2e Bac Sciences expérimentales (PC et SVT)

Bac blanc n° 2 — Mathématiques (PC et SVT)

Bac blanc original de mathématiques 2e Bac PC/SVT, format national (3 h) : suites, complexes, probabilités, équations différentielles, exponentielle.

3 h
5 exercices
Barème : 20 points
Vérifié le 5 octobre 2026

Conseil : fais le sujet sur papier, sans regarder les corrigés, puis note-toi avec le barème.

Temps restant : 3 h 00 min 00 s

Consignes

Ce Bac blanc est un sujet original écrit par 9raya dans le format et le niveau de l'examen national de mathématiques (2e Bac Sciences expérimentales, options PC et SVT). Ce n'est pas un sujet officiel du ministère.

Durée : 3 heures, dans les conditions de l'examen : sans cours, sans téléphone, sans regarder le corrigé avant d'avoir terminé.
Calculatrice non programmable autorisée, comme au national.
Le sujet comporte quatre exercices et un problème, indépendants les uns des autres : tu peux les traiter dans l'ordre de ton choix.
Ce Bac blanc complète le n° 1 : il met l'accent sur d'autres chapitres (équations différentielles, fonction exponentielle, suites à suite auxiliaire, rotation dans le plan complexe). Réunis, les deux sujets couvrent tout le programme de 2e Bac PC/SVT.
Barème total : 20 points, réparti comme dans le tableau ci-dessous. Le nombre de points de chaque question est indiqué entre parenthèses.

Exercice	Thème	Points
Exercice 1	Suites numériques	3
Exercice 2	Nombres complexes	3
Exercice 3	Probabilités	3
Exercice 4	Équations différentielles	3
Problème	Fonction exponentielle et calcul intégral	8
Total		20

Conseils de gestion du temps :

Consacre les 10 premières minutes à lire tout le sujet et à repérer les questions que tu maîtrises le mieux.
Prévois environ 20 minutes par exercice et 1 heure 15 pour le problème, puis garde 15 minutes pour la relecture (10 + 4 × 20 + 75 + 15 = 180 minutes).
Dans un même exercice, les questions sont souvent liées : si tu bloques sur une question, admets son résultat (il est presque toujours donné dans l'énoncé de la question suivante) et passe à la suivante.
Rédige chaque réponse en justifiant le raisonnement : un résultat juste sans justification ne rapporte pas tous les points.
Encadre tes résultats finaux et vérifie leur vraisemblance (une probabilité est entre 0 et 1, une distance est positive, une aire est positive, etc.).
Une fois le temps écoulé, corrige-toi avec le corrigé détaillé : repère le barème de chaque question et note ton score sur 20.

Sujet

Exercice 1 : Suites numériques

3 points

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 1}{u_n + 1}$ .

Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 1$ . (0,5 pt)
a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{(u_n - 1)^2}{u_n + 1}$ , puis en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante. (0,5 pt) b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,25 pt)
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on pose $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ . a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$ et calculer $v_0$ . (0,5 pt) b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ , et calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ . (0,5 pt)
a) Calculer, en fonction de $n$ , la somme $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$ . (0,5 pt) b) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n - 1 \leq 10^{-2}$ . (0,25 pt)

Voir le corrigé

1. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $u_n > 1$ ».

Initialisation : $u_0 = 3 > 1$ , donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_n > 1$ (hypothèse de récurrence). Alors $u_n + 1 > 0$ et :

u_{n+1} - 1 = \frac{3u_n - 1 - (u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{2u_n - 2}{u_n + 1} = \frac{2(u_n - 1)}{u_n + 1}.

Comme $u_n - 1 > 0$ et $u_n + 1 > 0$ , on a $u_{n+1} - 1 > 0$ , c'est-à-dire $u_{n+1} > 1$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 1$ . [0,5 pt]

2. a) Pour tout $n$ :

u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n - 1}{u_n + 1} - u_n = \frac{3u_n - 1 - u_n(u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{-u_n^2 + 2u_n - 1}{u_n + 1} = -\frac{(u_n - 1)^2}{u_n + 1}.

