Bac blanc n° 1 — Mathématiques (PC et SVT)

1. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $1 \leq u_n \leq 3$ ».

Initialisation : $u_0 = 1$ et $1 \leq 1 \leq 3$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $1 \leq u_n \leq 3$ (hypothèse de récurrence). En multipliant par $2$ puis en ajoutant $3$, on obtient $5 \leq 2u_n + 3 \leq 9$. La fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$, donc $\sqrt{5} \leq u_{n+1} \leq \sqrt{9} = 3$. Comme $\sqrt{5} > 1$, on a bien $1 \leq u_{n+1} \leq 3$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \leq u_n \leq 3$. [0,75 pt]

2. a) Pour tout $n$, $u_{n+1}^2 = 2u_n + 3$. Comme $u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_{n+1} - u_n)(u_{n+1} + u_n)$ et que $u_{n+1} + u_n > 0$ (car $u_n \geq 1$), on a :

Or $2u_n + 3 - u_n^2 = -(u_n - 3)(u_n + 1) = (3 - u_n)(u_n + 1)$. D'où l'égalité demandée. D'après la question 1, $3 - u_n \geq 0$, $u_n + 1 > 0$ et $u_{n+1} + u_n > 0$ : donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ et la suite $(u_n)$ est croissante. [0,5 pt]

2. b) La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ (question 1) : elle est donc convergente. [0,25 pt]

3. a) Pour tout $n$, comme $u_{n+1}^2 = 2u_n + 3$ :

Comme $u_{n+1} \geq 1$, on a $3 + u_{n+1} \geq 4$, donc $0 < \dfrac{2}{3 + u_{n+1}} \leq \dfrac{1}{2}$. Puisque $3 - u_n \geq 0$, on en déduit $3 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(3 - u_n)$. [0,5 pt]

3. b) Montrons par récurrence que $3 - u_n \leq 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Pour $n = 0$ : $3 - u_0 = 2 = 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$. Si $3 - u_n \leq 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, alors d'après la question 3. a) : $3 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(3 - u_n) \leq 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$. Avec la question 1 ($u_n \leq 3$), on obtient pour tout $n$ :

Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$. Par encadrement, $\lim_{n \to +\infty} (3 - u_n) = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$. [0,5 pt]

3. c) $2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leq 10^{-3} \iff 2^{n} \geq 2000 \iff n \ln 2 \geq \ln 2000 \iff n \geq \dfrac{\ln 2000}{\ln 2} \approx 10{,}97$. Le plus petit entier naturel qui convient est donc $n_0 = 11$ (on vérifie : $2^{10} = 1024 < 2000 \leq 2048 = 2^{11}$). Pour $n_0 = 11$, on a $0 \leq 3 - u_{11} \leq 10^{-3}$ : $u_{11}$ est une valeur approchée de la limite $3$ à $10^{-3}$ près par défaut. [0,5 pt]

1. Pour tout point $M(x, y, z)$ de l'espace :

C'est l'équation de la sphère de centre $\Omega(1, -2, 3)$ et de rayon $\sqrt{25} = 5$. [0,5 pt]

2. a) On a $\overrightarrow{AB}(-1, -2, 0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1, 0, 1)$. Alors :

Ce vecteur est non nul, donc les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan ; le vecteur $\vec{n}(-2, 1, -2)$, orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, est normal au plan $(ABC)$. Ce plan a donc une équation de la forme $-2x + y - 2z + d = 0$. Comme $A(1, 1, 0)$ appartient au plan : $-2 + 1 + d = 0$, soit $d = 1$. Une équation de $(ABC)$ est $-2x + y - 2z + 1 = 0$, c'est-à-dire en multipliant par $-1$ : $2x - y + 2z - 1 = 0$. [0,75 pt]

2. b) La distance de $\Omega(1, -2, 3)$ au plan $(ABC)$ est :

Comme $3 < 5$ (le rayon de la sphère), le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$. [0,5 pt]

