2e Bac Sciences physiques (PC)

Lois de Newton

Cours sur les lois de Newton en 2e Bac PC : référentiel galiléen, vitesse, accélération, base de Frenet, 2e loi, MRUV, 9 exercices corrigés et QCM.

60 min
9 exercices corrigés
QCM de 7 questions

Prérequis : Forces et principe d'inertie (tronc commun), dérivation et équations différentielles (2e Bac)

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L'essentiel

1. Référentiel et repère

Pour décrire un mouvement, il faut un référentiel : un solide de référence (le « décor » que l'on suppose immobile) auquel on associe un repère d'espace $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et une horloge pour repérer le temps. Le même mouvement n'a pas la même description dans deux référentiels différents : un passager assis dans un train est immobile par rapport au train et en mouvement par rapport au quai.

Référentiel	Solide de référence	Considéré comme galiléen pour
Héliocentrique (de Copernic)	Soleil, axes dirigés vers des étoiles lointaines	pratiquement tous les mouvements étudiés
Géocentrique	centre de la Terre, axes dirigés vers des étoiles lointaines	des durées très inférieures à la période de révolution de la Terre autour du Soleil (un an)
Terrestre	un objet fixe à la surface de la Terre (le laboratoire)	des durées très inférieures à la période de rotation de la Terre sur elle-même (24 h)

2. Vecteur position et vecteur vitesse

On étudie le mouvement du centre d'inertie $G$ du solide (le point qui représente le solide dans l'étude de son mouvement d'ensemble). Dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , le vecteur position est

\overrightarrow{OG} = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}

Les fonctions $x(t)$ , $y(t)$ et $z(t)$ sont les équations horaires du mouvement.

En coordonnées cartésiennes :

\vec{v}_G = v_x\,\vec{i} + v_y\,\vec{j} + v_z\,\vec{k} \quad\text{avec}\quad v_x = \frac{dx}{dt},\; v_y = \frac{dy}{dt},\; v_z = \frac{dz}{dt}

La norme (en $\text{m.s}^{-1}$ ) est $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ . Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Quand on dispose d'un enregistrement des positions $G_0, G_1, G_2, \dots$ à intervalles de temps égaux $\Delta t$ , on estime la vitesse en $G_i$ par

\vec{v}_i \approx \frac{\overrightarrow{G_{i-1}G_{i+1}}}{2\Delta t}

3. Vecteur accélération

En coordonnées cartésiennes : $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ , et de même pour $a_y$ et $a_z$ . Sa norme est $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ , en $\text{m.s}^{-2}$ .

Sur un enregistrement, on estime l'accélération en $G_i$ à partir de deux vitesses voisines :

\vec{a}_i \approx \frac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2\Delta t} = \frac{\Delta\vec{v}_i}{2\Delta t}

Le vecteur $\vec{a}_i$ a la direction et le sens de $\Delta\vec{v}_i = \vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}$ .

4. Base de Frenet

Dans cette base, le vecteur vitesse s'écrit simplement $\vec{v}_G = v\,\vec{\tau}$ , et le vecteur accélération se décompose en deux composantes :

\vec{a}_G = a_\tau\,\vec{\tau} + a_n\,\vec{n} \quad\text{avec}\quad a_\tau = \frac{dv}{dt} \quad\text{et}\quad a_n = \frac{v^2}{\rho}

où $\rho$ est le rayon de courbure de la trajectoire en $G$ ( $\rho = R$ pour un cercle de rayon $R$ ). La norme de l'accélération est $a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$ .

$a_\tau$ (accélération tangentielle) traduit la variation de la norme de la vitesse.
$a_n$ (accélération normale) traduit la variation de la direction de la vitesse.

Mouvement	$a_\tau$	$a_n$	Vecteur accélération
Rectiligne uniforme	$0$	$0$	nul
Rectiligne varié	$\frac{dv}{dt} \neq 0$	$0$	porté par la trajectoire
Circulaire uniforme	$0$	$\frac{v^2}{R}$	dirigé vers le centre du cercle (accélération centripète)
Circulaire non uniforme	$\frac{dv}{dt} \neq 0$	$\frac{v^2}{R}$	oblique par rapport à la trajectoire

Le mouvement est accéléré si $a_\tau > 0$ (la norme de la vitesse augmente), ralenti (ou retardé) si $a_\tau < 0$ .

5. Les trois lois de Newton

Dans $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ , les forces sont en newtons (N), la masse en kilogrammes (kg) et l'accélération en $\text{m.s}^{-2}$ . Le vecteur accélération a toujours la même direction et le même sens que la somme des forces.

Forces usuelles à connaître :

Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ : vertical, vers le bas, appliqué en $G$ ; $g \approx 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ à la surface de la Terre.
La réaction du support $\vec{R}$ : on la décompose en une composante normale $\vec{R}_N$ (perpendiculaire à la surface de contact) et une composante tangentielle $\vec{f}$ (force de frottement, opposée au mouvement). Sans frottement, $\vec{R} = \vec{R}_N$ . Avec frottement, on note $\tan\varphi = \frac{f}{R_N} = \mu$ (le coefficient de frottement, noté $k$ ou $\mu$ selon les manuels), où $\varphi$ est l'angle de frottement.
La tension d'un fil $\vec{T}$ : dirigée le long du fil. Un fil inextensible et de masse négligeable exerce la même tension à ses deux extrémités, y compris après passage sur une poulie idéale (de masse négligeable et sans frottement).

6. Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

En intégrant $a_x = a$ avec les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $v_x(0) = v_0$ :

v_x(t) = a\,t + v_0 \qquad x(t) = \frac{1}{2}a\,t^2 + v_0\,t + x_0

En éliminant le temps entre ces deux relations, on obtient une relation très utile quand le temps n'est pas demandé :

v^2 - v_0^2 = 2a\,(x - x_0)

Le mouvement est accéléré si $a$ et $v$ ont le même signe, ralenti sinon. La courbe $v(t)$ est une droite de pente $a$ .

7. Étude type : solide sur un plan incliné

Un solide de masse $m$ glisse sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. On prend l'axe $Ox$ suivant la ligne de plus grande pente, orienté vers le bas. En projetant $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}_G$ :

sans frottement : $m g \sin\alpha = m a$ , donc $a = g\sin\alpha$ et $R = R_N = m g\cos\alpha$ ;
avec frottement (intensité $f = \mu R_N$ ) : $m g \sin\alpha - f = m a$ avec $R_N = m g\cos\alpha$ , donc $a = g\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ .

L'accélération ne dépend pas de la masse. Si le solide monte sur le plan, le frottement s'oppose toujours au mouvement : il est dirigé vers le bas et s'ajoute à la composante du poids, ce qui ralentit le solide.

Méthodes

Méthode 1 : Calculer vitesse et accélération à partir d'un enregistrement

Relève les positions $G_i$ (ou les abscisses $x_i$ ) et l'intervalle de temps $\Delta t$ entre deux positions consécutives.
Calcule $v_i = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\Delta t}$ pour chaque position intérieure (convertis les cm en m).
Calcule $a_i = \frac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\Delta t}$ .
Compare les valeurs : si $a_i$ est constant, le mouvement est un MRUV ; si $v_i$ est constant, c'est un mouvement rectiligne uniforme.

Exemple : $\Delta t = 0{,}040\,\text{s}$ et $x_0 = 0$ , $x_1 = 2{,}0$ , $x_2 = 4{,}4$ , $x_3 = 7{,}2$ , $x_4 = 10{,}4$ (en cm). Alors $v_1 = \frac{4{,}4 - 0}{0{,}080} = 55\,\text{cm.s}^{-1} = 0{,}55\,\text{m.s}^{-1}$ , $v_2 = \frac{7{,}2 - 2{,}0}{0{,}080} = 0{,}65\,\text{m.s}^{-1}$ et $v_3 = \frac{10{,}4 - 4{,}4}{0{,}080} = 0{,}75\,\text{m.s}^{-1}$ . Donc $a_2 = \frac{0{,}75 - 0{,}55}{0{,}080} = 2{,}5\,\text{m.s}^{-2}$ .

Méthode 2 : Déterminer vitesse et accélération à partir des équations horaires

Dérive chaque équation horaire pour obtenir $v_x(t)$ , $v_y(t)$ .
Dérive à nouveau pour obtenir $a_x(t)$ , $a_y(t)$ .
Remplace $t$ par la valeur demandée, puis calcule les normes avec $\sqrt{\ \ }$ .

Exemple : $x(t) = 2t^2 + 3t$ et $y(t) = -t^2 + 4$ (SI). On obtient $v_x = 4t + 3$ , $v_y = -2t$ , $a_x = 4$ et $a_y = -2$ . À $t = 2\,\text{s}$ : $v_x = 11\,\text{m.s}^{-1}$ , $v_y = -4\,\text{m.s}^{-1}$ , donc $v = \sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{137} \approx 11{,}7\,\text{m.s}^{-1}$ et $a = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{m.s}^{-2}$ .

Méthode 3 : Appliquer la deuxième loi de Newton

Système et référentiel : nomme le solide étudié et le référentiel (galiléen).
Bilan des forces : liste toutes les forces extérieures ( $\vec{P}$ , $\vec{R}$ , $\vec{T}$ , $\vec{f}$ ...) avec direction et sens, et fais un schéma.
Écris $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ .
Choisis un repère adapté (souvent un axe parallèle à la trajectoire) et projette la relation vectorielle sur chaque axe.
Résous : tu obtiens l'accélération, puis les forces inconnues avec la projection sur l'autre axe.
Vérifie les unités et le sens physique (signe de $a$ , intensités positives).

Exemple : un bloc de masse $3{,}0\,\text{kg}$ est poussé sur un plan horizontal par une force horizontale de $12\,\text{N}$ . Le frottement vaut $3{,}0\,\text{N}$ . Projection sur l'horizontale : $12 - 3{,}0 = 3{,}0\,a$ , donc $a = 3{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ . Projection sur la verticale : $R_N - mg = 0$ , donc $R_N = 3{,}0 \times 9{,}8 = 29{,}4\,\text{N}$ .

Méthode 4 : Établir les équations horaires d'un MRUV

Écris $a_x = a$ (constante) et intègre : $v_x = a\,t + C_1$ ; la condition initiale donne $C_1 = v_0$ .
Intègre encore : $x = \frac{1}{2}a\,t^2 + v_0\,t + C_2$ ; la condition initiale donne $C_2 = x_0$ .
Utilise $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ quand l'énoncé demande une vitesse après une distance, sans durée.

Exemple : $a = 3\,\text{m.s}^{-2}$ , $v_0 = 2\,\text{m.s}^{-1}$ , $x_0 = 5\,\text{m}$ . Alors $v = 3t + 2$ et $x = 1{,}5t^2 + 2t + 5$ . À $t = 4\,\text{s}$ : $v = 14\,\text{m.s}^{-1}$ et $x = 24 + 8 + 5 = 37\,\text{m}$ .

