Un modulateur est réglé avec $S_m = 3{,}0\,\text{V}$ et $U_0 = 2{,}0\,\text{V}$. La modulation est :

de bonne qualité si on augmente $F_p$

impossible à réaliser avec un multiplieur

2e Bac Sciences physiques (PC)

Ondes électromagnétiques et modulation d'amplitude

Cours complet sur les ondes électromagnétiques et la modulation d'amplitude en 2e Bac PC : taux de modulation, démodulation, exercices corrigés et QCM.

60 min
9 exercices corrigés
QCM de 8 questions

Prérequis : Oscillations libres d'un circuit RLC (chapitre précédent), dipôle RC, ondes (2e Bac)

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L'essentiel

1. Transmettre une information par ondes électromagnétiques

Une onde électromagnétique se propage dans le vide, et avec une très bonne approximation dans l'air, sans support matériel, à la célérité $c = 3{,}00\times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ . Sa longueur d'onde est liée à sa fréquence $f$ et à sa période $T$ par

\lambda = c\,T = \frac{c}{f}

La transmission d'un son (parole, musique) par radio suit une chaîne en trois étapes.

À l'émission : un microphone transforme le son en une tension électrique $s(t)$ de basse fréquence (BF). Un modulateur « greffe » cette information sur une onde de haute fréquence (HF). Un amplificateur et une antenne émettrice rayonnent l'onde obtenue.
Dans l'espace : l'onde électromagnétique se propage à la célérité $c$ .
À la réception : l'antenne capte l'onde ; un circuit sélectionne la station ; un démodulateur retrouve la tension $s(t)$ ; un amplificateur et un haut-parleur restituent le son.

Pourquoi ne pas émettre directement le signal BF ? Il y a deux raisons.

Taille de l'antenne. Une antenne rayonne efficacement quand ses dimensions sont de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde. Si l'on rayonnait directement un signal électrique de fréquence $1\,\text{kHz}$ (celle d'un son), l'onde électromagnétique aurait pour longueur d'onde $\lambda = \frac{c}{f} = 300\,\text{km}$ : aucune antenne n'a cette taille. Pour une onde de $1\,\text{MHz}$ , $\lambda = 300\,\text{m}$ : c'est réalisable.
Séparation des stations. Si toutes les stations émettaient directement leur signal BF, leurs signaux seraient superposés dans la même bande de fréquences et le récepteur ne pourrait pas les séparer. En attribuant à chaque station une fréquence HF différente, on peut sélectionner celle qu'on veut écouter.

Vocabulaire, avec des signaux sinusoïdaux pour simplifier :

le signal modulant (l'information) : $s(t) = S_m\cos(2\pi f_s t)$ , de fréquence $f_s$ (BF) ;
la porteuse : $p(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ , de fréquence $F_p$ (HF) ;
le signal modulé : $u_S(t)$ , obtenu après modulation.

2. La modulation d'amplitude

Réalisation. On utilise un circuit multiplieur (par exemple le circuit intégré AD633, de constante $k = 0{,}10\,\text{V}^{-1}$ ). Il fournit la tension $u_S(t) = k\,u_1(t)\,u_2(t)$ . On applique :

sur la première entrée, la porteuse $u_1 = p(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ ;
sur la seconde entrée, la somme $u_2 = U_0 + s(t)$ , où $U_0$ est une tension continue réglable ajoutée au signal modulant.

Alors :

u_S(t) = k\,P_m\cos(2\pi F_p t)\left[U_0 + S_m\cos(2\pi f_s t)\right]

En factorisant $U_0$ :

u_S(t) = k\,P_m\,U_0\left[1 + \frac{S_m}{U_0}\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)

L'amplitude de $u_S$ est $U(t) = A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]$ . Elle varie entre $U_{max} = A(1 + m)$ et $U_{min} = A(1 - m)$ . La courbe qui joint les maxima des oscillations est l'enveloppe de la tension modulée : elle reproduit la forme du signal modulant.

Justification : $U_{max} + U_{min} = 2A$ et $U_{max} - U_{min} = 2Am$ , donc le quotient vaut $m$ . On en déduit aussi $A = \frac{U_{max} + U_{min}}{2}$ .

Conditions d'une bonne modulation. L'enveloppe doit reproduire fidèlement $s(t)$ . Il faut :

$m < 1$ : si $m > 1$ , on a surmodulation. L'amplitude $A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]$ devient négative pendant une partie de la période, la porteuse change de phase et l'enveloppe est déformée : le signal sera déformé à la réception ;
$F_p \gg f_s$ : la porteuse doit effectuer un grand nombre d'oscillations pendant une période du signal modulant, sinon on ne distingue pas l'enveloppe.

Si $U_0 = 0$ , il n'y a pas de composante continue : l'amplitude est proportionnelle à $s(t)$ , elle s'annule et change de signe deux fois par période, et l'enveloppe n'est plus $s(t)$ mais $|s(t)|$ . L'information n'est pas récupérable simplement : on ne module pas sans $U_0$ .