D'après la question 1, $u_n > 1$ , donc $(u_n - 1)^2 > 0$ et $u_n + 1 > 0$ : on a $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$ . La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante. [0,5 pt]

2. b) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$ (question 1) : elle est donc convergente. [0,25 pt]

3. a) La suite $(v_n)$ est bien définie car $u_n > 1$ , donc $u_n - 1 \neq 0$ (question 1). Pour tout $n$ , d'après le calcul fait dans la question 1 : $u_{n+1} - 1 = \dfrac{2(u_n - 1)}{u_n + 1}$ , donc

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 1}{2(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 2}{2(u_n - 1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{u_n - 1} = v_n + \frac{1}{2}.

La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$ , et son premier terme est $v_0 = \dfrac{1}{u_0 - 1} = \dfrac{1}{2}$ . [0,5 pt]

3. b) Pour tout $n$ : $v_n = v_0 + n \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{n}{2} = \dfrac{n + 1}{2}$ . Comme $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ , on a $u_n - 1 = \dfrac{1}{v_n}$ , donc

u_n = 1 + \frac{2}{n + 1} = \frac{n + 3}{n + 1}.

(Vérification : $u_1 = \dfrac{4}{2} = 2$ et la relation de récurrence donne $u_1 = \dfrac{3 \times 3 - 1}{3 + 1} = 2$ .) Comme $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n + 1} = 0$ , on obtient $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ . [0,5 pt]

4. a) $S_n$ est la somme des $n + 1$ premiers termes de la suite arithmétique $(v_n)$ :

S_n = (n + 1) \times \frac{v_0 + v_n}{2} = (n + 1) \times \frac{\frac{1}{2} + \frac{n + 1}{2}}{2} = \frac{(n + 1)(n + 2)}{4}.

[0,5 pt]

4. b) $u_n - 1 = \dfrac{2}{n + 1}$ et $\dfrac{2}{n + 1} \leq 10^{-2} \iff n + 1 \geq 200 \iff n \geq 199$ . Le plus petit entier naturel qui convient est donc $n = 199$ (on vérifie : $u_{199} - 1 = \dfrac{2}{200} = 10^{-2}$ , alors que $u_{198} - 1 = \dfrac{2}{199} \approx 1{,}005 \times 10^{-2} > 10^{-2}$ ). [0,25 pt]

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Exercice 2 : Nombres complexes

3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ .

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $z^2 - 2\sqrt{2}\, z + 4 = 0$ . On note $a$ la solution dont la partie imaginaire est strictement positive et $b$ l'autre solution. (0,5 pt)
a) Écrire $a$ et $b$ sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle. (0,5 pt) b) Calculer $a^6$ sous forme exponentielle, puis donner sa forme algébrique. (0,5 pt)

On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c = 2\sqrt{2}$ .

a) Calculer $\dfrac{a}{b}$ , puis en déduire la nature du triangle $OAB$ . (0,5 pt) b) Montrer que $c = a + b$ , puis que le quadrilatère $OACB$ est un carré. (0,5 pt)
Soit $r$ la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . a) Donner l'écriture complexe de $r$ et vérifier que $r(A) = B$ . (0,25 pt) b) Déterminer l'affixe du point $D$ , image de $O$ par $r$ , puis montrer que $B$ est le milieu du segment $[OD]$ . (0,25 pt)

Voir le corrigé

1. Le discriminant de $(E)$ est $\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \times 1 \times 4 = 8 - 16 = -8 = (2\sqrt{2}\, i)^2$ . L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\, i}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2}\, i \quad \text{ou} \quad z = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\, i}{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2}\, i.

Ainsi $a = \sqrt{2} + \sqrt{2}\, i$ et $b = \sqrt{2} - \sqrt{2}\, i$ . (Vérification : $a + b = 2\sqrt{2}$ et $ab = 2 + 2 = 4$ , ce sont bien la somme et le produit des racines de $(E)$ .) [0,5 pt]

2. a) On a $|a| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2$ , donc :

a = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\, i\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{4}}.