Méthode 5 : Utiliser la base de Frenet

Exprime la norme $v$ de la vitesse en fonction du temps (ou donne-la).
Calcule $a_\tau = \frac{dv}{dt}$ et $a_n = \frac{v^2}{\rho}$ (avec $\rho = R$ pour un cercle).
Calcule $a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$ ; l'angle $\theta$ entre $\vec{a}$ et $\vec{v}$ vérifie $\tan\theta = \frac{a_n}{a_\tau}$ .

Exemple : cercle de rayon $R = 2{,}0\,\text{m}$ avec $v = 3{,}0 + 0{,}6\,t$ (SI). À $t = 5\,\text{s}$ : $v = 6{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ , $a_\tau = 0{,}6\,\text{m.s}^{-2}$ , $a_n = \frac{36}{2{,}0} = 18\,\text{m.s}^{-2}$ , donc $a = \sqrt{0{,}36 + 324} \approx 18{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ . Ici l'accélération est presque centripète : $a_n \gg a_\tau$ .

Méthode 6 : Étudier deux solides reliés par un fil

Applique la deuxième loi séparément à chaque solide (un bilan de forces par solide).
Traduis les hypothèses : fil inextensible, donc les deux solides ont des accélérations de même norme ; poulie idéale et fil de masse négligeable, donc la tension $T$ a la même intensité des deux côtés.
Projette chaque relation sur un axe orienté dans le sens du mouvement, puis résous le système d'inconnues $a$ et $T$ .

Exemple : $S_1$ ( $m_1 = 0{,}60\,\text{kg}$ ) glisse sans frottement sur une table horizontale ; il est tiré par un fil passant sur une poulie, au bout duquel pend $S_2$ ( $m_2 = 0{,}40\,\text{kg}$ ). Pour $S_1$ : $T = m_1 a$ . Pour $S_2$ : $m_2 g - T = m_2 a$ . En additionnant : $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}40 \times 9{,}8}{1{,}00} = 3{,}92\,\text{m.s}^{-2}$ et $T = m_1 a \approx 2{,}35\,\text{N}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Enregistrement d'un chariot

Facile

Un chariot descend un rail rectiligne. On enregistre la position de son centre d'inertie toutes les $\Delta t = 0{,}20\,\text{s}$ . L'origine est la position $G_0$ et l'axe $Ox$ est orienté dans le sens du mouvement.

$i$	0	1	2	3	4	5	6
$t_i$ (s)	0	0,20	0,40	0,60	0,80	1,00	1,20
$x_i$ (cm)	0	3,0	12,0	27,0	48,0	75,0	108,0

Calcule les vitesses $v_1$ à $v_5$ en $\text{m.s}^{-1}$ .
Calcule les accélérations $a_2$ , $a_3$ et $a_4$ .
Déduis-en la nature du mouvement, puis écris $x(t)$ .

Voir le corrigé

1) On utilise $v_i = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\Delta t}$ avec $2\Delta t = 0{,}40\,\text{s}$ .

$v_1 = \frac{12{,}0 - 0}{0{,}40} = 30\,\text{cm.s}^{-1} = 0{,}30\,\text{m.s}^{-1}$ ; $v_2 = \frac{27{,}0 - 3{,}0}{0{,}40} = 0{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ ; $v_3 = \frac{48{,}0 - 12{,}0}{0{,}40} = 0{,}90\,\text{m.s}^{-1}$ ; $v_4 = \frac{75{,}0 - 27{,}0}{0{,}40} = 1{,}20\,\text{m.s}^{-1}$ ; $v_5 = \frac{108{,}0 - 48{,}0}{0{,}40} = 1{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ .

2) On utilise $a_i = \frac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\Delta t}$ .

$a_2 = \frac{0{,}90 - 0{,}30}{0{,}40} = 1{,}5\,\text{m.s}^{-2}$ ; $a_3 = \frac{1{,}20 - 0{,}60}{0{,}40} = 1{,}5\,\text{m.s}^{-2}$ ; $a_4 = \frac{1{,}50 - 0{,}90}{0{,}40} = 1{,}5\,\text{m.s}^{-2}$ .

3) La trajectoire est rectiligne et l'accélération est constante et positive, comme la vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Pour trouver la vitesse initiale, on écrit $v(t) = 1{,}5\,t + v_0$ : à $t = 0{,}20\,\text{s}$ , $v_1 = 0{,}30\,\text{m.s}^{-1}$ donne $v_0 = 0{,}30 - 1{,}5 \times 0{,}20 = 0$ . Le chariot part donc du repos, et comme $x_0 = 0$ , on a $x(t) = \frac{1}{2}\times 1{,}5\,t^2 = 0{,}75\,t^2$ (SI). Vérification : à $t = 1{,}20\,\text{s}$ , $x = 0{,}75 \times 1{,}44 = 1{,}08\,\text{m} = 108\,\text{cm}$ , ce qui correspond au tableau.

Exercice 2 : Équations horaires d'un ballon

Facile

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ( $Oy$ vertical vers le haut), les coordonnées du centre d'inertie d'un ballon sont, en unités SI : $x(t) = 12\,t$ et $y(t) = -4{,}9\,t^2 + 15\,t + 2{,}0$ .

Détermine les coordonnées du vecteur vitesse, puis sa norme et l'angle qu'il fait avec l'horizontale à $t = 1{,}0\,\text{s}$ .
Détermine les coordonnées du vecteur accélération. Que remarques-tu ?
À quel instant le ballon atteint-il son point le plus haut ? Quelle est alors sa vitesse ?

