Fonctions primitives : le cours

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Plan du chapitre

45 min
9 exercices corrigés
7 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

Dériver, tu sais faire. Ici, on fait le chemin inverse : on connaît une fonction $f$ et on cherche une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ . Cette opération est la base du calcul intégral.

1. Définition

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple

$F(x) = x^3 + 2x$ est une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2$ sur $\mathbb{R}$ , car $F'(x) = 3x^2 + 2$ .

2. Existence et ensemble des primitives

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (résultat admis).

Propriété

Si $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + k$ , où $k$ est une constante réelle.

En effet, si $G$ est une autre primitive, alors $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle $I$ , donc $G - F$ est constante. C'est pour cela qu'on dit « une » primitive et non « la » primitive.

3. Primitive prenant une valeur donnée

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ . Il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$ .

Exemple

Les primitives de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ sont $x \mapsto x^2 + k$ . Celle qui vaut $5$ en $x_0 = 1$ vérifie $1 + k = 5$ , donc $G(x) = x^2 + 4$ .

4. Primitives des fonctions usuelles

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur l'intervalle
$a$ (constante réelle)	$ax$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x}$	$]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$
$\frac{1}{x^n}$ ( $n \geq 2$ )	$-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0, +\infty[$
$x^r$ ( $r \in \mathbb{Q}$ , $r \neq -1$ )	$\frac{x^{r+1}}{r+1}$	$]0, +\infty[$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x$	$\left]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[$
$\cos(ax + b)$ ( $a \neq 0$ )	$\frac{1}{a}\sin(ax + b)$	$\mathbb{R}$
$\sin(ax + b)$ ( $a \neq 0$ )	$-\frac{1}{a}\cos(ax + b)$	$\mathbb{R}$

5. Opérations sur les primitives

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ . Dans chaque ligne, on suppose que les expressions ont un sens sur $I$ .

Fonction	Une primitive	Condition sur $I$
$u' + v'$	$u + v$	aucune
$k\,u'$ ( $k \in \mathbb{R}$ )	$k\,u$	aucune
$u'\,u^n$ ( $n \in \mathbb{N}$ )	$\frac{u^{n+1}}{n+1}$	aucune
$u'\,u^r$ ( $r \in \mathbb{Q}$ , $r \neq -1$ )	$\frac{u^{r+1}}{r+1}$	$u > 0$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u}$	$u$ ne s'annule pas
$\frac{u'}{u^n}$ ( $n \geq 2$ )	$-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}}$	$u$ ne s'annule pas
$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt{u}$	$u > 0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$u > 0$
$u'\cos u$	$\sin u$	aucune
$u'\sin u$	$-\cos u$	aucune
$u'(1 + \tan^2 u)$	$\tan u$	$\cos u$ ne s'annule pas
$u'v + uv'$	$uv$	aucune
$\frac{u'v - uv'}{v^2}$	$\frac{u}{v}$	$v$ ne s'annule pas
$u' \times (v' \circ u)$	$v \circ u$	aucune

Propriété

Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$ , et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels, alors $\alpha F + \beta G$ est une primitive de $\alpha f + \beta g$ sur $I$ .

Attention

Il n'existe pas de formule générale pour un produit ou un quotient : une primitive de $f \times g$ n'est pas $F \times G$ . Cherche toujours à reconnaître une forme du tableau, quitte à ajuster une constante multiplicative.

Remarque

Les formes $\frac{u'}{u}$ (de primitive $\ln|u|$ ) et $u'e^{u}$ (de primitive $e^{u}$ ) seront vues dans les chapitres sur la fonction logarithme et la fonction exponentielle. En attendant, tu ne sais pas encore exprimer une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ : ce sera justement la fonction $\ln$ .

Méthodes

Méthode 1 : Reconnaître une forme $u'u^n$ en ajustant la constante

Repère la fonction $u$ , celle qui est élevée à une puissance.
Calcule $u'$ et compare-la au facteur présent : il ne doit manquer qu'une constante multiplicative.
Fais apparaître $u'$ en multipliant et en divisant par cette constante, puis applique la formule.
Vérifie en dérivant ton résultat.

