2e Bac Sciences physiques (PC)

Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Cours de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 2e Bac PC : vitesse angulaire, moment d'inertie, relation fondamentale, 10 exercices corrigés et QCM.

55 min
10 exercices corrigés
QCM de 8 questions
Vérifié le 4 octobre 2026

Prérequis : Lois de Newton (2e Bac), mouvement circulaire (1re Bac), travail et énergie cinétique, dérivées et primitives simples

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En bref

Niveau: 2e Bac Sciences physiques (PC)
Matière: Physique-Chimie
Contenu: cours, méthodes, 10 exercices corrigés, QCM de 8 questions
Durée: 55 min
Prérequis: Lois de Newton (2e Bac), mouvement circulaire (1re Bac), travail et énergie cinétique, dérivées et primitives simples
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Licence: contenu original 9raya, gratuit, CC BY-NC-SA 4.0.

L'essentiel

1. Solide en rotation autour d'un axe fixe

Un solide indéformable est en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ quand tous ses points, sauf ceux de l'axe, décrivent des cercles centrés sur l'axe, dans des plans perpendiculaires à $\Delta$ . Tous les points du solide tournent du même angle pendant la même durée. Exemples : une porte, une roue, le plateau d'une platine, le tambour d'un treuil.

Pour repérer le solide, on choisit un sens positif de rotation et on repère un point $M$ du solide par :

son abscisse angulaire $\theta$ (en radians) : l'angle entre une position de référence et la position de $M$ ;
son abscisse curviligne $s$ (en mètres) : la longueur d'arc parcourue sur le cercle de rayon $R$ (distance de $M$ à l'axe).

Propriété

L'abscisse curviligne et l'abscisse angulaire sont liées par $s = R\,\theta$ , avec $\theta$ en radians et $R$ en mètres. Si le solide fait un tour complet, $\theta$ varie de $2\pi\,\text{rad}$ .

2. Vitesse angulaire et accélération angulaire

Définition

La vitesse angulaire du solide est $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}$ , en $\text{rad.s}^{-1}$ . L'accélération angulaire est $\ddot{\theta} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ , en $\text{rad.s}^{-2}$ .

La fréquence de rotation $N$ s'exprime souvent en tours par minute : $\omega = \frac{2\pi N}{60}$ quand $N$ est en $\text{tr.min}^{-1}$ et $\omega$ en $\text{rad.s}^{-1}$ .

Un point $M$ situé à la distance $R$ de l'axe a une trajectoire circulaire. Les grandeurs linéaires se déduisent des grandeurs angulaires :

v = R\,\omega \qquad a_t = R\,\ddot{\theta} \qquad a_n = R\,\omega^2 = \frac{v^2}{R}

où $a_t$ est l'accélération tangentielle et $a_n$ l'accélération normale (dirigée vers l'axe). Tous les points du solide ont la même vitesse angulaire $\omega$ , mais leurs vitesses linéaires $v$ sont différentes : plus un point est loin de l'axe, plus il va vite.

3. Deux mouvements de rotation particuliers

Propriété

Rotation uniforme : $\omega$ est constante, donc $\ddot{\theta} = 0$ et $\theta(t) = \omega\,t + \theta_0$ . La période est $T = \frac{2\pi}{\omega}$ (durée d'un tour) et la fréquence $f = \frac{1}{T}$ .

Propriété

Rotation uniformément variée : $\ddot{\theta}$ est constante. Avec les conditions initiales $\omega(0) = \omega_0$ et $\theta(0) = \theta_0$ :

$\omega(t) = \ddot{\theta}\,t + \omega_0$ et $\theta(t) = \frac{1}{2}\ddot{\theta}\,t^2 + \omega_0\,t + \theta_0$ .

On en déduit, en éliminant $t$ : $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\,\ddot{\theta}\,(\theta - \theta_0)$ .

Si $\omega$ et $\ddot{\theta}$ ont le même signe, la rotation est accélérée ; sinon elle est ralentie.

4. Moment d'une force et d'un couple par rapport à l'axe

Définition

Le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à l'axe $\Delta$ , quand $\vec{F}$ est dans un plan perpendiculaire à $\Delta$ , est $\mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) = \pm F\,d$ en $\text{N.m}$ . La distance $d$ (le bras de levier) est celle entre l'axe et la droite d'action de la force. Le signe est $+$ si la force tend à faire tourner le solide dans le sens positif choisi, $-$ sinon.

Le moment est nul si la droite d'action de la force coupe l'axe (ou lui est parallèle). Si la force fait un angle $\alpha$ avec le rayon, on peut aussi écrire $\mathcal{M}_\Delta = \pm F\,R\,\sin\alpha$ quand $R$ est la distance de l'axe au point d'application et $\alpha$ l'angle entre la force et le rayon.

Définition

Un couple de forces est formé de deux forces de même valeur $F$ , de sens opposés, de droites d'action parallèles distinctes. Son moment par rapport à n'importe quel axe perpendiculaire à leur plan est $\mathcal{M} = \pm F\,d$ , où $d$ est la distance entre les deux droites d'action. Un couple ne modifie pas le mouvement du centre d'inertie : il ne fait que faire tourner.

Un fil de torsion tordu d'un angle $\theta$ exerce un couple de torsion de moment $\mathcal{M} = -C\,\theta$ , où $C$ est la constante de torsion du fil (en $\text{N.m.rad}^{-1}$ ).

5. Moment d'inertie

Définition

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à l'axe $\Delta$ est $J_\Delta = \sum_i m_i\,r_i^2$ , où $r_i$ est la distance de la partie de masse $m_i$ à l'axe. Il s'exprime en $\text{kg.m}^2$ . Il mesure la résistance du solide à un changement de sa vitesse angulaire : c'est l'analogue de la masse pour la rotation.

$J_\Delta$ dépend de la masse et de sa répartition par rapport à l'axe : à masse égale, un solide dont la masse est loin de l'axe a un moment d'inertie plus grand. Il est additif : le moment d'inertie d'un ensemble de solides tournant autour du même axe est la somme des moments d'inertie de chacun.

