2e Bac Sciences mathématiques (A et B)

Bac blanc n° 1 — Mathématiques (SM A et B)

Bac blanc original de mathématiques 2e Bac SM A et B, format national (4 h) : arithmétique, structures, complexes, probabilités, analyse, avec corrigé.

4 h
5 exercices
Barème : 20 points
Vérifié le 6 octobre 2026

Conseil : fais le sujet sur papier, sans regarder les corrigés, puis note-toi avec le barème.

Temps restant : 4 h 00 min 00 s

Consignes

Ce Bac blanc est un sujet original écrit par 9raya dans le format et le niveau de l'examen national de mathématiques (2e Bac Sciences mathématiques, options A et B). Ce n'est pas un sujet officiel du ministère.

Durée : 4 heures, dans les conditions de l'examen : sans cours, sans téléphone, sans regarder le corrigé avant d'avoir terminé.
Calculatrice non programmable autorisée, comme au national.
Le sujet comporte quatre exercices et un problème, indépendants les uns des autres : tu peux les traiter dans l'ordre de ton choix.
Thèmes : arithmétique dans $\mathbb{Z}$ , structures algébriques, nombres complexes, probabilités, puis un problème d'analyse (fonction logarithme, suite récurrente, calcul intégral). Les équations différentielles ne figurent pas dans ce sujet.
Barème total : 20 points, réparti comme dans le tableau ci-dessous. Le nombre de points de chaque question est indiqué entre parenthèses.

Exercice	Thème	Points
Exercice 1	Arithmétique	3
Exercice 2	Structures algébriques	3
Exercice 3	Nombres complexes	3
Exercice 4	Probabilités	2
Problème	Fonction, suite et intégrale	9
Total		20

Conseils de gestion du temps :

Consacre les 10 premières minutes à lire tout le sujet et à repérer les questions que tu maîtrises le mieux.
Prévois environ 25 minutes pour l'exercice 1, 25 minutes pour l'exercice 2, 30 minutes pour l'exercice 3, 20 minutes pour l'exercice 4 et 1 h 50 pour le problème, puis garde 20 minutes pour la relecture (10 + 25 + 25 + 30 + 20 + 110 + 20 = 240 minutes).
Dans un même exercice, les questions sont souvent liées : si tu bloques sur une question, admets son résultat (il est souvent donné dans l'énoncé de la question suivante) et passe à la suivante.
Rédige chaque réponse en justifiant le raisonnement : un résultat juste sans justification ne rapporte pas tous les points.
Encadre tes résultats finaux et vérifie leur vraisemblance (une probabilité est entre 0 et 1, une aire est positive, un reste de division est strictement inférieur au diviseur, etc.).
Une fois le temps écoulé, corrige-toi avec le corrigé détaillé : repère le barème de chaque question et note ton score sur 20.

Sujet

Exercice 1 : Arithmétique

3 points

a) Par l'algorithme d'Euclide, montrer que $29$ et $17$ sont premiers entre eux, puis déterminer un couple $(u, v)$ d'entiers relatifs tel que $29u + 17v = 1$ . (0,5 pt) b) En déduire les solutions dans $\mathbb{Z}^2$ de l'équation $(E)$ : $29x - 17y = 3$ . (0,5 pt)
Soit $N$ un entier relatif. On considère le système $(S)$ : $N \equiv 5\ [29]$ et $N \equiv 8\ [17]$ . Montrer que $N$ est solution de $(S)$ si et seulement s'il existe une solution $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ de $(E)$ telle que $N = 5 + 29x$ , puis en déduire l'ensemble des solutions de $(S)$ . (0,5 pt)
Soit $N$ une solution de $(S)$ . a) Rappeler le petit théorème de Fermat, puis déterminer les restes de la division euclidienne de $N^{2026}$ par $17$ et par $29$ . (0,75 pt) b) En déduire le reste de la division euclidienne de $N^{2026}$ par $493$ . (0,75 pt)

Voir le corrigé

1. a) Appliquons l'algorithme d'Euclide à $29$ et $17$ :

29 = 1 \times 17 + 12, \qquad 17 = 1 \times 12 + 5, \qquad 12 = 2 \times 5 + 2, \qquad 5 = 2 \times 2 + 1, \qquad 2 = 2 \times 1 + 0.

Le dernier reste non nul est $1$ : $\operatorname{pgcd}(29, 17) = 1$ , donc $29$ et $17$ sont premiers entre eux.

Remontons les égalités pour exprimer $1$ :

1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2(12 - 2 \times 5) = 5 \times 5 - 2 \times 12 = 5(17 - 12) - 2 \times 12 = 5 \times 17 - 7 \times 12,

1 = 5 \times 17 - 7(29 - 17) = 12 \times 17 - 7 \times 29.

Un couple convenable est donc $(u, v) = (-7, 12)$ . Vérification : $29 \times (-7) + 17 \times 12 = -203 + 204 = 1$ . [0,5 pt]

1. b) En multipliant l'égalité précédente par $3$ : $29 \times (-21) + 17 \times 36 = 3$ , c'est-à-dire $29 \times (-21) - 17 \times (-36) = 3$ . Le couple $(x_0, y_0) = (-21, -36)$ est donc une solution particulière de $(E)$ .

Soit $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ . En soustrayant, $(E)$ équivaut à $29(x - x_0) = 17(y - y_0)$ , c'est-à-dire à $29(x + 21) = 17(y + 36)$ .

Alors $17$ divise $29(x + 21)$ . Comme $17$ et $29$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne : $17$ divise $x + 21$ . Il existe donc $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = -21 + 17k$ . En reportant : $29 \times 17k = 17(y + 36)$ , donc $y = -36 + 29k$ .

