2e Bac Sciences physiques (PC)

Propagation d'une onde lumineuse

Propagation d'une onde lumineuse 2e Bac PC : diffraction, écart angulaire, indice, dispersion par un prisme, 9 exercices corrigés et QCM.

60 min
9 exercices corrigés
QCM de 7 questions
Vérifié le 4 octobre 2026

Prérequis : Ondes mécaniques périodiques (longueur d'onde, diffraction), lois de Snell-Descartes de la réfraction, puissances de 10

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En bref

Niveau: 2e Bac Sciences physiques (PC)
Matière: Physique-Chimie
Contenu: cours, méthodes, 9 exercices corrigés, QCM de 7 questions
Durée: 60 min
Prérequis: Ondes mécaniques périodiques (longueur d'onde, diffraction), lois de Snell-Descartes de la réfraction, puissances de 10
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Licence: contenu original 9raya, gratuit, CC BY-NC-SA 4.0.

L'essentiel

Un faisceau laser traverse une fente très fine : sur l'écran, au lieu d'une simple tache, tu vois une tache centrale étalée bordée de petites taches. La lumière se comporte comme une onde. Dans un prisme, la lumière blanche s'étale en arc-en-ciel : le verre trie les couleurs. Ce chapitre explique ces deux phénomènes, la diffraction et la dispersion, avec les relations à connaître.

1. La lumière : une onde, des radiations

La lumière est une onde (électromagnétique) qui, contrairement aux ondes mécaniques, se propage dans le vide. Sa célérité dans le vide est notée $c$ :

c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}

Définition

Une radiation monochromatique est caractérisée par une seule fréquence $\nu$ (une seule couleur) : c'est le cas de la lumière d'un laser. Une lumière polychromatique contient plusieurs radiations : la lumière blanche est un ensemble continu de radiations, du violet au rouge.

La longueur d'onde dans le vide d'une radiation de fréquence $\nu$ et de période $T$ est :

\lambda_0 = c\,T = \frac{c}{\nu}

Les radiations visibles ont une longueur d'onde dans le vide comprise entre $400\,\text{nm}$ (violet) et $800\,\text{nm}$ (rouge). En dessous, ce sont les ultraviolets ; au-dessus, les infrarouges.

Couleur	Longueur d'onde dans le vide (valeurs indicatives)
Violet	$400$ à $440\,\text{nm}$
Bleu	$440$ à $500\,\text{nm}$
Vert	$500$ à $570\,\text{nm}$
Jaune	$570$ à $590\,\text{nm}$
Orange	$590$ à $620\,\text{nm}$
Rouge	$620$ à $800\,\text{nm}$

Remarque

Les limites entre couleurs et les bornes du visible sont approximatives : certains ouvrages donnent $380$ à $780\,\text{nm}$ . Retiens la fourchette $400$ à $800\,\text{nm}$ et l'ordre violet, bleu, vert, jaune, orange, rouge.

2. Diffraction de la lumière

Montage. Un laser de longueur d'onde $\lambda$ éclaire une fente fine de largeur $a$ (ou un fil de diamètre $a$ ) ; un écran est placé à la distance $D$ de la fente.

Observation. Sur l'écran apparaît une figure de diffraction : une tache centrale très lumineuse, environ deux fois plus large que les taches latérales qui la bordent, alignées dans la direction perpendiculaire à la fente (ou au fil). Un fil de diamètre $a$ donne la même figure qu'une fente de largeur $a$ . Cet étalement de la lumière derrière un obstacle de très petite dimension est la preuve de son comportement ondulatoire.

Définition

L'écart angulaire $\theta$ est la demi-largeur angulaire de la tache centrale : c'est l'angle entre l'axe du faisceau et la direction de la première extinction.

Propriété

Pour une fente de largeur $a$ éclairée par une radiation de longueur d'onde $\lambda$ (dans le milieu où se fait l'expérience) :

\theta = \frac{\lambda}{a} \qquad (\theta \text{ en radian ; } \lambda \text{ et } a \text{ dans la même unité})

Si $L$ est la largeur de la tache centrale et $D$ la distance entre la fente et l'écran, l'angle $\theta$ est petit, donc $\tan\theta \approx \theta$ avec $\tan\theta = \dfrac{L/2}{D}$ . D'où :

\theta = \frac{L}{2D} \qquad \text{et} \qquad L = \frac{2\,\lambda\,D}{a}

Ce qu'on en déduit :

$L$ est inversement proportionnelle à $a$ : plus la fente est fine, plus la tache est large ;
$L$ est proportionnelle à $\lambda$ : le rouge est plus diffracté que le bleu ;
$L$ est proportionnelle à $D$ ;
avec de la lumière blanche, la tache centrale est blanche et ses bords sont irisés, car chaque radiation a sa propre largeur.