Solide homogène (masse $m$ )	Axe $\Delta$	$J_\Delta$
Point matériel de masse $m$	axe situé à la distance $r$ du point	$m\,r^2$
Cerceau ou cylindre creux mince, rayon $R$	axe de révolution	$m\,R^2$
Disque ou cylindre plein, rayon $R$	axe de révolution	$\frac{1}{2}\,m\,R^2$
Tige mince, longueur $L$	perpendiculaire, passant par le milieu	$\frac{1}{12}\,m\,L^2$
Tige mince, longueur $L$	perpendiculaire, passant par une extrémité	$\frac{1}{3}\,m\,L^2$

Remarque

Un énoncé fournit souvent la valeur ou l'expression de $J_\Delta$ , et le calcul de $J_\Delta$ par intégrale n'est pas exigé en 2e Bac PC. Retiens au moins la formule du disque ou du cylindre plein, $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2$ : elle sert dans plusieurs exercices de ce chapitre, où le tableau est supposé connu.

6. Relation fondamentale de la dynamique en rotation

Théorème

Pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ , dans un référentiel galiléen, la somme des moments des forces extérieures par rapport à $\Delta$ vérifie

$\sum \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta\,\ddot{\theta}$

C'est l'analogue de $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}$ : la masse $m$ devient $J_\Delta$ , l'accélération $a$ devient $\ddot{\theta}$ , la force devient son moment.

Deux conséquences immédiates :

si $\sum \mathcal{M}_\Delta = 0$ , alors $\ddot{\theta} = 0$ : le solide est au repos ou en rotation uniforme ;
si $\sum \mathcal{M}_\Delta$ est constante et non nulle, la rotation est uniformément variée.

Remarque

Le poids s'applique au centre d'inertie $G$ et sa droite d'action est verticale. Si l'axe est horizontal, son moment est $\pm m\,g\,d$ , où $d$ est la distance horizontale de $G$ à l'axe (moment nul si $G$ est sur l'axe). Si l'axe est vertical, le poids est parallèle à l'axe : son moment est nul. La réaction de l'axe, si l'axe est lisse, passe par l'axe : son moment est nul.

7. Énergie cinétique, travail et puissance

Propriété

L'énergie cinétique d'un solide en rotation est $E_c = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2$ (en joules, avec $\omega$ en $\text{rad.s}^{-1}$ ).

Propriété

Quand le moment $\mathcal{M}_\Delta(\vec{F})$ est constant, le travail de la force pour une rotation d'un angle $\Delta\theta$ est $W = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F})\,\Delta\theta$ (en joules, $\Delta\theta$ en radians). C'est vrai aussi pour un couple de moment constant $\mathcal{M}$ : $W = \mathcal{M}\,\Delta\theta$ .

Propriété

La puissance instantanée d'un couple ou d'une force de moment $\mathcal{M}_\Delta$ est $P = \mathcal{M}_\Delta\,\omega$ (en watts). La puissance moyenne sur une durée $\Delta t$ est $P_{moy} = \frac{W}{\Delta t}$ .

Théorème

Théorème de l'énergie cinétique : entre deux instants, $\Delta E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\left(\omega_2^2 - \omega_1^2\right) = \sum W(\vec{F}_{ext})$ .

8. Lien avec un solide en translation : fil sur une poulie

Quand un fil inextensible, qui ne glisse pas, relie un solide en translation à une poulie ou un tambour de rayon $R$ , la vitesse $v$ et l'accélération $a$ du solide sont celles d'un point du fil au contact de la poulie :

v = R\,\omega \qquad a = R\,\ddot{\theta}

Si la poulie a un moment d'inertie qui n'est pas négligeable, les tensions du fil de part et d'autre ne sont pas égales : on applique la 2e loi de Newton au solide, la relation fondamentale à la poulie, et on relie les deux par $a = R\,\ddot{\theta}$ .

Méthodes

Méthode 1 : Étudier un mouvement de rotation uniforme ou uniformément varié

Convertis toutes les données : $N$ en $\text{tr.min}^{-1}$ vers $\omega = \frac{2\pi N}{60}$ en $\text{rad.s}^{-1}$ , les angles en radians, les longueurs en mètres.
Identifie le cas : $\omega$ constante (uniforme) ou $\ddot{\theta}$ constante (uniformément varié).
Écris les lois horaires $\theta(t)$ et $\omega(t)$ , puis utilise $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\ddot{\theta}\,\Delta\theta$ si le temps n'est pas demandé.
Nombre de tours $= \frac{\Delta\theta}{2\pi}$ ; vitesse linéaire $v = R\,\omega$ .

Exemple : une roue passe de $\omega_0 = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ à $\omega = 30\,\text{rad.s}^{-1}$ avec $\ddot{\theta} = 5{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ . Durée : $t = \frac{30 - 10}{5{,}0} = 4{,}0\,\text{s}$ . Angle : $\Delta\theta = \frac{30^2 - 10^2}{2 \times 5{,}0} = 80\,\text{rad}$ , soit $\frac{80}{2\pi} \approx 12{,}7$ tours.

Méthode 2 : Calculer le moment d'une force ou d'un couple

Fais un schéma vu de dessus (dans un plan perpendiculaire à l'axe) et choisis le sens positif de rotation.
Trace la droite d'action de chaque force et mesure sa distance $d$ à l'axe (distance perpendiculaire).
Écris $\mathcal{M}_\Delta = +F\,d$ si la force fait tourner dans le sens positif, $-F\,d$ sinon.
Pour un couple, la distance est celle entre les deux droites d'action.

Exemple : une force de $50\,\text{N}$ est appliquée perpendiculairement à une manivelle de $0{,}20\,\text{m}$ : $\mathcal{M} = 50 \times 0{,}20 = 10\,\text{N.m}$ . Appliquée avec un angle de $30^\circ$ par rapport à la manivelle, le bras de levier devient $0{,}20 \times \sin 30^\circ = 0{,}10\,\text{m}$ et $\mathcal{M} = 5{,}0\,\text{N.m}$ .