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1) $v_x = \frac{dx}{dt} = 12\,\text{m.s}^{-1}$ et $v_y = \frac{dy}{dt} = -9{,}8\,t + 15$ . À $t = 1{,}0\,\text{s}$ , $v_y = 5{,}2\,\text{m.s}^{-1}$ , donc $v = \sqrt{12^2 + 5{,}2^2} = \sqrt{171{,}04} \approx 13{,}1\,\text{m.s}^{-1}$ . L'angle $\theta$ avec l'horizontale vérifie $\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5{,}2}{12} = 0{,}433$ , donc $\theta \approx 23{,}4^\circ$ (vers le haut, car $v_y > 0$ ).

2) $a_x = 0$ et $a_y = \frac{dv_y}{dt} = -9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ . Le vecteur accélération est constant, vertical et dirigé vers le bas, de norme $9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ : c'est l'accélération de la pesanteur. D'après la deuxième loi, $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{g}$ : tout se passe comme si le ballon n'était soumis qu'à son poids (l'action de l'air est négligeable). On dit qu'il est en chute libre.

3) Au point le plus haut, la vitesse est horizontale : $v_y = 0$ , soit $-9{,}8\,t + 15 = 0$ , donc $t = \frac{15}{9{,}8} \approx 1{,}53\,\text{s}$ . La vitesse vaut alors $v = v_x = 12\,\text{m.s}^{-1}$ (elle n'est pas nulle !). La hauteur maximale est $y = -4{,}9 \times 1{,}53^2 + 15 \times 1{,}53 + 2{,}0 \approx 13{,}5\,\text{m}$ .

Exercice 3 : Accélération dans la base de Frenet

Moyen

Une voiture télécommandée parcourt une piste circulaire de rayon $R = 50\,\text{m}$ . Sa vitesse (en $\text{m.s}^{-1}$ ) varie avec le temps (en s) selon $v(t) = 4{,}0 + 0{,}50\,t$ .

Quelle est la nature du mouvement ?
À $t = 8{,}0\,\text{s}$ , calcule $v$ , $a_\tau$ , $a_n$ , la norme $a$ de l'accélération et l'angle entre $\vec{a}$ et $\vec{v}$ .
À quel instant les composantes $a_\tau$ et $a_n$ sont-elles égales ?
Un manège a ses sièges à $R' = 4{,}0\,\text{m}$ de l'axe et tourne à vitesse constante $v' = 6{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ . Calcule l'accélération d'un siège et précise sa direction.

Voir le corrigé

1) La trajectoire est un cercle et la norme de la vitesse augmente uniformément : c'est un mouvement circulaire accéléré. L'accélération tangentielle $a_\tau = \frac{dv}{dt} = 0{,}50\,\text{m.s}^{-2}$ est constante et positive.

2) À $t = 8{,}0\,\text{s}$ : $v = 4{,}0 + 0{,}50 \times 8{,}0 = 8{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ ; $a_\tau = 0{,}50\,\text{m.s}^{-2}$ ; $a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{64}{50} = 1{,}28\,\text{m.s}^{-2}$ . Donc $a = \sqrt{0{,}50^2 + 1{,}28^2} = \sqrt{1{,}888} \approx 1{,}37\,\text{m.s}^{-2}$ . L'angle $\theta$ entre $\vec{a}$ et $\vec{v}$ (donc $\vec{\tau}$ ) vérifie $\tan\theta = \frac{a_n}{a_\tau} = 2{,}56$ , soit $\theta \approx 68{,}7^\circ$ .

3) $a_n = a_\tau$ s'écrit $\frac{v^2}{R} = 0{,}50$ , donc $v^2 = 0{,}50 \times 50 = 25$ et $v = 5{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ . Alors $4{,}0 + 0{,}50\,t = 5{,}0$ donne $t = 2{,}0\,\text{s}$ .

4) Le mouvement est circulaire uniforme : $a_\tau = 0$ et $a = a_n = \frac{v'^2}{R'} = \frac{36}{4{,}0} = 9{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ . L'accélération est centripète : dirigée vers l'axe de rotation, même si la norme de la vitesse est constante.

Exercice 4 : Une caisse sur le sol

Facile

Une caisse de masse $m = 40\,\text{kg}$ est poussée sur un sol horizontal. Elle avance en ligne droite à la vitesse constante $0{,}80\,\text{m.s}^{-1}$ sous l'action d'une force horizontale d'intensité $F = 120\,\text{N}$ . On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ .

Fais le bilan des forces appliquées à la caisse. Quelle loi de Newton permet de les relier ?
Calcule l'intensité de la force de frottement, la composante normale de la réaction, l'intensité de la réaction $R$ , le coefficient de frottement $\mu = \tan\varphi$ et l'angle $\varphi$ .
On augmente la poussée à $200\,\text{N}$ (le frottement garde la même intensité). Calcule l'accélération de la caisse.

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1) La caisse est soumise à son poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), à la poussée $\vec{F}$ (horizontale), à la composante normale $\vec{R}_N$ du sol (verticale, vers le haut) et à la force de frottement $\vec{f}$ (horizontale, opposée au mouvement). Le mouvement est rectiligne et uniforme dans un référentiel terrestre galiléen : d'après la première loi, $\sum\vec{F}_{ext} = \vec{0}$ .

