Calcul intégral : le cours

Chapitres

Plan du chapitre

60 min
10 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

L'intégrale relie deux idées : les primitives (le calcul) et l'aire sous une courbe (la géométrie). Dans tout le chapitre, les fonctions sont continues sur un intervalle $I$ .

1. Intégrale d'une fonction continue

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $F$ une primitive de $f$ sur $I$ , et $a$ , $b$ deux éléments de $I$ . Le réel $F(b) - F(a)$ s'appelle l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ . On le note $\int_a^b f(x)\,dx$ et on écrit $\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : avec $F + k$ , la constante $k$ disparaît dans la différence. La lettre $x$ est « muette » : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$ .

Propriété

Pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ .

Propriété

Soit $a \in I$ . La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ .

Exemple

$\int_1^3 2x\,dx = \left[x^2\right]_1^3 = 9 - 1 = 8$ .

2. Relation de Chasles et linéarité

Propriété

Pour $f$ et $g$ continues sur $I$ , pour $a$ , $b$ , $c$ dans $I$ et pour $\alpha$ , $\beta$ réels, on a la relation de Chasles et la linéarité ci-dessous.

\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx

\int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx

La relation de Chasles sert surtout à découper un intervalle quand la fonction change d'expression ou de signe (par exemple pour une valeur absolue).

3. Intégrale et ordre

Dans ce paragraphe, on suppose $a \leq b$ .

Propriété

Si $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$ (positivité). Si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$ .

Propriété

On a $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$ . Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a)$ .

Attention

Ces propriétés exigent $a \leq b$ . Et la réciproque de la positivité est fausse : $\int_{-1}^{2} x\,dx = \frac{3}{2} > 0$ alors que $x$ prend des valeurs négatives sur $[-1, 2]$ .

4. Valeur moyenne

Définition

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le réel $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ .

Propriété

Il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \mu$ .

Exemple

La valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ est $\mu = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ , et $f(c) = 3$ pour $c = \sqrt{3} \in [0, 3]$ .

5. Intégration par parties

Théorème

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a, b]$ , dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a, b]$ . Alors :

\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx

Cette formule vient de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ . Pour bien choisir :

si le produit contient un polynôme et $e^{x}$ , $\cos x$ ou $\sin x$ : prends $v$ = le polynôme (il se simplifie en dérivant) ;
si le produit contient $\ln x$ : prends $v = \ln x$ (sa dérivée $\frac{1}{x}$ est simple).

6. Calcul d'aires

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . L'unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur $\vec{i}$ et $\vec{j}$ : $1\ \text{u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ . Par exemple, si $\|\vec{i}\| = 2\ \text{cm}$ et $\|\vec{j}\| = 1\ \text{cm}$ , alors $1\ \text{u.a.} = 2\ \text{cm}^2$ .

Propriété

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$ . L'aire du domaine limité par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx$ u.a.

Propriété

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ avec $a < b$ . L'aire du domaine limité par $(C_f)$ , $(C_g)$ et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ u.a.

En pratique, tu étudies le signe de $f$ (ou de $f - g$ ), puis tu découpes avec Chasles pour enlever la valeur absolue. Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , l'aire est $\int_a^b f(x)\,dx$ ; si $f \leq 0$ , elle vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$ .

7. Volume d'un solide de révolution

Le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace est orthonormé ; l'unité de volume est $1\ \text{u.v.} = \|\vec{i}\|^3$ .

Propriété

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$ . Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $(C_f)$ , pour $x \in [a, b]$ , autour de l'axe des abscisses est $V = \int_a^b \pi\,\big(f(x)\big)^2\,dx$ u.v.

Remarque

En PC/SVT, seule la rotation autour de l'axe des abscisses est utilisée. Le changement de variable dans une intégrale n'est pas au programme PC/SVT : tu calcules toutes les intégrales avec les primitives usuelles et l'intégration par parties.

Méthodes

Méthode 1 : Calculer une intégrale avec une primitive

Reconnais une forme du tableau des primitives ( $u'u^n$ , $\frac{u'}{u}$ , $u'e^{u}$ , $\frac{u'}{u^2}$ ...).
Écris la primitive entre crochets.
Calcule $F(b) - F(a)$ en mettant des parenthèses.

Exemple

$\frac{\ln x}{x} = u'(x)\,u(x)$ avec $u(x) = \ln x$ , donc $\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

Méthode 2 : Intégrer par parties

Repère un produit que tu ne sais pas intégrer directement.
Choisis $v$ (le facteur à dériver : polynôme ou $\ln x$ ) et $u'$ (le facteur à intégrer).
Calcule $u$ et $v'$ , applique la formule, puis calcule l'intégrale restante.