Remarque

Complément sur le spectre. Avec $\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$ , on obtient

u_S(t) = A\cos(2\pi F_p t) + \frac{Am}{2}\cos\left(2\pi(F_p - f_s)t\right) + \frac{Am}{2}\cos\left(2\pi(F_p + f_s)t\right)

La tension modulée contient trois fréquences : $F_p - f_s$ , $F_p$ et $F_p + f_s$ . Retiens que le récepteur doit donc laisser passer une bande de fréquences autour de $F_p$ . Cette étude spectrale éclaire le cours mais n'est pas le cœur de ce qui est demandé : la lecture de $m$ et la description de la chaîne de réception sont prioritaires.

3. Réception et démodulation

Démoduler, c'est retrouver le signal modulant $s(t)$ à partir de la tension modulée. La chaîne de réception comprend trois étages avant l'amplificateur.

a) Sélection de la station : le circuit LC. L'antenne capte en même temps toutes les stations. On la relie à un circuit comprenant une bobine d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$ variable. Ce circuit réagit fortement aux ondes dont la fréquence est voisine de sa fréquence propre

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

et très peu aux autres. En réglant $C$ pour que $f_0 = F_p$ , on sélectionne la station : $C = \frac{1}{4\pi^2 L F_p^2}$ .

b) Détection d'enveloppe : diode et dipôle RC parallèle. La diode ne laisse passer le courant que dans un sens : le condensateur se charge rapidement jusqu'à la valeur maximale de la tension modulée tant que celle-ci est supérieure à sa tension. Quand la tension modulée diminue, la diode est bloquée et le condensateur se décharge lentement dans la résistance $R$ . La tension aux bornes du dipôle RC suit alors l'enveloppe : $u_d(t) \approx A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]$ .

Si $RC$ est trop petit (de l'ordre de $T_p$ ou moins) : le condensateur se décharge presque entièrement entre deux crêtes ; la tension de sortie ressemble à la tension redressée et contient des « dents de scie » à la fréquence $F_p$ .
Si $RC$ est trop grand (de l'ordre de $T_s$ ou plus) : le condensateur ne se décharge pas assez vite quand l'enveloppe diminue ; la tension de sortie ne suit plus l'enveloppe et reste proche de sa valeur maximale.

On raisonne avec une diode idéale (tension de seuil négligée).

c) Élimination de la composante continue : le filtre passe-haut. La tension $u_d(t)$ est la somme d'une composante continue $A$ et d'une composante variable $A\,m\cos(2\pi f_s t)$ , qui est l'image de $s(t)$ . Pour supprimer la composante continue, on place en sortie un filtre passe-haut (un condensateur en série avec une résistance en parallèle sur la sortie). Il laisse passer les fréquences supérieures à sa fréquence de coupure $f_c$ et arrête la composante continue ( $f = 0$ ). Pour ne pas atténuer le signal utile, on choisit $f_c \ll f_s$ . On obtient $u(t) \approx A\,m\cos(2\pi f_s t)$ , proportionnelle à $s(t)$ .

Récapitulatif de la chaîne de réception :

Étage	Rôle	Réglage ou condition
Antenne et circuit LC	Sélectionner la porteuse modulée de la station voulue	$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = F_p$
Diode et dipôle RC parallèle	Détecter l'enveloppe	$T_p \ll RC < T_s$
Filtre passe-haut	Supprimer la composante continue	$f_c \ll f_s$
Amplificateur et haut-parleur	Restituer le son

Méthodes

Méthode 1 : Écrire la tension modulée et identifier ses paramètres

Écris la sortie du multiplieur : $u_S = k\,p(t)\,\left[U_0 + s(t)\right]$ .
Factorise $U_0$ : $A = k\,P_m\,U_0$ et $m = \frac{S_m}{U_0}$ .
Lis les fréquences : $F_p$ dans le cosinus rapide, $f_s$ dans le cosinus lent.
Calcule $U_{max} = A(1 + m)$ et $U_{min} = A(1 - m)$ .

Méthode 2 : Déterminer le taux de modulation sur un oscillogramme

Repère l'endroit où la tension modulée a la plus grande hauteur crête à crête, et celui où elle a la plus petite.
Mesure ces deux hauteurs (en divisions, ou en volts avec la sensibilité verticale), avec la même unité.
Calcule $m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$ . Les amplitudes ou les hauteurs crête à crête donnent le même résultat.
Déduis $A = \frac{U_{max} + U_{min}}{2}$ si on te demande l'amplitude $A$ de la tension de sortie en l'absence de signal modulant ( $s = 0$ ). Attention : $A = k\,P_m\,U_0$ n'est pas l'amplitude $P_m$ de la porteuse appliquée au multiplieur.

Méthode 3 : Vérifier la qualité d'une modulation

Calcule $m = \frac{S_m}{U_0}$ (ou lis-le sur l'oscillogramme) et vérifie $m < 1$ .
Calcule le rapport $\frac{F_p}{f_s}$ et vérifie qu'il est très grand devant $1$ .
Si $m \ge 1$ , calcule la valeur de $U_0$ qui convient : $U_0 = \frac{S_m}{m}$ pour le taux visé.

