2e Bac Sciences physiques (PC)

Oscillations libres d'un circuit RLC série

Cours complet sur les oscillations libres d'un circuit RLC série en 2e Bac PC : régimes, période propre, énergie, entretien, exercices corrigés et QCM.

60 min
9 exercices corrigés
QCM de 8 questions

Prérequis : Dipôle RC et dipôle RL (2e Bac), équations différentielles y'' + ay' + by = 0 (2e Bac)

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L'essentiel

1. Le circuit RLC série et la décharge oscillante

Un circuit RLC série associe en série un condensateur de capacité $C$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ , et un conducteur ohmique de résistance $R$ . On note

R_t = R + r

la résistance totale du circuit. Quand la bobine est idéale ( $r = 0$ ) et qu'il n'y a pas de conducteur ohmique, on parle de circuit LC et $R_t = 0$ .

On charge d'abord le condensateur sous une tension $E$ . À l'instant $t = 0$ , on le décharge dans la bobine et le conducteur ohmique : il n'y a aucun générateur dans le circuit. Les oscillations obtenues sont dites libres, car aucune source ne leur impose sa fréquence.

Conventions : la flèche du courant $i$ est orientée vers l'armature du condensateur qui porte la charge $q$ . On a donc

q = C\,u_C \qquad \text{et} \qquad i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du_C}{dt}

Pendant la décharge, $q$ diminue : $i$ est négative au début (le courant circule en sens inverse du sens positif choisi).

2. Équation différentielle

La loi d'additivité des tensions donne $u_C + u_R + u_L = 0$ , avec $u_R = R\,i$ et $u_L = L\,\frac{di}{dt} + r\,i$ . Donc

u_C + R_t\, i + L\,\frac{di}{dt} = 0

En remplaçant $i = C\frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}$ , on obtient l'équation différentielle de $u_C$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\,\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

Avec $u_C = \frac{q}{C}$ , la même équation s'écrit pour la charge :

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre, du type $y'' + ay' + by = 0$ vu en mathématiques, avec $a = \frac{R_t}{L}$ et $b = \frac{1}{LC}$ .

3. Les régimes d'oscillation

Selon la valeur de $R_t$ , on observe sur l'oscilloscope quatre comportements.

Régime	Valeur de $R_t$	Allure de $u_C(t)$
Périodique	$R_t = 0$ (ou compensée par un dispositif d'entretien)	sinusoïdale, amplitude constante, période $T_0$
Pseudo-périodique	$R_t$ faible	oscillations d'amplitude décroissante, de pseudo-période $T$
Critique	$R_t = R_c$	retour à $0$ le plus rapide possible, sans osciller
Apériodique	$R_t > R_c$	retour lent à $0$ , sans osciller

La pseudo-période $T$ est la durée entre deux maxima consécutifs de $u_C$ . Quand $R_t$ est faible, elle est très proche de la période propre : $T \approx T_0$ .

L'amortissement a une cause physique unique : l'effet Joule dans les résistances du circuit transforme peu à peu l'énergie électromagnétique en chaleur.

4. Oscillations non amorties : le circuit LC

Pour $R_t = 0$ , l'équation devient

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Vérification : $\frac{d^2q}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 q$ . L'équation est donc vérifiée si $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , c'est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Les autres grandeurs en découlent :

$u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C} = U_m \cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $U_m = \dfrac{Q_m}{C}$ ;
$i(t) = \dfrac{dq}{dt} = -I_m \sin\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $I_m = \dfrac{2\pi}{T_0}\,Q_m = \omega_0 Q_m$ .

L'amplitude $Q_m$ et la phase $\varphi$ ne dépendent pas du circuit mais des conditions initiales. Pour un condensateur chargé sous $E$ puis déchargé à $t = 0$ , on a $u_C(0) = E$ et $i(0) = 0$ . Alors $\varphi = 0$ , $Q_m = CE$ et $u_C(t) = E\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ .

5. Étude énergétique

L'énergie emmagasinée dans le condensateur est $E_e = \frac{1}{2}C\,u_C^2 = \frac{q^2}{2C}$ . Celle de la bobine est $E_m = \frac{1}{2}L\,i^2$ . L'énergie totale du circuit est

E = E_e + E_m = \frac{1}{2}C\,u_C^2 + \frac{1}{2}L\,i^2

En dérivant par rapport au temps, puis en utilisant $C\frac{du_C}{dt} = i$ et l'équation du circuit :

\frac{dE}{dt} = u_C\,i + L\,i\,\frac{di}{dt} = i\left(u_C + L\frac{di}{dt}\right) = -R_t\, i^2

Pour un circuit LC avec $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ :

E = \frac{1}{2}C\,U_m^2 = \frac{Q_m^2}{2C} = \frac{1}{2}L\,I_m^2

L'énergie oscille entre les deux formes, tandis que leur somme reste constante :

E_e(t) = \frac{E}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{4\pi}{T_0}t + 2\varphi\right)\right] \qquad E_m(t) = \frac{E}{2}\left[1 - \cos\left(\frac{4\pi}{T_0}t + 2\varphi\right)\right]

Les énergies $E_e$ et $E_m$ ont donc pour période $\frac{T_0}{2}$ . Quand $u_C$ est extrémale, $i = 0$ et l'énergie est entièrement électrique ; quand $|i|$ est maximale, $u_C = 0$ et l'énergie est entièrement magnétique.

6. Entretien des oscillations

Pour compenser l'énergie dissipée par effet Joule, on insère dans le circuit un dispositif d'entretien : un dipôle actif (par exemple un montage à amplificateur opérationnel alimenté) qui se comporte comme un générateur délivrant une tension proportionnelle à l'intensité :

u_G = R_0\, i

où $R_0$ est un coefficient réglable (en ohms). L'additivité des tensions devient $u_C + R_t\,i + L\frac{di}{dt} = R_0\, i$ , soit

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Réglage	Coefficient $\frac{R_t - R_0}{L}$	Oscillations
$R_0 < R_t$	positif	amorties
$R_0 = R_t$	nul	sinusoïdales, amplitude constante
$R_0 > R_t$	négatif	amplitude croissante (limitée en pratique par la saturation du montage)

Le dispositif d'entretien ne fixe ni la fréquence ni l'amplitude : la période est la période propre $T_0$ du circuit, et l'amplitude dépend des conditions initiales.

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC

Représente le circuit, choisis le sens de $i$ et oriente chaque tension en convention récepteur.
Écris l'additivité des tensions : $u_C + u_R + u_L = 0$ (ou $= u_G$ s'il y a un dispositif d'entretien).
Exprime chaque tension : $u_R = R\,i$ , $u_L = L\frac{di}{dt} + r\,i$ , $i = C\frac{du_C}{dt}$ .
Remplace, regroupe les termes et divise par le coefficient de la dérivée seconde pour obtenir la forme standard.

Méthode 2 : Vérifier une solution sinusoïdale et trouver ses constantes

Dérive deux fois la solution proposée, par exemple $u_C = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ .
Remplace dans l'équation du circuit LC : le terme en cosinus se factorise et impose $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ .
Utilise les conditions initiales ( $u_C(0)$ et $i(0)$ ) pour trouver $U_m$ et $\varphi$ .
Déduis $i(t) = C\frac{du_C}{dt}$ et son amplitude $I_m = C\,\omega_0\,U_m$ .

Méthode 3 : Mesurer $T_0$ (ou $T$ ) sur un oscillogramme et en déduire $L$ ou $C$

Mesure la durée de plusieurs périodes (le plus possible) et divise par leur nombre : on gagne en précision.
Convertis les divisions en secondes avec la base de temps (sensibilité horizontale en ms par division).
Isole l'inconnue dans $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : $\;L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$ ou $C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L}$ .
Convertis les unités en SI avant le calcul, et donne un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Méthode 4 : Étudier les échanges d'énergie

Écris $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ .
Pour un circuit LC, repère l'instant où $i = 0$ (donc $u_C = \pm U_m$ ) : $E = \frac{1}{2}CU_m^2$ s'en déduit.
À un instant donné, calcule $E_e$ à partir de $u_C$ , puis $E_m = E - E_e$ , puis $|i| = \sqrt{\frac{2E_m}{L}}$ .
Pour un circuit RLC, l'énergie dissipée entre deux instants est $E(t_1) - E(t_2)$ : calcule $E$ aux instants où $i = 0$ (maxima de $u_C$ ), car alors $E = \frac{1}{2}Cu_C^2$ .