Exemple

Pour $\int_0^1 (2x + 1)e^{x}\,dx$ , on prend $u'(x) = e^{x}$ , $u(x) = e^{x}$ , $v(x) = 2x + 1$ , $v'(x) = 2$ . Alors $\int_0^1 (2x + 1)e^{x}\,dx = \left[(2x + 1)e^{x}\right]_0^1 - \int_0^1 2e^{x}\,dx = (3e - 1) - (2e - 2) = e + 1$ .

Méthode 3 : Encadrer une intégrale

Vérifie que les bornes sont dans le bon ordre ( $a \leq b$ ).
Encadre $f(x)$ sur $[a, b]$ par deux fonctions faciles à intégrer (ou par deux constantes $m$ et $M$ ).
Intègre l'encadrement grâce à la propriété d'ordre.

Exemple

Pour $x \in [0, 1]$ , on a $x^2 \leq x$ , donc $-x \leq -x^2 \leq 0$ et $e^{-x} \leq e^{-x^2} \leq 1$ . En intégrant sur $[0, 1]$ : $1 - \frac{1}{e} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1$ .

Méthode 4 : Calculer une aire

Étudie le signe de $f(x)$ (ou de $f(x) - g(x)$ ) sur $[a, b]$ .
Découpe $[a, b]$ avec Chasles là où le signe change, et enlève la valeur absolue.
Calcule chaque intégrale et additionne : le résultat est en u.a.
Convertis en $\text{cm}^2$ en multipliant par la valeur de $1\ \text{u.a.}$

Exemple

Aire entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0, 1]$ avec $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 3\ \text{cm}$ . Sur $[0, 1]$ , $x - x^2 = x(1 - x) \geq 0$ , donc $\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ u.a. Comme $1\ \text{u.a.} = 9\ \text{cm}^2$ , on obtient $\mathcal{A} = 1{,}5\ \text{cm}^2$ .

Méthode 5 : Calculer un volume de révolution

Écris $\big(f(x)\big)^2$ et simplifie-le avant d'intégrer.
Calcule $V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$ en u.v.
Convertis en $\text{cm}^3$ avec $1\ \text{u.v.} = \|\vec{i}\|^3$ .

Exemple

La rotation du segment d'équation $y = \frac{x}{2}$ , pour $x \in [0, 4]$ , autour de l'axe des abscisses donne un cône de rayon $2$ et de hauteur $4$ . On trouve $V = \pi\int_0^4 \frac{x^2}{4}\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{12}\right]_0^4 = \frac{16\pi}{3}$ u.v., ce qui est bien $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ avec $r = 2$ et $h = 4$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Calculs directs

Facile

Énoncé

Calcule les intégrales suivantes.

$I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$
$J = \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
$K = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\,dx$

Voir le corrigé

$I = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$ .
$J = \left[2\sqrt{x}\right]_1^4 = 2 \times 2 - 2 \times 1 = 2$ .
$K = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 = \frac{1}{2}$ .

Exercice 2 : Formes $\frac{u'}{u}$ , $u'e^{u}$ et $\frac{u'}{u^2}$

Facile

Énoncé

Calcule les intégrales suivantes.

$I = \int_0^1 e^{2x}\,dx$
$J = \int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$
$K = \int_1^2 \frac{1}{(2x - 1)^2}\,dx$
$L = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx$

Voir le corrigé

$I = \left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}$ .
Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$ : $J = \left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ .
Avec $u(x) = 2x - 1$ , $u'(x) = 2$ : $\frac{1}{(2x - 1)^2} = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u^2}$ , de primitive $-\frac{1}{2(2x - 1)}$ . Donc $K = \left[-\frac{1}{2(2x - 1)}\right]_1^2 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ .
Avec $u(x) = x^2$ , $u'(x) = 2x$ : $x\,e^{x^2} = \frac{1}{2}u'e^{u}$ . Donc $L = \left[\frac{e^{x^2}}{2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$ .

Exercice 3 : Chasles et valeur absolue

Moyen

Énoncé

Calcule les intégrales suivantes.