Méthode 4 : Choisir $R$ et $C$ pour le détecteur d'enveloppe

Calcule $T_p = \frac{1}{F_p}$ et $T_s = \frac{1}{f_s}$ en secondes.
Cherche un produit $RC$ situé entre ces deux durées, nettement plus grand que $T_p$ et plus petit que $T_s$ .
Choisis $R$ (quelques kilohms) puis déduis $C = \frac{RC}{R}$ , ou l'inverse. Vérifie les unités : $\text{k}\Omega\times\text{nF} = \mu\text{s}$ .

Méthode 5 : Régler le circuit d'accord sur une station

Identifie la fréquence $F_p$ de la station (en hertz).
Écris la condition d'accord $f_0 = F_p$ , soit $\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = F_p$ .
Isole l'inconnue : $C = \frac{1}{4\pi^2 L F_p^2}$ ou $L = \frac{1}{4\pi^2 C F_p^2}$ .
Convertis $L$ en henrys et $C$ en farads avant le calcul.

Méthode 6 : Diagnostiquer une démodulation défectueuse

Observe l'allure de la tension à la sortie de chaque étage.
Relie l'anomalie à son étage : plusieurs stations audibles, c'est l'accord ; dents de scie ou enveloppe non suivie, c'est $RC$ ; signal décalé vers le haut, c'est la composante continue.
Propose le correctif (régler $C$ , changer $RC$ , ajouter ou corriger le filtre passe-haut).

Exercices corrigés

Exercice 1 : Longueur d'onde et nécessité de moduler

Facile

On donne $c = 3{,}00\times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ . On admet qu'une antenne émettrice rayonne efficacement si sa dimension est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde.

Calcule la longueur d'onde d'une onde électromagnétique de fréquence $1{,}0\,\text{kHz}$ (celle qu'on obtiendrait en rayonnant directement un signal sonore de cette fréquence) et celle d'une onde de fréquence $1{,}0\,\text{MHz}$ .
Peut-on émettre directement le signal de $1{,}0\,\text{kHz}$ ? Que permet la porteuse de $1{,}0\,\text{MHz}$ ?
Donne une seconde raison de moduler une porteuse.
Un émetteur est situé à $150\,\text{km}$ d'un récepteur. Calcule la durée de propagation de l'onde.

Voir le corrigé

On utilise $\lambda = \frac{c}{f}$ :

\lambda_1 = \frac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}0\times 10^{3}} = 3{,}0\times 10^{5}\,\text{m} \qquad \lambda_2 = \frac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}0\times 10^{6}} = 3{,}0\times 10^{2}\,\text{m}

Pour $1{,}0\,\text{kHz}$ , il faudrait une antenne de l'ordre de $300\,\text{km}$ : c'est impossible. Pour la porteuse, la dimension de l'ordre de $300\,\text{m}$ est réalisable (un pylône). On module la porteuse HF par le signal BF : l'antenne peut alors rayonner efficacement.

Chaque station utilise une porteuse de fréquence différente : au récepteur, un circuit de sélection permet de choisir une station parmi les autres. Sans modulation, tous les signaux BF se superposeraient.

L'onde se propage à la célérité $c$ : $\Delta t = \frac{d}{c} = \frac{150\times 10^{3}}{3{,}00\times 10^{8}} = 5{,}0\times 10^{-4}\,\text{s} = 0{,}50\,\text{ms}$ .

Exercice 2 : Expression de la tension modulée

Facile

Un multiplieur de constante $k = 0{,}10\,\text{V}^{-1}$ reçoit la porteuse $p(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ avec $P_m = 5{,}0\,\text{V}$ et $F_p = 200\,\text{kHz}$ , et la tension $U_0 + s(t)$ avec $U_0 = 3{,}0\,\text{V}$ et $s(t) = S_m\cos(2\pi f_s t)$ , $S_m = 1{,}2\,\text{V}$ , $f_s = 2{,}0\,\text{kHz}$ .

Écris la tension de sortie $u_S(t)$ sous la forme $A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ et calcule $A$ et $m$ .
Calcule $U_{max}$ et $U_{min}$ .
Retrouve $m$ à partir de $U_{max}$ et $U_{min}$ .
La modulation est-elle de bonne qualité ?

Voir le corrigé

$u_S(t) = k\,P_m\cos(2\pi F_p t)\left[U_0 + S_m\cos(2\pi f_s t)\right] = k\,P_m\,U_0\left[1 + \frac{S_m}{U_0}\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ . Donc

A = k\,P_m\,U_0 = 0{,}10\times 5{,}0\times 3{,}0 = 1{,}5\,\text{V} \qquad m = \frac{S_m}{U_0} = \frac{1{,}2}{3{,}0} = 0{,}40

$U_{max} = A(1 + m) = 1{,}5\times 1{,}40 = 2{,}1\,\text{V}$ et $U_{min} = A(1 - m) = 1{,}5\times 0{,}60 = 0{,}90\,\text{V}$ .

$m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}} = \frac{2{,}1 - 0{,}90}{2{,}1 + 0{,}90} = \frac{1{,}2}{3{,}0} = 0{,}40$ . On retrouve bien la valeur de la question 1.