2. c) Le centre $H$ de $(\Gamma)$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $(ABC)$. La droite $(\Omega H)$ passe par $\Omega$ et a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n}'(2, -1, 2)$ du plan : une représentation paramétrique est $x = 1 + 2t$, $y = -2 - t$, $z = 3 + 2t$ ($t \in \mathbb{R}$). On remplace dans l'équation du plan :

D'où $H(1 - 2, -2 + 1, 3 - 2)$, soit $H(-1, -1, 1)$. On vérifie que $H$ est dans le plan : $-2 + 1 + 2 - 1 = 0$. Le rayon du cercle est $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$. [0,75 pt]

3. On a $(5 - 1)^2 + (-5 + 2)^2 + (3 - 3)^2 = 16 + 9 + 0 = 25$, donc $E \in (S)$. Le plan tangent à $(S)$ en $E$ est le plan passant par $E$ et orthogonal à $\overrightarrow{\Omega E}$. Ici $\overrightarrow{\Omega E}(4, -3, 0)$. Un point $M(x, y, z)$ appartient à $(Q)$ si et seulement si $\overrightarrow{\Omega E} \cdot \overrightarrow{EM} = 0$, c'est-à-dire :

Une équation du plan $(Q)$ est $4x - 3y - 35 = 0$. [0,5 pt]

1. Le discriminant de $(E)$ est $\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \times 1 \times 4 = 12 - 16 = -4 = (2i)^2$. L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

Ainsi $a = \sqrt{3} + i$ et $b = \sqrt{3} - i$. [0,5 pt]

2. a) On a $|a| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$, donc :

Comme $b = \bar{a}$, on a $|b| = 2$ et $b = 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$. [0,5 pt]

2. b) D'après la formule de Moivre, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $a^n = 2^n \left(\cos\dfrac{n\pi}{6} + i \sin\dfrac{n\pi}{6}\right)$. Comme $2^n \neq 0$ :

• $a^n \in \mathbb{R} \iff \sin\dfrac{n\pi}{6} = 0 \iff \dfrac{n\pi}{6} = k\pi$ avec $k \in \mathbb{N} \iff n = 6k$. Les entiers cherchés sont les multiples de $6$ ;
• $a^n$ est imaginaire pur $\iff \cos\dfrac{n\pi}{6} = 0 \iff \dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{N} \iff n = 3 + 6k$. Les entiers cherchés sont les entiers de la forme $6k + 3$.

Vérification : $a^3 = 8i$ (imaginaire pur) et $a^6 = 64e^{i\pi} = -64$ (réel). [0,5 pt]

3. On a $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}} = e^{i\frac{\pi}{3}}$, donc $a = e^{i\frac{\pi}{3}}\, b$. Cela signifie que la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ transforme $B$ en $A$. Ainsi $OA = OB$ (on retrouve $|a| = |b| = 2$) et l'angle $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA})$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ est équilatéral : le triangle $OAB$ est équilatéral. [0,5 pt]

4. a) On a $c - a = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - i = \sqrt{3} - i$ et $b - a = -2i$. Donc :

[0,5 pt]

4. b) L'égalité $c - a = e^{i\frac{\pi}{3}}(b - a)$ est l'écriture complexe de la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ appliquée à $B$ : $C$ est l'image de $B$ par cette rotation. Donc $AC = AB$ et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{3}$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec un angle de $\dfrac{\pi}{3}$, donc équilatéral (on vérifie : $AB = |b - a| = 2$ et $AC = |c - a| = |\sqrt{3} - i| = 2$). [0,25 pt]

5. On a $a + b = (\sqrt{3} + i) + (\sqrt{3} - i) = 2\sqrt{3} = c$, d'où $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ : le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme. De plus $OA = OB = 2$ : deux côtés consécutifs ont la même longueur, donc $OACB$ est un losange. [0,25 pt]

Dans la partie A et la partie B, tous les tirages simultanés de 3 boules sont équiprobables, et leur nombre est $\binom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

