Bac blanc n° 2 — Physique-Chimie (PC)

Données

• Constante des gaz parfaits : $R = 8{,}31\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ ; constante de Faraday : $F = 96\,500\ \text{C}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Partie 1 : suivi cinétique de la décomposition de l'eau oxygénée (2,5 points)

L'eau oxygénée, solution aqueuse de peroxyde d'hydrogène $\mathrm{H_2O_2}$, se décompose lentement. Cette transformation, modélisée par la réaction d'équation

est accélérée par les ions fer (III) $\mathrm{Fe^{3+}}$, qui jouent le rôle de catalyseur. À $t = 0$, on introduit le catalyseur dans un volume $V_S = 100\ \text{mL}$ de solution d'eau oxygénée de concentration $C_0 = 6{,}0 \times 10^{-2}\ \text{mol/L}$ (l'apport de volume dû au catalyseur est négligeable). Le dioxygène dégagé, peu soluble, est recueilli et son volume $V(\mathrm{O_2})$ est mesuré à la température $T = 298\ \text{K}$ et sous la pression $P = 1{,}013 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. On l'assimile à un gaz parfait.

1. Dresser le tableau d'avancement de la réaction, en notant $n_0$ la quantité initiale d'eau oxygénée, puis calculer l'avancement maximal $x_{max}$.
2. Montrer que l'avancement à l'instant $t$ s'écrit $x(t) = \dfrac{P\,V(\mathrm{O_2})}{R\,T}$, puis calculer $x$ à $t = 10\ \text{min}$. Vérifier que le volume final de dioxygène (73,3 mL) est compatible avec la valeur de $x_{max}$.
3. a) Donner l'expression de la vitesse volumique $v(t)$ de la réaction en fonction de $x$ et de $V_S$. b) La tangente à la courbe $x = f(t)$ à l'instant $t = 0$ passe par le point de coordonnées $(t = 8{,}7\ \text{min}\ ;\ x = 3{,}0\ \text{mmol})$. Calculer la vitesse volumique initiale $v(0)$ en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1}$. c) Comment évolue $v$ lorsque $t$ augmente ? Justifier en nommant le facteur cinétique concerné.
4. Définir le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ et déterminer sa valeur à l'aide du tableau.
5. On refait l'expérience avec les mêmes quantités de réactifs, mais à une température plus élevée (le dioxygène étant toujours mesuré à $298\ \text{K}$ sous $1{,}013 \times 10^{5}\ \text{Pa}$). Dire, sans calcul, comment varient $t_{1/2}$, $v(0)$ et le volume final de dioxygène. Justifier.

Partie 2 : estérification de l'acide éthanoïque par le propan-1-ol (2,5 points)

Dans un ballon, on introduit une masse $m_A = 18{,}0\ \text{g}$ d'acide éthanoïque pur, un volume $V_B = 22{,}5\ \text{mL}$ de propan-1-ol pur et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré, puis on chauffe à reflux. Une fois l'état d'équilibre atteint, la masse d'ester présent dans le mélange est $m_E = 20{,}4\ \text{g}$.

Données : masses molaires : acide éthanoïque $60\ \text{g/mol}$, propan-1-ol $60\ \text{g/mol}$, éthanoate de propyle $102\ \text{g/mol}$ ; masse volumique du propan-1-ol : $\rho = 0{,}80\ \text{g/mL}$.

1. Écrire l'équation de la réaction à l'aide des formules semi-développées et nommer l'ester formé. Donner deux caractéristiques de cette réaction et le rôle de l'acide sulfurique.
2. Calculer les quantités de matière initiales d'acide et d'alcool, dresser le tableau d'avancement et déterminer l'avancement maximal $x_{max}$.
3. a) Calculer l'avancement à l'équilibre $x_{\acute{e}q}$ et le rendement $r$ de la transformation. b) Exprimer la constante d'équilibre $K$ en fonction de $x_{\acute{e}q}$ et des quantités initiales, puis la calculer.
4. À la même température, on prépare un second mélange initial contenant $0{,}300\ \text{mol}$ d'acide éthanoïque et $0{,}900\ \text{mol}$ de propan-1-ol. Déterminer l'avancement à l'équilibre et le rendement, puis conclure sur l'effet d'un excès de l'un des réactifs.
5. On remplace l'acide éthanoïque par la même quantité ($0{,}300\ \text{mol}$) d'anhydride éthanoïque $\mathrm{(CH_3CO)_2O}$, que l'on fait réagir avec $0{,}300\ \text{mol}$ de propan-1-ol. Écrire l'équation de la réaction et comparer, qualitativement, sa vitesse et son rendement à ceux de l'estérification du mélange équimolaire étudié aux questions 2 et 3.

