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    2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)

    Fonctions primitives

    Fonctions primitives 2e Bac PC/SVT : définition, primitives usuelles, opérations, primitive prenant une valeur donnée, 9 exercices corrigés et QCM.

    • 45 min
    • 9 exercices corrigés
    • QCM de 7 questions

    Prérequis : Dérivation et étude de fonctions, limites et continuité, trigonométrie (1re Bac)

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    L'essentiel

    Dériver, tu sais faire. Ici, on fait le chemin inverse : on connaît une fonction ff et on cherche une fonction FF dont la dérivée est ff. Cette opération est la base du calcul intégral.

    1. Définition

    2. Existence et ensemble des primitives

    En effet, si GG est une autre primitive, alors (G−F)′=f−f=0(G - F)' = f - f = 0 sur l'intervalle II, donc G−FG - F est constante. C'est pour cela qu'on dit « une » primitive et non « la » primitive.

    3. Primitive prenant une valeur donnée

    4. Primitives des fonctions usuelles

    Fonction ffUne primitive FFSur l'intervalle
    aa (constante réelle)axaxR\mathbb{R}
    xnx^n (n∈Nn \in \mathbb{N})xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}R\mathbb{R}
    1x2\frac{1}{x^2}−1x-\frac{1}{x}]−∞,0[]-\infty, 0[ ou ]0,+∞[]0, +\infty[
    1xn\frac{1}{x^n} (n≥2n \geq 2)−1(n−1)xn−1-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}]−∞,0[]-\infty, 0[ ou ]0,+∞[]0, +\infty[
    1x\frac{1}{\sqrt{x}}2x2\sqrt{x}]0,+∞[]0, +\infty[
    xrx^r (r∈Qr \in \mathbb{Q}, r≠−1r \neq -1)xr+1r+1\frac{x^{r+1}}{r+1}]0,+∞[]0, +\infty[
    cos⁡x\cos xsin⁡x\sin xR\mathbb{R}
    sin⁡x\sin x−cos⁡x-\cos xR\mathbb{R}
    1+tan⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}tan⁡x\tan x]−π2+kπ,π2+kπ[\left]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[
    cos⁡(ax+b)\cos(ax + b) (a≠0a \neq 0)1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a}\sin(ax + b)R\mathbb{R}
    sin⁡(ax+b)\sin(ax + b) (a≠0a \neq 0)−1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a}\cos(ax + b)R\mathbb{R}

    5. Opérations sur les primitives

    Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II. Dans chaque ligne, on suppose que les expressions ont un sens sur II.

    FonctionUne primitiveCondition sur II
    u′+v′u' + v'u+vu + vaucune
    k u′k\,u' (k∈Rk \in \mathbb{R})k uk\,uaucune
    u′ unu'\,u^n (n∈Nn \in \mathbb{N})un+1n+1\frac{u^{n+1}}{n+1}aucune
    u′ uru'\,u^r (r∈Qr \in \mathbb{Q}, r≠−1r \neq -1)ur+1r+1\frac{u^{r+1}}{r+1}u>0u > 0
    u′u2\frac{u'}{u^2}−1u-\frac{1}{u}uu ne s'annule pas
    u′un\frac{u'}{u^n} (n≥2n \geq 2)−1(n−1)un−1-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}}uu ne s'annule pas
    u′2u\frac{u'}{2\sqrt{u}}u\sqrt{u}u>0u > 0
    u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}2u2\sqrt{u}u>0u > 0
    u′cos⁡uu'\cos usin⁡u\sin uaucune
    u′sin⁡uu'\sin u−cos⁡u-\cos uaucune
    u′(1+tan⁡2u)u'(1 + \tan^2 u)tan⁡u\tan ucos⁡u\cos u ne s'annule pas
    u′v+uv′u'v + uv'uvuvaucune
    u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}uv\frac{u}{v}vv ne s'annule pas
    u′×(v′∘u)u' \times (v' \circ u)v∘uv \circ uaucune

    Méthodes

    Méthode 1 : Reconnaître une forme u′unu'u^n en ajustant la constante

    1. Repère la fonction uu, celle qui est élevée à une puissance.
    2. Calcule u′u' et compare-la au facteur présent : il ne doit manquer qu'une constante multiplicative.
    3. Fais apparaître u′u' en multipliant et en divisant par cette constante, puis applique la formule.
    4. Vérifie en dérivant ton résultat.