Comme $b = \bar{a}$ , on a $|b| = 2$ et $b = 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 2e^{-i\frac{\pi}{4}}$ . [0,5 pt]

2. b) D'après la formule de Moivre :

a^6 = 2^6 e^{i\frac{6\pi}{4}} = 64\, e^{i\frac{3\pi}{2}} = 64\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i \sin\frac{3\pi}{2}\right) = 64\,(0 - i) = -64\, i.

La forme algébrique de $a^6$ est $-64i$ : c'est un imaginaire pur. [0,5 pt]

3. a) On a :

\frac{a}{b} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{4}}}{2e^{-i\frac{\pi}{4}}} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i.

Donc $\left|\dfrac{a}{b}\right| = 1$ , soit $OA = OB$ (on retrouve $|a| = |b| = 2$ ), et $\arg\dfrac{a}{b} \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ , soit $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}) \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ . Le triangle $OAB$ est donc isocèle et rectangle en $O$ . [0,5 pt]

3. b) On a $a + b = (\sqrt{2} + \sqrt{2}\, i) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i) = 2\sqrt{2} = c$ , donc $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ : le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme. Il a un angle droit en $O$ (question 3. a) et deux côtés consécutifs de même longueur ( $OA = OB = 2$ ) : c'est un carré, de côté $2$ et de diagonale $OC = 2\sqrt{2}$ . [0,5 pt]

4. a) La rotation $r$ de centre $C$ d'affixe $c$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour écriture complexe $z' - c = e^{i\frac{\pi}{2}}(z - c)$ , c'est-à-dire :

z' = i\,(z - c) + c = i z + c(1 - i) = i z + 2\sqrt{2}\,(1 - i).

L'affixe de $r(A)$ est $i a + 2\sqrt{2}(1 - i) = i(\sqrt{2} + \sqrt{2}\, i) + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\, i = \sqrt{2}\, i - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\, i = \sqrt{2} - \sqrt{2}\, i = b$ . Donc $r(A) = B$ . [0,25 pt]

4. b) L'affixe de $D = r(O)$ est $d = i \times 0 + 2\sqrt{2}(1 - i) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\, i = 2b$ . L'affixe du milieu de $[OD]$ est $\dfrac{0 + d}{2} = b$ : $B$ est le milieu de $[OD]$ . [0,25 pt]

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Exercice 3 : Probabilités

3 points

Un jeu de kermesse utilise un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et deux urnes opaques :

l'urne $U_1$ contient 4 boules blanches et 2 boules noires ;
l'urne $U_2$ contient 2 boules blanches et 6 boules noires.

Les boules sont indiscernables au toucher. Le joueur lance le dé : s'il obtient le 6, il tire au hasard une boule dans $U_1$ ; sinon, il tire au hasard une boule dans $U_2$ . On note $A$ l'événement « le joueur obtient le 6 » et $B$ l'événement « la boule tirée est blanche ».

Donner $p(A)$ , $p_A(B)$ et $p_{\bar{A}}(B)$ , puis montrer que $p(B) = \dfrac{23}{72}$ . (0,5 pt)
Le joueur a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu le 6 au dé ? (0,5 pt)
Le joueur gagne 5 dirhams si la boule tirée est blanche et perd 3 dirhams sinon. On note $X$ le gain algébrique du joueur, en dirhams, au cours d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ , calculer son espérance $E(X)$ , puis interpréter son signe. (0,75 pt)
Un joueur effectue 5 parties indépendantes. On note $Y$ le nombre de parties au cours desquelles il tire une boule blanche. a) Déterminer la loi de $Y$ et calculer $p(Y = 2)$ , arrondie à $10^{-2}$ près. (0,5 pt) b) Calculer la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours de ces 5 parties, arrondie à $10^{-2}$ près. (0,25 pt) c) Quel est le nombre minimal de parties que le joueur doit effectuer pour que la probabilité de tirer au moins une boule blanche soit supérieure ou égale à $0{,}99$ ? (0,5 pt)

Voir le corrigé

1. Le dé est équilibré : $p(A) = \dfrac{1}{6}$ et $p(\bar{A}) = \dfrac{5}{6}$ . Si le 6 est obtenu, le tirage se fait dans $U_1$ (6 boules dont 4 blanches) : $p_A(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Sinon, il se fait dans $U_2$ (8 boules dont 2 blanches) : $p_{\bar{A}}(B) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ .

Arbre pondéré :

Chemin	Probabilité
$A$ puis $B$	$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{9}$
$A$ puis $\bar{B}$	$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{18}$
$\bar{A}$ puis $B$	$\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{24}$
$\bar{A}$ puis $\bar{B}$	$\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{8}$

$\{A, \bar{A}\}$ est une partition de l'univers ; d'après la formule des probabilités totales :

p(B) = p(A)\,p_A(B) + p(\bar{A})\,p_{\bar{A}}(B) = \frac{1}{9} + \frac{5}{24} = \frac{8}{72} + \frac{15}{72} = \frac{23}{72}.

[0,5 pt]

2. On cherche $p_B(A)$ :

p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{23}{72}} = \frac{8}{72} \times \frac{72}{23} = \frac{8}{23} \approx 0{,}35.

[0,5 pt]

3. $X$ prend les valeurs $5$ (boule blanche) et $-3$ (boule noire) : $p(X = 5) = p(B) = \dfrac{23}{72}$ et $p(X = -3) = p(\bar{B}) = 1 - \dfrac{23}{72} = \dfrac{49}{72}$ .

$x_i$	$5$	$-3$
$p(X = x_i)$	$\frac{23}{72}$	$\frac{49}{72}$

Contrôle : $\dfrac{23}{72} + \dfrac{49}{72} = 1$ . L'espérance est :

E(X) = 5 \times \frac{23}{72} + (-3) \times \frac{49}{72} = \frac{115 - 147}{72} = -\frac{32}{72} = -\frac{4}{9} \approx -0{,}44 \text{ dirham}.

$E(X) < 0$ : en jouant un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne environ $0{,}44$ dirham par partie ; le jeu est défavorable au joueur (et favorable à l'organisateur de la kermesse). [0,75 pt]

4. a) Chaque partie repart d'un lancer de dé et d'un tirage identiques : les 5 parties sont des épreuves identiques et indépendantes, chacune n'ayant que deux issues, « boule blanche » de probabilité $p = \dfrac{23}{72}$ ou « boule noire » de probabilité $\dfrac{49}{72}$ . La variable $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \dfrac{23}{72}$ : pour $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ , $p(Y = k) = \binom{5}{k}\left(\dfrac{23}{72}\right)^k \left(\dfrac{49}{72}\right)^{5 - k}$ . En particulier :

p(Y = 2) = \binom{5}{2}\left(\frac{23}{72}\right)^2 \left(\frac{49}{72}\right)^3 = 10 \times \frac{23^2 \times 49^3}{72^5} = \frac{622\,363\,210}{1\,934\,917\,632} \approx 0{,}32.

[0,5 pt]

4. b) L'événement contraire de « au moins une boule blanche » est « aucune boule blanche », c'est-à-dire $Y = 0$ :

p(Y \geq 1) = 1 - p(Y = 0) = 1 - \left(\frac{49}{72}\right)^5 \approx 0{,}854, \quad \text{soit } 0{,}85 \text{ à } 10^{-2} \text{ près}.

[0,25 pt]

4. c) Pour $n$ parties indépendantes, la probabilité de tirer au moins une boule blanche est $1 - \left(\dfrac{49}{72}\right)^n$ . On résout :

1 - \left(\frac{49}{72}\right)^n \geq 0{,}99 \iff \left(\frac{49}{72}\right)^n \leq 0{,}01 \iff n \ln\frac{49}{72} \leq \ln 0{,}01 \iff n \geq \frac{\ln 0{,}01}{\ln\frac{49}{72}} \approx 11{,}97,

car $\ln\dfrac{49}{72} < 0$ (l'inégalité change de sens quand on divise par ce nombre négatif). Le nombre minimal de parties est donc $n = 12$ . Vérification : pour $n = 11$ , $1 - \left(\dfrac{49}{72}\right)^{11} \approx 0{,}9855 < 0{,}99$ ; pour $n = 12$ , $1 - \left(\dfrac{49}{72}\right)^{12} \approx 0{,}9901 \geq 0{,}99$ . [0,5 pt]