Partie 3 : nickelage d'une pièce en acier (2 points)

Pour protéger de la corrosion une pièce en acier de surface totale $S = 40{,}0\ \text{cm}^2$, on la recouvre par électrolyse d'une couche de nickel d'épaisseur $e = 10{,}0\ \mu\text{m}$. La pièce est plongée dans une solution de sulfate de nickel (II) $\mathrm{(Ni^{2+}_{(aq)} + SO_{4}^{2-}{}_{(aq)})}$ ; l'autre électrode est une plaque de nickel. Les deux électrodes sont reliées à un générateur de courant continu qui impose un courant d'intensité constante $I = 0{,}500\ \text{A}$.

Données : couple $\mathrm{Ni^{2+}_{(aq)}/Ni_{(s)}}$ ; $M(\mathrm{Ni}) = 58{,}7\ \text{g/mol}$ ; masse volumique du nickel : $\rho_{Ni} = 8{,}90\ \text{g/cm}^3$ ; $1\ \mu\text{m} = 10^{-4}\ \text{cm}$.

1. À quelle borne du générateur faut-il relier la pièce à nickeler ? Justifier. Écrire l'équation de la réaction à chaque électrode et nommer l'anode et la cathode.
2. Indiquer le sens de circulation des électrons et celui du courant dans le circuit extérieur. Montrer que la concentration en ions $\mathrm{Ni^{2+}}$ de la solution reste constante et comparer la variation de masse de l'anode à celle de la cathode.
3. Calculer la masse de nickel à déposer (le volume de la couche est $S \times e$).
4. Calculer la quantité d'électricité nécessaire, puis la durée $\Delta t$ de l'électrolyse.

Données : célérité de la lumière dans le vide : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m/s}$ ; domaine des radiations rouges dans le vide : de $620\ \text{nm}$ à $800\ \text{nm}$.

Partie 1 : onde ultrasonore (1,25 point)

Un émetteur $E$ d'ultrasons émet dans l'air une onde sinusoïdale de fréquence $N = 40{,}0\ \text{kHz}$. Deux récepteurs $R_1$ et $R_2$ sont placés sur l'axe de propagation, à la suite de l'émetteur, et un oscilloscope visualise les tensions qu'ils fournissent. Au départ, $R_1$ et $R_2$ sont côte à côte : les deux signaux sont en phase. On éloigne alors $R_2$ de $R_1$ le long de l'axe : les deux signaux sont de nouveau en phase à cinq reprises successives (la situation de départ n'est pas comptée), la dernière fois lorsque la distance $R_1R_2$ vaut $d = 4{,}25\ \text{cm}$.

1. Définir une onde mécanique progressive. L'onde ultrasonore dans l'air est-elle transversale ou longitudinale ? Justifier.
2. Déterminer la longueur d'onde $\lambda$, puis la célérité $v$ de l'onde dans l'air.
3. On place maintenant $R_2$ à la distance $d' = 21{,}25\ \text{mm}$ de $R_1$. Les signaux sont-ils en phase ou en opposition de phase ? Calculer le retard $\tau$ du signal reçu par $R_2$ par rapport à celui reçu par $R_1$ et le comparer à la période $T$ de l'onde.

Partie 2 : diffraction de la lumière (1,25 point)

Un laser éclaire une fente verticale de largeur $a = 0{,}100\ \text{mm}$. Un écran est placé à la distance $D = 2{,}00\ \text{m}$ de la fente. On observe sur l'écran une figure de diffraction dont la tache centrale a pour largeur $L = 2{,}53\ \text{cm}$. On suppose l'angle de diffraction $\theta$ petit : $\tan\theta \approx \theta$.