$m = 0{,}40 < 1$ et $\frac{F_p}{f_s} = \frac{200}{2{,}0} = 100 \gg 1$ : les deux conditions sont vérifiées, la modulation est de bonne qualité.

Exercice 3 : Lire un oscillogramme

Facile

L'oscillogramme d'une tension modulée est obtenu avec une sensibilité verticale de $2{,}0\,\text{V/div}$ et un balayage de $0{,}50\,\text{ms/div}$ . L'enveloppe atteint au maximum $2{,}4$ divisions au-dessus de l'axe et au minimum $0{,}60$ division. Une période de l'enveloppe occupe $4{,}0$ divisions et contient $20$ oscillations de la porteuse.

Calcule $U_{max}$ et $U_{min}$ .
Calcule le taux de modulation $m$ et l'amplitude $A$ .
Détermine la fréquence $f_s$ du signal modulant, puis la fréquence $F_p$ de la porteuse.
La modulation est-elle de bonne qualité ?

Voir le corrigé

$U_{max} = 2{,}4\times 2{,}0 = 4{,}8\,\text{V}$ et $U_{min} = 0{,}60\times 2{,}0 = 1{,}2\,\text{V}$ .

$m = \frac{4{,}8 - 1{,}2}{4{,}8 + 1{,}2} = \frac{3{,}6}{6{,}0} = 0{,}60$ et $A = \frac{4{,}8 + 1{,}2}{2} = 3{,}0\,\text{V}$ .

La période de l'enveloppe est $T_s = 4{,}0\times 0{,}50 = 2{,}0\,\text{ms}$ , donc $f_s = \frac{1}{T_s} = 5{,}0\times 10^{2}\,\text{Hz}$ . La période de la porteuse est $T_p = \frac{T_s}{20} = 0{,}10\,\text{ms}$ , donc $F_p = \frac{1}{T_p} = 1{,}0\times 10^{4}\,\text{Hz} = 10\,\text{kHz}$ .

$m = 0{,}60 < 1$ et $\frac{F_p}{f_s} = 20$ : la porteuse oscille bien plus vite que le signal modulant, l'enveloppe est nettement visible. La modulation est de bonne qualité.

Exercice 4 : Conditions d'une bonne modulation

Moyen

On étudie trois réglages d'un modulateur à multiplieur.

Cas	$S_m$	$U_0$	$F_p$	$f_s$
a	2,0 V	5,0 V	600 kHz	3,0 kHz
b	3,5 V	2,5 V	600 kHz	3,0 kHz
c	2,0 V	5,0 V	6,0 kHz	3,0 kHz

Calcule dans chaque cas le taux de modulation $m$ et le rapport $\frac{F_p}{f_s}$ .
Précise pour chaque cas si la modulation est de bonne qualité. Sinon, nomme le défaut.
Dans le cas b, quelle valeur donner à $U_0$ pour obtenir $m = 0{,}80$ sans changer $S_m$ ?
Que se passerait-il si on réglait $U_0 = 0$ ?

Voir le corrigé

Cas a : $m = \frac{2{,}0}{5{,}0} = 0{,}40$ et $\frac{F_p}{f_s} = \frac{600}{3{,}0} = 200$ . Cas b : $m = \frac{3{,}5}{2{,}5} = 1{,}4$ et $\frac{F_p}{f_s} = 200$ . Cas c : $m = 0{,}40$ et $\frac{F_p}{f_s} = \frac{6{,}0}{3{,}0} = 2{,}0$ .

Cas a : $m < 1$ et $F_p \gg f_s$ , la modulation est de bonne qualité. Cas b : $m > 1$ , c'est une surmodulation ; l'amplitude $A\left[1 + 1{,}4\cos(2\pi f_s t)\right]$ devient négative quand $\cos(2\pi f_s t) < -\frac{1}{1{,}4} \approx -0{,}71$ , la porteuse est alors en opposition de phase et l'enveloppe est déformée. Cas c : $m = 0{,}40$ convient, mais $F_p$ vaut seulement deux fois $f_s$ : la porteuse ne fait que deux oscillations par période du signal modulant, l'enveloppe n'est pas définie. La condition $F_p \gg f_s$ n'est pas respectée.

$m = \frac{S_m}{U_0}$ donne $U_0 = \frac{S_m}{m} = \frac{3{,}5}{0{,}80} = 4{,}4\,\text{V}$ .

Pour $U_0 = 0$ , $u_S(t) = k\,P_m\,S_m\cos(2\pi f_s t)\cos(2\pi F_p t)$ . L'amplitude, proportionnelle à $\cos(2\pi f_s t)$ , s'annule et change de signe deux fois par période. L'enveloppe est la valeur absolue du signal modulant, de fréquence $2f_s$ : un détecteur d'enveloppe ne restituerait pas $s(t)$ . Il faut donc ajouter $U_0$ avec $U_0 > S_m$ .

Exercice 5 : Détecteur d'enveloppe

Moyen

Un détecteur d'enveloppe (diode idéale en série avec un dipôle RC parallèle) reçoit une tension modulée de porteuse $F_p = 150\,\text{kHz}$ et de signal modulant $f_s = 2{,}0\,\text{kHz}$ . On teste trois dipôles :

dipôle 1 : $R = 22\,\text{k}\Omega$ et $C = 4{,}7\,\text{nF}$ ;
dipôle 2 : $R = 100\,\text{k}\Omega$ et $C = 100\,\text{nF}$ ;
dipôle 3 : $R = 1{,}0\,\text{k}\Omega$ et $C = 1{,}0\,\text{nF}$ .