Réciproquement, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $29(-21 + 17k) - 17(-36 + 29k) = -609 + 612 = 3$ : ces couples sont bien solutions. L'ensemble des solutions de $(E)$ est :

\{(-21 + 17k,\ -36 + 29k)\ ;\ k \in \mathbb{Z}\}.

(Par exemple, pour $k = 2$ : $(13, 22)$ et $29 \times 13 - 17 \times 22 = 377 - 374 = 3$ .) [0,5 pt]

2. Supposons que $N$ soit solution de $(S)$ . Comme $N \equiv 5\ [29]$ , il existe $x \in \mathbb{Z}$ tel que $N = 5 + 29x$ . Comme $N \equiv 8\ [17]$ , il existe $y \in \mathbb{Z}$ tel que $N = 8 + 17y$ . En égalant : $5 + 29x = 8 + 17y$ , soit $29x - 17y = 3$ : $(x, y)$ est solution de $(E)$ .

Réciproquement, si $(x, y)$ est solution de $(E)$ et $N = 5 + 29x$ , alors $N \equiv 5\ [29]$ et $N = 5 + 29x = 5 + (3 + 17y) = 8 + 17y$ , donc $N \equiv 8\ [17]$ : $N$ est solution de $(S)$ .

D'après la question 1. b), $x = -21 + 17k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ , d'où

N = 5 + 29(-21 + 17k) = -604 + 493k = 382 + 493(k - 2).

Quand $k$ décrit $\mathbb{Z}$ , l'entier $k - 2$ décrit $\mathbb{Z}$ : les solutions de $(S)$ sont exactement les entiers $N = 382 + 493m$ avec $m \in \mathbb{Z}$ , c'est-à-dire $N \equiv 382\ [493]$ .

(Vérification : $382 = 13 \times 29 + 5$ et $382 = 22 \times 17 + 8$ . On remarque aussi que $493 = 29 \times 17$ .) [0,5 pt]

3. a) Petit théorème de Fermat : si $p$ est un nombre premier et si $a$ est un entier non divisible par $p$ , alors $a^{p-1} \equiv 1\ [p]$ .

Modulo $17$ : $N \equiv 8\ [17]$ , donc $N^{2026} \equiv 8^{2026}\ [17]$ . Le nombre $17$ est premier et ne divise pas $8$ , donc $8^{16} \equiv 1\ [17]$ . Comme $2026 = 16 \times 126 + 10$ :

8^{2026} = (8^{16})^{126} \times 8^{10} \equiv 8^{10}\ [17].

On calcule : $8^2 = 64 = 3 \times 17 + 13$ , donc $8^2 \equiv 13$ ; $8^4 \equiv 13^2 = 169 = 9 \times 17 + 16$ , donc $8^4 \equiv 16 \equiv -1$ ; $8^8 \equiv (-1)^2 = 1$ ; donc $8^{10} = 8^8 \times 8^2 \equiv 13\ [17]$ . Ainsi $N^{2026} \equiv 13\ [17]$ .

Modulo $29$ : $N \equiv 5\ [29]$ , donc $N^{2026} \equiv 5^{2026}\ [29]$ . Le nombre $29$ est premier et ne divise pas $5$ , donc $5^{28} \equiv 1\ [29]$ . Comme $2026 = 28 \times 72 + 10$ :

5^{2026} = (5^{28})^{72} \times 5^{10} \equiv 5^{10}\ [29].

On calcule : $5^2 = 25 \equiv -4$ ; $5^4 \equiv 16$ ; $5^8 \equiv 256 = 8 \times 29 + 24$ , donc $5^8 \equiv 24 \equiv -5$ ; donc $5^{10} = 5^8 \times 5^2 \equiv (-5) \times (-4) = 20\ [29]$ . Ainsi $N^{2026} \equiv 20\ [29]$ . [0,75 pt]

3. b) Posons $M = N^{2026}$ . On a $M \equiv 20\ [29]$ et $M \equiv 13\ [17]$ . Comme dans la question 2, écrivons $M = 20 + 29x$ avec $x \in \mathbb{Z}$ ; la condition $M \equiv 13\ [17]$ s'écrit $20 + 29x = 13 + 17y$ pour un entier $y$ , c'est-à-dire :

29x - 17y = -7.

D'après la question 1. a), $29 \times (-7) + 17 \times 12 = 1$ . En multipliant par $-7$ : $29 \times 49 - 17 \times 84 = -7$ , donc $(49, 84)$ est une solution particulière. Le raisonnement de la question 1. b) (théorème de Gauss) donne $x = 49 + 17k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Alors $M = 20 + 29(49 + 17k) = 1441 + 493k$ . Or $1441 = 2 \times 493 + 455$ , donc $M \equiv 455\ [493]$ .

Comme $0 \leq 455 < 493$ et que $M = N^{2026} \geq 0$ , le reste de la division euclidienne de $N^{2026}$ par $493$ est $455$ . (Ce reste est le même pour toutes les solutions $N$ de $(S)$ : par exemple $382^{2026} \equiv 455\ [493]$ .) [0,75 pt]

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Exercice 2 : Structures algébriques

3 points

Pour tout réel $t$ , on note $\sqrt[3]{t}$ l'unique réel dont le cube est $t$ : la fonction $t \mapsto \sqrt[3]{t}$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Partie A. On définit sur $\mathbb{R}$ la loi de composition interne $\star$ par : pour tous réels $x$ et $y$ , $x \star y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 - 1}$ . On considère l'application $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $\varphi(x) = x^3 - 1$ .

Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ et que, pour tous réels $x$ et $y$ : $\varphi(x \star y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ . (0,5 pt)
En déduire que $(\mathbb{R}, \star)$ est un groupe commutatif. On précisera l'élément neutre et le symétrique d'un réel $x$ . (1 pt)
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x \star x = 2$ . (0,25 pt)

Partie B. Pour tous rationnels $a$ et $b$ , on pose $M(a, b) = \begin{pmatrix} a & 5b \\ b & a \end{pmatrix}$ , et on note $K = \{ M(a, b)\ ;\ (a, b) \in \mathbb{Q}^2 \}$ . On rappelle que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{Q}), +, \times)$ est un anneau unitaire, non commutatif, d'élément unité $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , et on admet que $\sqrt{5}$ n'est pas un nombre rationnel.

Montrer que $K$ est un sous-anneau de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{Q}), +, \times)$ . (0,5 pt)
Montrer que $(K, +, \times)$ est un corps commutatif. (0,75 pt)

Voir le corrigé

Partie A

A. 1. Soit $y \in \mathbb{R}$ . L'équation $\varphi(x) = y$ équivaut à $x^3 = y + 1$ , qui admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ , à savoir $x = \sqrt[3]{y + 1}$ . Tout réel $y$ a donc exactement un antécédent par $\varphi$ : $\varphi$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Pour tous réels $x$ et $y$ , comme $\left(\sqrt[3]{t}\right)^3 = t$ :

\varphi(x \star y) = (x \star y)^3 - 1 = (x^3 + y^3 - 1) - 1 = (x^3 - 1) + (y^3 - 1) = \varphi(x) + \varphi(y). \quad [0,5\ \text{pt}]

A. 2. La loi $\star$ est interne : $x \star y$ est un réel pour tous réels $x$ et $y$ . Vérifions les axiomes du groupe commutatif.

Commutativité : pour tous $x$ , $y$ : $x \star y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 - 1} = \sqrt[3]{y^3 + x^3 - 1} = y \star x$ . [0,25 pt]

Associativité : soient $x$ , $y$ , $z$ des réels. D'après la question 1 :

\varphi\big((x \star y) \star z\big) = \varphi(x \star y) + \varphi(z) = \varphi(x) + \varphi(y) + \varphi(z),

\varphi\big(x \star (y \star z)\big) = \varphi(x) + \varphi(y \star z) = \varphi(x) + \varphi(y) + \varphi(z).

Les deux réels $(x \star y) \star z$ et $x \star (y \star z)$ ont la même image par $\varphi$ ; comme $\varphi$ est injective, ils sont égaux. La loi $\star$ est associative. [0,25 pt]

Élément neutre : cherchons $e$ tel que $x \star e = x$ pour tout $x$ . On a $\varphi(x \star e) = \varphi(x) + \varphi(e)$ , donc $x \star e = x \iff \varphi(x) + \varphi(e) = \varphi(x) \iff \varphi(e) = 0 \iff e^3 = 1 \iff e = 1$ . Vérification : $x \star 1 = \sqrt[3]{x^3 + 1 - 1} = \sqrt[3]{x^3} = x$ , et $1 \star x = x$ par commutativité. L'élément neutre est $1$ . [0,25 pt]

Symétrique : soit $x \in \mathbb{R}$ ; cherchons $x'$ tel que $x \star x' = 1$ . On a $\varphi(x \star x') = \varphi(x) + \varphi(x')$ et $\varphi(1) = 0$ , donc $x \star x' = 1 \iff \varphi(x') = -\varphi(x) = 1 - x^3 \iff x'^3 = 2 - x^3 \iff x' = \sqrt[3]{2 - x^3}$ . Vérification : $x \star \sqrt[3]{2 - x^3} = \sqrt[3]{x^3 + (2 - x^3) - 1} = \sqrt[3]{1} = 1$ . Tout réel $x$ admet donc pour symétrique $\sqrt[3]{2 - x^3}$ (et $x' \star x = 1$ par commutativité). [0,25 pt]

Conclusion : $(\mathbb{R}, \star)$ est un groupe commutatif, d'élément neutre $1$ .

A. 3. Comme $\varphi$ est injective : $x \star x = 2 \iff \varphi(x \star x) = \varphi(2)$ . Or $\varphi(x \star x) = 2\varphi(x) = 2(x^3 - 1)$ et $\varphi(2) = 7$ . Donc

x \star x = 2 \iff 2(x^3 - 1) = 7 \iff x^3 = \frac{9}{2} \iff x = \sqrt[3]{\frac{9}{2}}.

L'équation admet une solution unique, $x = \sqrt[3]{9/2} \approx 1{,}65$ . (Vérification : $x \star x = \sqrt[3]{\tfrac{9}{2} + \tfrac{9}{2} - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$ .) [0,25 pt]

Partie B

B. 1. L'ensemble $K$ est contenu dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ , et il contient l'élément unité : $I = M(1, 0) \in K$ .

Soient $M(a, b)$ et $M(c, d)$ deux éléments de $K$ . Alors $M(a, b) - M(c, d) = M(a - c, b - d)$ , qui appartient à $K$ car $a - c$ et $b - d$ sont rationnels. [0,25 pt]

Pour le produit :

M(a, b) \times M(c, d) = \begin{pmatrix} a & 5b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 5d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + 5bd & 5(ad + bc) \\ ad + bc & ac + 5bd \end{pmatrix} = M(ac + 5bd,\ ad + bc),

et $ac + 5bd$ , $ad + bc$ sont rationnels : le produit appartient à $K$ .