    Méthode 2 : Reconnaître u′u2\frac{u'}{u^2} ou u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}

    1. Repère la fonction uu au dénominateur (au carré ou sous la racine).
    2. Vérifie que le numérateur est u′u', à une constante près.
    3. Applique : u′u2\frac{u'}{u^2} donne −1u-\frac{1}{u} et u′u\frac{u'}{\sqrt{u}} donne 2u2\sqrt{u}. Précise l'intervalle.

    Méthode 3 : Trouver la primitive qui prend une valeur donnée

    1. Détermine une primitive FF de ff, puis écris toutes les primitives F+kF + k.
    2. Traduis la condition G(x0)=y0G(x_0) = y_0 par une équation d'inconnue kk.
    3. Résous et écris GG explicitement.

    Méthode 4 : Linéariser cos⁡2x\cos^2 x et sin⁡2x\sin^2 x

    1. Utilise les formules cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} et sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
    2. Calcule une primitive de chaque terme avec cos⁡(ax+b)\cos(ax + b).

    Méthode 5 : Transformer une fraction avant de chercher une primitive

    1. Si le numérateur ressemble au dénominateur, fais apparaître celui-ci dans le numérateur.
    2. Sépare en une somme de termes du tableau (constante, u′u2\frac{u'}{u^2}, u′un\frac{u'}{u^n}...).
    3. Calcule une primitive de chaque terme.

    Exercices corrigés

    Exercice 1 : Primitives usuelles

    Facile

    Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

    1. f1(x)=6x2−4x+5f_1(x) = 6x^2 - 4x + 5 sur R\mathbb{R}
    2. f2(x)=x42−3x2f_2(x) = \frac{x^4}{2} - \frac{3}{x^2} sur ]0,+∞[]0, +\infty[
    3. f3(x)=1x+cos⁡xf_3(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \cos x sur ]0,+∞[]0, +\infty[
    4. f4(x)=1x3f_4(x) = \frac{1}{x^3} sur ]0,+∞[]0, +\infty[
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    1. F1(x)=6×x33−4×x22+5x=2x3−2x2+5xF_1(x) = 6 \times \frac{x^3}{3} - 4 \times \frac{x^2}{2} + 5x = 2x^3 - 2x^2 + 5x.
    2. F2(x)=12×x55−3×(−1x)=x510+3xF_2(x) = \frac{1}{2} \times \frac{x^5}{5} - 3 \times \left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{x^5}{10} + \frac{3}{x}.
    3. F3(x)=2x+sin⁡xF_3(x) = 2\sqrt{x} + \sin x.
    4. Avec la formule de 1xn\frac{1}{x^n} pour n=3n = 3 : F4(x)=−12x2F_4(x) = -\frac{1}{2x^2}. Vérification : F4′(x)=−12×−2xx4=1x3F_4'(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{-2x}{x^4} = \frac{1}{x^3}.

    Exercice 2 : Forme u′unu'u^n

    Facile

    Détermine une primitive de chaque fonction sur R\mathbb{R}.

    1. f(x)=(2x+1)(x2+x+3)4f(x) = (2x + 1)(x^2 + x + 3)^4
    2. g(x)=x(x2−1)3g(x) = x(x^2 - 1)^3
    3. h(x)=(3x−2)5h(x) = (3x - 2)^5
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    1. Avec u(x)=x2+x+3u(x) = x^2 + x + 3, on a u′(x)=2x+1u'(x) = 2x + 1 : f=u′ u4f = u'\,u^4, donc F(x)=(x2+x+3)55F(x) = \frac{(x^2 + x + 3)^5}{5}.
    2. Avec u(x)=x2−1u(x) = x^2 - 1, u′(x)=2xu'(x) = 2x, donc g=12 u′ u3g = \frac{1}{2}\,u'\,u^3 et G(x)=12×(x2−1)44=(x2−1)48G(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(x^2 - 1)^4}{4} = \frac{(x^2 - 1)^4}{8}.
    3. Avec u(x)=3x−2u(x) = 3x - 2, u′(x)=3u'(x) = 3, donc h=13 u′ u5h = \frac{1}{3}\,u'\,u^5 et H(x)=13×(3x−2)66=(3x−2)618H(x) = \frac{1}{3} \times \frac{(3x - 2)^6}{6} = \frac{(3x - 2)^6}{18}.