Attention

La diffraction n'est visible que si $a$ est petite : de l'ordre du dixième de millimètre ou moins pour une lumière visible. Une fente de plusieurs millimètres ne produit aucun étalement perceptible.

Remarque

La diffraction par un trou circulaire obéit à une relation légèrement différente (un facteur numérique supplémentaire) : elle est hors programme ici.

3. Indice de réfraction

Définition

L'indice de réfraction d'un milieu transparent, pour une radiation monochromatique, est le rapport de la célérité $c$ de la lumière dans le vide à sa célérité $v$ dans ce milieu :

n = \frac{c}{v}

L'indice n'a pas d'unité et $n \geq 1$ car $v \leq c$ . Ordres de grandeur : vide $1$ ; air environ $1{,}00$ ; eau $1{,}33$ ; verre ordinaire environ $1{,}5$ .

Propriété

Quand une radiation passe d'un milieu transparent à un autre, sa fréquence $\nu$ ne change pas (elle est imposée par la source). Dans un milieu d'indice $n$ :

v = \frac{c}{n} \qquad \text{et} \qquad \lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{\lambda_0}{n}

La longueur d'onde diminue dans un milieu d'indice $n > 1$ . La couleur perçue est liée à la fréquence $\nu$ , pas à $\lambda$ : un laser vert reste vert dans l'eau.

Attention

Dans une expérience de diffraction réalisée dans un milieu d'indice $n$ , c'est la longueur d'onde dans ce milieu $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ qui intervient dans $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ .

4. Milieu dispersif : la dispersion par un prisme

Définition

Un milieu transparent est dispersif pour la lumière si son indice (donc la célérité de la lumière) dépend de la radiation : $n = n(\lambda_0)$ . Le vide n'est pas dispersif : toutes les radiations y ont la même célérité $c$ .

Pour le verre, l'indice est plus grand pour le violet que pour le rouge : $n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}$ , donc $v_{\text{violet}} < v_{\text{rouge}}$ . Il n'y a pas de formule à connaître pour $n(\lambda_0)$ : on te donne des valeurs, une courbe ou une relation.

À la traversée d'un dioptre air-verre, la loi de Snell-Descartes s'écrit $\sin i = n\,\sin r$ . Pour un même angle d'incidence $i$ , une radiation d'indice plus grand a un angle de réfraction $r$ plus petit : elle est plus déviée.

Propriété

Un prisme décompose la lumière blanche en un spectre continu de couleurs. Le violet est la radiation la plus déviée et le rouge la moins déviée. Une lumière monochromatique n'est pas décomposée : elle ressort en un seul faisceau dévié.

L'arc-en-ciel est un exemple de dispersion de la lumière du Soleil par les gouttes d'eau.

Remarque

Pour un prisme d'angle au sommet $A$ et d'indice $n$ placé dans l'air, on note $i$ l'angle d'incidence sur la première face, $r$ l'angle de réfraction, $r'$ l'angle d'incidence (dans le verre) sur la deuxième face et $i'$ l'angle d'émergence. On a : $\sin i = n\sin r$ , $\sin i' = n\sin r'$ , $r + r' = A$ et la déviation $D = i + i' - A$ . Sache les utiliser (voir l'exercice 9) ; un énoncé peut aussi te les rappeler.

5. Ne pas confondre diffraction et dispersion

	Diffraction	Dispersion
Cause	Ouverture ou obstacle de très petite dimension $a$ (un dixième de millimètre ou moins pour le visible)	Indice $n$ du milieu qui dépend de la radiation
Effet	Étalement de la lumière autour de la direction initiale	Séparation des couleurs, chacune déviée différemment
Grandeur clé	Rapport $\dfrac{\lambda}{a}$	Indice $n(\lambda_0)$

Méthodes

Méthode 1 : Calculer $\theta$ , $L$ , $a$ ou $\lambda$

Convertis tout en mètres : $\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$ , $\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$ , $\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}$ .
Utilise $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ (en radian) et $\theta = \dfrac{L}{2D}$ ; élimine $\theta$ pour obtenir $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$ .
Isole l'inconnue : $a = \dfrac{2\lambda D}{L}$ ou $\lambda = \dfrac{a\,L}{2D}$ .