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Exercice 4 : Équations différentielles

3 points

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'' + 2y' + 5y = 0$ , d'inconnue $y$ , fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}$ . (0,5 pt)
a) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = 0$ . (0,5 pt) b) Montrer que, pour tout réel $x$ : $f'(x) = -5e^{-x}\sin(2x)$ . (0,25 pt)
a) Montrer que, pour tout réel $x$ : $|f(x)| \leq 3e^{-x}$ , puis calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . (0,5 pt) b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0, \pi]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0, \pi]$ . (0,5 pt)
a) Montrer que, pour tout réel $x$ : $f(x) = -\dfrac{1}{5}\left(f' + 2f\right)'(x)$ . (0,25 pt) b) En déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\, dx$ . (0,5 pt)

Voir le corrigé

1. L'équation caractéristique de $(E)$ est $r^2 + 2r + 5 = 0$ , de discriminant $\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$ . Ses racines sont $r = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$ : on a donc $p = -1$ et $q = 2$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions

y(x) = e^{-x}\left(\alpha \cos(2x) + \beta \sin(2x)\right), \quad (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2.

[0,5 pt]

2. a) Soit $f(x) = e^{-x}\left(\alpha\cos(2x) + \beta\sin(2x)\right)$ . Alors :

f'(x) = -e^{-x}\left(\alpha\cos(2x) + \beta\sin(2x)\right) + e^{-x}\left(-2\alpha\sin(2x) + 2\beta\cos(2x)\right) = e^{-x}\left[(2\beta - \alpha)\cos(2x) - (2\alpha + \beta)\sin(2x)\right].

La condition $f(0) = 2$ donne $\alpha = 2$ . La condition $f'(0) = 0$ donne $2\beta - \alpha = 0$ , donc $\beta = 1$ . Ainsi :

f(x) = e^{-x}\left(2\cos(2x) + \sin(2x)\right).

[0,5 pt]

2. b) Avec $\alpha = 2$ et $\beta = 1$ : $2\beta - \alpha = 0$ et $2\alpha + \beta = 5$ , donc $f'(x) = e^{-x}\left[0 \times \cos(2x) - 5\sin(2x)\right] = -5e^{-x}\sin(2x)$ . [0,25 pt]

3. a) Pour tout réel $x$ , $|2\cos(2x) + \sin(2x)| \leq 2|\cos(2x)| + |\sin(2x)| \leq 2 + 1 = 3$ et $e^{-x} > 0$ , donc $|f(x)| \leq 3e^{-x}$ , soit $-3e^{-x} \leq f(x) \leq 3e^{-x}$ . Comme $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . [0,5 pt]

3. b) Pour tout $x$ , $e^{-x} > 0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $-\sin(2x)$ . Pour $x \in [0, \pi]$ , on a $2x \in [0, 2\pi]$ :

sur $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , $2x \in [0, \pi]$ donc $\sin(2x) \geq 0$ et $f'(x) \leq 0$ : $f$ est décroissante ;
sur $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ , $2x \in [\pi, 2\pi]$ donc $\sin(2x) \leq 0$ et $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante.

On calcule $f(0) = 2$ , $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = e^{-\frac{\pi}{2}}\left(2\cos\pi + \sin\pi\right) = -2e^{-\frac{\pi}{2}} \approx -0{,}42$ et $f(\pi) = e^{-\pi}\left(2\cos 2\pi + \sin 2\pi\right) = 2e^{-\pi} \approx 0{,}09$ .