2) Projection sur l'horizontale : $F - f = 0$ , donc $f = F = 120\,\text{N}$ . Projection sur la verticale : $R_N - P = 0$ , donc $R_N = m g = 40 \times 9{,}8 = 392\,\text{N}$ . L'intensité de la réaction est $R = \sqrt{R_N^2 + f^2} = \sqrt{392^2 + 120^2} \approx 410\,\text{N}$ . Le coefficient de frottement est $\mu = \frac{f}{R_N} = \frac{120}{392} \approx 0{,}31$ , et l'angle de frottement est $\varphi = \arctan(0{,}306) \approx 17^\circ$ .

3) D'après la deuxième loi, projetée sur l'horizontale : $F' - f = m\,a$ , soit $a = \frac{200 - 120}{40} = 2{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ . La caisse accélère.

Exercice 5 : Chariot tiré par une force inclinée

Moyen

Un chariot de masse $m = 5{,}0\,\text{kg}$ est tiré sur une table horizontale par une corde qui exerce une force $\vec{F}$ d'intensité $20\,\text{N}$ , inclinée de $\alpha = 30^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Le chariot part du repos. La force de frottement a une intensité constante $f = 4{,}0\,\text{N}$ . On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ .

Calcule l'accélération du chariot.
Calcule la composante normale de la réaction et le coefficient de frottement.
Calcule la vitesse et la distance parcourue au bout de $3{,}0\,\text{s}$ .
Quelle intensité minimale faudrait-il donner à $\vec{F}$ (même angle) pour que le chariot décolle de la table ?

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1) Système : le chariot, dans le référentiel terrestre (galiléen). Forces : $\vec{P}$ , $\vec{R}_N$ , $\vec{f}$ et $\vec{F}$ . Projection de $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement : $F\cos\alpha - f = m\,a$ , donc $a = \frac{20\cos 30^\circ - 4{,}0}{5{,}0} = \frac{17{,}32 - 4{,}0}{5{,}0} \approx 2{,}66\,\text{m.s}^{-2}$ .

2) Le chariot ne bouge pas verticalement : $a_y = 0$ . Projection sur la verticale : $R_N + F\sin\alpha - mg = 0$ , donc $R_N = 5{,}0 \times 9{,}8 - 20\sin 30^\circ = 49 - 10 = 39\,\text{N}$ . Le coefficient de frottement vaut $\mu = \frac{f}{R_N} = \frac{4{,}0}{39} \approx 0{,}10$ .

3) L'accélération est constante : MRUV avec $v_0 = 0$ et $x_0 = 0$ . $v = a\,t = 2{,}66 \times 3{,}0 \approx 8{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ et $x = \frac{1}{2}a\,t^2 = 0{,}5 \times 2{,}66 \times 9{,}0 \approx 12\,\text{m}$ .

4) Le chariot décolle quand la réaction normale s'annule : $R_N = mg - F\sin\alpha = 0$ , soit $F = \frac{mg}{\sin\alpha} = \frac{49}{0{,}5} = 98\,\text{N}$ .

Exercice 6 : Solide sur un plan incliné sans frottement

Moyen

Un solide de masse $m = 2{,}0\,\text{kg}$ glisse sans frottement sur un plan incliné de $\alpha = 25^\circ$ . Il est abandonné sans vitesse initiale en haut du plan, à $L = 3{,}0\,\text{m}$ du bas. On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ .

Établis l'expression de l'accélération et calcule sa valeur.
Calcule la vitesse du solide en bas du plan, la durée de la descente et l'intensité de la réaction du plan.
Le même solide est maintenant lancé depuis le bas, vers le haut du plan, à la vitesse $v_0 = 4{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ . Quelle distance parcourt-il avant de s'arrêter ? Au bout de quelle durée ? Reste-t-il sur le plan ?

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1) Forces : le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{R}$ (pas de frottement). Axe $Ox$ le long du plan, vers le bas. Projection de $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}_G$ sur $Ox$ : $mg\sin\alpha = m\,a$ , donc $a = g\sin\alpha = 9{,}8 \times \sin 25^\circ \approx 4{,}14\,\text{m.s}^{-2}$ (indépendante de la masse).

2) MRUV avec $v_0 = 0$ : $v^2 = 2aL$ donne $v = \sqrt{2 \times 4{,}14 \times 3{,}0} \approx 4{,}98\,\text{m.s}^{-1}$ . La durée est $t = \frac{v}{a} = \frac{4{,}98}{4{,}14} \approx 1{,}20\,\text{s}$ . Projection sur l'axe perpendiculaire au plan : $R - mg\cos\alpha = 0$ , donc $R = 2{,}0 \times 9{,}8 \times \cos 25^\circ \approx 17{,}8\,\text{N}$ .

3) Prenons maintenant l'axe $Ox$ le long du plan, orienté vers le haut. Alors $-mg\sin\alpha = m\,a'$ , donc $a' = -4{,}14\,\text{m.s}^{-2}$ (mouvement ralenti). Le solide s'arrête quand $v = 0$ : $0 - v_0^2 = 2a'\,d$ , donc $d = \frac{v_0^2}{2 g\sin\alpha} = \frac{16}{8{,}28} \approx 1{,}93\,\text{m}$ . La durée est $t' = \frac{v_0}{g\sin\alpha} = \frac{4{,}0}{4{,}14} \approx 0{,}97\,\text{s}$ . Comme $1{,}93\,\text{m} < L = 3{,}0\,\text{m}$ , le solide s'arrête bien sur le plan (puis il redescend, car rien ne le retient).