1. Nommer le phénomène observé et dire ce qu'il prouve sur la nature de la lumière. Établir la relation $L = \dfrac{2\lambda D}{a}$, en rappelant que $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$.
2. Calculer la longueur d'onde $\lambda_0$ de la radiation du laser dans l'air (assimilé au vide) et sa fréquence $\nu$. De quelle couleur est la lumière de ce laser ?
3. Toute l'expérience est maintenant immergée dans un liquide transparent d'indice $n = 1{,}33$. Calculer la célérité $v$ de la lumière dans ce liquide, la longueur d'onde $\lambda$ dans ce liquide et la nouvelle largeur $L'$ de la tache centrale. La couleur perçue change-t-elle ?

Données : $1\ \text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}$ ; $1\ \text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\ \text{J}$ ; $1\ \text{an} = 3{,}156 \times 10^{7}\ \text{s}$ ; numéros atomiques : $\text{B}$ : 5 ; $\text{C}$ : 6 ; $\text{N}$ : 7 ; $\text{O}$ : 8.

Partie 1 : datation d'un charbon de bois au carbone 14 (1,25 point)

Le carbone 14, ${}^{14}_{6}\text{C}$, est un noyau radioactif $\beta^-$ de demi-vie $t_{1/2} = 5730$ ans. Dans un organisme vivant, l'activité d'un gramme de carbone vaut $A_{vivant} = 0{,}230\ \text{Bq/g}$ ; à la mort de l'organisme, les échanges avec l'atmosphère cessent et cette activité décroît. Un échantillon de charbon de bois, prélevé sur un site archéologique, contient $m = 2{,}0\ \text{g}$ de carbone et a aujourd'hui une activité $A = 0{,}30\ \text{Bq}$.

1. Écrire l'équation de désintégration du carbone 14 en précisant les lois de conservation utilisées et le noyau fils.
2. Calculer la constante radioactive $\lambda$ du carbone 14, en $\text{an}^{-1}$ puis en $\text{s}^{-1}$.
3. Rappeler la loi de décroissance de l'activité. Calculer l'activité $A_0$ qu'avait l'échantillon à la mort de l'arbre, puis déterminer l'âge de l'échantillon.
4. Calculer le nombre de noyaux de carbone 14 présents dans l'échantillon aujourd'hui.

Partie 2 : fusion du deutérium et du tritium (1,25 point)

Les projets de réacteurs à fusion utilisent la réaction ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$.

Données : masses des noyaux : $m({}^{2}_{1}\text{H}) = 2{,}01355\ \text{u}$ ; $m({}^{3}_{1}\text{H}) = 3{,}01550\ \text{u}$ ; $m({}^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}00151\ \text{u}$ ; $m({}^{1}_{0}\text{n}) = 1{,}00866\ \text{u}$. La combustion de $1{,}00\ \text{g}$ d'essence libère $4{,}5 \times 10^{4}\ \text{J}$.

1. Déterminer, à l'aide des lois de Soddy, la particule ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. Définir la fusion nucléaire. Calculer la variation de masse $\Delta m$ lors de la réaction, puis l'énergie libérée $|E_{lib}|$ en MeV et en joules.
3. Un combustible est un mélange de deutérium et de tritium en proportions égales en nombre de noyaux. Calculer le nombre de couples (deutérium, tritium) contenus dans $1{,}00\ \text{g}$ de ce mélange, puis l'énergie libérée si tous fusionnent. Comparer cette énergie à celle libérée par la combustion de $1{,}00\ \text{g}$ d'essence.

Partie 1 : établissement du courant dans un dipôle RL (2 points)

On réalise un circuit série comprenant un générateur idéal de tension de force électromotrice $E = 12{,}0\ \text{V}$, un interrupteur $K$, un conducteur ohmique de résistance $R = 80{,}0\ \Omega$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$, toutes deux inconnues. À l'instant $t = 0$, on ferme $K$ (aucun courant ne circule avant). Un oscilloscope relié aux bornes du conducteur ohmique enregistre la tension $u_R(t)$.

Pour $t \geq 20\ \text{ms}$, la tension $u_R$ reste égale à $9{,}60\ \text{V}$ (régime permanent).

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ du courant.
2. Vérifier que $i(t) = I_p\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ est solution de cette équation avec $i(0) = 0$, et exprimer $I_p$ et $\tau$ en fonction de $E$, $R$, $r$ et $L$.
3. À l'aide du tableau, déterminer $I_p$, puis la résistance $r$ de la bobine. Déterminer la constante de temps $\tau$ en précisant la méthode, puis l'inductance $L$ de la bobine.
4. Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent.