$I = \int_{-1}^{3} |x - 1|\,dx$
$J = \int_0^{\pi} |\cos x|\,dx$
$K = \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx$

Voir le corrigé

$|x - 1| = 1 - x$ si $x \leq 1$ et $|x - 1| = x - 1$ si $x \geq 1$ . Avec Chasles :

I = \int_{-1}^{1} (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} + \left[\frac{(x - 1)^2}{2}\right]_1^3 = 2 + 2 = 4

$\cos x \geq 0$ sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ et $\cos x \leq 0$ sur $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ :

J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x\,dx = \Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} - \Big[\sin x\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = 1 - (0 - 1) = 2

$x^2 - 1 \geq 0$ sur $[-2, -1]$ et sur $[1, 2]$ , et $x^2 - 1 \leq 0$ sur $[-1, 1]$ . Avec $G(x) = \frac{x^3}{3} - x$ , primitive de $x^2 - 1$ :

K = \Big[G(x)\Big]_{-2}^{-1} - \Big[G(x)\Big]_{-1}^{1} + \Big[G(x)\Big]_1^2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4

En effet $G(-2) = -\frac{2}{3}$ , $G(-1) = \frac{2}{3}$ , $G(1) = -\frac{2}{3}$ et $G(2) = \frac{2}{3}$ .

Exercice 4 : Intégration par parties

Moyen

Énoncé

Calcule à l'aide d'une intégration par parties :

$A = \int_0^1 x\,e^{x}\,dx$
$B = \int_1^e x\ln x\,dx$
$C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$

Voir le corrigé

On pose $u'(x) = e^{x}$ , $u(x) = e^{x}$ , $v(x) = x$ , $v'(x) = 1$ :

A = \Big[x\,e^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1

On pose $u'(x) = x$ , $u(x) = \frac{x^2}{2}$ , $v(x) = \ln x$ , $v'(x) = \frac{1}{x}$ :

B = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}

On pose $u'(x) = \cos x$ , $u(x) = \sin x$ , $v(x) = x$ , $v'(x) = 1$ :

C = \Big[x\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \frac{\pi}{2} - \Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 1

Exercice 5 : Deux intégrations par parties astucieuses

Moyen

Énoncé

En écrivant $\ln x = 1 \times \ln x$ , calcule $D = \int_1^e \ln x\,dx$ .
Calcule $T = \int_0^1 x\,e^{-x}\,dx$ , puis, avec une deuxième intégration par parties, $E = \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx$ .

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On pose $u'(x) = 1$ , $u(x) = x$ , $v(x) = \ln x$ , $v'(x) = \frac{1}{x}$ :

D = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx = e - (e - 1) = 1

Pour $T$ , on pose $u'(x) = e^{-x}$ , $u(x) = -e^{-x}$ , $v(x) = x$ :

T = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx = -\frac{1}{e} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -\frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}

Pour $E$ , on pose $u'(x) = e^{-x}$ , $u(x) = -e^{-x}$ , $v(x) = x^2$ , $v'(x) = 2x$ :

E = \Big[-x^2 e^{-x}\Big]_0^1 + 2\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx = -\frac{1}{e} + 2\left(1 - \frac{2}{e}\right) = 2 - \frac{5}{e}

Contrôle numérique : $E \approx 0{,}161$ , positif, ce qui est cohérent car $x^2 e^{-x} \geq 0$ .

Exercice 6 : Encadrement et valeur moyenne

Moyen

Énoncé

Montre que, pour tout $x \in [0, 1]$ : $1 - x^2 \leq \frac{1}{1 + x^2} \leq 1 - \frac{x^2}{2}$ .
Déduis un encadrement de $I = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$ .
Calcule la valeur moyenne $\mu$ de la fonction sinus sur $[0, \pi]$ , et justifie qu'il existe $c \in [0, \pi]$ tel que $\sin c = \mu$ .

Voir le corrigé

Comme $1 + x^2 > 0$ :

$\frac{1}{1 + x^2} \geq 1 - x^2 \iff 1 \geq (1 - x^2)(1 + x^2) = 1 - x^4$ , ce qui est vrai.
$\frac{1}{1 + x^2} \leq 1 - \frac{x^2}{2} \iff 1 \leq \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)(1 + x^2) = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} \iff 0 \leq \frac{x^2(1 - x^2)}{2}$ , ce qui est vrai pour $x \in [0, 1]$ .

Comme $0 \leq 1$ , on intègre l'encadrement sur $[0, 1]$ :

\int_0^1 (1 - x^2)\,dx \leq I \leq \int_0^1 \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)dx, \quad \text{soit} \quad \frac{2}{3} \leq I \leq \frac{5}{6}

$\mu = \frac{1}{\pi - 0}\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}(1 + 1) = \frac{2}{\pi}$ . La fonction sinus est continue sur $[0, \pi]$ , donc d'après la propriété de la valeur moyenne, il existe $c \in [0, \pi]$ tel que $\sin c = \frac{2}{\pi}$ (environ $0{,}64$ ).