Exercice 7 : Une voiture dans un virage

Difficile

Une voiture de masse $m = 1\,200\,\text{kg}$ aborde, sur une route horizontale, un virage circulaire de rayon $R = 80\,\text{m}$ à la vitesse constante $v = 72\,\text{km.h}^{-1}$ . On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ . La force latérale exercée par la route (frottement de la route sur les pneus) doit rester inférieure ou égale à $\mu R_N$ pour que la voiture ne dérape pas ; $\mu$ est le coefficient de frottement entre les pneus et la route.

Convertis $v$ en $\text{m.s}^{-1}$ . Quelle est la direction de l'accélération de la voiture ? Calcule sa valeur.
Déduis de la deuxième loi de Newton l'intensité de la force de frottement latérale $f$ qui s'exerce sur la voiture. Calcule aussi $R_N$ .
Quelle valeur minimale de $\mu$ faut-il pour que la voiture ne dérape pas à cette vitesse ? La voiture passe-t-elle sur route sèche ( $\mu = 0{,}60$ ) ? Sur route mouillée ( $\mu = 0{,}30$ ) ?
Établis l'expression de la vitesse maximale $v_{max}$ sans dérapage en fonction de $\mu$ , $g$ et $R$ . Calcule-la en $\text{km.h}^{-1}$ pour les deux types de route.

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1) $v = \frac{72}{3{,}6} = 20\,\text{m.s}^{-1}$ . Le mouvement est circulaire uniforme : $a_\tau = 0$ et l'accélération est centripète, dirigée vers le centre du virage, de valeur $a = \frac{v^2}{R} = \frac{400}{80} = 5{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ .

2) Forces : le poids $\vec{P}$ (vertical), la composante normale $\vec{R}_N$ (verticale) et la force de frottement latérale $\vec{f}$ (horizontale, dirigée vers le centre du virage : c'est elle qui « tourne » la voiture). Projection de $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ sur la direction du centre (axe $\vec{n}$ ) : $f = m\,\frac{v^2}{R} = 1\,200 \times 5{,}0 = 6\,000\,\text{N}$ . Sur la verticale : $R_N = mg = 1\,200 \times 9{,}8 = 11\,760\,\text{N}$ .

3) La condition de non-dérapage s'écrit $f \le \mu R_N$ , soit $\mu \ge \frac{f}{R_N} = \frac{6\,000}{11\,760} \approx 0{,}51$ . Sur route sèche ( $\mu = 0{,}60 > 0{,}51$ ), la voiture passe. Sur route mouillée ( $\mu = 0{,}30 < 0{,}51$ ), elle dérape.

4) À la limite, $f = \mu R_N$ , soit $m\,\frac{v_{max}^2}{R} = \mu m g$ , donc $v_{max} = \sqrt{\mu g R}$ (la masse n'intervient pas). Route sèche : $v_{max} = \sqrt{0{,}60 \times 9{,}8 \times 80} \approx 21{,}7\,\text{m.s}^{-1} \approx 78\,\text{km.h}^{-1}$ . Route mouillée : $v_{max} = \sqrt{0{,}30 \times 9{,}8 \times 80} \approx 15{,}3\,\text{m.s}^{-1} \approx 55\,\text{km.h}^{-1}$ . On retrouve que $72\,\text{km.h}^{-1}$ est acceptable sur route sèche mais pas sur route mouillée.

Exercice 8 : Descente d'un skieur

Type Bac

Un skieur, avec son équipement, a une masse $m = 80\,\text{kg}$ . Il part sans vitesse initiale du point $A$ d'une piste rectiligne $AB$ de longueur $L = 60\,\text{m}$ , inclinée de $\alpha = 20^\circ$ par rapport à l'horizontale. Sur $AB$ , les frottements équivalent à une force constante $f = 60\,\text{N}$ parallèle à la piste. Il aborde ensuite la partie horizontale $BC$ où la neige est plus freinante : la force de frottement est $f' = 80\,\text{N}$ , horizontale et constante. On étudie le mouvement du centre d'inertie du skieur dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ .

Fais le bilan des forces sur $AB$ et montre que l'accélération sur $AB$ vaut $a_1 = g\sin\alpha - \frac{f}{m}$ . Calcule $a_1$ .
Quelle est la nature du mouvement sur $AB$ ? Écris les équations horaires $v(t)$ et $x(t)$ (origine en $A$ , axe vers le bas de la piste).
Calcule la vitesse $v_B$ en $B$ (en $\text{m.s}^{-1}$ puis en $\text{km.h}^{-1}$ ) et la durée de la descente.
Calcule la composante normale $R_N$ de la réaction sur $AB$ et le coefficient de frottement $\mu = \tan\varphi$ .
Sur $BC$ , calcule l'accélération $a_2$ , la distance parcourue avant l'arrêt et la durée du freinage. Un obstacle est situé à $150\,\text{m}$ de $B$ : à quelle vitesse le skieur le heurte-t-il ?

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1) Forces sur $AB$ : le poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), la composante normale $\vec{R}_N$ perpendiculaire à la piste, et la force de frottement $\vec{f}$ , parallèle à la piste et dirigée vers le haut (opposée au mouvement). Deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe $Ox$ le long de la piste vers le bas : $mg\sin\alpha - f = m\,a_1$ , donc $a_1 = g\sin\alpha - \frac{f}{m}$ . Application numérique : $a_1 = 9{,}8 \times \sin 20^\circ - \frac{60}{80} = 3{,}35 - 0{,}75 \approx 2{,}60\,\text{m.s}^{-2}$ .