$x$	$0$		$\dfrac{\pi}{2}$		$\pi$
$f'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$
$f(x)$	$2$	$\searrow$	$-2e^{-\frac{\pi}{2}}$	$\nearrow$	$2e^{-\pi}$

[0,5 pt]

4. a) On a $\left(f' + 2f\right)'(x) = f''(x) + 2f'(x)$ . Comme $f$ est solution de $(E)$ : $f''(x) + 2f'(x) = -5f(x)$ . Donc $\left(f' + 2f\right)'(x) = -5f(x)$ , c'est-à-dire $f(x) = -\dfrac{1}{5}\left(f' + 2f\right)'(x)$ . [0,25 pt]

4. b) D'après la question précédente, la fonction $F = -\dfrac{1}{5}\left(f' + 2f\right)$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ . Donc :

\int_0^{\pi} f(x)\, dx = F(\pi) - F(0) = -\frac{1}{5}\Big[\left(f'(\pi) + 2f(\pi)\right) - \left(f'(0) + 2f(0)\right)\Big].

Or $f'(\pi) = -5e^{-\pi}\sin(2\pi) = 0$ , $f(\pi) = 2e^{-\pi}$ , $f'(0) = 0$ et $f(0) = 2$ . D'où :

\int_0^{\pi} f(x)\, dx = -\frac{1}{5}\left[4e^{-\pi} - 4\right] = \frac{4}{5}\left(1 - e^{-\pi}\right) \approx 0{,}77.

[0,5 pt]

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Exercice 5 : Problème : Étude d'une fonction exponentielle et calcul d'aire

8 points

Partie I : une fonction auxiliaire. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x + 1)e^{-x}$ .

Calculer $\lim_{x \to -\infty} h(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ . Montrer que, pour tout réel $x$ : $h'(x) = -x e^{-x}$ , puis dresser le tableau de variations de $h$ . (1 pt)
En déduire que, pour tout réel $x$ : $h(x) \leq 1$ , et que $h(x) = 1$ si et seulement si $x = 0$ . (0,5 pt)

Partie II : étude de la fonction $f$ . On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - 1 + (x + 2)e^{-x}$ . On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité $1$ cm.

a) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . (0,5 pt) b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 1$ est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ , puis étudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$ . (0,5 pt) c) Calculer $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt)
a) Montrer que, pour tout réel $x$ : $f'(x) = 2 - h(x)$ . b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , puis dresser son tableau de variations. (0,75 pt)
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ , puis que $-0{,}9 < \alpha < -0{,}8$ . (0,5 pt)
a) Montrer que, pour tout réel $x$ : $f''(x) = x e^{-x}$ . b) En déduire que $(C)$ admet un point d'inflexion $I$ dont on précisera les coordonnées, puis écrire une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $I$ . (0,75 pt)
Construire $(D)$ , $(T)$ et $(C)$ dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ (on prévoira une feuille couvrant au moins $[-5 ; 6]$ en abscisse et en ordonnée). On prendra $\alpha \approx -0{,}84$ et on donne : $f(-2) = -5$ ; $f(-1{,}5) \approx -1{,}76$ ; $f(-1) \approx -0{,}28$ ; $f(1) \approx 2{,}10$ ; $f(2) \approx 3{,}54$ ; $f(3) \approx 5{,}25$ . (0,5 pt)
a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ . b) Calculer $(f^{-1})'(1)$ . c) Construire dans le même repère la courbe $(C')$ de $f^{-1}$ . (0,5 pt)

Partie III : calcul intégral.

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_0^2 (x + 2)e^{-x}\, dx = 3 - 5e^{-2}$ . (0,75 pt)
Calculer, en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ , la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ . (0,5 pt)
Calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx$ , puis la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0, 2]$ . (0,75 pt)

Voir le corrigé

Partie I

I. 1. Pour $x \to -\infty$ : $x + 1 \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$ , donc $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty$ . Pour $x \to +\infty$ : $h(x) = x e^{-x} + e^{-x}$ avec $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0$ (croissances comparées) et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ , donc $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0$ .

La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

h'(x) = e^{-x} + (x + 1) \times (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x - 1) = -x e^{-x}.