    Exercice 3 : Formes u′u2\frac{u'}{u^2} et u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}

    Facile

    Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

    1. f(x)=2(2x+1)2f(x) = \frac{2}{(2x + 1)^2} sur ]−12,+∞[\left]-\frac{1}{2}, +\infty\right[
    2. g(x)=xx2+4g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} sur R\mathbb{R}
    3. h(x)=x+1(x2+2x+5)2h(x) = \frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 5)^2} sur R\mathbb{R}
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    1. Avec u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1, u′(x)=2u'(x) = 2 : f=u′u2f = \frac{u'}{u^2}, donc F(x)=−12x+1F(x) = -\frac{1}{2x + 1}.
    2. Avec u(x)=x2+4>0u(x) = x^2 + 4 > 0, u′(x)=2xu'(x) = 2x : g=u′2ug = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, donc G(x)=x2+4G(x) = \sqrt{x^2 + 4}.
    3. Avec u(x)=x2+2x+5u(x) = x^2 + 2x + 5, on a u′(x)=2x+2=2(x+1)u'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1). De plus u(x)=(x+1)2+4>0u(x) = (x + 1)^2 + 4 > 0, donc uu ne s'annule pas sur R\mathbb{R}. Ainsi h=12×u′u2h = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u^2} et :
    H(x)=−12(x2+2x+5)H(x) = -\frac{1}{2(x^2 + 2x + 5)}

    Exercice 4 : Fonctions trigonométriques

    Moyen

    Détermine une primitive de chaque fonction.

    1. f(x)=sin⁡(3x)+cos⁡(x2)f(x) = \sin(3x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) sur R\mathbb{R}
    2. g(x)=sin⁡xcos⁡3xg(x) = \sin x \cos^3 x sur R\mathbb{R}
    3. h(x)=cos⁡2xh(x) = \cos^2 x sur R\mathbb{R}
    4. k(x)=tan⁡2xk(x) = \tan^2 x sur ]−π2,π2[\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[
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    1. F(x)=−13cos⁡(3x)+2sin⁡(x2)F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x) + 2\sin\left(\frac{x}{2}\right), car une primitive de cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) est 11/2sin⁡(x2)\frac{1}{1/2}\sin\left(\frac{x}{2}\right).
    2. Avec u(x)=cos⁡xu(x) = \cos x, u′(x)=−sin⁡xu'(x) = -\sin x, donc g=−u′ u3g = -u'\,u^3 et G(x)=−cos⁡4x4G(x) = -\frac{\cos^4 x}{4}.
    3. cos⁡2x=12+12cos⁡(2x)\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x), donc H(x)=x2+sin⁡(2x)4H(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}.
    4. tan⁡2x=(1+tan⁡2x)−1\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1, donc K(x)=tan⁡x−xK(x) = \tan x - x.

    Exercice 5 : Primitive prenant une valeur donnée

    Moyen
    1. Soit f(x)=3x2−2x+1x2f(x) = 3x^2 - 2x + \frac{1}{x^2} sur ]0,+∞[]0, +\infty[. Détermine la primitive FF de ff telle que F(1)=2F(1) = 2.
    2. Soit g(x)=cos⁡(2x)−sin⁡xg(x) = \cos(2x) - \sin x sur R\mathbb{R}. Détermine la primitive GG de gg telle que G(π)=0G(\pi) = 0.
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    1. Les primitives de ff sont F(x)=x3−x2−1x+kF(x) = x^3 - x^2 - \frac{1}{x} + k. Alors F(1)=1−1−1+k=k−1F(1) = 1 - 1 - 1 + k = k - 1, et F(1)=2F(1) = 2 donne k=3k = 3 :
    F(x)=x3−x2−1x+3F(x) = x^3 - x^2 - \frac{1}{x} + 3
    1. Les primitives de gg sont G(x)=sin⁡(2x)2+cos⁡x+kG(x) = \frac{\sin(2x)}{2} + \cos x + k. Alors G(π)=0+(−1)+kG(\pi) = 0 + (-1) + k, et G(π)=0G(\pi) = 0 donne k=1k = 1 :
    G(x)=sin⁡(2x)2+cos⁡x+1G(x) = \frac{\sin(2x)}{2} + \cos x + 1

