Géométrie dans l'espace : le cours

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Plan du chapitre

60 min
8 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

Dans tout le chapitre, l'espace est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ . Les vecteurs $\vec{u}(a, b, c)$ et $\vec{v}(a', b', c')$ sont donnés par leurs coordonnées dans ce repère.

1. Produit scalaire dans l'espace

Définition (Produit scalaire)

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ , où $\theta$ est une mesure de l'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Propriété (Expression analytique)

Dans un repère orthonormé :

\vec{u} \cdot \vec{v} = aa' + bb' + cc' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Pour deux points $A$ et $B$ : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

Le produit scalaire est symétrique ( $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ) et bilinéaire. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Exemple

Pour $\vec{u}(1, -2, 2)$ et $\vec{v}(2, 1, 3)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 + 6 = 6$ , $\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{14}$ .

2. Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Définition (Vecteur normal)

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal au plan $(P)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $(P)$ . Il est alors orthogonal à tout vecteur de $(P)$ .

Théorème (Équation cartésienne d'un plan)

Le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ . Il admet une équation de la forme :

ax + by + cz + d = 0 \qquad \text{avec } (a, b, c) \neq (0, 0, 0)

Réciproquement, tout ensemble d'équation $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ .

Exemple

Le plan passant par $A(1, 0, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$ a pour équation $2(x - 1) - (y - 0) + 3(z - 2) = 0$ , soit $2x - y + 3z - 8 = 0$ .

Propriété (Positions relatives)

Soit $(P)$ et $(Q)$ deux plans de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ , et $(D)$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ .

$(P) \parallel (Q) \iff \vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires.
$(P) \perp (Q) \iff \vec{n} \cdot \vec{n'} = 0$ .
$(D) \perp (P) \iff \vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
$(D) \parallel (P) \iff \vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ .

3. Distance d'un point à un plan

Théorème (Distance d'un point à un plan)

La distance du point $A(x_A, y_A, z_A)$ au plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$ est :

d(A, (P)) = \frac{|a x_A + b y_A + c z_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

C'est la distance $AH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$ .

Exemple

La distance de $A(1, 2, -1)$ au plan $(P) : x + 2y - 2z + 3 = 0$ vaut $\frac{|1 + 4 + 2 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{10}{3}$ .

4. Représentation paramétrique d'une droite

Propriété (Représentation paramétrique)

La droite $(D)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ non nul est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ avec $t \in \mathbb{R}$ , c'est-à-dire :

\begin{cases} x = x_A + a t \\ y = y_A + b t \\ z = z_A + c t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

Exemple

La droite passant par $A(1, -1, 2)$ et dirigée par $\vec{u}(2, 1, -3)$ admet la représentation $x = 1 + 2t$ , $y = -1 + t$ , $z = 2 - 3t$ avec $t \in \mathbb{R}$ . Pour $t = 1$ , on obtient le point $(3, 0, -1)$ de cette droite.

5. La sphère

Définition (Sphère)

La sphère $(S)$ de centre $\Omega$ et de rayon $R > 0$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\Omega M = R$ .

Propriété (Équation d'une sphère)

La sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $R$ a pour équation :

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

La sphère de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

Exemple

La sphère de centre $\Omega(2, -1, 0)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$ , soit en développant $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ .

Propriété (Ensemble d'équation développée)

L'ensemble $(E)$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ s'écrit $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = k$ avec $k = a^2 + b^2 + c^2 - d$ .

Si $k > 0$ : $(E)$ est la sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $\sqrt{k}$ .
Si $k = 0$ : $(E)$ est réduit au point $\Omega(a, b, c)$ .
Si $k < 0$ : $(E)$ est l'ensemble vide.

6. Position relative d'une sphère et d'un plan

Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ , $(P)$ un plan, $d = d(\Omega, (P))$ et $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$ .

Théorème (Sphère et plan)

Si $d > R$ : $(P)$ ne coupe pas $(S)$ .
Si $d = R$ : $(P)$ est tangent à $(S)$ au point $H$ .
Si $d < R$ : $(P)$ coupe $(S)$ selon le cercle de centre $H$ et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ .

Propriété (Plan tangent)

Si $A$ est un point de $(S)$ , le plan tangent à $(S)$ en $A$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ .

7. Position relative d'une sphère et d'une droite

Soit $(D)$ une droite et $d = d(\Omega, (D))$ la distance du centre à la droite.

Théorème (Sphère et droite)

Si $d > R$ : $(D)$ ne coupe pas $(S)$ .
Si $d = R$ : $(D)$ est tangente à $(S)$ (un seul point commun).
Si $d < R$ : $(D)$ coupe $(S)$ en deux points.

En pratique, on remplace $x$ , $y$ et $z$ par la représentation paramétrique de $(D)$ dans l'équation de $(S)$ : on obtient une équation du second degré en $t$ dont le nombre de solutions donne le nombre de points d'intersection.

8. Produit vectoriel

Définition (Produit vectoriel)

Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$ , est le vecteur défini ainsi :

si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ ;
sinon, $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ , la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est directe et $\|\vec{w}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\theta$ , où $\theta$ est une mesure de l'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Propriété (Règles de calcul)

$\vec{v} \wedge \vec{u} = -\,\vec{u} \wedge \vec{v}$ (le produit vectoriel est antisymétrique).
$(\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$ et $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$ .
$\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
$\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}$ , $\vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i}$ , $\vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j}$ .

Théorème (Expression analytique)

Dans un repère orthonormé direct :

\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} b & b' \\ c & c' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} a & a' \\ c & c' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a & a' \\ b & b' \end{vmatrix} \vec{k}

c'est-à-dire $\vec{u} \wedge \vec{v} = (bc' - cb')\,\vec{i} - (ac' - ca')\,\vec{j} + (ab' - ba')\,\vec{k}$ .

Exemple

Pour $\vec{u}(1, 2, -1)$ et $\vec{v}(3, 0, 1)$ : $\vec{u} \wedge \vec{v} = (2 \times 1 - (-1) \times 0)\,\vec{i} - (1 \times 1 - (-1) \times 3)\,\vec{j} + (1 \times 0 - 2 \times 3)\,\vec{k}$ , donc $\vec{u} \wedge \vec{v}(2, -4, -6)$ . Vérification : $\vec{u} \cdot (2, -4, -6) = 2 - 8 + 6 = 0$ .

Propriété (Applications du produit vectoriel)

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{0}$ .
Si $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .
L'aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$ .
La distance d'un point $M$ à la droite $(D)$ passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ est $d(M, (D)) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ .

Méthodes

Méthode 1 : Trouver une équation du plan passant par trois points

Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ .
Si $\vec{n} = \vec{0}$ , les points sont alignés : ils ne définissent pas un plan unique.
Sinon, écris $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c)$ les coordonnées de $\vec{n}$ .
Trouve $d$ en écrivant que $A$ appartient au plan, puis vérifie avec $B$ et $C$ .

Exemple

$A(1, 0, 1)$ , $B(2, 1, 0)$ , $C(0, 2, 1)$ . On a $\overrightarrow{AB}(1, 1, -1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1, 2, 0)$ , d'où $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1 \times 0 - (-1) \times 2)\,\vec{i} - (1 \times 0 - (-1) \times (-1))\,\vec{j} + (1 \times 2 - 1 \times (-1))\,\vec{k}$ , soit $\vec{n}(2, 1, 3)$ . Le plan s'écrit $2x + y + 3z + d = 0$ ; avec $A$ : $2 + 0 + 3 + d = 0$ , donc $d = -5$ . Ainsi $(ABC) : 2x + y + 3z - 5 = 0$ . Vérification : $B$ donne $4 + 1 + 0 - 5 = 0$ et $C$ donne $0 + 2 + 3 - 5 = 0$ .

Méthode 2 : Calculer une distance à un plan ou à une droite

Point-plan : applique directement la formule avec la valeur absolue.
Point-droite : choisis un point $A$ de $(D)$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ (lus sur la représentation paramétrique), calcule $\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}$ , puis divise sa norme par $\|\vec{u}\|$ .

Exemple

Distance de $\Omega(1, -1, 2)$ au plan $2x - y + 2z + 4 = 0$ : $\frac{|2 + 1 + 4 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{11}{3}$ .