Ainsi $K$ contient $I$ , est stable par différence et par produit : c'est un sous-anneau de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{Q}), +, \times)$ , donc $(K, +, \times)$ est un anneau unitaire d'élément unité $I$ . [0,25 pt]

B. 2. Commutativité : d'après la formule du produit, $M(c, d) \times M(a, b) = M(ca + 5db,\ cb + da) = M(ac + 5bd,\ ad + bc) = M(a, b) \times M(c, d)$ . L'anneau $(K, +, \times)$ est donc commutatif. [0,25 pt]

Il reste à montrer que tout élément non nul de $K$ est inversible dans $K$ (et que $I \neq 0$ , ce qui est clair). L'élément nul de $K$ est $M(0, 0)$ . Soit $M(a, b) \in K$ non nul, c'est-à-dire $(a, b) \neq (0, 0)$ , et posons $\Delta = a^2 - 5b^2$ .

Montrons que $\Delta \neq 0$ . Si $b = 0$ , alors $a \neq 0$ et $\Delta = a^2 \neq 0$ . Si $b \neq 0$ et $\Delta = 0$ , alors $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = 5$ avec $\dfrac{a}{b}$ rationnel, ce qui est impossible puisque $\sqrt{5}$ n'est pas rationnel (résultat admis par l'énoncé). (Rappel de la preuve : si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}$ est irréductible avec $p^2 = 5q^2$ , alors $5$ divise $p^2$ , donc $5$ divise $p$ car $5$ est premier ; on écrit $p = 5p'$ , d'où $q^2 = 5p'^2$ et $5$ divise $q$ : contradiction avec le caractère irréductible.)

Comme $\Delta \neq 0$ , la matrice $M\!\left(\dfrac{a}{\Delta}, -\dfrac{b}{\Delta}\right)$ est bien définie et appartient à $K$ (ses coefficients sont rationnels). D'après la formule du produit :

M(a, b) \times M\!\left(\frac{a}{\Delta}, -\frac{b}{\Delta}\right) = M\!\left(\frac{a^2 - 5b^2}{\Delta},\ \frac{-ab + ab}{\Delta}\right) = M(1, 0) = I.

Par commutativité, le produit dans l'autre ordre vaut aussi $I$ : $M(a, b)$ est inversible dans $K$ , d'inverse $M\!\left(\dfrac{a}{\Delta}, -\dfrac{b}{\Delta}\right)$ .

Conclusion : $(K, +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire dont tout élément non nul est inversible : c'est un corps commutatif. [0,5 pt]

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Exercice 3 : Nombres complexes

3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ .

a) Déterminer les racines carrées complexes de $-15 - 8i$ . (0,5 pt) b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2 - (3 + 2i)z + 5 + 5i = 0$ . (0,5 pt)
On note $A$ , $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a = 2 - i$ , $b = 1 + 3i$ et $c = -2 - 2i$ . a) Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$ , puis en déduire la nature du triangle $ABC$ . (0,5 pt) b) Soit $D$ le point d'affixe $d = -3 + 2i$ . Montrer que $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ , puis que $ABDC$ est un carré. (0,25 pt)
Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . Donner l'écriture complexe de $r$ , puis déterminer l'image de $B$ par $r$ . (0,25 pt)
Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M(z)$ , distincts de $B$ et de $C$ , tels que $\dfrac{z - b}{z - c}$ soit un imaginaire pur. Vérifier que $A$ et $D$ appartiennent à $(\Gamma)$ . (1 pt)

Voir le corrigé

1. a) Cherchons les racines carrées sous la forme $x + iy$ avec $x$ et $y$ réels : $(x + iy)^2 = -15 - 8i$ équivaut à $x^2 - y^2 = -15$ et $2xy = -8$ . Comme le module de $-15 - 8i$ est $\sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ , on a aussi $x^2 + y^2 = |x + iy|^2 = 17$ .

En additionnant $x^2 - y^2 = -15$ et $x^2 + y^2 = 17$ : $2x^2 = 2$ , donc $x^2 = 1$ et $y^2 = 16$ . Comme $2xy = -8 < 0$ , $x$ et $y$ sont de signes contraires : $(x, y) = (1, -4)$ ou $(x, y) = (-1, 4)$ .

Les racines carrées de $-15 - 8i$ sont donc $1 - 4i$ et $-1 + 4i$ . (Vérification : $(1 - 4i)^2 = 1 - 8i - 16 = -15 - 8i$ .) [0,5 pt]

1. b) Le discriminant de $(E)$ est

\Delta = (3 + 2i)^2 - 4(5 + 5i) = (9 + 12i - 4) - 20 - 20i = -15 - 8i = (1 - 4i)^2.

Les solutions de $(E)$ sont :

z_1 = \frac{(3 + 2i) + (1 - 4i)}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i \qquad \text{et} \qquad z_2 = \frac{(3 + 2i) - (1 - 4i)}{2} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i.

(Vérification : $z_1 + z_2 = 3 + 2i$ et $z_1 z_2 = (2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i + 3 = 5 + 5i$ .) Ainsi $a$ et $b$ sont les deux solutions de $(E)$ . [0,5 pt]

2. a) On a $b - a = -1 + 4i$ et $c - a = -4 - i$ , donc :

\frac{c - a}{b - a} = \frac{-4 - i}{-1 + 4i} = \frac{(-4 - i)(-1 - 4i)}{(-1)^2 + 4^2} = \frac{4 + 16i + i + 4i^2}{17} = \frac{17i}{17} = i.