Exemple

Un laser vert ( $\lambda = 532\,\text{nm}$ ) éclaire une fente de largeur $a = 0{,}080\,\text{mm}$ ; l'écran est à $D = 1{,}50\,\text{m}$ . Alors $\theta = \dfrac{532 \times 10^{-9}}{8{,}0 \times 10^{-5}} = 6{,}65 \times 10^{-3}\,\text{rad}$ et $L = 2\,\theta\,D = 2{,}0\,\text{cm}$ .

Méthode 2 : Exploiter la courbe $L = f\left(\dfrac{1}{a}\right)$

Rappelle $L = 2\lambda D \times \dfrac{1}{a}$ : la courbe est une droite passant par l'origine, de pente $k = 2\lambda D$ .
Lis la pente $k$ sur le graphe (en $\text{m}^2$ ) ou calcule-la avec deux points éloignés.
Déduis $\lambda = \dfrac{k}{2D}$ (ou $D = \dfrac{k}{2\lambda}$ ).

Méthode 3 : Changer de milieu transparent

Conserve la fréquence : $\nu = \dfrac{c}{\lambda_0}$ ne change pas.
Calcule $v = \dfrac{c}{n}$ .
Calcule $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ (ou $\dfrac{v}{\nu}$ ).

Exemple

Dans du diamant ( $n = 2{,}42$ ), la radiation jaune du sodium ( $\lambda_0 = 589\,\text{nm}$ ) a pour célérité $v = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{2{,}42} = 1{,}24 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et pour longueur d'onde $\lambda = \dfrac{589}{2{,}42} = 243\,\text{nm}$ . Sa fréquence reste $5{,}09 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ .

Méthode 4 : Prévoir quelle couleur est la plus déviée

Compare les indices : $n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}$ dans un verre.
Avec $\sin r = \dfrac{\sin i}{n}$ (rayon venant de l'air), l'indice le plus grand donne le plus petit angle $r$ .
Conclus : plus $n$ est grand, plus la radiation est déviée. Le violet l'est donc plus que le rouge.

Méthode 5 : Justifier la diffraction ou son absence

Calcule $\lambda$ (dans le milieu) et compare-la à $a$ .
Si $a$ est de l'ordre de $10^{-4}\,\text{m}$ ou moins pour la lumière visible, la diffraction est observable.
Si $a$ vaut plusieurs millimètres ou plus, la lumière se propage pratiquement en ligne droite.

Exercices corrigés

Exercice 1 : Radiation verte dans le verre

Facile

Un laser émet une radiation monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\lambda_0 = 532\,\text{nm}$ . Données : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ ; indice du verre pour cette radiation $n = 1{,}50$ .

Calcule la fréquence et la période de cette radiation.
Calcule sa célérité et sa longueur d'onde dans le verre.
Quelle est sa fréquence dans le verre ? La lumière reste-t-elle verte ?

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$\nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{532 \times 10^{-9}} = 5{,}64 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ et $T = \dfrac{1}{\nu} = 1{,}77 \times 10^{-15}\,\text{s}$ .

$v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}50} = 2{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n} = \dfrac{532}{1{,}50} = 355\,\text{nm}$ .

La fréquence ne change pas : $\nu = 5{,}64 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ . La couleur perçue est liée à la fréquence : la lumière reste verte, même si sa longueur d'onde a diminué.

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Exercice 2 : Écart angulaire et largeur de la tache

Facile

Un laser de longueur d'onde $\lambda = 633\,\text{nm}$ éclaire une fente verticale de largeur $a = 0{,}10\,\text{mm}$ . L'écran est à $D = 2{,}50\,\text{m}$ de la fente.

Calcule l'écart angulaire $\theta$ en radian.
Vérifie que l'approximation $\tan\theta \approx \theta$ est justifiée.
Calcule la largeur $L$ de la tache centrale.
On remplace la fente par une fente de largeur $0{,}20\,\text{mm}$ . Que devient $L$ ?