Exercice 7 : Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Moyen

Énoncé

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ . Le repère est orthonormé avec $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2\ \text{cm}$ .

Calcule $\int_0^3 f(x)\,dx$ .
Étudie le signe de $f$ sur $[0, 3]$ .
Calcule, en $\text{cm}^2$ , l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ . Compare avec la question 1.

Voir le corrigé

$\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = 9 - 9 = 0$ .

$f(x) = x(x - 2)$ : $f(x) \leq 0$ sur $[0, 2]$ et $f(x) \geq 0$ sur $[2, 3]$ .

Avec Chasles :

\mathcal{A} = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_2^3 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\ \text{u.a.}

Comme $1\ \text{u.a.} = 2 \times 2 = 4\ \text{cm}^2$ , on a $\mathcal{A} = \frac{32}{3}\ \text{cm}^2 \approx 10{,}67\ \text{cm}^2$ .

L'intégrale de la question 1 est nulle, car les parties sous l'axe et au-dessus de l'axe se compensent. Une aire, elle, n'est jamais négative : c'est pour cela qu'il faut la valeur absolue.

Exercice 8 : Aire entre deux courbes

Type Bac

Énoncé

Soient $f(x) = (\ln x)^2$ et $g(x) = \ln x$ pour $x > 0$ . Le repère est orthonormé avec $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2\ \text{cm}$ .

Étudie la position relative de $(C_f)$ et $(C_g)$ sur $[1, e]$ .
Montre que $H(x) = x\ln x - x$ est une primitive de $\ln x$ sur $]0, +\infty[$ , puis calcule $\int_1^e \ln x\,dx$ .
À l'aide d'une intégration par parties, montre que $\int_1^e (\ln x)^2\,dx = e - 2$ .
Calcule, en $\text{cm}^2$ , l'aire du domaine limité par $(C_f)$ , $(C_g)$ et les droites $x = 1$ et $x = e$ .

Voir le corrigé

$f(x) - g(x) = \ln x(\ln x - 1)$ . Sur $[1, e]$ , $\ln x \geq 0$ et $\ln x - 1 \leq 0$ , donc $f(x) - g(x) \leq 0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(C_g)$ sur $[1, e]$ (les courbes se coupent en $x = 1$ et $x = e$ ).

$H'(x) = \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ . Donc $\int_1^e \ln x\,dx = H(e) - H(1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .

On pose $u'(x) = 1$ , $u(x) = x$ , $v(x) = (\ln x)^2$ , $v'(x) = \frac{2\ln x}{x}$ :

\int_1^e (\ln x)^2\,dx = \Big[x(\ln x)^2\Big]_1^e - \int_1^e 2\ln x\,dx = e - 2 \times 1 = e - 2

Comme $g \geq f$ sur $[1, e]$ :

\mathcal{A} = \int_1^e \big(\ln x - (\ln x)^2\big)\,dx = 1 - (e - 2) = 3 - e\ \text{u.a.}

Avec $1\ \text{u.a.} = 4\ \text{cm}^2$ : $\mathcal{A} = 4(3 - e) = 12 - 4e\ \text{cm}^2 \approx 1{,}13\ \text{cm}^2$ .

Exercice 9 : Volume d'un solide de révolution

Type Bac

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}\,e^{\frac{x}{2}}$ . Le repère est orthonormé avec $\|\vec{i}\| = 2\ \text{cm}$ .

Montre que, pour $x > 0$ , $f'(x) = \frac{(1 + x)\,e^{\frac{x}{2}}}{2\sqrt{x}}$ , et déduis le sens de variation de $f$ sur $[0, +\infty[$ .
Vérifie que $\big(f(x)\big)^2 = x\,e^{x}$ .
À l'aide d'une intégration par parties, calcule $J = \int_0^2 x\,e^{x}\,dx$ .
Calcule, en $\text{cm}^3$ , le volume $V$ du solide engendré par la rotation de $(C_f)$ autour de l'axe des abscisses, pour $x \in [0, 2]$ .

Voir le corrigé

Pour $x > 0$ , on dérive le produit :

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,e^{\frac{x}{2}} + \sqrt{x} \times \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2\sqrt{x}}\,(1 + x)

(on a mis au même dénominateur : $\frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{x}{2\sqrt{x}}$ ). Comme $f'(x) > 0$ sur $]0, +\infty[$ et que $f$ est continue en $0$ , $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ .

$\big(f(x)\big)^2 = \left(\sqrt{x}\right)^2\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 = x\,e^{x}$ .