Calcule $T_p$ et $T_s$ .
Calcule $RC$ pour chaque dipôle. Lequel convient ?
Décris la tension de sortie pour les deux dipôles qui ne conviennent pas.
Explique le rôle de la diode.

Voir le corrigé

$T_p = \frac{1}{150\times 10^{3}} = 6{,}7\times 10^{-6}\,\text{s} = 6{,}7\,\mu\text{s}$ et $T_s = \frac{1}{2{,}0\times 10^{3}} = 5{,}0\times 10^{-4}\,\text{s} = 500\,\mu\text{s}$ .

Dipôle 1 : $RC = 22\times 10^{3}\times 4{,}7\times 10^{-9} = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{s} = 1{,}0\times 10^{2}\,\mu\text{s}$ . C'est environ $15\,T_p$ et $\frac{T_s}{4{,}8}$ : $T_p \ll RC < T_s$ , il convient. Dipôle 2 : $RC = 100\times 10^{3}\times 100\times 10^{-9} = 1{,}0\times 10^{-2}\,\text{s} = 10\,\text{ms}$ , soit $20\,T_s$ : trop grand. Dipôle 3 : $RC = 1{,}0\times 10^{3}\times 1{,}0\times 10^{-9} = 1{,}0\,\mu\text{s}$ , plus petit que $T_p$ : trop petit.

Dipôle 2 : le condensateur se décharge beaucoup trop lentement ; la tension de sortie reste presque constante, proche de la valeur maximale de l'enveloppe, et ne suit pas ses variations. Dipôle 3 : le condensateur se décharge presque entièrement entre deux crêtes de la porteuse ; la sortie ressemble à la tension modulée redressée : elle retombe presque à zéro entre deux crêtes et présente de fortes dents de scie à la fréquence $F_p$ , au lieu de reproduire l'enveloppe de façon lisse.

La diode ne conduit que lorsque la tension modulée dépasse la tension aux bornes du condensateur : elle permet une charge rapide jusqu'à la crête. Elle se bloque ensuite, ce qui oblige le condensateur à se décharger lentement dans $R$ seulement : la tension suit l'enveloppe.

Exercice 6 : Circuit d'accord

Moyen

Un circuit d'accord est formé d'une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}25\,\text{mH}$ et d'un condensateur de capacité variable entre $50\,\text{pF}$ et $500\,\text{pF}$ .

Quel est l'intervalle des fréquences propres que l'on peut obtenir ?
Calcule la capacité à régler pour recevoir une station de porteuse $810\,\text{kHz}$ , puis une station de porteuse $1{,}20\,\text{MHz}$ .
Peut-on recevoir une station de porteuse $200\,\text{kHz}$ avec ce circuit ? Justifie.

Voir le corrigé

On utilise $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ . Pour $C = 50\,\text{pF}$ (fréquence la plus haute) :

f_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}25\times 10^{-3}\times 50\times 10^{-12}}} = 1{,}4\times 10^{6}\,\text{Hz}

Pour $C = 500\,\text{pF}$ (fréquence la plus basse) : $f_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}25\times 10^{-3}\times 500\times 10^{-12}}} = 4{,}5\times 10^{5}\,\text{Hz}$ . On peut donc accorder le circuit de $450\,\text{kHz}$ à $1{,}4\,\text{MHz}$ .

La condition d'accord $f_0 = F_p$ donne $C = \frac{1}{4\pi^2 L F_p^2}$ . Pour $810\,\text{kHz}$ :

C = \frac{1}{4\pi^2\times 0{,}25\times 10^{-3}\times (8{,}10\times 10^{5})^2} = 1{,}5\times 10^{-10}\,\text{F} = 1{,}5\times 10^{2}\,\text{pF}

Pour $1{,}20\,\text{MHz}$ : $C = \frac{1}{4\pi^2\times 0{,}25\times 10^{-3}\times (1{,}20\times 10^{6})^2} = 7{,}0\times 10^{-11}\,\text{F} = 70\,\text{pF}$ . Les deux valeurs sont comprises entre $50\,\text{pF}$ et $500\,\text{pF}$ : les deux stations sont réalisables.

La fréquence $200\,\text{kHz}$ est inférieure à $450\,\text{kHz}$ . Il faudrait $C = \frac{1}{4\pi^2\times 0{,}25\times 10^{-3}\times (2{,}00\times 10^{5})^2} = 2{,}5\times 10^{-9}\,\text{F} = 2{,}5\,\text{nF}$ , supérieure à $500\,\text{pF}$ : cette station est hors de portée du réglage. On devrait augmenter $L$ .