Méthode 3 : Appliquer la relation fondamentale en rotation

Définis le système (le solide en rotation), le référentiel (supposé galiléen) et le sens positif.
Fais le bilan des forces extérieures et note celles dont le moment n'est pas nul (poids, tension, couple moteur, couple de frottement).
Écris $\sum \mathcal{M}_\Delta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ avec les signes.
Isole $\ddot{\theta}$ , puis intègre si besoin pour obtenir $\omega(t)$ et $\theta(t)$ .

Exemple : un disque de moment d'inertie $J_\Delta = 0{,}020\,\text{kg.m}^2$ est soumis à un couple moteur de $0{,}30\,\text{N.m}$ et à un couple de frottement de $0{,}10\,\text{N.m}$ . Alors $\ddot{\theta} = \frac{0{,}30 - 0{,}10}{0{,}020} = 10\,\text{rad.s}^{-2}$ .

Méthode 4 : Traiter une poulie ou un treuil avec un solide en translation

Pour le solide (translation) : 2e loi de Newton projetée sur la verticale, qui donne la tension $T$ en fonction de $a$ .
Pour la poulie (rotation) : $T\,R - \mathcal{M}_f = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ (les frottements éventuels de moment $\mathcal{M}_f$ s'opposent à la rotation).
Relie les deux par $a = R\,\ddot{\theta}$ et élimine $T$ pour obtenir $a$ .
Vérifie avec le cas limite $J_\Delta \to 0$ : tu dois retrouver $a = g$ pour une chute libre.

Pour une masse $m$ qui descend, sans frottement : $a = \frac{m\,g}{m + J_\Delta / R^2}$ .

Méthode 5 : Utiliser le théorème de l'énergie cinétique en rotation

Choisis l'état initial et l'état final.
Calcule la variation $\Delta E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\left(\omega_2^2 - \omega_1^2\right)$ .
Écris $\sum W = \mathcal{M}\,\Delta\theta$ pour chaque moment constant (le travail d'un moment résistant est négatif).
Égalise et résous. Cette méthode évite de calculer le temps quand il n'est pas demandé.

Exemple : un volant ( $J_\Delta = 0{,}10\,\text{kg.m}^2$ ) passe de $\omega_1 = 20\,\text{rad.s}^{-1}$ à l'arrêt sous un moment résistant constant de $2{,}0\,\text{N.m}$ . On a $0 - \frac{1}{2} \times 0{,}10 \times 20^2 = -2{,}0\,\Delta\theta$ , donc $\Delta\theta = \frac{20}{2{,}0} = 10\,\text{rad}$ (environ $1{,}6$ tour).

Exercices corrigés

Exercice 1 : Un disque vinyle

Facile

Un disque vinyle tourne à la fréquence de rotation constante $N = 33\,\text{tr.min}^{-1}$ autour d'un axe fixe.

Calcule la vitesse angulaire $\omega$ en $\text{rad.s}^{-1}$ et la période de rotation $T$ .
Calcule la vitesse linéaire d'un point situé à $12\,\text{cm}$ de l'axe.
Combien de tours le disque fait-il en $5{,}0$ minutes ? Quel angle cela représente-t-il en radians ?
Calcule la vitesse linéaire d'un point situé à $5{,}0\,\text{cm}$ de l'axe.

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1) La rotation est uniforme. $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 33}{60} = 3{,}46\,\text{rad.s}^{-1}$ . La période est la durée d'un tour : $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{60}{33} = 1{,}82\,\text{s}$ .

2) $v = R\,\omega = 0{,}12 \times 3{,}46 = 0{,}415\,\text{m.s}^{-1}$ , soit environ $0{,}41\,\text{m.s}^{-1}$ .

3) En $5{,}0$ min, le disque fait $33 \times 5{,}0 = 165$ tours. L'angle est $\Delta\theta = 165 \times 2\pi = 1{,}04 \times 10^3\,\text{rad}$ (on retrouve $\omega\,\Delta t = 3{,}456 \times 300 = 1{,}04 \times 10^3\,\text{rad}$ ).

4) $v = 0{,}050 \times 3{,}456 = 0{,}173\,\text{m.s}^{-1}$ . Le point proche de l'axe va moins vite, alors que $\omega$ est la même pour tous les points.

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Exercice 2 : Moments d'une force et d'un couple

Facile

Une clé plate de longueur $L = 25\,\text{cm}$ est actionnée par une force de valeur $F = 80\,\text{N}$ perpendiculaire à la clé. Calcule le moment de la force par rapport à l'axe de la vis.
La même force fait maintenant un angle de $60^\circ$ avec la clé. Calcule le nouveau moment.
Quelle valeur de force faut-il appliquer avec cet angle de $60^\circ$ pour retrouver le moment de la question 1 ?
Un conducteur tourne un volant de diamètre $40\,\text{cm}$ en appliquant deux forces opposées de valeur $15\,\text{N}$ aux extrémités d'un diamètre, tangentes au volant. Calcule le moment du couple.

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1) La force est perpendiculaire à la clé, donc le bras de levier est $d = L$ : $\mathcal{M} = F\,L = 80 \times 0{,}25 = 20\,\text{N.m}$ .

2) Le bras de levier devient $d = L\sin 60^\circ = 0{,}25 \times 0{,}866 = 0{,}2165\,\text{m}$ . Donc $\mathcal{M} = 80 \times 0{,}2165 = 17{,}3\,\text{N.m}$ : le moment est plus petit.

3) On veut $F \times 0{,}2165 = 20$ , donc $F = \frac{20}{0{,}2165} = 92{,}4\,\text{N}$ .