1. L'événement $A$ est réalisé si les trois boules sont rouges ($\binom{4}{3} = 4$ façons), ou vertes ($\binom{3}{3} = 1$ façon), ou jaunes ($\binom{3}{3} = 1$ façon). Donc :

[0,5 pt]

2. Soit $R$ l'événement « les trois boules tirées sont rouges ». On a $R \subset A$, donc $R \cap A = R$ et $p(R \cap A) = p(R) = \dfrac{4}{120} = \dfrac{1}{30}$. La probabilité conditionnelle est :

[0,5 pt]

3. $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$. Pour obtenir $k$ boules rouges, on choisit $k$ boules parmi les 4 rouges et $3 - k$ boules parmi les 6 non rouges : $p(X = k) = \dfrac{\binom{4}{k}\binom{6}{3-k}}{120}$.

• $p(X = 0) = \dfrac{1 \times 20}{120} = \dfrac{1}{6}$ ;
• $p(X = 1) = \dfrac{4 \times 15}{120} = \dfrac{1}{2}$ ;
• $p(X = 2) = \dfrac{6 \times 6}{120} = \dfrac{3}{10}$ ;
• $p(X = 3) = \dfrac{4 \times 1}{120} = \dfrac{1}{30}$.

Contrôle : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{5 + 15 + 9 + 1}{30} = 1$. [0,75 pt]

4. $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{3}{10} + 3 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}$. [0,25 pt]

5. a) Chaque tirage avec remise remet l'urne dans son état initial : les quatre tirages sont identiques et indépendants, et chacun n'a que deux issues, « rouge » (probabilité $p = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$) ou « non rouge » (probabilité $\dfrac{3}{5}$). La variable $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{2}{5}$ : pour $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, $p(Y = k) = \binom{4}{k}\left(\dfrac{2}{5}\right)^k \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4-k}$. En particulier :

[0,5 pt]

5. b) L'événement contraire de « au moins une boule rouge » est « aucune boule rouge », soit $Y = 0$ : $p(Y = 0) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \dfrac{81}{625}$. Donc :

[0,5 pt]

Partie I

I. 1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et, pour tout $x > 0$ :

Comme $x > 0$, $g'(x)$ a le signe de $3x^3 - 2$. On a $3x^3 - 2 < 0 \iff x^3 < \dfrac{2}{3} \iff x < x_0 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$, et $3x^3 - 2 > 0 \iff x > x_0$. D'où le tableau de variations :

La fonction $g$ admet donc un minimum en $x_0$. Comme $x_0^3 = \dfrac{2}{3}$, on a $\ln x_0 = \dfrac{1}{3}\ln x_0^3 = \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3}$ et :

[1 pt]

I. 2. Pour tout $x > 0$, $g(x) \geq g(x_0) = \dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{3}\ln\dfrac{3}{2}$. Or $\dfrac{3}{2} > 1$ donc $\ln\dfrac{3}{2} > 0$ et $g(x_0) > 0$. Donc $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. [0,5 pt]

Partie II

II. 1. a) On a $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$, donc $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x^2} = -\infty$. Comme $\lim_{x \to 0^+} x = 0$, on obtient $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. La courbe $(C)$ admet donc l'axe des ordonnées (droite d'équation $x = 0$) pour asymptote verticale. [0,5 pt]

II. 1. b) Par croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$. Ainsi $\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. La droite $(D)$ d'équation $y = x$ est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$. [0,5 pt]

II. 1. c) Pour tout $x > 0$, $f(x) - x = \dfrac{\ln x}{x^2}$ a le signe de $\ln x$ (car $x^2 > 0$) :

• si $0 < x < 1$ : $f(x) - x < 0$, donc $(C)$ est au-dessous de $(D)$ ;
• si $x = 1$ : $f(1) - 1 = 0$, donc $(C)$ coupe $(D)$ au point $A(1, 1)$ ;
• si $x > 1$ : $f(x) - x > 0$, donc $(C)$ est au-dessus de $(D)$.

[0,5 pt]

II. 2. a) La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. On dérive le quotient $\dfrac{\ln x}{x^2}$ :