Exercice 7 : Retrouver les paramètres d'un modulateur

Difficile

Un multiplieur de constante $k = 0{,}10\,\text{V}^{-1}$ reçoit sur une entrée la porteuse $p(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ avec $P_m = 6{,}0\,\text{V}$ , et sur l'autre entrée la tension $U_0 + s(t)$ . À l'oscilloscope, l'amplitude de la tension modulée varie entre $U_{max} = 4{,}5\,\text{V}$ et $U_{min} = 1{,}5\,\text{V}$ .

Calcule le taux de modulation $m$ et l'amplitude $A$ de la tension modulée sans modulation.
Déduis $U_0$ , puis l'amplitude $S_m$ du signal modulant.
On double $S_m$ sans rien changer d'autre. Calcule $m$ , $U_{max}$ et $U_{min}$ . Que remarques-tu ?
On triple $S_m$ (par rapport à la valeur initiale). Calcule $m$ et conclus.
On revient à la valeur initiale de $S_m$ et on double $P_m$ . Calcule $A$ et $m$ .

Voir le corrigé

$m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}} = \frac{4{,}5 - 1{,}5}{4{,}5 + 1{,}5} = 0{,}50$ et $A = \frac{U_{max} + U_{min}}{2} = \frac{6{,}0}{2} = 3{,}0\,\text{V}$ .

$A = k\,P_m\,U_0$ donne $U_0 = \frac{A}{k\,P_m} = \frac{3{,}0}{0{,}10\times 6{,}0} = 5{,}0\,\text{V}$ . Puis $m = \frac{S_m}{U_0}$ donne $S_m = m\,U_0 = 0{,}50\times 5{,}0 = 2{,}5\,\text{V}$ .

Avec $S_m = 5{,}0\,\text{V}$ : $m = \frac{5{,}0}{5{,}0} = 1{,}0$ . $A$ ne change pas ( $A = 3{,}0\,\text{V}$ ), donc $U_{max} = 3{,}0\times 2{,}0 = 6{,}0\,\text{V}$ et $U_{min} = 3{,}0\times 0 = 0$ . L'amplitude s'annule en un point de la période : c'est la limite de la bonne modulation ( $m = 1$ ).

Avec $S_m = 7{,}5\,\text{V}$ : $m = \frac{7{,}5}{5{,}0} = 1{,}5 > 1$ . On a $A(1 - m) = 3{,}0\times(-0{,}5) = -1{,}5\,\text{V}$ : l'amplitude devient négative, il y a surmodulation et l'enveloppe est déformée.

$P_m' = 12\,\text{V}$ donne $A' = k\,P_m'\,U_0 = 0{,}10\times 12\times 5{,}0 = 6{,}0\,\text{V}$ . Le taux $m = \frac{S_m}{U_0} = 0{,}50$ ne dépend pas de $P_m$ : il est inchangé. Seule l'amplitude globale est multipliée par $2$ .

Exercice 8 : Étude d'une modulation d'amplitude

Type Bac

Pour émettre un son, on module en amplitude une porteuse avec un multiplieur de constante $k = 0{,}10\,\text{V}^{-1}$ . La première entrée reçoit la porteuse $p(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ avec $P_m = 5{,}0\,\text{V}$ et $F_p = 120\,\text{kHz}$ . La seconde entrée reçoit $U_0 + s(t)$ , avec $U_0 = 4{,}0\,\text{V}$ et $s(t) = S_m\cos(2\pi f_s t)$ , où $S_m = 2{,}0\,\text{V}$ et $f_s = 1{,}0\,\text{kHz}$ .

Pourquoi ajoute-t-on une tension continue $U_0$ au signal $s(t)$ ?
Montre que la tension de sortie s'écrit $u_S(t) = A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ . Donne les expressions et les valeurs de $A$ et $m$ .
Calcule $U_{max}$ et $U_{min}$ . Sur l'écran, la sensibilité verticale est $1{,}0\,\text{V/div}$ : quelles hauteurs crête à crête maximale et minimale mesure-t-on ? Retrouve $m$ avec ces hauteurs.
Vérifie que la modulation est de bonne qualité.
On règle $U_0 = 1{,}5\,\text{V}$ sans changer le reste. Calcule $m$ et conclus. Quelle valeur minimale de $U_0$ faut-il pour avoir $m < 1$ ?

Voir le corrigé

Sans $U_0$ , l'amplitude de $u_S$ serait proportionnelle à $s(t)$ : elle s'annulerait et changerait de signe deux fois par période, et l'enveloppe ne reproduirait pas $s(t)$ (elle donnerait $|s(t)|$ ). La tension continue $U_0$ garantit que le facteur $U_0 + s(t)$ reste positif.

$u_S(t) = k\,P_m\cos(2\pi F_p t)\left[U_0 + S_m\cos(2\pi f_s t)\right] = k\,P_m\,U_0\left[1 + \frac{S_m}{U_0}\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ . On identifie :

A = k\,P_m\,U_0 = 0{,}10\times 5{,}0\times 4{,}0 = 2{,}0\,\text{V} \qquad m = \frac{S_m}{U_0} = \frac{2{,}0}{4{,}0} = 0{,}50

$U_{max} = A(1 + m) = 2{,}0\times 1{,}5 = 3{,}0\,\text{V}$ et $U_{min} = A(1 - m) = 2{,}0\times 0{,}5 = 1{,}0\,\text{V}$ . Les hauteurs crête à crête sont $2U_{max} = 6{,}0\,\text{V}$ , soit $6{,}0$ divisions, et $2U_{min} = 2{,}0\,\text{V}$ , soit $2{,}0$ divisions. Alors $m = \frac{6{,}0 - 2{,}0}{6{,}0 + 2{,}0} = 0{,}50$ : on retrouve la valeur de la question 2.