Méthode 5 : Déterminer le réglage du dispositif d'entretien

Écris l'additivité des tensions avec $u_G = R_0\,i$ du côté du générateur.
Obtiens l'équation $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$ .
Annule le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ : $R_0 = R_t = R + r$ (n'oublie pas la résistance $r$ de la bobine).
Précise la période des oscillations entretenues : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ , indépendante de $R_0$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Période et fréquence propres

Facile

Un circuit LC est formé d'une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}50\,\text{H}$ et d'un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ .

Calcule la période propre $T_0$ et la fréquence propre $f_0$ .
On remplace le condensateur par un autre de capacité $C' = 8{,}0\,\mu\text{F}$ . Que devient la période propre ?

Voir le corrigé

On applique $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ avec $L$ en henrys et $C$ en farads :

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\times 1{,}0\times 10^{-3} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}

La fréquence propre est $f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{6{,}283\times 10^{-3}} = 1{,}6\times 10^{2}\,\text{Hz}$ .

Le rapport des capacités vaut $\frac{C'}{C} = 4$ . Comme $T_0$ est proportionnelle à $\sqrt{C}$ , la période est multipliée par $\sqrt{4} = 2$ :

T_0' = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 8{,}0\times 10^{-6}} = 1{,}3\times 10^{-2}\,\text{s} = 13\,\text{ms}

Exercice 2 : Analyse dimensionnelle et capacité inconnue

Facile

Montre que la grandeur $\sqrt{LC}$ est homogène à un temps.
Une bobine idéale d'inductance $L = 40\,\text{mH}$ forme avec un condensateur un circuit LC dont la période propre mesurée est $T_0 = 4{,}0\,\text{ms}$ . Calcule la capacité $C$ du condensateur.

Voir le corrigé

D'après $u_L = L\frac{di}{dt}$ , l'unité de $L$ est le volt-seconde par ampère ( $\text{V.s.A}^{-1}$ ). D'après $i = C\frac{du_C}{dt}$ , l'unité de $C$ est l'ampère-seconde par volt ( $\text{A.s.V}^{-1}$ ). Le produit s'écrit

[LC] = \frac{\text{V.s}}{\text{A}}\times\frac{\text{A.s}}{\text{V}} = \text{s}^2

donc $\sqrt{LC}$ s'exprime en secondes : la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est homogène.

On isole $C$ dans $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . En élevant au carré, $T_0^2 = 4\pi^2 LC$ , donc

C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L} = \frac{(4{,}0\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 40\times 10^{-3}} = 1{,}0\times 10^{-5}\,\text{F} = 10\,\mu\text{F}

Exercice 3 : Reconnaître les régimes

Facile

Un condensateur chargé se décharge dans un circuit comprenant une bobine et un conducteur ohmique de résistance réglable ; on peut aussi y insérer un dispositif d'entretien. On visualise $u_C(t)$ dans quatre situations et on observe :

enregistrement A : $u_C$ oscille de part et d'autre de $0$ et ses maxima successifs sont de plus en plus petits ;
enregistrement B : $u_C$ revient à $0$ le plus vite possible, sans jamais changer de signe ;
enregistrement C : $u_C$ revient à $0$ sans changer de signe, mais beaucoup plus lentement que dans B ;
enregistrement D : $u_C$ oscille de façon sinusoïdale avec une amplitude constante.

Nomme le régime de chaque enregistrement.
Classe les enregistrements A, B et C par résistance totale $R_t$ croissante. Comment obtient-on l'enregistrement D ?
Explique pourquoi l'amplitude diminue dans l'enregistrement A.

Voir le corrigé

A : régime pseudo-périodique. B : régime critique. C : régime apériodique. D : régime périodique.

L'amortissement augmente avec $R_t$ . L'ordre croissant est A (résistance faible), puis B (résistance critique), puis C (résistance supérieure à la valeur critique). Une bobine réelle a toujours une résistance $r > 0$ : on ne peut donc pas annuler $R_t$ en réglant seulement le conducteur ohmique. L'enregistrement D s'obtient avec le dispositif d'entretien, qui compense exactement les pertes par effet Joule.

L'énergie totale $E = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ vérifie $\frac{dE}{dt} = -R_t\,i^2 \le 0$ : elle est dissipée par effet Joule dans les résistances. Comme l'énergie diminue, l'amplitude des oscillations diminue aussi.