Partie 2 : modulation d'amplitude (1,5 point)

Un émetteur produit une tension modulée en amplitude à l'aide d'un circuit multiplieur de constante $k = 0{,}10\ \text{V}^{-1}$, qui fournit $u_S(t) = k\,u_1(t)\,u_2(t)$ avec $u_1(t) = P_m\cos(2\pi F_p t)$ (porteuse) et $u_2(t) = U_0 + S_m\cos(2\pi f_s t)$ (signal modulant additionné d'une tension continue $U_0 = 5{,}0\ \text{V}$). L'oscillogramme de $u_S(t)$ donne une amplitude maximale $U_{max} = 3{,}2\ \text{V}$, une amplitude minimale $U_{min} = 0{,}8\ \text{V}$, une période de l'enveloppe $T_s = 1{,}0\ \text{ms}$ et une période de la porteuse $T_p = 10\ \mu\text{s}$.

1. Mettre $u_S(t)$ sous la forme $A\left[1 + m\cos(2\pi f_s t)\right]\cos(2\pi F_p t)$ en exprimant $A$ et $m$. Calculer $m$ et $A$ à partir de l'oscillogramme, puis $S_m$ et $P_m$.
2. Vérifier que les deux conditions d'une bonne modulation sont remplies.
3. À la réception, un détecteur d'enveloppe est formé d'une diode suivie d'un conducteur ohmique de résistance $R = 10\ \text{k}\Omega$ en parallèle avec un condensateur de capacité $C$. On dispose de trois condensateurs : $C_1 = 1{,}0\ \text{nF}$, $C_2 = 10\ \text{nF}$ et $C_3 = 1{,}0\ \mu\text{F}$. Rappeler la condition portant sur $RC$, choisir en justifiant le condensateur adapté et dire ce qui se passe avec chacun des deux autres.
4. Pour sélectionner l'émetteur de fréquence $F_p = 100\ \text{kHz}$, on utilise un circuit $LC$ avec $L = 1{,}0\ \text{mH}$. Calculer la valeur de la capacité $C$ à régler.

Partie 1 : lancer d'une balle (1,75 point)

Une joueuse lance une balle depuis un point $A$ situé à la hauteur $h_0 = 1{,}80\ \text{m}$ au-dessus d'un sol horizontal. La vitesse initiale $\vec{v}_0$ a pour valeur $v_0 = 10{,}0\ \text{m/s}$ et fait l'angle $\alpha = 30{,}0^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On étudie le mouvement du centre d'inertie $G$ de la balle, assimilée à un point matériel, dans le référentiel terrestre galiléen ; les frottements de l'air sont négligés. On choisit le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ : $O$ est le point du sol à la verticale de $A$, $\vec{i}$ est horizontal dans le plan du mouvement et $\vec{j}$ est vertical vers le haut. L'origine des dates est l'instant du lancer. On prend $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la balle, puis déterminer, à l'aide de la deuxième loi de Newton, le vecteur accélération de $G$.
2. Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement de $G$.
3. a) Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$ et la mettre sous la forme numérique $y(x) = a\,x^2 + b\,x + c$. b) Calculer l'altitude maximale $y_{max}$ atteinte par la balle.
4. a) Calculer la date $t_f$ à laquelle la balle touche le sol et la distance horizontale $x_f$ parcourue. b) Calculer la valeur de la vitesse de la balle à l'impact.

Partie 2 : satellite d'observation (1,5 point)

Un satellite d'observation de la Terre, de masse $m_s = 1{,}2 \times 10^{3}\ \text{kg}$, décrit une orbite circulaire à l'altitude $h = 800\ \text{km}$. On l'étudie dans le référentiel géocentrique supposé galiléen ; il n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre, qui a une répartition de masse à symétrie sphérique.

Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$ ; masse de la Terre $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ; rayon de la Terre $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}\ \text{m}$ ; période de rotation de la Terre sur elle-même (jour sidéral) : $T_G = 86\,164\ \text{s}$.

1. Donner l'expression de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite. Montrer, à l'aide de la deuxième loi de Newton, que le mouvement est uniforme et établir l'expression de la vitesse $v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T + h}}$.
2. Calculer la vitesse $v$ du satellite, puis sa période de révolution $T$ en minutes.
3. Montrer que $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}$ pour un satellite de rayon d'orbite $r$ (troisième loi de Kepler), puis calculer l'altitude $h_G$ d'un satellite géostationnaire.