4) Les deux forces forment un couple. La distance entre leurs droites d'action est le diamètre $d = 0{,}40\,\text{m}$ : $\mathcal{M} = F\,d = 15 \times 0{,}40 = 6{,}0\,\text{N.m}$ .

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Exercice 3 : Un ventilateur qui démarre puis s'arrête

Facile

Un ventilateur démarre du repos avec une accélération angulaire constante $\ddot{\theta} = 4{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ pendant $5{,}0\,\text{s}$ . Puis on coupe l'alimentation : les frottements le ralentissent avec une accélération angulaire constante $\ddot{\theta}' = -2{,}5\,\text{rad.s}^{-2}$ jusqu'à l'arrêt. Le rayon d'une pale est $R = 0{,}30\,\text{m}$ .

Calcule la vitesse angulaire à la fin de la phase de démarrage, en $\text{rad.s}^{-1}$ puis en $\text{tr.min}^{-1}$ , et l'angle parcouru.
Calcule, à cet instant, les accélérations tangentielle et normale du bout d'une pale.
Calcule la durée de la phase d'arrêt et l'angle parcouru pendant cette phase.
Combien de tours le ventilateur a-t-il faits au total ?

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1) Rotation uniformément variée, départ du repos : $\omega_1 = \ddot{\theta}\,t = 4{,}0 \times 5{,}0 = 20\,\text{rad.s}^{-1}$ , soit $N = \frac{20 \times 60}{2\pi} = 191\,\text{tr.min}^{-1}$ . L'angle parcouru est $\theta_1 = \frac{1}{2}\ddot{\theta}\,t^2 = \frac{1}{2} \times 4{,}0 \times 5{,}0^2 = 50\,\text{rad}$ .

2) $a_t = R\,\ddot{\theta} = 0{,}30 \times 4{,}0 = 1{,}2\,\text{m.s}^{-2}$ et $a_n = R\,\omega_1^2 = 0{,}30 \times 20^2 = 1{,}2 \times 10^2\,\text{m.s}^{-2}$ . L'accélération normale est cent fois plus grande que l'accélération tangentielle.

3) On repart de $\omega(t') = \omega_1 + \ddot{\theta}'\,t'$ . L'arrêt a lieu quand $\omega = 0$ : $t' = \frac{\omega_1}{2{,}5} = \frac{20}{2{,}5} = 8{,}0\,\text{s}$ . L'angle vaut $\theta_2 = \frac{0 - \omega_1^2}{2\,\ddot{\theta}'} = \frac{-400}{2 \times (-2{,}5)} = 80\,\text{rad}$ .

4) Angle total : $50 + 80 = 130\,\text{rad}$ , soit $\frac{130}{2\pi} = 20{,}7$ tours ( $7{,}96$ tours pendant le démarrage et $12{,}7$ tours pendant l'arrêt).

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Exercice 4 : Équilibre d'une tige mobile autour d'un axe

Moyen

Une tige homogène de masse $m = 2{,}0\,\text{kg}$ et de longueur $L = 1{,}20\,\text{m}$ peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $\Delta$ passant par son extrémité $O$ . Elle est maintenue horizontale et immobile par un fil attaché à $0{,}80\,\text{m}$ de $O$ . On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Le fil est vertical. Écris la condition d'équilibre et calcule la tension $T$ du fil.
Calcule la valeur de la réaction de l'axe en $O$ dans ce cas.
On attache maintenant le fil de façon qu'il fasse un angle de $30^\circ$ avec la tige (toujours à $0{,}80\,\text{m}$ de $O$ ). Calcule la nouvelle tension.

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1) La tige est au repos : $\ddot{\theta} = 0$ , donc $\sum \mathcal{M}_\Delta = 0$ (théorème des moments). On choisit le sens positif qui correspond à la rotation provoquée par le poids. Le poids $m\vec{g}$ s'applique au milieu de la tige, à $\frac{L}{2} = 0{,}60\,\text{m}$ de $O$ : $\mathcal{M}(\vec{P}) = +m\,g\,\frac{L}{2}$ . La tension verticale est à $0{,}80\,\text{m}$ de $O$ : $\mathcal{M}(\vec{T}) = -T \times 0{,}80$ . La réaction de l'axe passe par $O$ : son moment est nul. Donc

m\,g\,\frac{L}{2} - T \times 0{,}80 = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}60}{0{,}80} = 14{,}7\,\text{N}.

2) Les forces extérieures se compensent aussi : $\vec{R} + \vec{T} + m\vec{g} = \vec{0}$ . Toutes sont verticales. En projection vers le haut : $R + T - m\,g = 0$ , donc $R = 19{,}6 - 14{,}7 = 4{,}9\,\text{N}$ (vers le haut).

3) Le bras de levier de la tension est maintenant $d = 0{,}80 \times \sin 30^\circ = 0{,}40\,\text{m}$ . Donc $T \times 0{,}40 = m\,g\,\frac{L}{2} = 11{,}76\,\text{N.m}$ et $T = \frac{11{,}76}{0{,}40} = 29{,}4\,\text{N}$ . Quand le fil est incliné, il faut tirer plus fort : la tension double ici.

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Exercice 5 : Un cylindre entraîné par un moteur

Moyen

Un cylindre plein et homogène, de masse $m = 2{,}0\,\text{kg}$ et de rayon $R = 10\,\text{cm}$ , tourne autour de son axe de révolution $\Delta$ fixe. Partant du repos, il est entraîné par un couple moteur de moment constant $\mathcal{M} = 0{,}050\,\text{N.m}$ . Les frottements sont négligés.

Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ du cylindre.
Calcule l'accélération angulaire et la nature du mouvement.
Calcule la vitesse angulaire (en $\text{rad.s}^{-1}$ et en $\text{tr.min}^{-1}$ ) et l'angle parcouru à l'instant $t = 4{,}0\,\text{s}$ .
Calcule l'énergie cinétique à cet instant, puis le travail du couple : compare.
Calcule la puissance instantanée du couple à $t = 4{,}0\,\text{s}$ et sa puissance moyenne sur ces $4{,}0\,\text{s}$ .