Exemple

Soit $f(x) = x^2(x^3 + 1)^4$ . Avec $u(x) = x^3 + 1$ , on a $u'(x) = 3x^2$ , donc $f = \frac{1}{3}\,u'\,u^4$ . Une primitive est $F(x) = \frac{1}{3} \times \frac{(x^3 + 1)^5}{5} = \frac{(x^3 + 1)^5}{15}$ .

Méthode 2 : Reconnaître $\frac{u'}{u^2}$ ou $\frac{u'}{\sqrt{u}}$

Repère la fonction $u$ au dénominateur (au carré ou sous la racine).
Vérifie que le numérateur est $u'$ , à une constante près.
Applique : $\frac{u'}{u^2}$ donne $-\frac{1}{u}$ et $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ donne $2\sqrt{u}$ . Précise l'intervalle.

Exemple

Sur $\left]\frac{1}{3}, +\infty\right[$ , $f(x) = \frac{3}{(3x - 1)^2}$ est de la forme $\frac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = 3x - 1$ : $F(x) = -\frac{1}{3x - 1}$ . Sur $\mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ , donc $G(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ .

Méthode 3 : Trouver la primitive qui prend une valeur donnée

Détermine une primitive $F$ de $f$ , puis écris toutes les primitives $F + k$ .
Traduis la condition $G(x_0) = y_0$ par une équation d'inconnue $k$ .
Résous et écris $G$ explicitement.

Exemple

Soit $f(x) = 4x^3 - 1$ . On cherche $G$ telle que $G(1) = 5$ . On a $G(x) = x^4 - x + k$ et $G(1) = 1 - 1 + k = k$ , donc $k = 5$ : $G(x) = x^4 - x + 5$ .

Méthode 4 : Linéariser $\cos^2 x$ et $\sin^2 x$

Utilise les formules $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ et $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ .
Calcule une primitive de chaque terme avec $\cos(ax + b)$ .

Exemple

$\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$ , donc une primitive est $F(x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}$ .

Méthode 5 : Transformer une fraction avant de chercher une primitive

Si le numérateur ressemble au dénominateur, fais apparaître celui-ci dans le numérateur.
Sépare en une somme de termes du tableau (constante, $\frac{u'}{u^2}$ , $\frac{u'}{u^n}$ ...).
Calcule une primitive de chaque terme.

Exemple

Sur $]-1, +\infty[$ , $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 1}{(x+1)^2} = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$ . Une primitive est $F(x) = x + \frac{1}{x + 1}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Primitives usuelles

Facile

Énoncé

Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

$f_1(x) = 6x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$
$f_2(x) = \frac{x^4}{2} - \frac{3}{x^2}$ sur $]0, +\infty[$
$f_3(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \cos x$ sur $]0, +\infty[$
$f_4(x) = \frac{1}{x^3}$ sur $]0, +\infty[$

Voir le corrigé

$F_1(x) = 6 \times \frac{x^3}{3} - 4 \times \frac{x^2}{2} + 5x = 2x^3 - 2x^2 + 5x$ .
$F_2(x) = \frac{1}{2} \times \frac{x^5}{5} - 3 \times \left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{x^5}{10} + \frac{3}{x}$ .
$F_3(x) = 2\sqrt{x} + \sin x$ .
Avec la formule de $\frac{1}{x^n}$ pour $n = 3$ : $F_4(x) = -\frac{1}{2x^2}$ . Vérification : $F_4'(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{-2x}{x^4} = \frac{1}{x^3}$ .

Exercice 2 : Forme $u'u^n$

Facile

Énoncé

Détermine une primitive de chaque fonction sur $\mathbb{R}$ .