Exercice 4 : Solution de l'équation et conditions initiales

Moyen

Un condensateur de capacité $C = 0{,}10\,\mu\text{F}$ est chargé sous $E = 6{,}0\,\text{V}$ . À $t = 0$ , on le relie à une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}10\,\text{H}$ . On cherche la charge sous la forme $q(t) = Q_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ avec $Q_m > 0$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $q$ .
Détermine la valeur de $\omega_0$ pour que la fonction proposée soit solution. Calcule $\omega_0$ et $T_0$ .
À $t = 0$ , $u_C = E$ et $i = 0$ . Détermine $Q_m$ et $\varphi$ .
Écris $i(t)$ et donne la valeur de $I_m$ .
À quel instant $u_C$ s'annule-t-elle pour la première fois ? Que vaut alors $i$ ?

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D'après l'additivité des tensions, $u_C + L\frac{di}{dt} = 0$ , soit $\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2} = 0$ :

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0

On a $\frac{d^2q}{dt^2} = -\omega_0^2\,Q_m\cos(\omega_0 t + \varphi) = -\omega_0^2\,q$ . En remplaçant : $\left(\frac{1}{LC} - \omega_0^2\right)q = 0$ pour tout $t$ , donc $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0{,}10\times 0{,}10\times 10^{-6}}} = 1{,}0\times 10^{4}\,\text{rad.s}^{-1} \qquad T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 6{,}3\times 10^{-4}\,\text{s}

On a $i = \frac{dq}{dt} = -\omega_0 Q_m\sin(\omega_0 t + \varphi)$ . La condition $i(0) = 0$ donne $\sin\varphi = 0$ , donc $\varphi = 0$ ou $\varphi = \pi$ . La condition $q(0) = CE > 0$ avec $Q_m > 0$ impose $\cos\varphi > 0$ , donc $\varphi = 0$ . Alors $Q_m = CE = 0{,}10\times 10^{-6}\times 6{,}0 = 6{,}0\times 10^{-7}\,\text{C}$ .

On obtient $i(t) = -I_m\sin(\omega_0 t)$ avec

I_m = \omega_0\,Q_m = 1{,}0\times 10^{4}\times 6{,}0\times 10^{-7} = 6{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = 6{,}0\,\text{mA}

$u_C(t) = 6{,}0\cos(\omega_0 t)$ s'annule pour $\omega_0 t = \frac{\pi}{2}$ , soit $t = \frac{T_0}{4} = 1{,}6\times 10^{-4}\,\text{s}$ . À cet instant, $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ donc $i = -6{,}0\,\text{mA}$ : la valeur absolue de l'intensité est maximale, et le signe négatif indique que le courant circule en sens inverse du sens positif choisi (décharge).

Exercice 5 : Échanges d'énergie dans un circuit LC

Moyen

Un circuit LC est formé d'une bobine idéale de $L = 50\,\text{mH}$ et d'un condensateur de $C = 20\,\mu\text{F}$ . La tension maximale aux bornes du condensateur est $U_m = 10\,\text{V}$ .

Calcule l'énergie totale $E$ du circuit et la période propre $T_0$ .
Calcule l'intensité maximale $I_m$ à l'aide de l'énergie.
À un instant où $u_C = 6{,}0\,\text{V}$ , calcule $E_e$ , $E_m$ et $|i|$ .
Le condensateur est initialement chargé ( $u_C(0) = U_m$ ). À quel instant a-t-on pour la première fois $E_e = E_m$ ?

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À l'instant où $u_C = U_m$ , on a $i = 0$ : toute l'énergie est électrique.

E = \frac{1}{2}CU_m^2 = \frac{1}{2}\times 20\times 10^{-6}\times 10^2 = 1{,}0\times 10^{-3}\,\text{J}

T_0 = 2\pi\sqrt{50\times 10^{-3}\times 20\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}

Quand $|i| = I_m$ , toute l'énergie est magnétique : $E = \frac{1}{2}LI_m^2$ , d'où

I_m = \sqrt{\frac{2E}{L}} = \sqrt{\frac{2\times 1{,}0\times 10^{-3}}{50\times 10^{-3}}} = 0{,}20\,\text{A}