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$\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{633 \times 10^{-9}}{0{,}10 \times 10^{-3}} = 6{,}3 \times 10^{-3}\,\text{rad}$ .

$\tan(6{,}33 \times 10^{-3}) = 6{,}33 \times 10^{-3}$ avec un écart relatif inférieur à $10^{-4}$ : l'angle est très petit, l'approximation est excellente.

$L = 2\,\theta\,D = 2 \times 6{,}33 \times 10^{-3} \times 2{,}50 = 3{,}2 \times 10^{-2}\,\text{m} = 3{,}2\,\text{cm}$ .

$L$ est inversement proportionnelle à $a$ : si $a$ est doublée, $L$ est divisée par $2$ : $L' = 1{,}6\,\text{cm}$ . La tache est plus étroite.

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Exercice 3 : Visible ou non ?

Facile

Voici cinq radiations caractérisées par leur longueur d'onde dans le vide : $380\,\text{nm}$ , $450\,\text{nm}$ , $550\,\text{nm}$ , $700\,\text{nm}$ et $850\,\text{nm}$ . On donne $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et on prend pour domaine visible l'intervalle de $400\,\text{nm}$ à $800\,\text{nm}$ (longueurs d'onde dans le vide).

Calcule la fréquence de chacune.
Lesquelles appartiennent au domaine visible ? Indique la couleur correspondante.
Pour une même fente, parmi les radiations visibles, laquelle donne la tache centrale la plus large ?

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$\nu = \dfrac{c}{\lambda_0}$ :

$\lambda_0$ (nm)	$380$	$450$	$550$	$700$	$850$
$\nu$ ( $10^{14}\,\text{Hz}$ )	$7{,}9$	$6{,}7$	$5{,}5$	$4{,}3$	$3{,}5$

Le visible va de $400$ à $800\,\text{nm}$ : sont visibles $450\,\text{nm}$ (bleu), $550\,\text{nm}$ (vert) et $700\,\text{nm}$ (rouge). $380\,\text{nm}$ est dans l'ultraviolet et $850\,\text{nm}$ dans l'infrarouge.

$L = \dfrac{2\lambda D}{a}$ est proportionnelle à $\lambda$ : c'est la radiation de plus grande longueur d'onde, $700\,\text{nm}$ (rouge), qui donne la tache la plus large.

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Exercice 4 : Diamètre d'un cheveu

Moyen

Pour mesurer le diamètre $a$ d'un cheveu, on le place verticalement devant un faisceau laser de longueur d'onde $\lambda = 650\,\text{nm}$ . Sur un écran placé à $D = 1{,}80\,\text{m}$ , la tache centrale de diffraction a pour largeur $L = 3{,}0\,\text{cm}$ .

Calcule l'écart angulaire $\theta$ .
Déduis le diamètre $a$ du cheveu.
Si on utilisait un laser vert ( $\lambda' = 532\,\text{nm}$ ) avec le même cheveu et le même écran, quelle largeur $L'$ mesurerait-on ?
Pourquoi mesure-t-on la largeur de la tache centrale plutôt que celle d'une tache latérale ?

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$\theta = \dfrac{L}{2D} = \dfrac{3{,}0 \times 10^{-2}}{2 \times 1{,}80} = 8{,}3 \times 10^{-3}\,\text{rad}$ .

$a = \dfrac{\lambda}{\theta} = \dfrac{650 \times 10^{-9}}{8{,}33 \times 10^{-3}} = 7{,}8 \times 10^{-5}\,\text{m} = 78\,\mu\text{m}$ .

$L' = \dfrac{2\lambda' D}{a} = \dfrac{2 \times 532 \times 10^{-9} \times 1{,}80}{7{,}8 \times 10^{-5}} = 2{,}5 \times 10^{-2}\,\text{m} = 2{,}5\,\text{cm}$ . Comme $L' = L \times \dfrac{\lambda'}{\lambda}$ , on retrouve $3{,}0 \times \dfrac{532}{650} = 2{,}5\,\text{cm}$ : la tache est plus étroite en lumière verte.

La tache centrale est la plus lumineuse et la plus large : sa largeur se mesure avec la meilleure précision relative. Les taches latérales sont moins lumineuses et plus étroites.