Distance de $M(1, 2, 3)$ à la droite passant par $A(1, 0, 1)$ et dirigée par $\vec{u}(1, 1, 0)$ : $\overrightarrow{AM}(0, 2, 2)$ et $\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = (-2, 2, -2)$ , de norme $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ . Donc $d(M, (D)) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ .

Méthode 3 : Trouver le centre et le rayon d'une sphère

Regroupe les termes en $x$ , en $y$ et en $z$ .
Complète chaque carré : $x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$ .
Isole la constante $k$ à droite et regarde son signe.

Exemple

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ s'écrit $(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 5 = 0$ , soit $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$ . C'est la sphère de centre $\Omega(1, -2, 3)$ et de rayon $3$ .

En revanche, $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4z + 6 = 0$ donne $(x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 1 + 4 - 6 = -1 < 0$ : c'est l'ensemble vide.

Méthode 4 : Étudier l'intersection d'une sphère et d'un plan

Calcule $d = d(\Omega, (P))$ et compare-la à $R$ .
Si $d < R$ , le rayon du cercle est $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ .
Pour le centre $H$ du cercle : écris la droite passant par $\Omega$ et dirigée par $\vec{n}$ , puis cherche son intersection avec $(P)$ .

Exemple

$(S)$ de centre $\Omega(2, 1, -1)$ et de rayon $5$ , $(P) : x + 2y - 2z + 3 = 0$ . On a $d = \frac{|2 + 2 + 2 + 3|}{3} = 3 < 5$ , donc $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle de rayon $r = \sqrt{25 - 9} = 4$ . La droite $x = 2 + t$ , $y = 1 + 2t$ , $z = -1 - 2t$ coupe $(P)$ quand $(2 + t) + 2(1 + 2t) - 2(-1 - 2t) + 3 = 0$ , soit $9t + 9 = 0$ , donc $t = -1$ : le centre du cercle est $H(1, -1, 1)$ .

Méthode 5 : Trouver les points d'intersection d'une droite et d'une sphère

Remplace $x$ , $y$ , $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation de la sphère.
Résous l'équation du second degré obtenue.
Chaque solution $t$ donne un point : remplace-la dans la représentation paramétrique.

Exemple

$(S) : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$ et $(D) : x = 1 + t$ , $y = 0$ , $z = 2 + t$ . On obtient $t^2 + 4 + (t - 1)^2 = 9$ , soit $2t^2 - 2t - 4 = 0$ , c'est-à-dire $t^2 - t - 2 = 0$ . Les solutions sont $t = 2$ et $t = -1$ : $(D)$ coupe $(S)$ en $(3, 0, 4)$ et $(0, 0, 1)$ .

Méthode 6 : Écrire l'équation du plan tangent en un point

Vérifie que le point $A$ appartient bien à la sphère : $\Omega A = R$ .
Le plan tangent passe par $A$ et admet $\overrightarrow{\Omega A}$ comme vecteur normal.
Écris $\overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ et développe.

Exemple

La sphère de centre $\Omega(1, -2, 3)$ et de rayon $3$ contient $A(3, 0, 4)$ car $\Omega A = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ . Avec $\overrightarrow{\Omega A}(2, 2, 1)$ , le plan tangent en $A$ est $2(x - 3) + 2(y - 0) + (z - 4) = 0$ , soit $2x + 2y + z - 10 = 0$ . Contrôle : la distance de $\Omega$ à ce plan vaut $\frac{|2 - 4 + 3 - 10|}{3} = 3 = R$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Triangle rectangle dans l'espace

Facile

Énoncé

On considère les points $A(1, 2, 0)$ , $B(3, 1, 2)$ et $C(4, 6, -1)$ .

Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
Calcule les longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ . Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
Calcule l'aire du triangle $ABC$ .
Détermine le réel $m$ pour que le vecteur $\vec{w}(m, 4, 1)$ soit orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ .

Voir le corrigé

1. $\overrightarrow{AB}(3 - 1, 1 - 2, 2 - 0)$ , soit $\overrightarrow{AB}(2, -1, 2)$ , et $\overrightarrow{AC}(3, 4, -1)$ . Donc :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 + (-1) \times 4 + 2 \times (-1) = 6 - 4 - 2 = 0

2. $AB = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , $AC = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$ et $\overrightarrow{BC}(1, 5, -3)$ donne $BC = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$ .

Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ , le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On le confirme avec Pythagore : $AB^2 + AC^2 = 9 + 26 = 35 = BC^2$ .

3. Le triangle est rectangle en $A$ , donc son aire vaut :

\mathcal{A} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{3\sqrt{26}}{2} \approx 7{,}65

4. $\vec{w} \perp \overrightarrow{AB} \iff \vec{w} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \iff 2m - 4 + 2 = 0 \iff m = 1$ .

Exercice 2 : Équation d'un plan et plans parallèles

Facile

Énoncé

Soit $(P)$ le plan passant par $A(2, -1, 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, 3, -2)$ .

Détermine une équation cartésienne de $(P)$ .
Les points $B(1, 0, 2)$ et $C(1, 1, 1)$ appartiennent-ils à $(P)$ ?
Détermine une équation du plan $(Q)$ parallèle à $(P)$ et passant par $E(0, 2, -1)$ .
Montre que le plan $(R) : 4x - 2y - z + 1 = 0$ est perpendiculaire à $(P)$ .

Voir le corrigé

1. $M(x, y, z) \in (P) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff (x - 2) + 3(y + 1) - 2(z - 1) = 0$ .

En développant : $x - 2 + 3y + 3 - 2z + 2 = 0$ , donc $(P) : x + 3y - 2z + 3 = 0$ .

2. Pour $B$ : $1 + 0 - 4 + 3 = 0$ , donc $B \in (P)$ . Pour $C$ : $1 + 3 - 2 + 3 = 5 \neq 0$ , donc $C \notin (P)$ .

3. $(Q)$ est parallèle à $(P)$ , donc $\vec{n}(1, 3, -2)$ est aussi normal à $(Q)$ : $(Q) : x + 3y - 2z + d = 0$ . Comme $E \in (Q)$ : $0 + 6 + 2 + d = 0$ , donc $d = -8$ .

Ainsi $(Q) : x + 3y - 2z - 8 = 0$ .

4. Un vecteur normal à $(R)$ est $\vec{n'}(4, -2, -1)$ . On calcule $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 4 - 6 + 2 = 0$ : les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc $(R) \perp (P)$ .

Exercice 3 : Produit vectoriel et aire d'un triangle

Moyen

Énoncé

On considère $A(1, -1, 0)$ , $B(2, 1, 1)$ , $C(0, 1, 3)$ et $D(3, 3, 2)$ .

Calcule $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ?
Calcule l'aire du triangle $ABC$ .
Déduis-en une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .
Montre que les points $A$ , $B$ et $D$ sont alignés.
Calcule la distance du point $C$ à la droite $(AB)$ .

Voir le corrigé

1. $\overrightarrow{AB}(1, 2, 1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1, 2, 3)$ . Avec l'expression analytique :

\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (2 \times 3 - 1 \times 2)\,\vec{i} - (1 \times 3 - 1 \times (-1))\,\vec{j} + (1 \times 2 - 2 \times (-1))\,\vec{k}

Donc $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}(4, -4, 4)$ . Ce vecteur n'est pas nul, donc $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.

2. $\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{16 + 16 + 16} = 4\sqrt{3}$ , donc l'aire vaut $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

3. Le vecteur $(4, -4, 4)$ est normal à $(ABC)$ , donc aussi $\vec{n}(1, -1, 1)$ (on divise par $4$ ). Ainsi $(ABC) : x - y + z + d = 0$ , et $A \in (ABC)$ donne $1 + 1 + 0 + d = 0$ , soit $d = -2$ .

$(ABC) : x - y + z - 2 = 0$ . Vérification : $B$ donne $2 - 1 + 1 - 2 = 0$ et $C$ donne $0 - 1 + 3 - 2 = 0$ .

4. $\overrightarrow{AD}(2, 4, 2) = 2\,\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} = 2\,(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$ : les points $A$ , $B$ , $D$ sont alignés.

5. La droite $(AB)$ passe par $A$ et est dirigée par $\overrightarrow{AB}$ . On a $\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AB} = -\,\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ , de norme $4\sqrt{3}$ , et $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{6}$ . Donc :

d(C, (AB)) = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

Contrôle : aire $= \frac{1}{2} \times AB \times d(C, (AB)) = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , comme à la question 2.