$m = 0{,}50 < 1$ et $\frac{F_p}{f_s} = \frac{120}{1{,}0} = 120 \gg 1$ : les deux conditions sont satisfaites.

Avec $U_0 = 1{,}5\,\text{V}$ , $m = \frac{2{,}0}{1{,}5} = 1{,}3 > 1$ : surmodulation. L'amplitude devient négative pendant une partie de la période, l'enveloppe est déformée et le signal sera déformé après démodulation. Pour $m < 1$ , il faut $\frac{S_m}{U_0} < 1$ , c'est-à-dire $U_0 > S_m = 2{,}0\,\text{V}$ .

Exercice 9 : Réception d'une station

Type Bac

Un récepteur capte une station de porteuse $F_p = 600\,\text{kHz}$ ; le signal modulant a pour fréquence $f_s = 2{,}0\,\text{kHz}$ . Le circuit d'accord comprend une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}50\,\text{mH}$ et un condensateur de capacité réglable.

Quel est le rôle du circuit LC ? Écris la condition à réaliser puis calcule la capacité $C$ à régler.
Le condensateur est réglé sur $100\,\text{pF}$ . Calcule la fréquence propre du circuit. La station est-elle bien sélectionnée ?
Le détecteur d'enveloppe comporte une diode et un dipôle RC parallèle avec $R = 10\,\text{k}\Omega$ et $C' = 4{,}7\,\text{nF}$ . Calcule $T_p$ , $T_s$ et $RC'$ . La condition sur $RC'$ est-elle vérifiée ?
À l'entrée du détecteur, l'amplitude de la tension modulée varie entre $2{,}4\,\text{V}$ et $0{,}80\,\text{V}$ . Calcule $m$ . Donne la composante continue et l'amplitude de la composante variable de la tension de sortie du détecteur.
Quel étage supprime la composante continue ? Un filtre passe-haut RC de fréquence de coupure $f_c = \frac{1}{2\pi R'C''}$ est utilisé avec $R' = 10\,\text{k}\Omega$ et $C'' = 1{,}0\,\mu\text{F}$ : calcule $f_c$ et vérifie qu'il convient. Quelle tension obtient-on en sortie ?

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Le circuit LC sélectionne la station : il réagit fortement à l'onde de fréquence voisine de sa fréquence propre $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ . La condition d'accord est $f_0 = F_p$ , donc

C = \frac{1}{4\pi^2 L F_p^2} = \frac{1}{4\pi^2\times 0{,}50\times 10^{-3}\times (6{,}0\times 10^{5})^2} = 1{,}4\times 10^{-10}\,\text{F} = 1{,}4\times 10^{2}\,\text{pF}

Pour $C = 100\,\text{pF}$ :

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}50\times 10^{-3}\times 100\times 10^{-12}}} = 7{,}1\times 10^{5}\,\text{Hz} = 710\,\text{kHz}

Cette fréquence est différente de $600\,\text{kHz}$ : la station n'est pas bien sélectionnée, le circuit est accordé plutôt sur une autre fréquence.

$T_p = \frac{1}{600\times 10^{3}} = 1{,}7\,\mu\text{s}$ et $T_s = \frac{1}{2{,}0\times 10^{3}} = 500\,\mu\text{s}$ . Puis $RC' = 10\times 10^{3}\times 4{,}7\times 10^{-9} = 4{,}7\times 10^{-5}\,\text{s} = 47\,\mu\text{s}$ . Ainsi $RC' \approx 28\,T_p$ et $RC' \approx \frac{T_s}{11}$ : $T_p \ll RC' < T_s$ est vérifiée.

$m = \frac{2{,}4 - 0{,}80}{2{,}4 + 0{,}80} = \frac{1{,}6}{3{,}2} = 0{,}50$ et $A = \frac{2{,}4 + 0{,}80}{2} = 1{,}6\,\text{V}$ . La sortie du détecteur est $u_d(t) \approx A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]$ : la composante continue vaut $A = 1{,}6\,\text{V}$ et la composante variable a pour amplitude $A\,m = 0{,}80\,\text{V}$ , à la fréquence $f_s = 2{,}0\,\text{kHz}$ .

C'est le filtre passe-haut. Sa fréquence de coupure est $f_c = \frac{1}{2\pi\times 10\times 10^{3}\times 1{,}0\times 10^{-6}} = 16\,\text{Hz}$ . Comme $f_c \ll f_s = 2{,}0\,\text{kHz}$ (rapport voisin de $125$ ), le signal utile n'est pas atténué et la composante continue est supprimée. En sortie : $u(t) \approx 0{,}80\cos(2\pi\times 2{,}0\times 10^{3}\,t)$ en volts, image du signal modulant $s(t)$ .