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Exercice 5 : Courbe $L = f(1/a)$

Moyen

Un laser de longueur d'onde inconnue éclaire successivement des fentes de largeurs $a$ différentes ; l'écran est à $D = 2{,}00\,\text{m}$ . On mesure la largeur $L$ de la tache centrale :

$a$ ( $\mu\text{m}$ )	$40$	$60$	$80$	$100$	$150$
$L$ (cm)	$6{,}3$	$4{,}2$	$3{,}2$	$2{,}5$	$1{,}7$

Établis la relation entre $L$ , $\lambda$ , $D$ et $a$ . Quelle courbe faut-il tracer pour obtenir une droite ?
Calcule $\dfrac{1}{a}$ pour chaque fente, en $\text{m}^{-1}$ .
La droite moyenne passe par l'origine et sa pente est $k = 2{,}52 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$ . Exprime $k$ en fonction de $\lambda$ et $D$ puis calcule $\lambda$ .
Le constructeur indique $633\,\text{nm}$ . Calcule l'écart relatif.

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$\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ et $\theta = \dfrac{L}{2D}$ donnent $L = 2\lambda D \times \dfrac{1}{a}$ . La courbe $L = f\left(\dfrac{1}{a}\right)$ est une droite passant par l'origine.

$\dfrac{1}{a}$ vaut $2{,}5 \times 10^{4}$ , $1{,}7 \times 10^{4}$ , $1{,}25 \times 10^{4}$ , $1{,}0 \times 10^{4}$ et $6{,}7 \times 10^{3}\,\text{m}^{-1}$ pour $a = 40$ , $60$ , $80$ , $100$ et $150\,\mu\text{m}$ .

La pente est $k = 2\lambda D$ , donc

\lambda = \frac{k}{2D} = \frac{2{,}52 \times 10^{-6}}{2 \times 2{,}00} = 6{,}30 \times 10^{-7}\,\text{m} = 630\,\text{nm}

$\dfrac{|630 - 633|}{633} = 0{,}5\,\%$ : l'accord est très bon.

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Exercice 6 : Un verre dispersif

Moyen

On mesure l'indice d'un verre pour trois radiations (longueurs d'onde dans le vide) :

Radiation	Rouge ( $700\,\text{nm}$ )	Jaune ( $589\,\text{nm}$ )	Violette ( $400\,\text{nm}$ )
Indice $n$	$1{,}513$	$1{,}517$	$1{,}531$

Données : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ .

Calcule la célérité de la radiation rouge et celle de la radiation violette dans ce verre.
Calcule la longueur d'onde de ces deux radiations dans le verre.
Ce verre est-il dispersif ? Justifie.
Un rayon de lumière blanche, venant de l'air, arrive sur le verre avec un angle d'incidence $i = 40{,}0^\circ$ . Calcule les angles de réfraction pour le rouge et le violet. Quelle radiation est la plus déviée ?

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$v_{\text{rouge}} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}513} = 1{,}98 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et $v_{\text{violet}} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}531} = 1{,}96 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ .

$\lambda_{\text{rouge}} = \dfrac{700}{1{,}513} = 463\,\text{nm}$ et $\lambda_{\text{violet}} = \dfrac{400}{1{,}531} = 261\,\text{nm}$ .

L'indice, donc la célérité, dépend de la radiation : le verre est dispersif. Le violet y est plus lent que le rouge.

On utilise $\sin r = \dfrac{\sin i}{n}$ avec $\sin 40{,}0^\circ = 0{,}6428$ : pour le rouge, $\sin r = \dfrac{0{,}6428}{1{,}513} = 0{,}4248$ soit $r = 25{,}1^\circ$ ; pour le violet, $\sin r = \dfrac{0{,}6428}{1{,}531} = 0{,}4199$ soit $r = 24{,}8^\circ$ . La déviation $i - r$ vaut $14{,}9^\circ$ pour le rouge et $15{,}2^\circ$ pour le violet : le violet est le plus dévié.

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Exercice 7 : Diffraction dans l'eau

Difficile

Dans l'air, un laser de longueur d'onde dans le vide $\lambda_0 = 633\,\text{nm}$ éclaire une fente de largeur $a = 0{,}10\,\text{mm}$ ; l'écran est à $D = 2{,}50\,\text{m}$ . On immerge ensuite la fente et l'écran dans l'eau d'indice $n = 1{,}33$ , la distance $D$ restant la même (on néglige l'effet de la paroi de la cuve). Données : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ .

Calcule la largeur $L_{\text{air}}$ de la tache centrale dans l'air.
Quelle est la fréquence de la radiation dans l'eau ? Calcule sa célérité et sa longueur d'onde dans l'eau.
Calcule l'écart angulaire $\theta_{\text{eau}}$ puis la largeur $L_{\text{eau}}$ de la tache centrale dans l'eau.
Un élève affirme : « dans l'eau, la couleur du laser change, donc la figure change ». Corrige cette phrase.

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$L_{\text{air}} = \dfrac{2\lambda_0 D}{a} = \dfrac{2 \times 633 \times 10^{-9} \times 2{,}50}{0{,}10 \times 10^{-3}} = 3{,}2 \times 10^{-2}\,\text{m} = 3{,}2\,\text{cm}$ .

La fréquence ne change pas : $\nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{633 \times 10^{-9}} = 4{,}74 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ . Dans l'eau, $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}33} = 2{,}26 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n} = \dfrac{633}{1{,}33} = 476\,\text{nm}$ .

$\theta_{\text{eau}} = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{476 \times 10^{-9}}{0{,}10 \times 10^{-3}} = 4{,}8 \times 10^{-3}\,\text{rad}$ et

L_{\text{eau}} = 2\,\theta_{\text{eau}}\,D = 2 \times 4{,}76 \times 10^{-3} \times 2{,}50 = 2{,}4\,\text{cm}

On vérifie : $L_{\text{eau}} = \dfrac{L_{\text{air}}}{n} = \dfrac{3{,}2}{1{,}33} = 2{,}4\,\text{cm}$ . La tache est plus étroite dans l'eau.

C'est la longueur d'onde qui change (elle est divisée par $n$ ), pas la fréquence, donc pas la couleur : le laser reste rouge dans l'eau. La figure de diffraction est modifiée à cause du changement de $\lambda$ , pas à cause d'un changement de couleur.

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Exercice 8 : Mesure d'un fil par diffraction

Type Bac

Un laser émet une radiation monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\lambda = 633\,\text{nm}$ . L'expérience se fait dans l'air, dont l'indice est pris égal à $1$ . On place, perpendiculairement au faisceau, un fil vertical de diamètre $a$ inconnu, à la distance $D = 3{,}00\,\text{m}$ d'un écran. On observe une figure de diffraction dont la tache centrale a pour largeur $L = 3{,}8\,\text{cm}$ .

Dans quelle direction (horizontale ou verticale) sont alignées les taches de la figure ? Que montre ce phénomène sur la nature de la lumière ?
Exprime l'écart angulaire $\theta$ en fonction de $L$ et $D$ , en justifiant l'approximation $\tan\theta \approx \theta$ . Calcule $\theta$ .
Donne la relation entre $\theta$ , $\lambda$ et $a$ . Déduis l'expression de $a$ puis calcule-le.
On remplace le fil par un fil de diamètre $2a$ . Quelle est la nouvelle largeur de la tache centrale ?
On revient au fil initial mais on utilise un laser bleu de longueur d'onde $\lambda' = 450\,\text{nm}$ . Calcule la nouvelle largeur.
Avec de la lumière blanche, quel est l'aspect de la tache centrale ? Pourquoi ?

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Le fil est vertical : les taches sont alignées horizontalement, dans la direction perpendiculaire au fil. La lumière est étalée derrière un obstacle de très petite dimension : c'est la diffraction, qui met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.

Si $\theta$ est petit, $\tan\theta \approx \theta$ . Dans le triangle formé par le fil, le centre de la tache et le premier minimum, $\tan\theta = \dfrac{L/2}{D}$ , d'où $\theta = \dfrac{L}{2D} = \dfrac{3{,}8 \times 10^{-2}}{2 \times 3{,}00} = 6{,}3 \times 10^{-3}\,\text{rad}$ . Cet angle est très petit : l'approximation est justifiée.

$\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ , donc $a = \dfrac{\lambda}{\theta} = \dfrac{2\lambda D}{L}$ :

a = \frac{2 \times 633 \times 10^{-9} \times 3{,}00}{3{,}8 \times 10^{-2}} = 1{,}0 \times 10^{-4}\,\text{m} = 0{,}10\,\text{mm}

$L$ est inversement proportionnelle à $a$ : avec $2a$ , la largeur est divisée par $2$ : $L'' = \dfrac{3{,}8}{2} = 1{,}9\,\text{cm}$ .