2) La trajectoire est rectiligne et l'accélération est constante, de même sens que la vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Avec $v(0) = 0$ et $x(0) = 0$ : $v(t) = 2{,}60\,t$ et $x(t) = 1{,}30\,t^2$ (SI).

3) $v_B^2 = 2a_1 L = 2 \times 2{,}60 \times 60 = 312$ , donc $v_B \approx 17{,}7\,\text{m.s}^{-1}$ , soit $17{,}7 \times 3{,}6 \approx 63{,}6\,\text{km.h}^{-1}$ . La durée de la descente est $t_{AB} = \frac{v_B}{a_1} = \frac{17{,}7}{2{,}60} \approx 6{,}8\,\text{s}$ .

4) Projection perpendiculaire à la piste : $R_N = mg\cos\alpha = 80 \times 9{,}8 \times \cos 20^\circ \approx 737\,\text{N}$ . Donc $\mu = \tan\varphi = \frac{f}{R_N} = \frac{60}{737} \approx 0{,}081$ .

5) Sur $BC$ , les forces sont le poids, la réaction normale (qui compense le poids : $R_N = mg$ ) et le frottement $\vec{f'}$ opposé au mouvement. Avec l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement : $-f' = m\,a_2$ , donc $a_2 = -\frac{80}{80} = -1{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ (mouvement ralenti). Arrêt : $0 - v_B^2 = 2a_2\,d$ , donc $d = \frac{v_B^2}{2 \times 1{,}0} = \frac{312}{2} \approx 156\,\text{m}$ . La durée du freinage est $t_{BC} = \frac{v_B}{|a_2|} \approx 17{,}7\,\text{s}$ . Pour l'obstacle à $150\,\text{m}$ de $B$ : $v^2 = v_B^2 + 2a_2 \times 150 = 312 - 300 = 12$ , donc $v \approx 3{,}5\,\text{m.s}^{-1}$ (environ $12{,}6\,\text{km.h}^{-1}$ ) : le skieur heurte l'obstacle, car $150\,\text{m} < 156\,\text{m}$ .

Exercice 9 : Deux solides reliés par un fil

Type Bac

Un solide $S_1$ de masse $m_1 = 0{,}50\,\text{kg}$ peut glisser sur un plan incliné de $\alpha = 30^\circ$ . Il est relié par un fil inextensible, de masse négligeable, passant sur une poulie idéale (masse négligeable, sans frottement), à un solide $S_2$ de masse $m_2 = 0{,}80\,\text{kg}$ qui pend verticalement. Le fil est parallèle au plan. Le système est abandonné sans vitesse : $S_2$ descend et $S_1$ monte le long du plan. Le frottement sur le plan est une force constante $f = 0{,}80\,\text{N}$ . On prend $g = 9{,}8\,\text{N.kg}^{-1}$ .

Fais le bilan des forces appliquées à $S_1$ puis à $S_2$ .
Applique la deuxième loi de Newton à chaque solide et montre que l'accélération commune vaut $a = \frac{m_2 g - m_1 g\sin\alpha - f}{m_1 + m_2}$ . Calcule $a$ .
Calcule l'intensité $T$ de la tension du fil et vérifie-la avec les deux solides.
$S_2$ descend de $h = 1{,}0\,\text{m}$ à partir du repos. Calcule alors la vitesse du système et la durée du déplacement.
À cet instant, le fil casse. Calcule la nouvelle accélération de $S_1$ (qui continue de monter), la distance qu'il parcourt encore avant de s'arrêter, puis dis s'il redescend.

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1) $S_1$ : poids $\vec{P}_1$ , réaction normale $\vec{R}_N$ , frottement $\vec{f}$ (parallèle au plan, vers le bas car $S_1$ monte), tension $\vec{T}$ (le long du fil, vers le haut du plan). $S_2$ : poids $\vec{P}_2$ (vers le bas) et tension $\vec{T}'$ (vers le haut).

2) Fil inextensible : $S_1$ et $S_2$ ont des accélérations de même norme $a$ . Poulie idéale et fil de masse négligeable : $T' = T$ . On projette sur un axe orienté dans le sens du mouvement ( $S_1$ vers le haut du plan, $S_2$ vers le bas).

Pour $S_1$ : $T - m_1 g\sin\alpha - f = m_1\,a$ .

Pour $S_2$ : $m_2 g - T = m_2\,a$ .

On additionne membre à membre : $m_2 g - m_1 g\sin\alpha - f = (m_1 + m_2)\,a$ , d'où la formule demandée. Application numérique : $a = \frac{0{,}80 \times 9{,}8 - 0{,}50 \times 9{,}8 \times 0{,}5 - 0{,}80}{1{,}30} = \frac{7{,}84 - 2{,}45 - 0{,}80}{1{,}30} \approx 3{,}53\,\text{m.s}^{-2}$ .

3) Avec $S_2$ : $T = m_2\,(g - a) = 0{,}80 \times (9{,}8 - 3{,}53) \approx 5{,}02\,\text{N}$ . Avec $S_1$ : $T = m_1 a + m_1 g\sin\alpha + f = 0{,}50 \times 3{,}53 + 2{,}45 + 0{,}80 \approx 5{,}02\,\text{N}$ . Les deux résultats concordent. On remarque que $T < m_2 g = 7{,}84\,\text{N}$ : $S_2$ accélère vers le bas.