Exercice 4 : Reconnaître une sphère

Moyen

Énoncé

Détermine la nature de l'ensemble $(E_1) : x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z + 5 = 0$ .
Même question pour $(E_2) : x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y + 6 = 0$ .
Même question pour $(E_3) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z + 5 = 0$ .
Soit $A(1, 2, -1)$ et $B(3, 0, 1)$ . Détermine une équation de la sphère $(S)$ de diamètre $[AB]$ , puis son centre et son rayon.

Voir le corrigé

1. On complète les carrés : $(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 + 5 = 0$ , soit $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9$ .

$(E_1)$ est la sphère de centre $\Omega_1(3, -1, 2)$ et de rayon $3$ .

2. $(x + 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 + 6 = 0$ , soit $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = -1$ . Une somme de carrés ne peut pas être négative : $(E_2) = \emptyset$ .

3. $(x - 1)^2 - 1 + y^2 + (z + 2)^2 - 4 + 5 = 0$ , soit $(x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 0$ . Les trois carrés sont nuls : $(E_3)$ est réduit au point $(1, 0, -2)$ .

4. $M(x, y, z) \in (S) \iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ , c'est-à-dire :

(1 - x)(3 - x) + (2 - y)(0 - y) + (-1 - z)(1 - z) = 0

En développant : $x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2y + z^2 - 1 = 0$ , donc $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 2 = 0$ .

Puis $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4 + 1 - 2 = 3$ : centre $\Omega(2, 1, 0)$ , milieu de $[AB]$ , et rayon $\sqrt{3}$ . Contrôle : $AB = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}$ , donc $\frac{AB}{2} = \sqrt{3}$ .

Exercice 5 : Droite, plan et distance

Moyen

Énoncé

Soit $A(2, 0, -1)$ et $B(3, 2, 0)$ , et le plan $(P) : x - y + 2z + 3 = 0$ .

Donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .
Les points $C(5, 6, 2)$ et $E(0, -4, -2)$ appartiennent-ils à $(AB)$ ?
Détermine le point d'intersection de $(AB)$ et de $(P)$ .
Calcule la distance du point $M(1, 1, 1)$ à la droite $(AB)$ .

Voir le corrigé

1. $(AB)$ passe par $A(2, 0, -1)$ et est dirigée par $\overrightarrow{AB}(1, 2, 1)$ :

(AB) : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

2. Pour $C$ : $2 + t = 5$ donne $t = 3$ , puis $y = 6$ et $z = 2$ : les trois équations sont vérifiées, donc $C \in (AB)$ .

Pour $E$ : $2 + t = 0$ donne $t = -2$ , puis $y = -4$ (correct) mais $z = -3 \neq -2$ : donc $E \notin (AB)$ .

3. On remplace dans l'équation de $(P)$ : $(2 + t) - 2t + 2(-1 + t) + 3 = 0$ , soit $t + 3 = 0$ , donc $t = -3$ .

Le point d'intersection est $(2 - 3, -6, -1 - 3)$ , c'est-à-dire $(-1, -6, -4)$ . Contrôle : $-1 + 6 - 8 + 3 = 0$ .

4. $\overrightarrow{AM}(-1, 1, 2)$ et $\vec{u} = \overrightarrow{AB}(1, 2, 1)$ :

\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = (1 \times 1 - 2 \times 2)\,\vec{i} - ((-1) \times 1 - 2 \times 1)\,\vec{j} + ((-1) \times 2 - 1 \times 1)\,\vec{k}

Donc $\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}(-3, 3, -3)$ , de norme $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ . Avec $\|\vec{u}\| = \sqrt{6}$ :

d(M, (AB)) = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12

Exercice 6 : Une famille de droites et une sphère

Difficile

Énoncé

Soit $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$ et, pour tout réel $a$ , la droite $(D_a)$ de représentation paramétrique $x = a + t$ , $y = 2$ , $z = -1 + t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).

Détermine le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$ .
Calcule $d(\Omega, (D_a))$ en fonction de $a$ .
Discute, selon les valeurs de $a$ , le nombre de points communs à $(D_a)$ et $(S)$ .
Pour $a = 4$ , détermine les points d'intersection de $(D_4)$ et $(S)$ .