Donc $\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = 1$ , c'est-à-dire $AC = AB$ , et $\arg \dfrac{c - a}{b - a} \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ , c'est-à-dire $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ . Le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ (avec $AB = AC = |-1 + 4i| = \sqrt{17}$ ). [0,5 pt]

2. b) On a $d - a = (-3 + 2i) - (2 - i) = -5 + 3i$ et $(b - a) + (c - a) = (-1 + 4i) + (-4 - i) = -5 + 3i$ . Donc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ : le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Ce parallélogramme a un angle droit en $A$ (question 2. a) et deux côtés consécutifs de même longueur ( $AB = AC$ ) : c'est un carré, de côté $\sqrt{17}$ . [0,25 pt]

3. La rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est définie par $z' - a = e^{i\frac{\pi}{2}}(z - a) = i(z - a)$ , soit :

z' = i z + a(1 - i) = i z + (2 - i)(1 - i) = i z + 1 - 3i.

L'affixe de $r(B)$ est $i(1 + 3i) + 1 - 3i = i - 3 + 1 - 3i = -2 - 2i = c$ : donc $r(B) = C$ . [0,25 pt]

4. Soit $M(z)$ avec $z = x + iy$ ( $x$ , $y$ réels), distinct de $B$ et de $C$ . En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur :

\frac{z - b}{z - c} = \frac{(z - b)\,\overline{(z - c)}}{|z - c|^2}.

Comme $|z - c|^2 > 0$ , ce quotient est un imaginaire pur si et seulement si la partie réelle de $(z - b)\overline{(z - c)}$ est nulle. Or $z - b = (x - 1) + i(y - 3)$ et $\overline{z - c} = (x + 2) - i(y + 2)$ , donc

\operatorname{Re}\big((z - b)\overline{(z - c)}\big) = (x - 1)(x + 2) + (y - 3)(y + 2) = x^2 + y^2 + x - y - 8.

Ainsi $\dfrac{z - b}{z - c} \in i\mathbb{R} \iff x^2 + y^2 + x - y - 8 = 0 \iff \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{17}{2}$ . [0,5 pt]

L'ensemble $(\Gamma)$ est donc le cercle de centre $\Omega\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ (milieu de $[BC]$ ) et de rayon $\sqrt{\dfrac{17}{2}} = \dfrac{\sqrt{34}}{2} = \dfrac{BC}{2}$ , privé des points $B$ et $C$ : c'est le cercle de diamètre $[BC]$ privé de $B$ et de $C$ . (Les points $B(1, 3)$ et $C(-2, -2)$ vérifient l'équation du cercle, ce qui justifie qu'on les exclut.) [0,25 pt]

Vérifions que $A$ et $D$ sont sur $(\Gamma)$ : pour $A(2, -1)$ : $2^2 + (-1)^2 + 2 + 1 - 8 = 4 + 1 + 2 + 1 - 8 = 0$ ; pour $D(-3, 2)$ : $9 + 4 - 3 - 2 - 8 = 0$ . Les deux points vérifient l'équation et sont distincts de $B$ et de $C$ : ils appartiennent à $(\Gamma)$ . (On le voit aussi directement : $\dfrac{a - b}{a - c} = \dfrac{1 - 4i}{4 + i} = -i$ est un imaginaire pur.) [0,25 pt]

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Exercice 4 : Probabilités

2 points

Une urne contient six jetons indiscernables au toucher : un jeton portant le numéro $0$ , deux jetons portant le numéro $1$ et trois jetons portant le numéro $2$ . Un joueur tire simultanément deux jetons de l'urne. On note $S$ la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros obtenus. Le joueur gagne la partie si $S \geq 3$ .

a) Déterminer la loi de probabilité de $S$ . (0,5 pt) b) Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ . (0,25 pt)
a) Calculer la probabilité $p$ que le joueur gagne la partie. (0,25 pt) b) Sachant que $S$ est pair, quelle est la probabilité que le joueur gagne ? (0,25 pt)
a) Le joueur joue $5$ parties indépendantes, en remettant les jetons dans l'urne après chaque partie. On note $Y$ le nombre de parties gagnées. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis calculer $P(Y = 3)$ . (0,25 pt) b) Le joueur joue maintenant $n$ parties indépendantes ( $n \geq 2$ ) et on note $Y_n$ le nombre de parties gagnées. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(Y_n \geq 2) > 0{,}95$ . (0,5 pt)

Voir le corrigé

1. a) Le tirage simultané de deux jetons parmi six a $C_6^2 = 15$ issues équiprobables. La somme $S$ prend ses valeurs dans $\{1, 2, 3, 4\}$ (on ne peut pas obtenir deux fois le numéro $0$ , car il n'y a qu'un jeton $0$ ). Dénombrons :

$S = 1$ : un jeton $0$ et un jeton $1$ : $1 \times 2 = 2$ tirages ;
$S = 2$ : un jeton $0$ et un jeton $2$ ( $1 \times 3 = 3$ tirages), ou deux jetons $1$ ( $C_2^2 = 1$ tirage) : $3 + 1 = 4$ tirages ;
$S = 3$ : un jeton $1$ et un jeton $2$ : $2 \times 3 = 6$ tirages ;
$S = 4$ : deux jetons $2$ : $C_3^2 = 3$ tirages.

Le total est bien $2 + 4 + 6 + 3 = 15$ . La loi de $S$ est :

$k$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(S = k)$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$	$\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$

[0,5 pt]

1. b) L'espérance est :

E(S) = 1 \times \frac{2}{15} + 2 \times \frac{4}{15} + 3 \times \frac{6}{15} + 4 \times \frac{3}{15} = \frac{2 + 8 + 18 + 12}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}.