Comme $e^{-x} > 0$ , $h'(x)$ a le signe de $-x$ : positive pour $x < 0$ , négative pour $x > 0$ . Avec $h(0) = 1$ :

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$

[1 pt]

I. 2. D'après le tableau de variations, $h$ admet un maximum égal à $1$ , atteint en $x = 0$ uniquement ( $h$ est strictement croissante sur $]-\infty, 0]$ et strictement décroissante sur $[0, +\infty[$ ). Donc $h(x) \leq 1$ pour tout réel $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ . [0,5 pt]

Partie II

II. 1. a) Pour $x \to -\infty$ : $2x - 1 \to -\infty$ , et $(x + 2) \to -\infty$ tandis que $e^{-x} \to +\infty$ , donc $(x + 2)e^{-x} \to -\infty$ . Par somme, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ . Pour $x \to +\infty$ : $(x + 2)e^{-x} = x e^{-x} + 2e^{-x} \to 0$ (croissances comparées) et $2x - 1 \to +\infty$ , donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ . [0,5 pt]

II. 1. b) Pour tout réel $x$ , $f(x) - (2x - 1) = (x + 2)e^{-x}$ , et $\lim_{x \to +\infty} (x + 2)e^{-x} = 0$ d'après la question précédente. La droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 1$ est donc asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ . Comme $e^{-x} > 0$ , $f(x) - (2x - 1)$ a le signe de $x + 2$ :

si $x < -2$ : $(C)$ est au-dessous de $(D)$ ;
si $x = -2$ : $(C)$ coupe $(D)$ au point $(-2, -5)$ ;
si $x > -2$ : $(C)$ est au-dessus de $(D)$ .

[0,5 pt]

II. 1. c) Pour $x < 0$ : $\dfrac{f(x)}{x} = 2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{(x + 2)e^{-x}}{x} = 2 - \dfrac{1}{x} + \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)e^{-x}$ . Quand $x \to -\infty$ , $2 - \dfrac{1}{x} \to 2$ , $1 + \dfrac{2}{x} \to 1$ et $e^{-x} \to +\infty$ , donc $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = +\infty$ . Comme de plus $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ , la courbe $(C)$ admet au voisinage de $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. [0,5 pt]

II. 2. a) La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

f'(x) = 2 + e^{-x} + (x + 2)(-e^{-x}) = 2 + e^{-x}(1 - x - 2) = 2 - (x + 1)e^{-x} = 2 - h(x).

II. 2. b) D'après la question I. 2, $h(x) \leq 1$ pour tout $x$ , donc $f'(x) = 2 - h(x) \geq 1 > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Avec les limites de la question 1. a) :

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

[0,75 pt pour les deux questions]

II. 3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et $f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{-\infty} f, \lim_{+\infty} f\right[ = \mathbb{R}$ , qui contient $0$ . D'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ . À la calculatrice : $f(-0{,}9) = -2{,}8 + 1{,}1\,e^{0{,}9} \approx -0{,}094 < 0$ et $f(-0{,}8) = -2{,}6 + 1{,}2\,e^{0{,}8} \approx 0{,}071 > 0$ . Donc $f(-0{,}9) < f(\alpha) < f(-0{,}8)$ et, $f$ étant strictement croissante, $-0{,}9 < \alpha < -0{,}8$ . [0,5 pt]

II. 4. a) D'après la question 2. a), $f'(x) = 2 - h(x)$ , donc $f''(x) = -h'(x) = x e^{-x}$ . [0,25 pt]

II. 4. b) Comme $e^{-x} > 0$ , $f''(x)$ a le signe de $x$ : $f''$ est négative sur $]-\infty, 0[$ (la courbe est concave) et positive sur $]0, +\infty[$ (la courbe est convexe). La dérivée seconde s'annule en $0$ en changeant de signe : $(C)$ admet un point d'inflexion $I$ d'abscisse $0$ . Son ordonnée est $f(0) = -1 + 2e^0 = 1$ : $I(0, 1)$ . La tangente en $I$ a pour équation $y = f'(0)\,x + f(0)$ , avec $f'(0) = 2 - h(0) = 1$ ; donc $(T)$ : $y = x + 1$ . [0,5 pt]