$E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}\times 20\times 10^{-6}\times 6{,}0^2 = 3{,}6\times 10^{-4}\,\text{J}$ . L'énergie totale se conserve, donc $E_m = E - E_e = 1{,}0\times 10^{-3} - 3{,}6\times 10^{-4} = 6{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}$ . Enfin

|i| = \sqrt{\frac{2E_m}{L}} = \sqrt{\frac{2\times 6{,}4\times 10^{-4}}{50\times 10^{-3}}} = 0{,}16\,\text{A}

Avec $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ , on a $E_e = E\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . La condition $E_e = E_m = \frac{E}{2}$ donne $\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) = \frac{1}{2}$ , soit $\frac{2\pi}{T_0}t = \frac{\pi}{4}$ pour la première fois. Donc

t = \frac{T_0}{8} = \frac{6{,}28\times 10^{-3}}{8} = 7{,}9\times 10^{-4}\,\text{s}

Exercice 6 : Régime pseudo-périodique et énergie dissipée

Moyen

Un condensateur de capacité $C = 10\,\mu\text{F}$ est chargé sous $E = 8{,}0\,\text{V}$ puis déchargé à $t = 0$ dans une bobine d'inductance $L = 0{,}40\,\text{H}$ en série avec un conducteur ohmique. La résistance totale du circuit est $R_t = 15\,\Omega$ . On observe un régime pseudo-périodique. Au bout de trois pseudo-périodes, la valeur maximale de $u_C$ relevée est $3{,}9\,\text{V}$ .

Calcule la période propre $T_0$ et, en admettant $T \approx T_0$ , la durée de trois pseudo-périodes.
Calcule l'énergie initiale du circuit.
Calcule l'énergie à $t = 3T$ (justifie que l'énergie est alors entièrement électrique), puis l'énergie dissipée et sa proportion par rapport à l'énergie initiale.
Déduis la puissance moyenne dissipée par effet Joule sur cette durée.

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$T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}40\times 10\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\times 2{,}0\times 10^{-3} = 1{,}26\times 10^{-2}\,\text{s}$ , soit $12{,}6\,\text{ms}$ . Pour trois pseudo-périodes : $3T \approx 3\times 12{,}6 = 37{,}7\,\text{ms}$ .

À $t = 0$ , $i = 0$ : $E_0 = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 8{,}0^2 = 3{,}2\times 10^{-4}\,\text{J}$ .

À $t = 3T$ , $u_C$ est maximale, donc $i = C\frac{du_C}{dt} = 0$ : l'énergie magnétique est nulle. Ainsi

E_3 = \frac{1}{2}C\,u_C^2 = \frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 3{,}9^2 = 7{,}6\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie dissipée vaut $E_0 - E_3 = 3{,}2\times 10^{-4} - 0{,}76\times 10^{-4} = 2{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}$ . Elle représente $\frac{2{,}44\times 10^{-4}}{3{,}2\times 10^{-4}} = 0{,}76$ , soit environ $76\,\%$ de l'énergie initiale.

La puissance moyenne dissipée est

P = \frac{E_0 - E_3}{3T} = \frac{2{,}44\times 10^{-4}}{37{,}7\times 10^{-3}} = 6{,}5\times 10^{-3}\,\text{W} = 6{,}5\,\text{mW}

Exercice 7 : Entretien des oscillations

Difficile

Un circuit série comprend un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ , une bobine d'inductance $L = 0{,}20\,\text{H}$ et de résistance $r = 10\,\Omega$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 40\,\Omega$ et un dispositif d'entretien qui se comporte comme un générateur de tension $u_G = R_0\,i$ , où $R_0$ est réglable. La tension $u_G$ est orientée comme celle d'un générateur : $u_C + u_R + u_L = u_G$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ du condensateur.
Quelle valeur faut-il donner à $R_0$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ? Calcule alors la période.
Pour une amplitude d'intensité $I_m = 20\,\text{mA}$ , calcule la puissance moyenne fournie par le dispositif. Que représente cette puissance ?
On règle $R_0 = 45\,\Omega$ , puis $R_0 = 55\,\Omega$ . Donne dans chaque cas le signe du coefficient de $\frac{dq}{dt}$ et décris l'évolution de l'amplitude.