On pose $u'(x) = e^{x}$ , $u(x) = e^{x}$ , $v(x) = x$ , $v'(x) = 1$ :

J = \Big[x\,e^{x}\Big]_0^2 - \int_0^2 e^{x}\,dx = 2e^2 - (e^2 - 1) = e^2 + 1

$V = \pi\int_0^2 \big(f(x)\big)^2\,dx = \pi J = \pi(e^2 + 1)$ u.v. Comme $1\ \text{u.v.} = 2^3 = 8\ \text{cm}^3$ :

V = 8\pi(e^2 + 1)\ \text{cm}^3 \approx 210{,}8\ \text{cm}^3

Exercice 10 : Suite d'intégrales

Difficile

Énoncé

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on pose $I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}\,dx$ .

Calcule $I_0$ , puis $I_0 + I_1$ , et déduis $I_1$ .
Montre que $I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n + 1}$ pour tout $n$ .
Montre que la suite $(I_n)$ est décroissante.
Montre que $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n + 1}$ , puis calcule $\lim I_n$ .
Avec 2. et 3., montre que $\frac{1}{2(n + 1)} \leq I_n \leq \frac{1}{2n}$ pour $n \geq 1$ , puis calcule $\lim n I_n$ .

Voir le corrigé

$I_0 = \int_0^1 \frac{1}{1 + x}\,dx = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2$ . Ensuite $I_0 + I_1 = \int_0^1 \frac{1 + x}{1 + x}\,dx = 1$ , donc $I_1 = 1 - \ln 2$ .

Par linéarité : $I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^n(1 + x)}{1 + x}\,dx = \int_0^1 x^n\,dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \frac{1}{n + 1}$ .

$I_{n+1} - I_n = \int_0^1 \frac{x^n(x - 1)}{1 + x}\,dx$ . Sur $[0, 1]$ , $x^n \geq 0$ , $x - 1 \leq 0$ et $1 + x > 0$ , donc l'intégrande est négative ou nulle et, comme $0 \leq 1$ , $I_{n+1} - I_n \leq 0$ . La suite est décroissante.

Sur $[0, 1]$ , $1 + x \geq 1$ , donc $0 \leq \frac{x^n}{1 + x} \leq x^n$ . En intégrant : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n + 1}$ . D'après le théorème des gendarmes, $\lim I_n = 0$ .

Comme $(I_n)$ est décroissante : $I_{n+1} \leq I_n$ , donc $\frac{1}{n + 1} = I_n + I_{n+1} \leq 2I_n$ , soit $I_n \geq \frac{1}{2(n + 1)}$ . De même, pour $n \geq 1$ , $I_n \leq I_{n-1}$ donne $2I_n \leq I_{n-1} + I_n = \frac{1}{n}$ , soit $I_n \leq \frac{1}{2n}$ . En multipliant par $n > 0$ :

\frac{n}{2(n + 1)} \leq n I_n \leq \frac{1}{2}

Le membre de gauche tend vers $\frac{1}{2}$ , donc $\lim n I_n = \frac{1}{2}$ .

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre : $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$ , et non $F(a) - F(b)$ . Mets des parenthèses quand $F(a)$ est négatif.
Confondre intégrale et aire : une intégrale peut être négative ou nulle, une aire jamais. Pour une aire, étudie le signe et utilise la valeur absolue.
Oublier de convertir les u.a. en $\text{cm}^2$ (ou les u.v. en $\text{cm}^3$ ) quand l'énoncé le demande.
Utiliser la positivité ou l'encadrement avec des bornes dans le mauvais ordre ( $a > b$ ).
Mal choisir dans l'intégration par parties : pour $\int x\,e^{x}\,dx$ , si tu dérives $e^{x}$ et intègres $x$ , le calcul se complique au lieu de se simplifier.
Écrire $\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b g(x)\,dx$ : c'est faux.
Oublier $\pi$ ou le carré dans la formule du volume : $V = \pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$ .

À retenir

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive quelconque de $f$ .
$x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .
Chasles : $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ ; l'intégrale est linéaire.
Si $a \leq b$ et $f \leq g$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; si $m \leq f \leq M$ , alors $m(b - a) \leq \int_a^b f \leq M(b - a)$ .
Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ , et il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \mu$ .
Par parties : $\int_a^b u'v = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b uv'$ ; dérive le polynôme ou le $\ln$ .
Aire : $\int_a^b |f(x)|\,dx$ ou $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ en u.a., avec $1\ \text{u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ .
Volume de révolution autour de l'axe des abscisses : $V = \pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$ u.v.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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