    Exercice 6 : Puissances rationnelles

    Moyen

    Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

    1. f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} sur ]0,+∞[]0, +\infty[
    2. g(x)=xx2+1g(x) = x\sqrt{x^2 + 1} sur R\mathbb{R}
    3. h(x)=1(2x+1)23h(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} sur ]−12,+∞[\left]-\frac{1}{2}, +\infty\right[
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    1. f(x)=x13f(x) = x^{\frac{1}{3}}, donc F(x)=x4343=34 x43=34 xx3F(x) = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,x\sqrt[3]{x}.
    2. Avec u(x)=x2+1>0u(x) = x^2 + 1 > 0 et u′(x)=2xu'(x) = 2x : g=12 u′ u12g = \frac{1}{2}\,u'\,u^{\frac{1}{2}}, donc G(x)=12×u3232=13(x2+1)32=13(x2+1)x2+1G(x) = \frac{1}{2} \times \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}.
    3. h(x)=(2x+1)−23h(x) = (2x + 1)^{-\frac{2}{3}}. Avec u(x)=2x+1>0u(x) = 2x + 1 > 0 et u′(x)=2u'(x) = 2 : h=12 u′ u−23h = \frac{1}{2}\,u'\,u^{-\frac{2}{3}}, donc H(x)=12×u1313=322x+13H(x) = \frac{1}{2} \times \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2x + 1}.

    Vérification de 3. : H′(x)=32×13×2 (2x+1)−23=(2x+1)−23=h(x)H'(x) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \times 2\,(2x + 1)^{-\frac{2}{3}} = (2x + 1)^{-\frac{2}{3}} = h(x).

    Exercice 7 : Décomposer une fraction

    Difficile

    Soit f(x)=x(x+1)3f(x) = \frac{x}{(x + 1)^3} sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[.

    1. Montre que f(x)=1(x+1)2−1(x+1)3f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x + 1)^3}.
    2. Déduis une primitive FF de ff sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[.
    3. Détermine la primitive GG de ff qui s'annule en 00, et montre que G(x)=x22(x+1)2G(x) = \frac{x^2}{2(x + 1)^2}.
    Voir le corrigé
    1. 1(x+1)2−1(x+1)3=(x+1)−1(x+1)3=x(x+1)3=f(x)\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 1}{(x + 1)^3} = \frac{x}{(x + 1)^3} = f(x).
    1. Avec u(x)=x+1u(x) = x + 1 (u′=1u' = 1), 1u2\frac{1}{u^2} a pour primitive −1u-\frac{1}{u} et 1u3\frac{1}{u^3} a pour primitive −12u2-\frac{1}{2u^2}. Donc :
    F(x)=−1x+1+12(x+1)2F(x) = -\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2}
    1. F(0)=−1+12=−12F(0) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}, donc G(x)=F(x)+12G(x) = F(x) + \frac{1}{2}. On réduit au même dénominateur :
    G(x)=−2(x+1)+1+(x+1)22(x+1)2=x2+2x+1−2x−2+12(x+1)2=x22(x+1)2G(x) = \frac{-2(x + 1) + 1 + (x + 1)^2}{2(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 1}{2(x + 1)^2} = \frac{x^2}{2(x + 1)^2}

    Contrôle : G(0)=0G(0) = 0.

    Exercice 8 : Vérifier puis exploiter une primitive

    Type Bac

    Soit ff la fonction définie sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[ par f(x)=xx+1f(x) = x\sqrt{x + 1}.

