Fonctions logarithmes

1. Définition de la fonction logarithme népérien

Cette définition a un sens : la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur l'intervalle $]0,+\infty[$, donc elle admet des primitives sur cet intervalle, et une seule d'entre elles prend la valeur $0$ en $1$.

Conséquences immédiates de la définition :

• $\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ et $\ln 1 = 0$.
• $\ln$ est dérivable (donc continue) sur $]0,+\infty[$ et $\ln'(x) = \frac{1}{x}$.
• Comme $\frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

Ce nombre existe et il est unique, car $\ln$ est continue et strictement croissante de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ (voir les limites au paragraphe 3) : le réel $1$ a donc exactement un antécédent.

2. Propriétés algébriques

Plus généralement, pour tout nombre rationnel $r$, on a $\ln(a^r) = r\ln a$. Par exemple, $\ln(e^n) = n$ pour tout entier relatif $n$.

3. Limites usuelles

Les limites aux bornes de l'ensemble de définition :

Les limites à connaître par cœur :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$.
• $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to 0^+} x^n\ln x = 0$.
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$.
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.

4. Étude de la fonction ln et courbe représentative

On note $(C)$ la courbe de $\ln$ dans un repère orthonormé.

• La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C)$.
• Comme $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.
• La tangente au point $A(1, 0)$ a pour équation $y = x - 1$ ; la tangente au point $B(e, 1)$ a pour équation $y = \frac{1}{e}x$ (elle passe par l'origine).
• $\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ : la courbe est concave, elle est située en dessous de ses tangentes. En particulier, pour tout $x > 0$ : $\ln x \le x - 1$.
• $\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : tout réel a un unique antécédent par $\ln$.

5. Dérivée de $\ln u$ et de $\ln|u|$

Pour l'ensemble de définition : $x \mapsto \ln(u(x))$ est définie quand $u(x) > 0$, et $x \mapsto \ln|u(x)|$ est définie quand $u(x) \neq 0$.

6. Primitives de $\frac{u'}{u}$

7. Logarithme de base $a$ et logarithme décimal

Propriétés de $\log_a$ :

• $\log_a(1) = 0$, $\log_a(a) = 1$ et $\log_a(a^r) = r$ pour tout rationnel $r$.
• $\log_a$ a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ : $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ et $\log_a(x^n) = n\log_a x$.
• $\log_a$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $(\log_a)'(x) = \frac{1}{x\ln a}$ : elle est strictement croissante si $a > 1$ et strictement décroissante si $0 < a < 1$.
• Le logarithme de base $e$ est la fonction $\ln$ elle-même.

Méthode 1 : Déterminer l'ensemble de définition

1. Repère chaque expression $\ln(u(x))$ : elle impose la condition $u(x) > 0$.
2. Pour une expression $\ln|u(x)|$, la condition est seulement $u(x) \neq 0$.
3. Ajoute les autres conditions (dénominateur non nul, racine carrée...) et prends l'intersection de toutes les conditions.

Exemple : $f(x) = \ln\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)$. Il faut $x \neq -2$ et $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$. Le quotient a le signe de $(x - 1)(x + 2)$, qui est strictement positif à l'extérieur des racines $-2$ et $1$. Donc $D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]1, +\infty[$.

Méthode 2 : Résoudre une équation ou une inéquation

1. Détermine l'ensemble $D$ sur lequel l'équation (ou l'inéquation) a un sens.
2. Sur $D$, transforme l'écriture en $\ln A = \ln B$ (ou $\ln A < \ln B$) grâce aux propriétés algébriques.
3. Utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $\ln A < \ln B \iff A < B$ (valables pour $A > 0$ et $B > 0$).
4. Ne garde que les solutions qui appartiennent à $D$.

Exemple 1 : résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 3$. Il faut $x > 0$ et $x > 2$, donc $D = ]2,+\infty[$. Sur $D$, l'équation s'écrit $\ln\left(x(x - 2)\right) = \ln 3$, soit $x^2 - 2x - 3 = 0$, dont les racines sont $3$ et $-1$. Seul $3$ appartient à $D$ : $S = \{3\}$.