Voir le corrigé

On remplace $u_R = R\,i$ , $u_L = L\frac{di}{dt} + r\,i$ et $u_C = \frac{q}{C}$ dans $u_C + u_R + u_L = R_0\,i$ . Avec $R_t = R + r$ et $i = \frac{dq}{dt}$ :

L\frac{d^2q}{dt^2} + (R_t - R_0)\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Les oscillations sont sinusoïdales quand le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ est nul : $R_0 = R_t = R + r = 40 + 10 = 50\,\Omega$ . L'équation devient $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{LC} = 0$ et la période est la période propre :

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}20\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4{,}0\times 10^{-7}} = 3{,}97\times 10^{-3}\,\text{s} \approx 4{,}0\,\text{ms}

La puissance fournie est $p = u_G\,i = R_0\,i^2$ . Avec $i = -I_m\sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ , la valeur moyenne de $i^2$ vaut $\frac{I_m^2}{2}$ :

P = \frac{R_0\,I_m^2}{2} = \frac{50\times (20\times 10^{-3})^2}{2} = 1{,}0\times 10^{-2}\,\text{W} = 10\,\text{mW}

C'est exactement la puissance dissipée par effet Joule dans les résistances $R_t$ : le dispositif compense les pertes.

Pour $R_0 = 45\,\Omega$ : $\frac{R_t - R_0}{L} = \frac{50 - 45}{0{,}20} = +25\,\text{s}^{-1}$ . Le coefficient est positif, donc les oscillations sont encore amorties (moins qu'avec $R_0 = 0$ ). Pour $R_0 = 55\,\Omega$ : $\frac{R_t - R_0}{L} = \frac{50 - 55}{0{,}20} = -25\,\text{s}^{-1}$ . Le coefficient est négatif : l'amplitude augmente (le dispositif fournit plus d'énergie que le circuit n'en dissipe), jusqu'à ce que le montage sature.

Exercice 8 : Décharge d'un condensateur dans un circuit RLC

Type Bac

Un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ , chargé sous une tension $E = 10\,\text{V}$ , est relié à $t = 0$ à une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r = 5{,}0\,\Omega$ , en série avec un conducteur ohmique de résistance $R = 15\,\Omega$ . On enregistre la tension $u_C(t)$ : on observe des oscillations dont l'amplitude diminue. Cinq pseudo-périodes occupent $31{,}5\,\text{ms}$ . À $t = 2T$ , la valeur maximale lue de $u_C$ est $7{,}8\,\text{V}$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Nomme le régime observé et explique pourquoi l'amplitude diminue.
Détermine la pseudo-période $T$ , puis la valeur de $L$ en admettant $T \approx T_0$ .
a) Donne l'expression de l'énergie totale $E_{tot}(t)$ du circuit et montre que $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_t\,i^2$ . b) Calcule l'énergie à $t = 0$ et à $t = 2T$ (justifie que $i = 0$ à $t = 2T$ ), puis l'énergie dissipée entre ces deux instants.
On place dans le circuit un dispositif d'entretien de tension $u_G = R_0\,i$ . Quelle valeur donner à $R_0$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ? Quelle est alors leur période ?

Voir le corrigé

Additivité des tensions : $u_C + R\,i + L\frac{di}{dt} + r\,i = 0$ . Avec $R_t = R + r = 20\,\Omega$ , $i = C\frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

Les oscillations ont une amplitude décroissante : le régime est pseudo-périodique. L'amplitude décroît car l'énergie du circuit est dissipée par effet Joule dans la résistance totale $R_t$ .

$T = \frac{31{,}5\,\text{ms}}{5} = 6{,}3\,\text{ms}$ . En admettant $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ :

L = \frac{T^2}{4\pi^2 C} = \frac{(6{,}3\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 0{,}50\,\text{H}

a) $E_{tot} = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . En dérivant et en utilisant $C\frac{du_C}{dt} = i$ :

\frac{dE_{tot}}{dt} = u_C\,i + L\,i\,\frac{di}{dt} = i\left(u_C + L\frac{di}{dt}\right)

D'après l'équation du circuit, $u_C + L\frac{di}{dt} = -R_t\,i$ , donc $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_t\,i^2$ .

b) À $t = 0$ , $i = 0$ et $u_C = E$ : $E_{tot}(0) = \frac{1}{2}\times 2{,}0\times 10^{-6}\times 10^2 = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{J}$ . À $t = 2T$ , $u_C$ est maximale donc $\frac{du_C}{dt} = 0$ et $i = C\frac{du_C}{dt} = 0$ . Alors

E_{tot}(2T) = \frac{1}{2}\times 2{,}0\times 10^{-6}\times 7{,}8^2 = 6{,}1\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie dissipée vaut $1{,}0\times 10^{-4} - 6{,}1\times 10^{-5} = 3{,}9\times 10^{-5}\,\text{J}$ .