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1) $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times (0{,}10)^2 = 1{,}0 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^2$ .

2) Relation fondamentale : $\mathcal{M} = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , donc $\ddot{\theta} = \frac{0{,}050}{1{,}0 \times 10^{-2}} = 5{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ . Cette valeur est constante et le moment est moteur : mouvement de rotation uniformément accéléré.

3) $\omega = \ddot{\theta}\,t = 5{,}0 \times 4{,}0 = 20\,\text{rad.s}^{-1}$ , soit $\frac{20 \times 60}{2\pi} = 191\,\text{tr.min}^{-1}$ . L'angle est $\Delta\theta = \frac{1}{2} \times 5{,}0 \times 4{,}0^2 = 40\,\text{rad}$ (environ $6{,}4$ tours).

4) $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\,\omega^2 = \frac{1}{2} \times 1{,}0 \times 10^{-2} \times 20^2 = 2{,}0\,\text{J}$ . Le travail du couple est $W = \mathcal{M}\,\Delta\theta = 0{,}050 \times 40 = 2{,}0\,\text{J}$ . Les deux valeurs sont égales : c'est le théorème de l'énergie cinétique (départ du repos, donc $\Delta E_c = E_c$ ).

5) $P = \mathcal{M}\,\omega = 0{,}050 \times 20 = 1{,}0\,\text{W}$ . La puissance moyenne est $P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{2{,}0}{4{,}0} = 0{,}50\,\text{W}$ , soit la moitié de la valeur finale (la puissance croît linéairement avec $\omega$ ).

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Exercice 6 : Une poulie et une masse suspendue

Moyen

Une poulie de rayon $R = 5{,}0\,\text{cm}$ et de moment d'inertie $J_\Delta = 2{,}0 \times 10^{-3}\,\text{kg.m}^2$ peut tourner autour de son axe horizontal fixe. Un fil inextensible, de masse négligeable et sans glissement sur la poulie, porte à son extrémité un solide de masse $m = 0{,}20\,\text{kg}$ . Le solide est lâché sans vitesse initiale. On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Les frottements sont négligés. Établis l'expression de l'accélération $a$ du solide, puis calcule-la.
Calcule la tension du fil et l'accélération angulaire de la poulie. Vérifie la relation fondamentale pour la poulie.
Calcule la distance parcourue par le solide en $2{,}0\,\text{s}$ .
On tient compte d'un couple de frottement de moment constant $\mathcal{M}_f = 0{,}020\,\text{N.m}$ sur l'axe de la poulie. Recalcule $a$ .

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1) Solide (axe vertical orienté vers le bas) : $m\,g - T = m\,a$ . Poulie (sens positif : celui de la rotation) : la tension crée un moment $+T\,R$ , donc $T\,R = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ . Le fil ne glisse pas : $a = R\,\ddot{\theta}$ , donc $T\,R = J_\Delta\,\frac{a}{R}$ et $T = \frac{J_\Delta}{R^2}\,a$ . En remplaçant dans l'équation du solide : $m\,g = \left(m + \frac{J_\Delta}{R^2}\right)a$ , d'où

a = \frac{m\,g}{m + J_\Delta / R^2}.

Application : $\frac{J_\Delta}{R^2} = \frac{2{,}0 \times 10^{-3}}{(0{,}050)^2} = 0{,}80\,\text{kg}$ , donc $a = \frac{0{,}20 \times 9{,}8}{0{,}20 + 0{,}80} = 1{,}96\,\text{m.s}^{-2}$ .

2) $T = m\,(g - a) = 0{,}20 \times (9{,}8 - 1{,}96) = 1{,}57\,\text{N}$ (inférieure au poids $1{,}96\,\text{N}$ , car le solide accélère). $\ddot{\theta} = \frac{a}{R} = \frac{1{,}96}{0{,}050} = 39{,}2\,\text{rad.s}^{-2}$ . Vérification : $J_\Delta\,\ddot{\theta} = 2{,}0 \times 10^{-3} \times 39{,}2 = 7{,}84 \times 10^{-2}\,\text{N.m}$ et $T\,R = 1{,}568 \times 0{,}050 = 7{,}84 \times 10^{-2}\,\text{N.m}$ : les deux valeurs sont égales.

3) Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale : $d = \frac{1}{2}\,a\,t^2 = \frac{1}{2} \times 1{,}96 \times 2{,}0^2 = 3{,}9\,\text{m}$ .

4) La relation fondamentale devient $T\,R - \mathcal{M}_f = J_\Delta\,\frac{a}{R}$ , soit $T = \frac{J_\Delta}{R^2}\,a + \frac{\mathcal{M}_f}{R}$ . En reportant dans $m\,g - T = m\,a$ : $a = \frac{m\,g - \mathcal{M}_f / R}{m + J_\Delta / R^2} = \frac{1{,}96 - 0{,}020/0{,}050}{1{,}00} = \frac{1{,}96 - 0{,}40}{1{,}00} = 1{,}56\,\text{m.s}^{-2}$ . Les frottements diminuent l'accélération.

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Exercice 7 : Freinage d'un volant d'inertie

Moyen

Un volant d'inertie de moment d'inertie $J_\Delta = 0{,}50\,\text{kg.m}^2$ tourne à $600\,\text{tr.min}^{-1}$ . On le freine : le frein exerce un moment résistant constant de valeur $4{,}0\,\text{N.m}$ jusqu'à l'arrêt.

Calcule l'énergie cinétique initiale du volant.
En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calcule l'angle parcouru jusqu'à l'arrêt, puis le nombre de tours.
Calcule l'accélération angulaire et la durée du freinage. Vérifie l'angle trouvé à la question 2.
Calcule la puissance moyenne dissipée par le frein.

Voir le corrigé

1) $\omega_0 = \frac{2\pi \times 600}{60} = 62{,}8\,\text{rad.s}^{-1}$ et $E_{c,0} = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega_0^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}50 \times (62{,}83)^2 = 9{,}87 \times 10^2\,\text{J}$ .