II. 5. Pour la construction, on trace d'abord la droite $(D)$ : $y = 2x - 1$ (elle passe par $(0, -1)$ et $(1, 1)$ ) et la tangente $(T)$ : $y = x + 1$ (elle passe par $I(0, 1)$ et $(1, 2)$ ), puis on place les points suivants :

$x$	$-2$	$-1{,}5$	$-1$	$\alpha \approx -0{,}84$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-5$	$-1{,}76$	$-0{,}28$	$0$	$1$	$2{,}10$	$3{,}54$	$5{,}25$

La courbe $(C)$ est croissante, coupe $(D)$ au point $(-2, -5)$ en passant au-dessous de $(D)$ pour $x < -2$ , coupe l'axe des abscisses en $\alpha$ , est concave jusqu'à $I$ puis convexe, et se rapproche de $(D)$ par au-dessus quand $x \to +\infty$ . [0,5 pt]

II. 6. a) La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , d'image $\mathbb{R}$ : elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ , donc elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

b) La fonction $f$ est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas ( $f' > 0$ ), donc $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Comme $f(0) = 1$ , on a $f^{-1}(1) = 0$ et :

(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(1)\right)} = \frac{1}{f'(0)} = 1.

c) La courbe $(C')$ est la symétrique de $(C)$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ : on obtient ses points en permutant abscisse et ordonnée (par exemple $(-5, -2)$ , $(1, 0)$ , $(2{,}10, 1)$ , $(3{,}54, 2)$ , $(0, \alpha)$ ). Au point $(1, 0)$ , sa tangente a pour pente $1$ , ce qui est cohérent avec la symétrie. [0,5 pt pour les trois questions]

Partie III

III. 1. Posons $u(x) = x + 2$ et $v'(x) = e^{-x}$ , d'où $u'(x) = 1$ et $v(x) = -e^{-x}$ . Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0, 2]$ et leurs dérivées sont continues. Par intégration par parties :

\int_0^2 (x + 2)e^{-x}\, dx = \Big[-(x + 2)e^{-x}\Big]_0^2 + \int_0^2 e^{-x}\, dx = \left(-4e^{-2} + 2\right) + \Big[-e^{-x}\Big]_0^2 = -4e^{-2} + 2 - e^{-2} + 1 = 3 - 5e^{-2}.

[0,75 pt]

III. 2. Sur $[0, 2]$ , $f(x) - (2x - 1) = (x + 2)e^{-x} > 0$ : la courbe $(C)$ est au-dessus de la droite $(D)$ . L'aire du domaine est donc :

\int_0^2 \left[f(x) - (2x - 1)\right] dx = \int_0^2 (x + 2)e^{-x}\, dx = 3 - 5e^{-2} \text{ u.a.}

Une unité d'aire vaut $1\text{ cm} \times 1\text{ cm} = 1\text{ cm}^2$ : l'aire cherchée est $\left(3 - 5e^{-2}\right)\text{ cm}^2 \approx 2{,}32\text{ cm}^2$ . [0,5 pt]

III. 3. On a :

\int_0^2 f(x)\, dx = \int_0^2 (2x - 1)\, dx + \int_0^2 (x + 2)e^{-x}\, dx = \Big[x^2 - x\Big]_0^2 + 3 - 5e^{-2} = 2 + 3 - 5e^{-2} = 5 - 5e^{-2} \approx 4{,}32.

La valeur moyenne de $f$ sur $[0, 2]$ est :

\mu = \frac{1}{2 - 0}\int_0^2 f(x)\, dx = \frac{5 - 5e^{-2}}{2} = \frac{5}{2}\left(1 - e^{-2}\right) \approx 2{,}16.

(Cohérence : $f$ est croissante sur $[0, 2]$ avec $f(0) = 1$ et $f(2) \approx 3{,}54$ , et $1 \leq 2{,}16 \leq 3{,}54$ .) [0,75 pt]

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