limite vaut $0$ .

À retenir

$\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en $1$ : $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ .
$\ln$ est strictement croissante : $\ln a = \ln b \iff a = b$ , $\ln a < \ln b \iff a < b$ , et $\ln x > 0 \iff x > 1$ .
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ .
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$ .
$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ si $u > 0$ , et $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$ si $u$ ne s'annule pas.
Les primitives de $\frac{u'}{u}$ sont $\ln|u| + C$ .
Courbe de $\ln$ : asymptote verticale $x = 0$ , branche parabolique de direction $(Ox)$ , concave, et $\ln x \le x - 1$ .
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ ; $\log$ est le logarithme décimal et $\log(10^n) = n$ .

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Fonctions logarithmes

L'essentiel

1. Définition de la fonction logarithme népérien

2. Propriétés algébriques

3. Limites usuelles

4. Étude de la fonction ln et courbe représentative

5. Dérivée de ln⁡u\ln ulnu et de ln⁡∣u∣\ln|u|ln∣u∣

6. Primitives de u′u\frac{u'}{u}uu′​

7. Logarithme de base aaa et logarithme décimal

Méthodes

Méthode 1 : Déterminer l'ensemble de définition

Méthode 2 : Résoudre une équation ou une inéquation

Méthode 3 : Lever une forme indéterminée

Méthode 4 : Étudier une fonction contenant ln

Méthode 5 : Trouver une primitive de la forme u′u\frac{u'}{u}uu′​

Méthode 6 : Utiliser ln pour trouver un exposant

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

5. Dérivée de $\ln u$ et de $\ln|u|$

6. Primitives de $\frac{u'}{u}$

7. Logarithme de base $a$ et logarithme décimal

Méthode 5 : Trouver une primitive de la forme $\frac{u'}{u}$