2) Entre l'état initial et l'arrêt, $\Delta E_c = 0 - E_{c,0}$ et le seul travail est celui du moment résistant : $W = -4{,}0 \times \Delta\theta$ . Donc $-E_{c,0} = -4{,}0\,\Delta\theta$ et $\Delta\theta = \frac{986{,}96}{4{,}0} = 247\,\text{rad}$ , soit $\frac{247}{2\pi} = 39{,}3$ tours.

3) $\ddot{\theta} = \frac{-4{,}0}{0{,}50} = -8{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ (rotation uniformément ralentie). La durée est $t = \frac{0 - \omega_0}{\ddot{\theta}} = \frac{62{,}83}{8{,}0} = 7{,}85\,\text{s}$ . Vérification : $\Delta\theta = \frac{0 - \omega_0^2}{2\ddot{\theta}} = \frac{3947{,}8}{16} = 247\,\text{rad}$ , ce qui est cohérent.

4) $P_{moy} = \frac{E_{c,0}}{t} = \frac{986{,}96}{7{,}854} = 126\,\text{W}$ . Vérification avec la vitesse moyenne : $\mathcal{M}\,\omega_{moy} = 4{,}0 \times \frac{62{,}83}{2} = 126\,\text{W}$ .

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Exercice 8 : Une meule entraînée par un moteur

Difficile

Une meule est un disque homogène de masse $m = 6{,}0\,\text{kg}$ et de rayon $R = 15\,\text{cm}$ , qui tourne autour de son axe fixe $\Delta$ . Un moteur exerce un couple de moment constant $\mathcal{M}_m = 3{,}0\,\text{N.m}$ . Un couple résistant (frottements, air) de moment constant $\mathcal{M}_r = 0{,}50\,\text{N.m}$ s'oppose à la rotation. La meule démarre du repos et atteint sa vitesse de régime de $3000\,\text{tr.min}^{-1}$ .

Calcule le moment d'inertie de la meule et son accélération angulaire pendant la phase de démarrage.
Calcule la vitesse angulaire de régime en $\text{rad.s}^{-1}$ et la durée du démarrage.
Calcule l'angle parcouru pendant le démarrage et le nombre de tours.
Calcule la puissance du couple moteur à la fin du démarrage. Calcule la vitesse linéaire d'un point de la périphérie à ce moment.
Vérifie l'angle parcouru de la question 3 avec le théorème de l'énergie cinétique, en calculant le travail de chaque couple.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \times 6{,}0 \times (0{,}15)^2 = 6{,}75 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^2$ . Relation fondamentale : $\mathcal{M}_m - \mathcal{M}_r = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , donc $\ddot{\theta} = \frac{3{,}0 - 0{,}50}{6{,}75 \times 10^{-2}} = 37{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ .

2) $\omega = \frac{2\pi \times 3000}{60} = 314\,\text{rad.s}^{-1}$ . La durée est $t = \frac{\omega}{\ddot{\theta}} = \frac{314{,}16}{37{,}04} = 8{,}48\,\text{s}$ .

3) $\Delta\theta = \frac{\omega^2}{2\,\ddot{\theta}} = \frac{(314{,}16)^2}{2 \times 37{,}04} = 1{,}33 \times 10^3\,\text{rad}$ , soit $\frac{1332}{2\pi} = 212$ tours.

4) $P = \mathcal{M}_m\,\omega = 3{,}0 \times 314{,}16 = 9{,}4 \times 10^2\,\text{W}$ (environ $0{,}94\,\text{kW}$ ). Vitesse en périphérie : $v = R\,\omega = 0{,}15 \times 314{,}16 = 47\,\text{m.s}^{-1}$ (environ $170\,\text{km.h}^{-1}$ , ce qui explique les protections des meules).

5) Variation d'énergie cinétique : $\Delta E_c = \frac{1}{2} \times 6{,}75 \times 10^{-2} \times (314{,}16)^2 = 3331\,\text{J}$ . Travail du moteur : $W_m = 3{,}0 \times 1332 = 3{,}997 \times 10^3\,\text{J}$ . Travail résistant : $W_r = -0{,}50 \times 1332 = -666\,\text{J}$ . Somme : $W_m + W_r = 3331\,\text{J}$ , égale à $\Delta E_c$ : le théorème est vérifié, donc l'angle trouvé à la question 3 est cohérent (on peut aussi écrire $\Delta\theta = \frac{\Delta E_c}{\mathcal{M}_m - \mathcal{M}_r} = \frac{3331}{2{,}5} = 1332\,\text{rad}$ ).

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Exercice 9 : Un treuil et son seau

Type Bac

Un puits est équipé d'un treuil. Un seau de masse $m = 5{,}0\,\text{kg}$ est suspendu à un fil inextensible, sans masse, enroulé sur un tambour. Le tambour est un cylindre plein et homogène de masse $M = 8{,}0\,\text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}20\,\text{m}$ , mobile sans frottement autour de son axe horizontal $\Delta$ . Le fil ne glisse pas sur le tambour. On libère le seau sans vitesse initiale. On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ du tambour.
Fais le bilan des forces sur le seau et écris la 2e loi de Newton projetée sur l'axe vertical orienté vers le bas.
Écris la relation fondamentale de la dynamique pour le tambour. Montre que l'accélération du seau vaut $a = \frac{m\,g}{m + \frac{J_\Delta}{R^2}}$ et calcule-la.
Calcule la tension $T$ du fil et l'accélération angulaire du tambour.
Le seau descend de $h = 4{,}0\,\text{m}$ . Calcule sa vitesse et la vitesse angulaire du tambour à cet instant, ainsi que le nombre de tours du tambour.
Vérifie le résultat de la question 5 avec une étude énergétique.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{2}\,M\,R^2 = \frac{1}{2} \times 8{,}0 \times (0{,}20)^2 = 0{,}16\,\text{kg.m}^2$ .