Voir le corrigé

1. $(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 - 3 = 0$ , soit $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9$ . Donc $\Omega(1, 2, -1)$ et $R = 3$ .

2. $(D_a)$ passe par $A_a(a, 2, -1)$ (pour $t = 0$ ) et est dirigée par $\vec{u}(1, 0, 1)$ . On a $\overrightarrow{\Omega A_a}(a - 1, 0, 0)$ et :

\overrightarrow{\Omega A_a} \wedge \vec{u} = (0 \times 1 - 0 \times 0)\,\vec{i} - ((a - 1) \times 1 - 0 \times 1)\,\vec{j} + ((a - 1) \times 0 - 0 \times 1)\,\vec{k}

soit $\overrightarrow{\Omega A_a} \wedge \vec{u}(0, 1 - a, 0)$ , de norme $|a - 1|$ . Comme $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ :

d(\Omega, (D_a)) = \frac{|a - 1|}{\sqrt{2}}

3. On compare à $R = 3$ : $\frac{|a - 1|}{\sqrt{2}} < 3 \iff |a - 1| < 3\sqrt{2}$ .

Si $1 - 3\sqrt{2} < a < 1 + 3\sqrt{2}$ : $(D_a)$ coupe $(S)$ en deux points.
Si $a = 1 - 3\sqrt{2}$ ou $a = 1 + 3\sqrt{2}$ : $(D_a)$ est tangente à $(S)$ .
Si $a < 1 - 3\sqrt{2}$ ou $a > 1 + 3\sqrt{2}$ : $(D_a)$ ne coupe pas $(S)$ .

Contrôle par le calcul : en remplaçant, $(a - 1 + t)^2 + 0 + t^2 = 9$ , soit $2t^2 + 2(a - 1)t + (a - 1)^2 - 9 = 0$ , de discriminant réduit $\Delta' = (a - 1)^2 - 2\left[(a - 1)^2 - 9\right] = 18 - (a - 1)^2$ . On retrouve $\Delta' > 0 \iff |a - 1| < 3\sqrt{2}$ .

4. Pour $a = 4$ : $2t^2 + 6t + 9 - 9 = 0$ , soit $2t(t + 3) = 0$ , donc $t = 0$ ou $t = -3$ .

Les points d'intersection sont $(4, 2, -1)$ et $(1, 2, -4)$ . Contrôle : $\Omega$ est à la distance $\sqrt{9 + 0 + 0} = 3$ du premier et $\sqrt{0 + 0 + 9} = 3$ du second.

Exercice 7 : Plan, sphère et cercle d'intersection

Type Bac

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A(0, 1, 0)$ , $B(2, 1, 2)$ , $C(1, -1, 0)$ et la sphère $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y + 2z - 11 = 0$ .

a) Calcule $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ . b) Déduis-en que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés et que $2x + y - 2z - 1 = 0$ est une équation du plan $(ABC)$ . c) Calcule l'aire du triangle $ABC$ .
Montre que $(S)$ a pour centre $\Omega(3, 2, -1)$ et pour rayon $5$ .
a) Calcule $d(\Omega, (ABC))$ . b) Déduis-en que $(ABC)$ coupe $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ dont tu donneras le rayon.
Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire à $(ABC)$ . a) Donne une représentation paramétrique de $(\Delta)$ . b) Détermine le centre $H$ du cercle $(\Gamma)$ .
Vérifie que $E(6, 6, -1)$ appartient à $(S)$ , puis détermine une équation du plan $(Q)$ tangent à $(S)$ en $E$ .

Voir le corrigé

1. a) $\overrightarrow{AB}(2, 0, 2)$ et $\overrightarrow{AC}(1, -2, 0)$ :

\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (0 \times 0 - 2 \times (-2))\,\vec{i} - (2 \times 0 - 2 \times 1)\,\vec{j} + (2 \times (-2) - 0 \times 1)\,\vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}

1. b) Ce vecteur n'est pas nul, donc $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. Le vecteur $\vec{n}(2, 1, -2)$ , colinéaire à $(4, 2, -4)$ , est normal à $(ABC)$ , d'où $(ABC) : 2x + y - 2z + d = 0$ . Avec $A$ : $0 + 1 - 0 + d = 0$ , donc $d = -1$ . On obtient bien $(ABC) : 2x + y - 2z - 1 = 0$ .