QCM

1.Quelle est la célérité d'une onde électromagnétique dans le vide ?

2.Pourquoi module-t-on une porteuse pour transmettre un son par radio ?

3.Sur un oscillogramme,

U_{max} = 6{,}0\,\text{V}

U_{min} = 2{,}0\,\text{V}

. Le taux de modulation vaut :

4.Un modulateur est réglé avec

S_m = 3{,}0\,\text{V}

U_0 = 2{,}0\,\text{V}

. La modulation est :

5.Pour un détecteur d'enveloppe, la condition à respecter sur

RC

est :

6.Quel est le rôle du filtre passe-haut placé après le détecteur d'enveloppe ?

7.Dans le circuit d'accord, on multiplie par

4

la capacité

C

(sans changer

L

). La fréquence propre

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

est :

8.Que fait la diode dans le détecteur d'enveloppe ?

Erreurs fréquentes

Confondre la porteuse et le signal modulant. La porteuse est la haute fréquence $F_p$ ; l'information est la basse fréquence $f_s$ . Dans l'expression de $u_S$ , $F_p$ est dans le cosinus rapide, $f_s$ dans le cosinus qui module l'amplitude.
Calculer le taux de modulation avec un rapport faux. On a $m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$ , et non $\frac{U_{max}}{U_{min}}$ . Utilise la même grandeur (amplitudes ou hauteurs crête à crête) pour $U_{max}$ et $U_{min}$ , sans les mélanger.
Oublier la tension continue $U_0$ . Sans $U_0$ , il n'y a plus de modulation d'amplitude exploitable : l'enveloppe est $|s(t)|$ , pas $s(t)$ . Retiens aussi $m = \frac{S_m}{U_0}$ , pas $\frac{S_m}{P_m}$ .
Prendre $P_m$ pour l'amplitude de la tension modulée. L'amplitude moyenne de $u_S$ est $A = k\,P_m\,U_0$ ; elle dépend aussi de $k$ et de $U_0$ .
Choisir $RC$ au hasard dans le détecteur. Trop grand, la sortie ne suit plus l'enveloppe ; trop petit, elle garde des dents de scie à la fréquence $F_p$ . On doit avoir $T_p \ll RC < T_s$ .
Croire que la diode seule démodule, ou que le circuit LC amplifie. Le circuit LC sélectionne une fréquence, la diode et le dipôle RC détectent l'enveloppe, le filtre passe-haut retire la composante continue : chaque étage a son rôle.
Ne pas convertir les unités. $\text{kHz}$ , $\text{MHz}$ , $\mu\text{s}$ , $\text{nF}$ , $\text{pF}$ et $\text{mH}$ doivent être ramenés aux unités SI avant tout calcul de $T_p$ , $RC$ ou $f_0$ .
Dire que $F_p \gg f_s$ est facultatif. Si les deux fréquences sont proches, la porteuse n'a pas le temps d'osciller plusieurs fois par période du signal modulant : l'enveloppe n'est pas visible et la détection échoue.

À retenir

Une onde électromagnétique se propage dans le vide à $c = 3{,}00\times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ ; $\lambda = \frac{c}{f}$ .
On module pour deux raisons : avoir une antenne de taille raisonnable (dimension de l'ordre de $\lambda$ ) et distinguer les stations.
Modulation d'amplitude avec un multiplieur : $u_S(t) = k\,p(t)\,\left[U_0 + s(t)\right] = A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ , avec $A = k\,P_m\,U_0$ et $m = \frac{S_m}{U_0}$ .
Taux de modulation : $m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$ ; on a $U_{max} = A(1 + m)$ et $U_{min} = A(1 - m)$ .
Bonne modulation : $m < 1$ (sinon surmodulation) et $F_p \gg f_s$ .
Réception : circuit LC accordé sur la station ( $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = F_p$ ), détecteur d'enveloppe (diode et dipôle RC parallèle), filtre passe-haut.
Détecteur d'enveloppe : $T_p \ll RC < T_s$ ; trop petit, dents de scie ; trop grand, l'enveloppe n'est pas suivie.
Le filtre passe-haut ( $f_c \ll f_s$ ) supprime la composante continue $A$ et laisse la composante $A\,m\cos(2\pi f_s t)$ , image de $s(t)$ .
Chaîne complète : émission (microphone, modulateur, antenne), propagation, réception (antenne, accord LC, détection d'enveloppe, filtre passe-haut, haut-parleur).

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Ondes électromagnétiques et modulation d'amplitude

L'essentiel

1. Transmettre une information par ondes électromagnétiques

2. La modulation d'amplitude

3. Réception et démodulation

Méthodes

Méthode 1 : Écrire la tension modulée et identifier ses paramètres

Méthode 2 : Déterminer le taux de modulation sur un oscillogramme

Méthode 3 : Vérifier la qualité d'une modulation

Méthode 4 : Choisir RRR et CCC pour le détecteur d'enveloppe

Méthode 5 : Régler le circuit d'accord sur une station

Méthode 6 : Diagnostiquer une démodulation défectueuse

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Méthode 4 : Choisir $R$ et $C$ pour le détecteur d'enveloppe