4) MRUV avec $v_0 = 0$ : $v^2 = 2ah$ , donc $v = \sqrt{2 \times 3{,}53 \times 1{,}0} \approx 2{,}66\,\text{m.s}^{-1}$ , et $t = \frac{v}{a} = \frac{2{,}66}{3{,}53} \approx 0{,}75\,\text{s}$ .

5) Après la rupture du fil, $S_1$ n'est plus soumis qu'à $\vec{P}_1$ , $\vec{R}_N$ et $\vec{f}$ (toujours vers le bas, car il monte encore). Avec l'axe vers le haut du plan : $-m_1 g\sin\alpha - f = m_1\,a'$ , donc $a' = -\left(g\sin\alpha + \frac{f}{m_1}\right) = -(4{,}9 + 1{,}6) = -6{,}5\,\text{m.s}^{-2}$ . La distance parcourue avant l'arrêt est $d = \frac{v^2}{2|a'|} = \frac{7{,}06}{13} \approx 0{,}54\,\text{m}$ .

Redescend-il ? Au repos, la composante du poids le long du plan est $m_1 g\sin\alpha = 2{,}45\,\text{N}$ , et la réaction normale vaut $R_N = m_1 g\cos\alpha \approx 4{,}24\,\text{N}$ . Le coefficient de frottement est $\mu = \frac{f}{R_N} \approx 0{,}19$ et $\tan\alpha = \tan 30^\circ \approx 0{,}58$ . Comme $\mu < \tan\alpha$ , le solide ne reste pas en équilibre : il redescend, avec l'accélération $a'' = g\sin\alpha - \frac{f}{m_1} = 4{,}9 - 1{,}6 = 3{,}3\,\text{m.s}^{-2}$ (le frottement est alors dirigé vers le haut).

QCM

1.Une expérience de mécanique dure 10 minutes dans un laboratoire de lycée. Le référentiel terrestre peut y être considéré comme galiléen parce que

2.Dans une base de Frenet, le vecteur vitesse d'un point

G

est

3.Un point décrit un cercle de rayon

25\,\text{m}

à la vitesse constante de

10\,\text{m.s}^{-1}

. La norme de son accélération vaut

4.Un solide en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen est soumis à des forces dont la somme est

5.Un solide de masse

2{,}0\,\text{kg}

est soumis à une force résultante constante de

6{,}0\,\text{N}

. Son accélération vaut

6.Un solide glisse sans frottement sur un plan incliné de

30^\circ

. Son accélération vaut (avec

g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}

)

7.Un mobile part du repos avec une accélération constante de

2{,}0\,\text{m.s}^{-2}

en ligne droite. Sa vitesse après

25\,\text{m}

de parcours est

Erreurs fréquentes

Penser qu'une force est nécessaire pour maintenir un mouvement. Faux : si $\sum\vec{F}_{ext} = \vec{0}$ , le solide garde sa vitesse (MRU). Une force est nécessaire pour changer le vecteur vitesse.
Croire qu'une vitesse constante signifie une accélération nulle. Faux si la direction change : dans un mouvement circulaire uniforme, $a = \frac{v^2}{R} \ne 0$ .
Dire que la vitesse est nulle au sommet d'une trajectoire courbe. Faux : seule la composante verticale s'annule, la composante horizontale reste (exercice 2 : $v = 12\,\text{m.s}^{-1}$ au sommet).
Oublier de projeter, ou projeter avec de mauvais signes. Choisis l'axe dans le sens du mouvement, compte positivement les forces dans ce sens et négativement les autres.
Écrire $R = mg$ sur un plan incliné. La composante normale est $R_N = mg\cos\alpha$ (et $mg$ seulement sur un plan horizontal sans autre force verticale).
Appliquer la troisième loi comme une compensation. Les forces $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ agissent sur deux corps différents ; elles ne s'annulent pas dans $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ d'un seul système.
Utiliser $G_iG_{i+1}$ au lieu de $G_{i-1}G_{i+1}$ pour la vitesse en $G_i$ , ou oublier de convertir les centimètres en mètres et les $\text{km.h}^{-1}$ en $\text{m.s}^{-1}$ .
Confondre tension et poids pour un solide suspendu qui accélère : $T = m(g - a)$ si le solide descend avec l'accélération $a$ , et pas $mg$ .

À retenir

Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d'inertie est vérifié ; le référentiel terrestre l'est pour des durées courtes devant 24 h.
$\vec{v}_G = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$ est tangent à la trajectoire ; $\vec{a}_G = \frac{d\vec{v}_G}{dt}$ ; sur un enregistrement, $v_i \approx \frac{G_{i-1}G_{i+1}}{2\Delta t}$ et $a_i \approx \frac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\Delta t}$ .
Dans la base de Frenet : $a_\tau = \frac{dv}{dt}$ (variation de la norme) et $a_n = \frac{v^2}{\rho}$ (variation de la direction) ; mouvement circulaire uniforme : $a = \frac{v^2}{R}$ , vers le centre.
Première loi : $\sum\vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff$ repos ou MRU (référentiel galiléen).
Deuxième loi : $\sum\vec{F}_{ext} = m\vec{a}_G$ ; l'accélération a le sens de la somme des forces.
Troisième loi : $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$ , sur deux systèmes différents.
MRUV : $v = at + v_0$ , $x = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0$ , $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .
Plan incliné : $a = g\sin\alpha$ sans frottement ; $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ avec frottement en descente.
Deux solides reliés par un fil inextensible : même accélération, même tension (poulie idéale) ; une 2e loi par solide.

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