    1. Montre que F(x)=215(3x−2)(x+1)x+1F(x) = \frac{2}{15}(3x - 2)(x + 1)\sqrt{x + 1} est une primitive de ff sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[.
    2. Déduis la primitive GG de ff qui s'annule en 00.
    3. Retrouve le résultat de 1. autrement : vérifie que f(x)=(x+1)32−(x+1)12f(x) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x + 1)^{\frac{1}{2}}, puis calcule une primitive de chaque terme.
    Voir le corrigé
    1. On écrit F(x)=215(3x−2)(x+1)32F(x) = \frac{2}{15}(3x - 2)(x + 1)^{\frac{3}{2}} et on dérive le produit :
    F′(x)=215[3(x+1)32+(3x−2)×32(x+1)12]=215x+1[3(x+1)+32(3x−2)]F'(x) = \frac{2}{15}\left[3(x + 1)^{\frac{3}{2}} + (3x - 2) \times \frac{3}{2}(x + 1)^{\frac{1}{2}}\right] = \frac{2}{15}\sqrt{x + 1}\left[3(x + 1) + \frac{3}{2}(3x - 2)\right]

    Le crochet vaut 3x+3+92x−3=152x3x + 3 + \frac{9}{2}x - 3 = \frac{15}{2}x. Donc F′(x)=215×152 xx+1=xx+1=f(x)F'(x) = \frac{2}{15} \times \frac{15}{2}\,x\sqrt{x + 1} = x\sqrt{x + 1} = f(x).

    1. F(0)=215×(−2)×1=−415F(0) = \frac{2}{15} \times (-2) \times 1 = -\frac{4}{15}. La primitive qui s'annule en 00 est G(x)=F(x)−F(0)=F(x)+415G(x) = F(x) - F(0) = F(x) + \frac{4}{15}.
    1. (x+1)32−(x+1)12=(x+1)12((x+1)−1)=xx+1(x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x + 1)^{\frac{1}{2}} = (x + 1)^{\frac{1}{2}}\big((x + 1) - 1\big) = x\sqrt{x + 1}. Avec la forme u′uru'u^r (u(x)=x+1u(x) = x + 1) :
    25(x+1)52−23(x+1)32=(x+1)32(2(x+1)5−23)=(x+1)32×6x−415\frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} = (x + 1)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2(x + 1)}{5} - \frac{2}{3}\right) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} \times \frac{6x - 4}{15}

    et 6x−415=215(3x−2)\frac{6x - 4}{15} = \frac{2}{15}(3x - 2) : on retrouve exactement F(x)F(x).

    Exercice 9 : Primitive de sin⁡3x\sin^3 x

    Type Bac

    Soit f(x)=sin⁡3xf(x) = \sin^3 x sur R\mathbb{R}.

    1. Montre que f(x)=sin⁡x−sin⁡xcos⁡2xf(x) = \sin x - \sin x\cos^2 x.
    2. Déduis une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
    3. Détermine la primitive FF de ff telle que F(0)=0F(0) = 0, puis calcule F(π)F(\pi).
    Voir le corrigé
    1. sin⁡3x=sin⁡x×sin⁡2x=sin⁡x(1−cos⁡2x)=sin⁡x−sin⁡xcos⁡2x\sin^3 x = \sin x \times \sin^2 x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x\cos^2 x.
    1. Une primitive de sin⁡x\sin x est −cos⁡x-\cos x. Pour sin⁡xcos⁡2x\sin x\cos^2 x, on pose u(x)=cos⁡xu(x) = \cos x, u′(x)=−sin⁡xu'(x) = -\sin x : sin⁡xcos⁡2x=−u′ u2\sin x\cos^2 x = -u'\,u^2, de primitive −cos⁡3x3-\frac{\cos^3 x}{3}. Donc une primitive de ff est :
    x↦−cos⁡x+cos⁡3x3x \mapsto -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}
    1. F(x)=−cos⁡x+cos⁡3x3+kF(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + k et F(0)=−1+13+k=k−23F(0) = -1 + \frac{1}{3} + k = k - \frac{2}{3}. La condition F(0)=0F(0) = 0 donne k=23k = \frac{2}{3} :
    F(x)=−cos⁡x+cos⁡3x3+23F(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2}{3}

    Enfin F(π)=−(−1)+(−1)33+23=1−13+23=43F(\pi) = -(-1) + \frac{(-1)^3}{3} + \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.