$L$ est proportionnelle à $\lambda$ : $L' = L \times \dfrac{\lambda'}{\lambda} = 3{,}8 \times \dfrac{450}{633} = 2{,}7\,\text{cm}$ .

Le centre de la figure est blanc, mais les bords de la tache centrale sont irisés. Chaque radiation a sa propre longueur d'onde donc sa propre largeur de tache : le rouge, plus diffracté, s'étale plus loin que le bleu et le violet.

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Exercice 9 : Indice et prisme

Type Bac

Un verre flint a pour indice $n_R = 1{,}61$ pour une radiation rouge ( $\lambda_{0R} = 700\,\text{nm}$ ) et $n_V = 1{,}65$ pour une radiation violette ( $\lambda_{0V} = 400\,\text{nm}$ ). Données : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ .

Partie A

Définis l'indice de réfraction. Calcule la célérité de chaque radiation dans ce verre.
Calcule la fréquence et la longueur d'onde dans le verre de chaque radiation.
Ce verre est-il dispersif ? Justifie.

Partie B. Un faisceau étroit de lumière blanche, venant de l'air, arrive sur une face d'un prisme de ce verre, d'angle au sommet $A = 60{,}0^\circ$ , avec l'angle d'incidence $i = 50{,}0^\circ$ . On donne les relations du prisme : $\sin i = n\sin r$ , $r + r' = A$ , $\sin i' = n\sin r'$ et la déviation $D = i + i' - A$ .

Calcule, pour chaque radiation, les angles $r$ et $r'$ .
Calcule l'angle d'émergence $i'$ et la déviation $D$ de chacune.
Quelle radiation est la plus déviée ? Calcule l'angle entre les deux faisceaux émergents.
Que verrait-on si la lumière incidente était uniquement rouge ?

Voir le corrigé

Partie A

L'indice $n = \dfrac{c}{v}$ est le rapport de la célérité de la lumière dans le vide à sa célérité dans le milieu. $v_R = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}61} = 1{,}86 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ et $v_V = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}65} = 1{,}82 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ .

Les fréquences sont celles du vide : $\nu_R = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{700 \times 10^{-9}} = 4{,}29 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ et $\nu_V = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{400 \times 10^{-9}} = 7{,}50 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ . Dans le verre, $\lambda_R = \dfrac{700}{1{,}61} = 435\,\text{nm}$ et $\lambda_V = \dfrac{400}{1{,}65} = 242\,\text{nm}$ .

L'indice dépend de la radiation ( $1{,}61 \neq 1{,}65$ ) : le verre est dispersif.

Partie B

$\sin 50{,}0^\circ = 0{,}7660$ . Pour le rouge : $\sin r_R = \dfrac{0{,}7660}{1{,}61} = 0{,}4758$ , soit $r_R = 28{,}41^\circ$ , puis $r'_R = 60{,}00 - 28{,}41 = 31{,}59^\circ$ . Pour le violet : $\sin r_V = \dfrac{0{,}7660}{1{,}65} = 0{,}4643$ , soit $r_V = 27{,}66^\circ$ , puis $r'_V = 60{,}00 - 27{,}66 = 32{,}34^\circ$ . Garde deux décimales sur les angles : les deux radiations ne diffèrent que de quelques degrés, un arrondi trop précoce fausserait l'écart.

Rouge : $\sin i'_R = 1{,}61 \times \sin 31{,}59^\circ = 1{,}61 \times 0{,}5238 = 0{,}8433$ , soit $i'_R = 57{,}49^\circ$ et $D_R = 50{,}0 + 57{,}49 - 60{,}0 = 47{,}5^\circ$ . Violet : $\sin i'_V = 1{,}65 \times \sin 32{,}34^\circ = 1{,}65 \times 0{,}5349 = 0{,}8826$ , soit $i'_V = 61{,}96^\circ$ et $D_V = 50{,}0 + 61{,}96 - 60{,}0 = 52{,}0^\circ$ . Dans les deux cas $\sin i' < 1$ : le rayon émerge bien du prisme.