$f(x) = (2x + 1)(x^2 + x + 3)^4$
$g(x) = x(x^2 - 1)^3$
$h(x) = (3x - 2)^5$

Voir le corrigé

Avec $u(x) = x^2 + x + 3$ , on a $u'(x) = 2x + 1$ : $f = u'\,u^4$ , donc $F(x) = \frac{(x^2 + x + 3)^5}{5}$ .
Avec $u(x) = x^2 - 1$ , $u'(x) = 2x$ , donc $g = \frac{1}{2}\,u'\,u^3$ et $G(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(x^2 - 1)^4}{4} = \frac{(x^2 - 1)^4}{8}$ .
Avec $u(x) = 3x - 2$ , $u'(x) = 3$ , donc $h = \frac{1}{3}\,u'\,u^5$ et $H(x) = \frac{1}{3} \times \frac{(3x - 2)^6}{6} = \frac{(3x - 2)^6}{18}$ .

Exercice 3 : Formes $\frac{u'}{u^2}$ et $\frac{u'}{\sqrt{u}}$

Facile

Énoncé

Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = \frac{2}{(2x + 1)^2}$ sur $\left]-\frac{1}{2}, +\infty\right[$
$g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = \frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 5)^2}$ sur $\mathbb{R}$

Voir le corrigé

Avec $u(x) = 2x + 1$ , $u'(x) = 2$ : $f = \frac{u'}{u^2}$ , donc $F(x) = -\frac{1}{2x + 1}$ .
Avec $u(x) = x^2 + 4 > 0$ , $u'(x) = 2x$ : $g = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , donc $G(x) = \sqrt{x^2 + 4}$ .
Avec $u(x) = x^2 + 2x + 5$ , on a $u'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1)$ . De plus $u(x) = (x + 1)^2 + 4 > 0$ , donc $u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ . Ainsi $h = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u^2}$ et :

H(x) = -\frac{1}{2(x^2 + 2x + 5)}

Exercice 4 : Fonctions trigonométriques

Moyen

Énoncé

Détermine une primitive de chaque fonction.

$f(x) = \sin(3x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = \sin x \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = \cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \tan^2 x$ sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$

Voir le corrigé

$F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x) + 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ , car une primitive de $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ est $\frac{1}{1/2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ .
Avec $u(x) = \cos x$ , $u'(x) = -\sin x$ , donc $g = -u'\,u^3$ et $G(x) = -\frac{\cos^4 x}{4}$ .
$\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ , donc $H(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}$ .
$\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1$ , donc $K(x) = \tan x - x$ .

Exercice 5 : Primitive prenant une valeur donnée

Moyen

Énoncé

Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + \frac{1}{x^2}$ sur $]0, +\infty[$ . Détermine la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1) = 2$ .
Soit $g(x) = \cos(2x) - \sin x$ sur $\mathbb{R}$ . Détermine la primitive $G$ de $g$ telle que $G(\pi) = 0$ .

Voir le corrigé

Les primitives de $f$ sont $F(x) = x^3 - x^2 - \frac{1}{x} + k$ . Alors $F(1) = 1 - 1 - 1 + k = k - 1$ , et $F(1) = 2$ donne $k = 3$ :

F(x) = x^3 - x^2 - \frac{1}{x} + 3

Les primitives de $g$ sont $G(x) = \frac{\sin(2x)}{2} + \cos x + k$ . Alors $G(\pi) = 0 + (-1) + k$ , et $G(\pi) = 0$ donne $k = 1$ :

G(x) = \frac{\sin(2x)}{2} + \cos x + 1

Exercice 6 : Puissances rationnelles

Moyen

Énoncé

Détermine une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ sur $]0, +\infty[$
$g(x) = x\sqrt{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$ sur $\left]-\frac{1}{2}, +\infty\right[$

Voir le corrigé

$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ , donc $F(x) = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,x\sqrt[3]{x}$ .
Avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$ et $u'(x) = 2x$ : $g = \frac{1}{2}\,u'\,u^{\frac{1}{2}}$ , donc $G(x) = \frac{1}{2} \times \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}$ .
$h(x) = (2x + 1)^{-\frac{2}{3}}$ . Avec $u(x) = 2x + 1 > 0$ et $u'(x) = 2$ : $h = \frac{1}{2}\,u'\,u^{-\frac{2}{3}}$ , donc $H(x) = \frac{1}{2} \times \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2x + 1}$ .