    QCM

    Question 1.Une primitive de f(x)=2x(x2+1)2f(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} sur R\mathbb{R} est :
    Question 2.Une primitive de cos⁡(2x)\cos(2x) sur R\mathbb{R} est :
    Question 3.Une primitive de 12x+3\frac{1}{2\sqrt{x + 3}} sur ]−3,+∞[]-3, +\infty[ est :
    Question 4.Laquelle de ces fonctions est une primitive de x2x^2 sur R\mathbb{R} ?
    Question 5.Soit FF la primitive de f(x)=3x2+1f(x) = 3x^2 + 1 sur R\mathbb{R} telle que F(0)=1F(0) = 1. Alors F(1)F(1) vaut :
    Question 6.Si FF et GG sont deux primitives d'une même fonction ff sur un intervalle II, alors :
    Question 7.Une primitive de sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x sur R\mathbb{R} est :

    Erreurs fréquentes

    • Dériver au lieu de chercher une primitive : une primitive de x3x^3 est x44\frac{x^4}{4}, pas 3x23x^2.
    • Oublier la constante d'ajustement : une primitive de (3x−2)5(3x - 2)^5 est (3x−2)618\frac{(3x - 2)^6}{18}, pas (3x−2)66\frac{(3x - 2)^6}{6}. Vérifie toujours en dérivant.
    • Se tromper de signe : une primitive de sin⁡x\sin x est −cos⁡x-\cos x, et une primitive de u′u2\frac{u'}{u^2} est −1u-\frac{1}{u}.
    • Prendre F×GF \times G comme primitive de f×gf \times g : cette « formule » est fausse.
    • Ne pas préciser l'intervalle : les propriétés des primitives (existence, unicité à une constante près) ne valent que sur un intervalle. Pour 1x2\frac{1}{x^2}, travaille sur ]0,+∞[]0, +\infty[ ou sur ]−∞,0[]-\infty, 0[, car R∗\mathbb{R}^* n'est pas un intervalle.
    • Oublier de déterminer la constante kk quand l'énoncé impose une condition G(x0)=y0G(x_0) = y_0.
    • Appliquer la formule u′unu'u^n alors que le facteur n'est pas u′u' à une constante près : (x2+1)3(x^2 + 1)^3 seul n'est pas de la forme u′u3u'u^3.

    À retenir

    • FF est une primitive de ff sur II si et seulement si F′=fF' = f sur II.
    • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; elles diffèrent toutes d'une constante.
    • Il existe une unique primitive prenant la valeur y0y_0 en x0x_0.
    • u′unu'u^n a pour primitive un+1n+1\frac{u^{n+1}}{n+1} ; u′uru'u^r a pour primitive ur+1r+1\frac{u^{r+1}}{r+1} (r∈Qr \in \mathbb{Q}, r≠−1r \neq -1, u>0u > 0).
    • u′u2\frac{u'}{u^2} a pour primitive −1u-\frac{1}{u} ; u′2u\frac{u'}{2\sqrt{u}} a pour primitive u\sqrt{u}.
    • u′cos⁡uu'\cos u a pour primitive sin⁡u\sin u ; u′sin⁡uu'\sin u a pour primitive −cos⁡u-\cos u ; u′(1+tan⁡2u)u'(1 + \tan^2 u) a pour primitive tan⁡u\tan u.
    • cos⁡(ax+b)\cos(ax + b) a pour primitive 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a}\sin(ax + b) et sin⁡(ax+b)\sin(ax + b) a pour primitive −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a}\cos(ax + b).
    • Pour cos⁡2\cos^2 et sin⁡2\sin^2 : linéarise avec cos⁡(2x)\cos(2x).
    • Vérifie toujours ton résultat en le dérivant.

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