2) Le seau est soumis à son poids $m\vec{g}$ (vertical, vers le bas) et à la tension $\vec{T}$ du fil (vertical, vers le haut). Projection sur l'axe vertical vers le bas : $m\,g - T = m\,a$ .

3) Pour le tambour (sens positif : celui de la rotation provoquée par la tension), le poids et la réaction de l'axe ont un moment nul. La tension $\vec{T}'$ du fil sur le tambour a pour valeur $T' = T$ (fil sans masse) et pour bras de levier $R$ : $T\,R = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ . Sans glissement, $a = R\,\ddot{\theta}$ , donc $T = \frac{J_\Delta}{R^2}\,a$ . On reporte dans la question 2 : $m\,g - \frac{J_\Delta}{R^2}\,a = m\,a$ , soit $a = \frac{m\,g}{m + J_\Delta / R^2}$ . Application : $\frac{J_\Delta}{R^2} = \frac{0{,}16}{0{,}040} = 4{,}0\,\text{kg}$ et $a = \frac{5{,}0 \times 9{,}8}{5{,}0 + 4{,}0} = 5{,}44\,\text{m.s}^{-2}$ .

4) $T = m\,(g - a) = 5{,}0 \times (9{,}8 - 5{,}444) = 21{,}8\,\text{N}$ . $\ddot{\theta} = \frac{a}{R} = \frac{5{,}444}{0{,}20} = 27{,}2\,\text{rad.s}^{-2}$ . Vérification : $J_\Delta\,\ddot{\theta} = 0{,}16 \times 27{,}22 = 4{,}36\,\text{N.m}$ et $T\,R = 21{,}78 \times 0{,}20 = 4{,}36\,\text{N.m}$ .

5) Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale : $v^2 = 2\,a\,h = 2 \times 5{,}444 \times 4{,}0 = 43{,}6$ , donc $v = 6{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ . Alors $\omega = \frac{v}{R} = \frac{6{,}60}{0{,}20} = 33{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ (environ $315\,\text{tr.min}^{-1}$ ). Le tambour a tourné de $\Delta\theta = \frac{h}{R} = 20\,\text{rad}$ , soit $\frac{20}{2\pi} = 3{,}18$ tours.

6) Pour le système {seau + tambour + fil + Terre}, le poids est une force interne (énergie potentielle de pesanteur), la réaction de l'axe (sans frottement) ne travaille pas, et le fil inextensible, sans glissement, ne dissipe aucune énergie : l'énergie mécanique se conserve. La perte d'énergie potentielle du seau $m\,g\,h = 5{,}0 \times 9{,}8 \times 4{,}0 = 196\,\text{J}$ se retrouve en énergie cinétique : $\frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2 = \frac{1}{2} \times 5{,}0 \times 43{,}56 + \frac{1}{2} \times 0{,}16 \times 1089 = 108{,}9 + 87{,}1 = 196\,\text{J}$ . Le résultat est cohérent.

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Exercice 10 : Un plateau tournant en trois phases

Type Bac

Un plateau tournant est un disque homogène de masse $m = 1{,}5\,\text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}20\,\text{m}$ , mobile autour de son axe de révolution $\Delta$ fixe. Il subit pendant tout le mouvement un couple de frottement de moment constant $\mathcal{M}_f = 0{,}020\,\text{N.m}$ . L'étude comporte trois phases :

Phase 1 (de $t = 0$ à $t = 4{,}0\,\text{s}$ ) : le moteur démarre le plateau. Les mesures de la vitesse angulaire sont :

$t$ (s)	0	1,0	2,0	3,0	4,0
$\omega$ ( $\text{rad.s}^{-1}$ )	0	6,0	12,0	18,0	24,0

Phase 2 : le moteur maintient la vitesse angulaire constante pendant $10\,\text{s}$ .
Phase 3 : on coupe le moteur, le plateau s'arrête sous l'effet des frottements seuls.

Montre que le mouvement de la phase 1 est uniformément accéléré et calcule l'accélération angulaire.
Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ du plateau. Déduis-en le moment $\mathcal{M}_m$ du couple moteur pendant la phase 1, puis la puissance du moteur à $t = 4{,}0\,\text{s}$ .
Calcule l'angle parcouru pendant les phases 1 et 2. Quel est, en phase 2, le moment du couple moteur ?
Phase 3 : calcule l'accélération angulaire, la durée de l'arrêt et le nombre de tours effectués.
Calcule le nombre total de tours depuis le démarrage et la vitesse linéaire d'un point du bord à la fin de la phase 1.

Voir le corrigé

1) Entre deux dates successives distantes de $1{,}0\,\text{s}$ , $\omega$ augmente toujours de $6{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ : la courbe $\omega(t)$ est une droite qui passe par l'origine, donc $\ddot{\theta} = \frac{d\omega}{dt}$ est constante. Le mouvement est uniformément accéléré, avec $\ddot{\theta} = \frac{24{,}0 - 0}{4{,}0 - 0} = 6{,}0\,\text{rad.s}^{-2}$ .

2) $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \times 1{,}5 \times (0{,}20)^2 = 3{,}0 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^2$ . Relation fondamentale en phase 1 : $\mathcal{M}_m - \mathcal{M}_f = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , donc $\mathcal{M}_m = 3{,}0 \times 10^{-2} \times 6{,}0 + 0{,}020 = 0{,}20\,\text{N.m}$ . À $t = 4{,}0\,\text{s}$ : $P = \mathcal{M}_m\,\omega = 0{,}20 \times 24{,}0 = 4{,}8\,\text{W}$ .

3) Phase 1 : $\theta_1 = \frac{1}{2} \times 6{,}0 \times 4{,}0^2 = 48\,\text{rad}$ . Phase 2 : rotation uniforme, $\theta_2 = 24{,}0 \times 10 = 240\,\text{rad}$ . Total des deux phases : $288\,\text{rad}$ . En phase 2, $\ddot{\theta} = 0$ , donc $\mathcal{M}_m - \mathcal{M}_f = 0$ et $\mathcal{M}_m = \mathcal{M}_f = 0{,}020\,\text{N.m}$ : le moteur compense seulement les frottements.