Avec le dispositif, l'additivité des tensions s'écrit $u_C + R_t\,i + L\frac{di}{dt} = R_0\,i$ , soit $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0$ . Le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ s'annule pour $R_0 = R_t = 20\,\Omega$ . Les oscillations sont alors sinusoïdales de période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}$ .

Exercice 9 : Circuit LC, capacité inconnue et énergie

Type Bac

Un condensateur de capacité $C$ inconnue est chargé sous $E = 8{,}0\,\text{V}$ , puis relié à $t = 0$ à une bobine d'inductance $L = 0{,}250\,\text{H}$ dont on néglige la résistance. On visualise $u_C(t)$ : la base de temps vaut $2{,}0\,\text{ms/div}$ et quatre périodes occupent $6{,}3$ divisions.

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Vérifie que $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ est solution si $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Donne $U_m$ et $\varphi$ avec les conditions initiales.
Détermine la période $T_0$ mesurée, puis la capacité $C$ .
Exprime l'énergie électrique $E_e(t)$ et l'énergie magnétique $E_m(t)$ , puis montre que leur somme est constante. Calcule cette énergie totale.
Calcule l'intensité maximale $I_m$ .
Quelle durée sépare deux instants consécutifs où $E_e = E_m$ ?

Voir le corrigé

$u_C + L\frac{di}{dt} = 0$ avec $i = C\frac{du_C}{dt}$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

En dérivant deux fois, $\frac{d^2u_C}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2u_C$ . L'équation devient $\left[\frac{1}{LC} - \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\right]u_C = 0$ : elle est vérifiée si $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , c'est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Conditions initiales : $u_C(0) = U_m\cos\varphi = E > 0$ et $i(0) = 0$ donc $\sin\varphi = 0$ . Ainsi $\varphi = 0$ et $U_m = E = 8{,}0\,\text{V}$ .

$4T_0 = 6{,}3\times 2{,}0\,\text{ms} = 12{,}6\,\text{ms}$ , donc $T_0 = 3{,}15\,\text{ms}$ . On en tire

C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L} = \frac{(3{,}15\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 0{,}250} = 1{,}0\times 10^{-6}\,\text{F} = 1{,}0\,\mu\text{F}

Avec $\varphi = 0$ : $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}CE^2\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . Le courant est $i = C\frac{du_C}{dt} = -CE\,\frac{2\pi}{T_0}\sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . Comme $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , on obtient $E_m = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}L\,C^2E^2\,\frac{1}{LC}\sin^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) = \frac{1}{2}CE^2\sin^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . La somme est

E_e + E_m = \frac{1}{2}CE^2\left[\cos^2 + \sin^2\right] = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\times 1{,}0\times 10^{-6}\times 8{,}0^2 = 3{,}2\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie totale est constante, égale à $32\,\mu\text{J}$ .

Quand $|i|$ est maximale, toute l'énergie est magnétique : $\frac{1}{2}LI_m^2 = 3{,}2\times 10^{-5}\,\text{J}$ , donc

I_m = \sqrt{\frac{2\times 3{,}2\times 10^{-5}}{0{,}250}} = 1{,}6\times 10^{-2}\,\text{A} = 16\,\text{mA}

$E_e = E_m$ pour $\cos^2 = \sin^2$ , c'est-à-dire $\frac{2\pi}{T_0}t = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2}$ . Deux instants consécutifs sont séparés par $\frac{T_0}{4}$ :

\Delta t = \frac{T_0}{4} = \frac{3{,}15}{4} = 0{,}79\,\text{ms}

QCM

1.Un circuit LC est formé d'une bobine idéale de

L = 0{,}10\,\text{H}

et d'un condensateur de

C = 10\,\mu\text{F}

. Quelle est sa période propre ?