Le violet est le plus dévié ( $52{,}0^\circ > 47{,}5^\circ$ ), comme attendu puisque $n_V > n_R$ . L'angle entre les deux faisceaux émergents vaut $D_V - D_R = 4{,}5^\circ$ .

Une lumière rouge (monochromatique) ne serait pas décomposée : on verrait un seul faisceau rouge, dévié de $47{,}5^\circ$ .

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QCM

1.Une radiation a pour longueur d'onde dans le vide

500\,\text{nm}

. Sa fréquence est :

2.On divise par deux la largeur de la fente en gardant le même laser et le même écran. L'écart angulaire

\theta

est :

3.On double la distance

D

entre la fente et l'écran, sans autre changement. La largeur

L

de la tache centrale est :

4.Une radiation passe du vide dans un verre d'indice

1{,}5

. La grandeur qui ne change pas est :

5.Un prisme décompose la lumière blanche. La radiation la plus déviée est :

6.Un milieu transparent est dispersif pour la lumière si :

7.Dans l'eau d'indice

n = 1{,}33

, la célérité de la lumière vaut :

Erreurs fréquentes

Garder $\theta$ en degrés dans $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ . Cette relation n'est valable qu'avec $\theta$ en radian (et $\lambda$ , $a$ dans la même unité).
Oublier le facteur 2. $L$ est la largeur totale de la tache centrale : $\theta = \dfrac{L}{2D}$ et $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$ .
Mélanger les unités. $\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$ , $\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$ , $\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}$ : convertis tout en mètres avant de calculer.
Croire que la fréquence, donc la couleur, change dans un milieu transparent. C'est la longueur d'onde (et la célérité) qui change ; la fréquence reste celle de la source et la couleur perçue en dépend : un laser vert reste vert dans l'eau.
Utiliser $\lambda_0$ au lieu de $\lambda$ dans un milieu d'indice $n$ . Dans l'eau ou le verre, c'est $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ qui intervient dans $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ .
Penser que le rouge est le plus dévié par un prisme. C'est le violet, car son indice est le plus grand.
Confondre diffraction et dispersion. La diffraction étale la lumière autour d'une ouverture ; la dispersion sépare les couleurs dans un milieu dont l'indice dépend de la radiation.
Écrire un indice inférieur à 1. $n = \dfrac{c}{v} \geq 1$ , car aucune lumière ne va plus vite que dans le vide.

À retenir

La lumière est une onde qui se propage dans le vide à $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ ; $\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}$ ; le visible va d'environ $400\,\text{nm}$ (violet) à $800\,\text{nm}$ (rouge).
La diffraction par une fente ou un fil de dimension $a$ prouve le caractère ondulatoire de la lumière.
Écart angulaire : $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ (en radian) et $\theta = \dfrac{L}{2D}$ , donc $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$ .
$L$ augmente quand $a$ diminue, quand $\lambda$ augmente et quand $D$ augmente.
Indice de réfraction : $n = \dfrac{c}{v} \geq 1$ ; la fréquence est inchangée d'un milieu à l'autre ; $v = \dfrac{c}{n}$ et $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ .
Dans un milieu dispersif, $n$ dépend de la radiation ; le vide n'est pas dispersif.
Un prisme décompose la lumière blanche : le violet est le plus dévié, le rouge le moins dévié ; une lumière monochromatique n'est pas décomposée.
Diffraction et dispersion sont deux phénomènes différents : l'une dépend de $\dfrac{\lambda}{a}$ , l'autre de $n(\lambda_0)$ .

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Propagation d'une onde lumineuse

En bref

L'essentiel

1. La lumière : une onde, des radiations

2. Diffraction de la lumière

3. Indice de réfraction

4. Milieu dispersif : la dispersion par un prisme

5. Ne pas confondre diffraction et dispersion

Méthodes

Méthode 1 : Calculer θ\thetaθ, LLL, aaa ou λ\lambdaλ

Méthode 2 : Exploiter la courbe L=f(1a)L = f\left(\dfrac{1}{a}\right)L=f(a1​)

Méthode 3 : Changer de milieu transparent

Méthode 4 : Prévoir quelle couleur est la plus déviée

Méthode 5 : Justifier la diffraction ou son absence

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

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Méthode 1 : Calculer $\theta$ , $L$ , $a$ ou $\lambda$

Méthode 2 : Exploiter la courbe $L = f\left(\dfrac{1}{a}\right)$