Pour la variance, on utilise $V(S) = E(S^2) - E(S)^2$ avec

E(S^2) = 1 \times \frac{2}{15} + 4 \times \frac{4}{15} + 9 \times \frac{6}{15} + 16 \times \frac{3}{15} = \frac{2 + 16 + 54 + 48}{15} = \frac{120}{15} = 8,

d'où $V(S) = 8 - \left(\dfrac{8}{3}\right)^2 = 8 - \dfrac{64}{9} = \dfrac{8}{9}$ . [0,25 pt]

2. a) Le joueur gagne si $S \geq 3$ , donc

p = P(S = 3) + P(S = 4) = \frac{6}{15} + \frac{3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}. \quad [0,25\ \text{pt}]

2. b) Notons $G$ l'événement « le joueur gagne » et $Q$ l'événement « $S$ est pair ». On a $Q = (S = 2) \cup (S = 4)$ , donc $P(Q) = \dfrac{4}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{7}{15}$ . L'événement $G \cap Q$ est $(S = 4)$ , de probabilité $\dfrac{3}{15}$ . Donc

P_Q(G) = \frac{P(G \cap Q)}{P(Q)} = \frac{3/15}{7/15} = \frac{3}{7}. \quad [0,25\ \text{pt}]

3. a) Chaque partie est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p = \dfrac{3}{5}$ (gagner). Comme les jetons sont remis dans l'urne, les $5$ parties sont identiques et indépendantes : $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \dfrac{3}{5}$ . Donc

P(Y = 3) = C_5^3\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{27}{125} \times \frac{4}{25} = \frac{1080}{3125} = \frac{216}{625} \approx 0{,}35. \quad [0,25\ \text{pt}]

3. b) $Y_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{3}{5}$ . Posons $p_n = P(Y_n \geq 2)$ . Par passage à l'événement contraire :

p_n = 1 - P(Y_n = 0) - P(Y_n = 1) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - n \times \frac{3}{5} \times \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3n + 2}{5}.

La suite $(p_n)$ est strictement croissante : pour $n \geq 2$ ,

p_{n+1} - p_n = \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}\frac{3n + 2}{5} - \left(\frac{2}{5}\right)^{n}\frac{3n + 5}{5} = \frac{9n}{25}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} > 0.

(C'est naturel : jouer une partie de plus ne peut que faciliter l'obtention d'au moins deux victoires.) On calcule :

pour $n = 5$ : $p_5 = 1 - \dfrac{16}{625} \times \dfrac{17}{5} = 1 - \dfrac{272}{3125} = \dfrac{2853}{3125} \approx 0{,}913$ , donc $p_5 < 0{,}95$ ;
pour $n = 6$ : $p_6 = 1 - \dfrac{32}{3125} \times \dfrac{20}{5} = 1 - \dfrac{128}{3125} = \dfrac{2997}{3125} \approx 0{,}959$ , donc $p_6 > 0{,}95$ .

La suite $(p_n)$ étant croissante, $p_n \leq p_5 < 0{,}95$ pour $2 \leq n \leq 5$ , et $p_n \geq p_6 > 0{,}95$ pour $n \geq 6$ . Le plus petit entier cherché est $n = 6$ . [0,5 pt]

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Exercice 5 : Problème : Étude d'une fonction logarithme, d'une suite et d'une intégrale

9 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \ln(1 + x^2)$ . On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité $1$ cm, et $(D)$ la droite d'équation $y = x$ .

Partie I : étude de la fonction $f$ .

Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} = 0$ (on pourra écrire, pour $x \neq 0$ , $\ln(1 + x^2) = 2\ln|x| + \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$ ). En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . (0,5 pt)
Calculer $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - x\big)$ , puis interpréter graphiquement ces résultats. (0,5 pt)
Montrer que, pour tout réel $x$ : $f'(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{1 + x^2}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ . (0,75 pt)
Montrer que, pour tout réel $x$ : $f''(x) = \dfrac{2(x^2 - 1)}{(1 + x^2)^2}$ . En déduire la convexité de $(C)$ , ses points d'inflexion, et une équation de la tangente à $(C)$ en chacun de ces points. (0,75 pt)
Montrer que $(D)$ est la tangente à $(C)$ au point $O$ , puis étudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$ . (0,5 pt)
a) Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . b) Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ , et que $3{,}6 < \alpha < 3{,}7$ . (0,5 pt)
Construire $(D)$ , les tangentes aux points d'inflexion, puis $(C)$ dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ (on prévoira une feuille couvrant au moins $[-3\,;5]$ en abscisse et $[-6\,;2]$ en ordonnée). On donne : $f(-3) \approx -5{,}30$ ; $f(-2) \approx -3{,}61$ ; $f(-1) \approx -1{,}69$ ; $f(1) \approx 0{,}31$ ; $f(2) \approx 0{,}39$ ; $f(3) \approx 0{,}70$ ; $f(4) \approx 1{,}17$ ; $f(5) \approx 1{,}74$ ; $\alpha \approx 3{,}67$ . (0,5 pt)

Partie II : une suite récurrente. On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = f(u_n) = u_n - \ln(1 + u_n^2)$ .

Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 0$ . (0,5 pt)
a) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. (0,5 pt) b) En déduire que $(u_n)$ est convergente, puis déterminer sa limite. (0,5 pt)
a) Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \ln(1 + u_k^2)$ en fonction de $u_{n+1}$ . (0,5 pt) b) En déduire la limite de $\displaystyle\prod_{k=0}^{n} (1 + u_k^2)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . (0,5 pt)

Partie III : calcul intégral. Pour tout réel $x$ , on pose $F(x) = \displaystyle\int_0^x \ln(1 + t^2)\, dt$ .

a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout réel $x$ : $F(x) = x\ln(1 + x^2) - 2x + 2\arctan x$ (on rappelle que $\arctan'(t) = \dfrac{1}{1 + t^2}$ ). (0,75 pt) b) Calculer $F(1)$ . (0,25 pt)
Calculer, en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ , la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ . (0,5 pt)
Calculer $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx$ . (0,5 pt)
a) Montrer que, pour tout réel $t \geq 0$ : $\ln(1 + t) \leq t$ . b) En déduire que $F(1) \leq \dfrac{1}{3}$ , puis que $\pi \leq \dfrac{14}{3} - 2\ln 2$ . (0,5 pt)

Voir le corrigé

Partie I

I. 1. Pour $x \neq 0$ : $\ln(1 + x^2) = \ln\left(x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\right) = 2\ln|x| + \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$ , donc

\frac{\ln(1 + x^2)}{x} = 2\,\frac{\ln|x|}{x} + \frac{1}{x}\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right).

Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ (croissances comparées), et $\ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) \to \ln 1 = 0$ avec $\dfrac{1}{x} \to 0$ . Donc $\dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} \to 0$ .

Quand $x \to -\infty$ : on pose $t = -x \to +\infty$ ; alors $\dfrac{\ln|x|}{x} = -\dfrac{\ln t}{t} \to 0$ , et les autres termes tendent vers $0$ comme précédemment. Donc $\dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} \to 0$ .

Pour $x \neq 0$ , $f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(1 + x^2)}{x}\right)$ où la parenthèse tend vers $1$ en $\pm\infty$ . Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ . [0,5 pt]

I. 2. Pour $x \neq 0$ : $\dfrac{f(x)}{x} = 1 - \dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} \to 1$ quand $x \to \pm\infty$ , d'après la question précédente. D'autre part $f(x) - x = -\ln(1 + x^2)$ tend vers $-\infty$ quand $x \to \pm\infty$ , car $1 + x^2 \to +\infty$ .

Comme $\dfrac{f(x)}{x} \to 1$ et $f(x) - x \to -\infty$ , la courbe $(C)$ admet, en $+\infty$ comme en $-\infty$ , une branche parabolique de direction la droite $(D)$ d'équation $y = x$ (et non une asymptote, puisque $f(x) - x$ n'a pas de limite finie). [0,5 pt]

I. 3. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (car $1 + x^2 > 0$ ) et, pour tout réel $x$ :

f'(x) = 1 - \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2 - 2x}{1 + x^2} = \frac{(x - 1)^2}{1 + x^2}.

Donc $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ , et $f'(x) = 0$ seulement pour $x = 1$ : la dérivée est positive et ne s'annule qu'en un point, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Avec $f(1) = 1 - \ln 2 \approx 0{,}31$ :

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$1 - \ln 2$	$\nearrow$	$+\infty$

[0,75 pt]

I. 4. On dérive le quotient $f'(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{1 + x^2}$ :

f''(x) = \frac{2(x - 1)(1 + x^2) - 2x(x - 1)^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(x - 1)\big[1 + x^2 - x(x - 1)\big]}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(x^2 - 1)}{(1 + x^2)^2}.

Le dénominateur est strictement positif : $f''(x)$ a le signe de $x^2 - 1$ . Donc $f'' > 0$ sur $]-\infty, -1[$ et sur $]1, +\infty[$ , et $f'' < 0$ sur $]-1, 1[$ . La courbe $(C)$ est convexe sur $]-\infty, -1]$ et sur $[1, +\infty[$ , et concave sur $[-1, 1]$ .

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$ : $(C)$ admet deux points d'inflexion, $I_1(-1\,;\,-1 - \ln 2)$ et $I_2(1\,;\,1 - \ln 2)$ .

Tangente en $I_1$ : $f'(-1) = \dfrac{4}{2} = 2$ , donc $y = 2(x + 1) - 1 - \ln 2$ , soit $y = 2x + 1 - \ln 2$ . Tangente en $I_2$ : $f'(1) = 0$ , donc $y = 1 - \ln 2$ (tangente horizontale). [0,75 pt]

I. 5. On a $f(0) = 0 - \ln 1 = 0$ et $f'(0) = \dfrac{1}{1} = 1$ . La tangente à $(C)$ en $O$ a pour équation $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = x$ : c'est la droite $(D)$ .

Pour tout réel $x$ : $f(x) - x = -\ln(1 + x^2)$ . Comme $1 + x^2 \geq 1$ , $\ln(1 + x^2) \geq 0$ , donc $f(x) - x \leq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ . La courbe $(C)$ est donc au-dessous de $(D)$ sur $\mathbb{R}$ , et la touche en $O$ uniquement. [0,5 pt]

I. 6. a) La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$ . D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R}) = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$ .

b) Comme $1 \in \mathbb{R}$ , l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ . À la calculatrice : $f(3{,}6) = 3{,}6 - \ln(13{,}96) \approx 0{,}964 < 1$ et $f(3{,}7) = 3{,}7 - \ln(14{,}69) \approx 1{,}013 > 1$ . Comme $f$ est strictement croissante, $f(3{,}6) < f(\alpha) < f(3{,}7)$ donne $3{,}6 < \alpha < 3{,}7$ . [0,5 pt]

I. 7. On place les points donnés, le point $I_1(-1\,;\,-1{,}69)$ avec sa tangente de pente $2$ (qui passe par $(0\,;\,1 - \ln 2) \approx (0\,;\,0{,}31)$ ), le point $I_2(1\,;\,0{,}31)$ avec sa tangente horizontale, l'origine avec la tangente $(D)$ , et le point $(\alpha\,;\,1)$ avec $\alpha \approx 3{,}67$ . La courbe $(C)$ est strictement croissante, située au-dessous de $(D)$ , convexe puis concave puis convexe ; elle s'éloigne de $(D)$ vers le bas à gauche (par exemple $f(-3) \approx -5{,}30$ alors que $y_D = -3$ ) et vers la droite (par exemple $f(5) \approx 1{,}74$ alors que $y_D = 5$ ). [0,5 pt]