2.Dans un circuit LC, on remplace le condensateur par un autre de capacité quatre fois plus grande (la bobine ne change pas). La période propre est :

3.Dans un circuit RLC série, la résistance totale devient très grande. Le régime est :

4.Dans un circuit LC, à l'instant où la valeur absolue de l'intensité est maximale :

5.Pour un circuit RLC série libre de résistance totale

R_t

, la variation de l'énergie totale vérifie :

6.Un dispositif d'entretien de tension

u_G = R_0\,i

est placé dans un circuit de résistance totale

R_t = R + r

. Les oscillations sont sinusoïdales si :

7.La période des oscillations entretenues d'un circuit RLC série est :

8.Dans un circuit LC de période propre

T_0

, l'énergie électrique

E_e(t)

oscille avec la période :

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance de la bobine. La résistance totale est $R_t = R + r$ : le réglage d'entretien est $R_0 = R + r$ , pas seulement $R_0 = R$ .
Écrire $T_0 = 2\pi LC$ ou $T_0 = 2\pi\sqrt{L/C}$ . La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : pense à vérifier l'unité (le produit $LC$ est en $\text{s}^2$ ).
Ne pas convertir les unités. $\mu\text{F}$ , $\text{mH}$ et $\text{ms}$ doivent être convertis en F, H et s avant d'appliquer la formule. Laisser des $\mu\text{F}$ non convertis multiplie le produit $LC$ par $10^{6}$ , donc la période par $\sqrt{10^{6}} = 1000$ .
Dire que $T = T_0$ dans le régime pseudo-périodique. La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ ; on écrit $T \approx T_0$ seulement quand $R_t$ est faible.
Parler d'énergie « perdue » sans dire où elle va. L'énergie n'est pas détruite : elle est dissipée par effet Joule dans les résistances (transfert thermique vers le milieu extérieur).
Penser que le dispositif d'entretien impose sa fréquence. Il compense seulement l'énergie dissipée : la période reste $T_0$ et l'amplitude dépend des conditions initiales.
Oublier le signe de $i$ pendant la décharge. Avec $i = \frac{dq}{dt}$ , la charge diminue : $i$ est négative au début. Une valeur de $i$ ne se déduit pas de $u_C$ sans le signe de $\frac{du_C}{dt}$ .
Mesurer une seule période sur l'oscillogramme. Mesure plusieurs périodes consécutives puis divise : l'incertitude de lecture est partagée entre toutes.

À retenir

Circuit RLC série libre : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$ , avec $R_t = R + r$ .
Régimes : périodique ( $R_t = 0$ ou compensée), pseudo-périodique ( $R_t$ faible), critique, apériodique ( $R_t$ grande).
Circuit LC : $q = Q_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; $Q_m$ et $\varphi$ viennent des conditions initiales.
Pseudo-période : $T \approx T_0$ si $R_t$ est faible ; l'amplitude décroît à cause de l'effet Joule.
Énergie : $E = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ ; $\frac{dE}{dt} = -R_t\,i^2$ ; constante dans un circuit LC.
Dans un circuit LC : $E = \frac{1}{2}CU_m^2 = \frac{1}{2}LI_m^2$ ; $E_e$ et $E_m$ ont pour période $\frac{T_0}{2}$ .
Entretien : $u_G = R_0\,i$ avec $R_0 = R_t = R + r$ ; les oscillations sont sinusoïdales de période $T_0$ .
Le dispositif d'entretien n'impose ni la fréquence ni l'amplitude : il compense seulement la puissance $R_t\,i^2$ dissipée par effet Joule.
Oscillations libres (le circuit fixe sa fréquence) et oscillations forcées (un générateur impose la sienne) sont deux situations différentes.

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Oscillations libres d'un circuit RLC série

L'essentiel

1. Le circuit RLC série et la décharge oscillante

2. Équation différentielle

3. Les régimes d'oscillation

4. Oscillations non amorties : le circuit LC

5. Étude énergétique

6. Entretien des oscillations

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC

Méthode 2 : Vérifier une solution sinusoïdale et trouver ses constantes

Méthode 3 : Mesurer T0T_0T0​ (ou TTT) sur un oscillogramme et en déduire LLL ou CCC

Méthode 4 : Étudier les échanges d'énergie

Méthode 5 : Déterminer le réglage du dispositif d'entretien

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Méthode 3 : Mesurer $T_0$ (ou $T$ ) sur un oscillogramme et en déduire $L$ ou $C$