1. c) $\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$ , donc l'aire de $ABC$ vaut $\frac{6}{2} = 3$ .

2. $(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 - 11 = 0$ , soit $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 25$ . Donc $\Omega(3, 2, -1)$ et $R = 5$ .

3. a) $d(\Omega, (ABC)) = \frac{|6 + 2 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3$ .

3. b) $d = 3 < 5 = R$ , donc $(ABC)$ coupe $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

4. a) $(\Delta)$ est dirigée par $\vec{n}(2, 1, -2)$ et passe par $\Omega$ : $x = 3 + 2t$ , $y = 2 + t$ , $z = -1 - 2t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).

4. b) $H$ est l'intersection de $(\Delta)$ et de $(ABC)$ : $2(3 + 2t) + (2 + t) - 2(-1 - 2t) - 1 = 0$ , soit $9t + 9 = 0$ , donc $t = -1$ et $H(1, 1, 1)$ . Contrôle : $2 + 1 - 2 - 1 = 0$ et $\Omega H = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 = d$ .

5. $\overrightarrow{\Omega E}(3, 4, 0)$ et $\Omega E = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5 = R$ , donc $E \in (S)$ .

$(Q)$ passe par $E$ et admet $\overrightarrow{\Omega E}$ comme vecteur normal : $3(x - 6) + 4(y - 6) + 0 \times (z + 1) = 0$ , soit $(Q) : 3x + 4y - 42 = 0$ .

Exercice 8 : Sphère, droite et plans tangents

Type Bac

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct, on considère la sphère $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 2z - 7 = 0$ et la droite $(D)$ définie par $x = 1 + t$ , $y = 1 - t$ , $z = 1$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).

Détermine le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$ .
a) Vérifie que $A(1, 1, 1)$ appartient à $(D)$ et que $\vec{u}(1, -1, 0)$ dirige $(D)$ . b) Calcule $\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}$ et déduis-en $d(\Omega, (D))$ . c) Que peux-tu en conclure ?
Détermine les coordonnées des points $E$ et $F$ communs à $(D)$ et $(S)$ (on notera $E$ celui d'abscisse positive).
a) Calcule $\overrightarrow{\Omega E} \wedge \overrightarrow{\Omega F}$ puis l'aire du triangle $\Omega EF$ . b) Déduis-en une équation du plan $(\Omega EF)$ . c) Retrouve $d(\Omega, (D))$ à l'aide de l'aire du triangle $\Omega EF$ .
Détermine les équations des plans tangents à $(S)$ et parallèles au plan $(P) : x + 2y + 2z = 0$ .

Voir le corrigé

1. $x^2 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 1)^2 - 1 - 7 = 0$ , soit $x^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 9$ . Donc $\Omega(0, 1, -1)$ et $R = 3$ .

2. a) Pour $t = 0$ on obtient $(1, 1, 1)$ , donc $A \in (D)$ . Les coefficients de $t$ donnent le vecteur directeur $\vec{u}(1, -1, 0)$ .

2. b) $\overrightarrow{\Omega A}(1, 0, 2)$ :

\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} = (0 \times 0 - 2 \times (-1))\,\vec{i} - (1 \times 0 - 2 \times 1)\,\vec{j} + (1 \times (-1) - 0 \times 1)\,\vec{k} = 2\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}

Sa norme vaut $\sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ , donc $d(\Omega, (D)) = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12$ .

2. c) $d(\Omega, (D)) < 3 = R$ : la droite $(D)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points.

3. On remplace : $(1 + t)^2 + (-t)^2 + 2^2 = 9$ , soit $2t^2 + 2t - 4 = 0$ , c'est-à-dire $t^2 + t - 2 = 0$ . Les solutions sont $t = 1$ et $t = -2$ .

On obtient $E(2, 0, 1)$ et $F(-1, 3, 1)$ . Contrôle : $4 + 1 + 4 = 9$ et $1 + 4 + 4 = 9$ .