Exemple 2 : résous $\ln(2x - 1) \le \ln(x + 3)$. Il faut $x > \frac{1}{2}$ et $x > -3$, donc $D = ]\frac{1}{2},+\infty[$. Sur $D$ : $2x - 1 \le x + 3 \iff x \le 4$. Donc $S = ]\frac{1}{2}, 4]$.

Méthode 3 : Lever une forme indéterminée

1. Repère la forme indéterminée : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$.
2. Factorise par le terme qui « l'emporte » pour faire apparaître une limite usuelle ($\frac{\ln x}{x}$, $x\ln x$...).
3. Si besoin, fais un changement de variable ($t = \sqrt{x}$, $t = 3x$...).

Exemple 1 : $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)$ est de la forme $+\infty - \infty$. On écrit $x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)$. Comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$, la parenthèse tend vers $1$ et la limite vaut $+\infty$.

Exemple 2 : pour $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, pose $t = \sqrt{x}$. Alors $x = t^2$, $\ln x = 2\ln t$ et $\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{2\ln t}{t}$. Quand $x \to +\infty$, $t \to +\infty$, donc la limite vaut $0$.

Exemple 3 : $\frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \times \frac{\ln(1 + 3x)}{3x}$. Avec $t = 3x \to 0$, on obtient $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3$.

Méthode 4 : Étudier une fonction contenant ln

1. Détermine l'ensemble de définition.
2. Calcule les limites aux bornes (méthode 3 si forme indéterminée).
3. Calcule la dérivée (souvent avec $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$) et étudie son signe : le dénominateur est souvent positif, seul le numérateur compte.
4. Dresse le tableau de variations et étudie les branches infinies.

Exemple : $f(x) = x - \ln x$ sur $]0,+\infty[$. On a $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$, du signe de $x - 1$. En $0^+$, $-\ln x \to +\infty$ donc $f(x) \to +\infty$ ; en $+\infty$, $f(x) \to +\infty$ (méthode 3).

Conclusion : pour tout $x > 0$, $f(x) \ge 1$, donc $\ln x \le x - 1 < x$.

Méthode 5 : Trouver une primitive de la forme $\frac{u'}{u}$

1. Repère au dénominateur une fonction $u$ et vérifie que le numérateur est $u'$, à une constante multiplicative près.
2. Ajuste cette constante.
3. Écris $\ln|u| + C$, ou $\ln u + C$ si $u > 0$ sur l'intervalle.

Exemples :

• Sur $\mathbb{R}$, une primitive de $x \mapsto \frac{2x}{x^2 + 1}$ est $x \mapsto \ln(x^2 + 1)$.
• Sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{(\cos x)'}{\cos x}$ avec $\cos x > 0$ : une primitive de $\tan$ est $x \mapsto -\ln(\cos x)$.

Méthode 6 : Utiliser ln pour trouver un exposant

1. Pour résoudre $a^n \ge b$ (avec $a > 0$, $b > 0$, $n$ entier inconnu), applique $\ln$, qui est croissante : $n\ln a \ge \ln b$.
2. Divise par $\ln a$ en regardant son signe : si $a > 1$, $\ln a > 0$ et le sens ne change pas ; si $0 < a < 1$, $\ln a < 0$ et le sens de l'inégalité change.

Exemple 1 : le plus petit entier $n$ tel que $2^n \ge 1000$. On a $n\ln 2 \ge \ln 1000$, soit $n \ge \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$. Donc $n = 10$ (vérification : $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$).

Exemple 2 : le plus petit entier $n$ tel que $0{,}9^n \le 0{,}5$. On a $n\ln 0{,}9 \le \ln 0{,}5$ et $\ln 0{,}9 < 0$, donc $n \ge \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$. Donc $n = 7$ (vérification : $0{,}9^6 \approx 0{,}531$ et $0{,}9^7 \approx 0{,}478$).