Vérification de 3. : $H'(x) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \times 2\,(2x + 1)^{-\frac{2}{3}} = (2x + 1)^{-\frac{2}{3}} = h(x)$ .

Exercice 7 : Décomposer une fraction

Difficile

Énoncé

Soit $f(x) = \frac{x}{(x + 1)^3}$ sur $]-1, +\infty[$ .

Montre que $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x + 1)^3}$ .
Déduis une primitive $F$ de $f$ sur $]-1, +\infty[$ .
Détermine la primitive $G$ de $f$ qui s'annule en $0$ , et montre que $G(x) = \frac{x^2}{2(x + 1)^2}$ .

Voir le corrigé

$\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 1}{(x + 1)^3} = \frac{x}{(x + 1)^3} = f(x)$ .

Avec $u(x) = x + 1$ ( $u' = 1$ ), $\frac{1}{u^2}$ a pour primitive $-\frac{1}{u}$ et $\frac{1}{u^3}$ a pour primitive $-\frac{1}{2u^2}$ . Donc :

F(x) = -\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2}

$F(0) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ , donc $G(x) = F(x) + \frac{1}{2}$ . On réduit au même dénominateur :

G(x) = \frac{-2(x + 1) + 1 + (x + 1)^2}{2(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 1}{2(x + 1)^2} = \frac{x^2}{2(x + 1)^2}

Contrôle : $G(0) = 0$ .

Exercice 8 : Vérifier puis exploiter une primitive

Type Bac

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1, +\infty[$ par $f(x) = x\sqrt{x + 1}$ .

Montre que $F(x) = \frac{2}{15}(3x - 2)(x + 1)\sqrt{x + 1}$ est une primitive de $f$ sur $]-1, +\infty[$ .
Déduis la primitive $G$ de $f$ qui s'annule en $0$ .
Retrouve le résultat de 1. autrement : vérifie que $f(x) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x + 1)^{\frac{1}{2}}$ , puis calcule une primitive de chaque terme.

Voir le corrigé

On écrit $F(x) = \frac{2}{15}(3x - 2)(x + 1)^{\frac{3}{2}}$ et on dérive le produit :

F'(x) = \frac{2}{15}\left[3(x + 1)^{\frac{3}{2}} + (3x - 2) \times \frac{3}{2}(x + 1)^{\frac{1}{2}}\right] = \frac{2}{15}\sqrt{x + 1}\left[3(x + 1) + \frac{3}{2}(3x - 2)\right]

Le crochet vaut $3x + 3 + \frac{9}{2}x - 3 = \frac{15}{2}x$ . Donc $F'(x) = \frac{2}{15} \times \frac{15}{2}\,x\sqrt{x + 1} = x\sqrt{x + 1} = f(x)$ .

$F(0) = \frac{2}{15} \times (-2) \times 1 = -\frac{4}{15}$ . La primitive qui s'annule en $0$ est $G(x) = F(x) - F(0) = F(x) + \frac{4}{15}$ .

$(x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x + 1)^{\frac{1}{2}} = (x + 1)^{\frac{1}{2}}\big((x + 1) - 1\big) = x\sqrt{x + 1}$ . Avec la forme $u'u^r$ ( $u(x) = x + 1$ ) :

\frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} = (x + 1)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2(x + 1)}{5} - \frac{2}{3}\right) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} \times \frac{6x - 4}{15}

et $\frac{6x - 4}{15} = \frac{2}{15}(3x - 2)$ : on retrouve exactement $F(x)$ .

Exercice 9 : Primitive de $\sin^3 x$

Type Bac

Énoncé

Soit $f(x) = \sin^3 x$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f(x) = \sin x - \sin x\cos^2 x$ .
Déduis une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Détermine la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 0$ , puis calcule $F(\pi)$ .