4) Seul le couple de frottement agit : $-\mathcal{M}_f = J_\Delta\,\ddot{\theta}_3$ , donc $\ddot{\theta}_3 = -\frac{0{,}020}{3{,}0 \times 10^{-2}} = -0{,}667\,\text{rad.s}^{-2}$ . Durée : $t_3 = \frac{0 - 24{,}0}{-0{,}667} = 36\,\text{s}$ . Angle : $\theta_3 = \frac{0 - 24{,}0^2}{2 \times (-0{,}667)} = 432\,\text{rad}$ , soit $\frac{432}{2\pi} = 68{,}8$ tours.

5) Angle total : $48 + 240 + 432 = 720\,\text{rad}$ , soit $\frac{720}{2\pi} = 114{,}6$ tours (environ $115$ tours). À la fin de la phase 1 : $v = R\,\omega = 0{,}20 \times 24{,}0 = 4{,}8\,\text{m.s}^{-1}$ .

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QCM

1.Une roue tourne à la fréquence de rotation de

120\,\text{tr.min}^{-1}

. Sa vitesse angulaire vaut :

2.Une force de valeur

20\,\text{N}

est appliquée perpendiculairement à une manivelle à la distance

0{,}30\,\text{m}

de l'axe. Son moment par rapport à l'axe vaut :

3.Un disque homogène de masse

2{,}0\,\text{kg}

et de rayon

10\,\text{cm}

a, par rapport à son axe de révolution, un moment d'inertie :

4.Un point d'un solide situé à

0{,}50\,\text{m}

de l'axe a une vitesse linéaire de

5{,}0\,\text{m.s}^{-1}

. La vitesse angulaire du solide vaut :

5.La relation fondamentale de la dynamique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe

\Delta

s'écrit :

6.Un volant de moment d'inertie

0{,}50\,\text{kg.m}^2

tourne à

10\,\text{rad.s}^{-1}

. Son énergie cinétique vaut :

7.Un solide tourne à vitesse angulaire constante autour de son axe fixe. Que peut-on dire de la somme des moments des forces extérieures ?

8.Un moteur exerce un couple de moment

2{,}0\,\text{N.m}

sur un arbre qui tourne à

50\,\text{rad.s}^{-1}

. Sa puissance vaut :

Erreurs fréquentes

Travailler en degrés ou en tours par minute : les formules $s = R\,\theta$ , $v = R\,\omega$ et $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\,\omega^2$ exigent des radians et des $\text{rad.s}^{-1}$ . Convertis d'abord ( $\omega = \frac{2\pi N}{60}$ ).
Se tromper de bras de levier : $d$ est la distance de l'axe à la droite d'action de la force, mesurée perpendiculairement. Pour une force inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport au rayon, $d = R\sin\alpha$ , pas $R$ .
Oublier le signe d'un moment : choisis un sens positif au départ. Un moment résistant (frottement) est négatif quand le mouvement est dans le sens positif.
Confondre masse et moment d'inertie : dans $\sum \mathcal{M}_\Delta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , c'est $J_\Delta$ (en $\text{kg.m}^2$ ) qui intervient, pas $m$ .
Écrire $T = m\,g$ pour le fil d'une poulie : c'est faux dès que la masse accélère ( $T = m\,(g - a)$ ). Avec une poulie dont l'inertie compte, les tensions de part et d'autre de la poulie sont différentes.
Dire que $v = R\,\omega$ donne la même vitesse à tous les points : $\omega$ est commune à tous les points, mais $v$ augmente avec la distance à l'axe.
Écrire $a = g$ pour le solide suspendu à une poulie ou un treuil : l'inertie de rotation ralentit la chute. On retrouve $a = g$ seulement si $J_\Delta \to 0$ .
Oublier que $W = \mathcal{M}\,\Delta\theta$ n'est valable que pour un moment constant et avec $\Delta\theta$ en radians.

À retenir

Un solide en rotation autour d'un axe fixe a une seule variable : l'abscisse angulaire $\theta$ ; $\omega = \dot{\theta}$ en $\text{rad.s}^{-1}$ et $\ddot{\theta}$ en $\text{rad.s}^{-2}$ .
Lien avec un point à la distance $R$ : $s = R\,\theta$ , $v = R\,\omega$ , $a_t = R\,\ddot{\theta}$ , $a_n = R\,\omega^2$ . Conversion : $\omega = \frac{2\pi N}{60}$ .
Rotation uniforme : $\theta = \omega\,t + \theta_0$ et $T = \frac{2\pi}{\omega}$ . Rotation uniformément variée : $\omega = \ddot{\theta}\,t + \omega_0$ et $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\,\ddot{\theta}\,\Delta\theta$ .
Moment d'une force : $\mathcal{M}_\Delta = \pm F\,d$ (bras de levier $d$ ) ; couple de forces : $\pm F\,d$ ; couple de torsion : $-C\,\theta$ .
Le moment d'inertie $J_\Delta = \sum m_i\,r_i^2$ (en $\text{kg.m}^2$ ) mesure l'inertie de rotation ; pour un disque plein, $J_\Delta = \frac{1}{2}m\,R^2$ .
Relation fondamentale : $\sum \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ . À l'équilibre ou en rotation uniforme : $\sum \mathcal{M}_\Delta = 0$ .
$E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\,\omega^2$ ; $W = \mathcal{M}\,\Delta\theta$ (moment constant) ; $P = \mathcal{M}\,\omega$ ; $\Delta E_c = \sum W$ .
Poulie ou treuil avec un fil sans glissement : $a = R\,\ddot{\theta}$ et $a = \frac{m\,g}{m + J_\Delta/R^2}$ pour une masse $m$ qui descend sans frottement.

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