4. a) $\overrightarrow{\Omega E}(2, -1, 2)$ et $\overrightarrow{\Omega F}(-1, 2, 2)$ :

\overrightarrow{\Omega E} \wedge \overrightarrow{\Omega F} = ((-1) \times 2 - 2 \times 2)\,\vec{i} - (2 \times 2 - 2 \times (-1))\,\vec{j} + (2 \times 2 - (-1) \times (-1))\,\vec{k} = -6\vec{i} - 6\vec{j} + 3\vec{k}

Sa norme vaut $\sqrt{36 + 36 + 9} = 9$ , donc l'aire de $\Omega EF$ vaut $\frac{9}{2}$ .

4. b) Le vecteur $(-6, -6, 3)$ est normal au plan, donc aussi $(2, 2, -1)$ : $2x + 2y - z + d = 0$ . Avec $\Omega$ : $0 + 2 + 1 + d = 0$ , donc $d = -3$ et $(\Omega EF) : 2x + 2y - z - 3 = 0$ . Contrôle : $E$ donne $4 + 0 - 1 - 3 = 0$ et $F$ donne $-2 + 6 - 1 - 3 = 0$ .

4. c) $EF = \sqrt{9 + 9 + 0} = 3\sqrt{2}$ . La hauteur issue de $\Omega$ dans le triangle $\Omega EF$ est exactement $d(\Omega, (D))$ , car $(EF) = (D)$ . Donc $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times d = \frac{9}{2}$ , d'où $d = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ : on retrouve le résultat de la question 2.

5. Un plan parallèle à $(P)$ s'écrit $x + 2y + 2z + d = 0$ . Il est tangent à $(S)$ si et seulement si sa distance à $\Omega$ vaut $R = 3$ :

\frac{|0 + 2 - 2 + d|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3 \iff |d| = 9 \iff d = 9 \text{ ou } d = -9

Les deux plans cherchés sont $x + 2y + 2z + 9 = 0$ et $x + 2y + 2z - 9 = 0$ .

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins devant la deuxième composante du produit vectoriel : c'est $-(ac' - ca')$ , pas $(ac' - ca')$ . Vérifie toujours que ton résultat est orthogonal aux deux vecteurs de départ.
Écrire $\vec{v} \wedge \vec{u} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ : le produit vectoriel est antisymétrique, l'ordre change le signe.
Confondre vecteur normal d'un plan et vecteur directeur d'une droite : une droite perpendiculaire à $(P)$ est dirigée par le vecteur normal de $(P)$ .
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance d'un point à un plan : une distance est toujours positive.
Calculer l'aire du triangle $ABC$ avec $\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$ sans le facteur $\frac{1}{2}$ : cette norme est l'aire du parallélogramme.
Prendre $r = R - d$ comme rayon du cercle d'intersection : le bon rayon est $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (Pythagore dans le triangle $\Omega H M$ rectangle en $H$ , où $M$ est un point du cercle).
En complétant les carrés, oublier de retrancher $a^2$ , $b^2$ et $c^2$ , ou conclure « sphère » sans vérifier que la constante $k$ est strictement positive.
Utiliser le même paramètre $t$ pour deux droites différentes lors d'une recherche d'intersection : prends $t$ pour l'une et $s$ pour l'autre.

À retenir

Produit scalaire en repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = aa' + bb' + cc'$ ; $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ : $ax + by + cz + d = 0$ ; on trouve $d$ avec un point du plan.
Distance d'un point à un plan : $d(A, (P)) = \frac{|a x_A + b y_A + c z_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .
Sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $R$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ ; complète les carrés pour lire le centre et le rayon.
Sphère et plan : compare $d(\Omega, (P))$ à $R$ ; si $d < R$ , cercle de centre $H$ et de rayon $\sqrt{R^2 - d^2}$ .
Plan tangent en $A$ : il passe par $A$ et admet $\overrightarrow{\Omega A}$ comme vecteur normal.
Produit vectoriel : $\vec{u} \wedge \vec{v} = (bc' - cb')\,\vec{i} - (ac' - ca')\,\vec{j} + (ab' - ba')\,\vec{k}$ , orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ : nul si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, sinon normal à $(ABC)$ ; l'aire de $ABC$ vaut $\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$ .
Distance d'un point à une droite : $d(M, (D)) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ , puis compare-la à $R$ pour l'intersection droite-sphère.

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Tes notes restent sur cet appareil.

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