Voir le corrigé

$\sin^3 x = \sin x \times \sin^2 x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x\cos^2 x$ .

Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ . Pour $\sin x\cos^2 x$ , on pose $u(x) = \cos x$ , $u'(x) = -\sin x$ : $\sin x\cos^2 x = -u'\,u^2$ , de primitive $-\frac{\cos^3 x}{3}$ . Donc une primitive de $f$ est :

x \mapsto -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}

$F(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + k$ et $F(0) = -1 + \frac{1}{3} + k = k - \frac{2}{3}$ . La condition $F(0) = 0$ donne $k = \frac{2}{3}$ :

F(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2}{3}

Enfin $F(\pi) = -(-1) + \frac{(-1)^3}{3} + \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ .

QCM

QCM de 7 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Dériver au lieu de chercher une primitive : une primitive de $x^3$ est $\frac{x^4}{4}$ , pas $3x^2$ .
Oublier la constante d'ajustement : une primitive de $(3x - 2)^5$ est $\frac{(3x - 2)^6}{18}$ , pas $\frac{(3x - 2)^6}{6}$ . Vérifie toujours en dérivant.
Se tromper de signe : une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ , et une primitive de $\frac{u'}{u^2}$ est $-\frac{1}{u}$ .
Prendre $F \times G$ comme primitive de $f \times g$ : cette « formule » est fausse.
Ne pas préciser l'intervalle : les propriétés des primitives (existence, unicité à une constante près) ne valent que sur un intervalle. Pour $\frac{1}{x^2}$ , travaille sur $]0, +\infty[$ ou sur $]-\infty, 0[$ , car $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle.
Oublier de déterminer la constante $k$ quand l'énoncé impose une condition $G(x_0) = y_0$ .
Appliquer la formule $u'u^n$ alors que le facteur n'est pas $u'$ à une constante près : $(x^2 + 1)^3$ seul n'est pas de la forme $u'u^3$ .

À retenir

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F' = f$ sur $I$ .
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; elles diffèrent toutes d'une constante.
Il existe une unique primitive prenant la valeur $y_0$ en $x_0$ .
$u'u^n$ a pour primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $u'u^r$ a pour primitive $\frac{u^{r+1}}{r+1}$ ( $r \in \mathbb{Q}$ , $r \neq -1$ , $u > 0$ ).
$\frac{u'}{u^2}$ a pour primitive $-\frac{1}{u}$ ; $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ a pour primitive $\sqrt{u}$ .
$u'\cos u$ a pour primitive $\sin u$ ; $u'\sin u$ a pour primitive $-\cos u$ ; $u'(1 + \tan^2 u)$ a pour primitive $\tan u$ .
$\cos(ax + b)$ a pour primitive $\frac{1}{a}\sin(ax + b)$ et $\sin(ax + b)$ a pour primitive $-\frac{1}{a}\cos(ax + b)$ .
Pour $\cos^2$ et $\sin^2$ : linéarise avec $\cos(2x)$ .
Vérifie toujours ton résultat en le dérivant.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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L'essentiel

1. Définition

2. Existence et ensemble des primitives

3. Primitive prenant une valeur donnée

4. Primitives des fonctions usuelles

5. Opérations sur les primitives

Méthodes

Méthode 1 : Reconnaître une forme u′unu'u^nu′un en ajustant la constante

Méthode 2 : Reconnaître u′u2\frac{u'}{u^2}u2u′​ ou u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}u​u′​

Méthode 3 : Trouver la primitive qui prend une valeur donnée

Méthode 4 : Linéariser cos⁡2x\cos^2 xcos2x et sin⁡2x\sin^2 xsin2x

Méthode 5 : Transformer une fraction avant de chercher une primitive

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 1 : Reconnaître une forme $u'u^n$ en ajustant la constante

Méthode 2 : Reconnaître $\frac{u'}{u^2}$ ou $\frac{u'}{\sqrt{u}}$

Méthode 4 : Linéariser $\cos^2 x$ et $\sin^2 x$