Partie II

II. 1. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $u_n > 0$ ».

Initialisation : $u_0 = 2 > 0$ , donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_n > 0$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $f(0) = 0$ , donc $u_n > 0$ entraîne $f(u_n) > f(0) = 0$ , c'est-à-dire $u_{n+1} > 0$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 0$ . [0,5 pt]

II. 2. a) Pour tout $n$ : $u_{n+1} - u_n = -\ln(1 + u_n^2)$ . D'après la question 1, $u_n > 0$ , donc $u_n^2 > 0$ et $1 + u_n^2 > 1$ , donc $\ln(1 + u_n^2) > 0$ . Ainsi $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. [0,5 pt]

II. 2. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ (question 1) : elle est donc convergente. Notons $\ell$ sa limite ; comme $u_n > 0$ pour tout $n$ , on a $\ell \geq 0$ .

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ : en passant à la limite, $\ell = f(\ell)$ , c'est-à-dire $\ell = \ell - \ln(1 + \ell^2)$ , soit $\ln(1 + \ell^2) = 0$ . Donc $1 + \ell^2 = 1$ et $\ell = 0$ .

La suite $(u_n)$ converge vers $0$ . [0,5 pt]

II. 3. a) Pour tout $k \in \mathbb{N}$ : $\ln(1 + u_k^2) = u_k - u_{k+1}$ . La somme est télescopique :

\sum_{k=0}^{n} \ln(1 + u_k^2) = \sum_{k=0}^{n} (u_k - u_{k+1}) = u_0 - u_{n+1} = 2 - u_{n+1}. \quad [0,5\ \text{pt}]

II. 3. b) Par propriété de $\ln$ (somme de logarithmes) : $\ln\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(1 + u_k^2)\right) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\ln(1 + u_k^2) = 2 - u_{n+1}$ . D'où

\prod_{k=0}^{n}(1 + u_k^2) = e^{\,2 - u_{n+1}}.

Comme $u_{n+1} \to 0$ et que la fonction exponentielle est continue, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\prod_{k=0}^{n}(1 + u_k^2) = e^{2}$ . [0,5 pt]

Partie III

III. 1. a) Fixons $x \in \mathbb{R}$ . Posons $U(t) = \ln(1 + t^2)$ et $V(t) = t$ ; ces fonctions sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ , avec $U'(t) = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ et $V'(t) = 1$ . L'intégration par parties donne :

F(x) = \Big[t\ln(1 + t^2)\Big]_0^x - \int_0^x \frac{2t^2}{1 + t^2}\, dt = x\ln(1 + x^2) - 2\int_0^x \left(1 - \frac{1}{1 + t^2}\right) dt,

car $\dfrac{t^2}{1 + t^2} = 1 - \dfrac{1}{1 + t^2}$ . Comme $\arctan'(t) = \dfrac{1}{1 + t^2}$ et $\arctan 0 = 0$ :

F(x) = x\ln(1 + x^2) - 2\big[t - \arctan t\big]_0^x = x\ln(1 + x^2) - 2x + 2\arctan x. \quad [0,75\ \text{pt}]

III. 1. b) Avec $\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$ : $F(1) = \ln 2 - 2 + 2 \times \dfrac{\pi}{4} = \ln 2 - 2 + \dfrac{\pi}{2} \approx 0{,}264$ . [0,25 pt]

III. 2. D'après la question I. 5, $(C)$ est au-dessous de $(D)$ , donc sur $[0, 1]$ l'aire du domaine est :

\mathcal{A} = \int_0^1 \big(x - f(x)\big)\, dx = \int_0^1 \ln(1 + x^2)\, dx = F(1) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}.

L'unité graphique étant $1$ cm, l'unité d'aire est $1$ cm² : $\mathcal{A} = \ln 2 - 2 + \dfrac{\pi}{2} \approx 0{,}26\ \text{cm}^2$ . [0,5 pt]

III. 3. Par linéarité de l'intégrale, avec $f(x) = x - \ln(1 + x^2)$ :

\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 x\, dx - F(1) = \frac{1}{2} - \left(\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{5}{2} - \ln 2 - \frac{\pi}{2} \approx 0{,}24.

(Ce nombre est positif, comme il se doit : $f(0) = 0$ et $f$ est croissante, donc $f \geq 0$ sur $[0, 1]$ .) [0,5 pt]

III. 4. a) Soit $g(t) = t - \ln(1 + t)$ pour $t \geq 0$ . La fonction $g$ est dérivable et $g'(t) = 1 - \dfrac{1}{1 + t} = \dfrac{t}{1 + t} \geq 0$ : $g$ est croissante sur $[0, +\infty[$ , avec $g(0) = 0$ . Donc $g(t) \geq 0$ , c'est-à-dire $\ln(1 + t) \leq t$ pour tout $t \geq 0$ .

III. 4. b) Pour $x \in [0, 1]$ , on applique ce résultat à $t = x^2 \geq 0$ : $0 \leq \ln(1 + x^2) \leq x^2$ . Par positivité et croissance de l'intégrale sur $[0, 1]$ :

F(1) = \int_0^1 \ln(1 + x^2)\, dx \leq \int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}.

Avec $F(1) = \ln 2 - 2 + \dfrac{\pi}{2}$ , cela donne $\dfrac{\pi}{2} \leq \dfrac{7}{3} - \ln 2$ , soit $\pi \leq \dfrac{14}{3} - 2\ln 2$ (le second membre vaut environ $3{,}28$ ). [0,5 pt]

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