Suites numériques : le cours

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Plan du chapitre

60 min
9 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur l'ensemble des entiers $n \geq n_0$ ) à valeurs dans $\mathbb{R}$ . On note $u_n$ le terme de rang $n$ et $(u_n)_{n \geq n_0}$ la suite. Dans ce chapitre, tu apprends à répondre à trois questions : la suite est-elle bornée ? est-elle monotone ? converge-t-elle, et vers quelle limite ?

1. Le raisonnement par récurrence

Propriété

Soit $P(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n \geq n_0$ . Si $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et si, pour tout $n \geq n_0$ , « $P(n)$ vraie » entraîne « $P(n+1)$ vraie » (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ .

Rédige toujours les trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion. Dans l'hérédité, tu fixes un entier $n \geq n_0$ , tu supposes $P(n)$ vraie (c'est l'hypothèse de récurrence) et tu démontres $P(n+1)$ .

2. Suites majorées, minorées, bornées

Définition

La suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ . Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ . Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple

Pour $u_n = \frac{1}{n+1}$ avec $n \in \mathbb{N}$ , on a $0 < u_n \leq 1$ : la suite est bornée.

3. Monotonie

Définition

La suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ , constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$ . Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Pour étudier la monotonie, tu as trois outils :

étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ;
si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[n_0, +\infty[$ , alors $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$ .

Attention

Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , le sens de variation de $f$ ne donne pas directement celui de $(u_n)$ : étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ , souvent à l'aide d'une récurrence.

4. Suites arithmétiques et géométriques (rappels)

Notion	Suite arithmétique de raison $r$	Suite géométrique de raison $q$
Relation de récurrence	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q\,u_n$
Terme général	$u_n = u_p + (n-p)\,r$	$u_n = u_p\,q^{n-p}$
Somme de $N$ termes consécutifs	$N \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$	$\text{premier terme} \times \frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$ )

Remarque

La somme $u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$ compte $n - p + 1$ termes. Par exemple $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ et, pour $q \neq 1$ , $1 + q + q^2 + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

5. Limite d'une suite

Définition

On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ , ou simplement $\lim u_n = \ell$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Propriété

Si une suite converge, sa limite est unique.

Une suite peut diverger de deux façons : en tendant vers $+\infty$ ou $-\infty$ (par exemple $u_n = n^2$ ), ou en n'ayant aucune limite (par exemple $u_n = (-1)^n$ , qui vaut alternativement $1$ et $-1$ ).

Propriété

Pour tout rationnel $a > 0$ : $\lim n^{a} = +\infty$ et $\lim n^{-a} = \lim \frac{1}{n^{a}} = 0$ . En particulier $\lim \sqrt{n} = \lim n^2 = +\infty$ et $\lim \frac{1}{n} = \lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ .

Limite de la suite géométrique $(q^n)$ :

Valeur de $q$	$q \leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$\lim q^n$	pas de limite	$0$	$1$	$+\infty$

Les opérations sur les limites (somme, produit, quotient) et les formes indéterminées sont les mêmes que pour les fonctions. De plus, si $u_n = f(n)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (finie ou infinie), alors $\lim u_n = \ell$ .

6. Critères de convergence par comparaison

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ trois suites et $\ell$ un réel. Les inégalités sont supposées vraies à partir d'un certain rang.

Si $|u_n - \ell| \leq v_n$ et $\lim v_n = 0$ , alors $\lim u_n = \ell$ .
Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$ , alors $\lim u_n = \ell$ (théorème des gendarmes).
Si $u_n \geq v_n$ et $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim u_n = +\infty$ .
Si $u_n \leq v_n$ et $\lim v_n = -\infty$ , alors $\lim u_n = -\infty$ .
Si $u_n \leq v_n$ , $\lim u_n = \ell$ et $\lim v_n = \ell'$ , alors $\ell \leq \ell'$ .

Attention

Le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes : $\frac{1}{n} > 0$ pour tout $n \geq 1$ , et pourtant $\lim \frac{1}{n} = 0$ .

7. Suites monotones et convergence

Théorème

Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Propriété

Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$ , alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$ . Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ .

Attention

Une suite croissante et majorée par $M$ converge vers une limite $\ell \leq M$ , mais pas forcément vers $M$ . Exemple : $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $5$ , et converge vers $1$ .

8. Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$

Propriété

Si $\lim u_n = \ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\lim f(u_n) = f(\ell)$ .

Exemple

$\lim \frac{1}{n} = 0$ et la fonction cosinus est continue en $0$ , donc $\lim \cos\left(\frac{1}{n}\right) = \cos 0 = 1$ .

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f(I) \subset I$ , et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ . Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$ , alors $f(\ell) = \ell$ .

La condition $f(I) \subset I$ garantit, par récurrence, que tous les termes $u_n$ sont dans $I$ . Attention : ce théorème ne prouve pas la convergence. Il donne seulement les limites possibles, c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x) = x$ dans $I$ .

9. Hors programme PC/SVT

Remarque

La notion de suites adjacentes n'est pas au programme des filières PC et SVT (elle est étudiée en Sciences mathématiques). Tu n'en as pas besoin : en PC/SVT, on démontre la convergence grâce à la monotonie (croissante majorée, décroissante minorée) ou par comparaison.

Méthodes

Méthode 1 : Rédiger une démonstration par récurrence

Écris clairement la propriété $P(n)$ à démontrer.
Initialisation : vérifie $P(n_0)$ par un calcul.
Hérédité : suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, puis démontre $P(n+1)$ en partant de l'hypothèse.
Conclusion : « d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ ».

Exemple

Montrons que $2^n \geq n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Initialisation : $2^0 = 1 \geq 0 + 1$ . Hérédité : si $2^n \geq n + 1$ , alors $2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2n + 2 \geq n + 2$ . Conclusion : $2^n \geq n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Méthode 2 : Étudier le sens de variation d'une suite

Calcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe.
Si tous les termes sont strictement positifs et s'il y a des puissances ou des produits, compare plutôt $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .
Si $u_n = f(n)$ , tu peux étudier les variations de $f$ sur $[n_0, +\infty[$ .

Exemple

Soit $u_n = \frac{n}{2^n}$ pour $n \geq 1$ . Les termes sont strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$ . Or $\frac{n+1}{2n} \leq 1 \iff n + 1 \leq 2n \iff n \geq 1$ . Donc $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n \geq 1$ : la suite est décroissante (on a d'ailleurs $u_1 = u_2 = \frac{1}{2}$ ).

Méthode 3 : Utiliser une suite auxiliaire pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$

Avec $a \neq 1$ , cherche le réel $\alpha$ tel que $\alpha = a\alpha + b$ , soit $\alpha = \frac{b}{1 - a}$ (si $a = 1$ , la suite est arithmétique de raison $b$ ).
Pose $v_n = u_n - \alpha$ et montre que $v_{n+1} = a\,v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
Écris $v_n = v_0\,a^n$ , puis $u_n = v_n + \alpha$ .
Déduis la limite de $(u_n)$ à partir de celle de $(a^n)$ .

Exemple

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2$ . On résout $\alpha = \frac{1}{3}\alpha + 2$ , soit $\alpha = 3$ . Avec $v_n = u_n - 3$ : $v_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 - 3 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n$ . Comme $v_0 = 2$ , on obtient $v_n = 2\left(\frac{1}{3}\right)^n$ et $u_n = 3 + 2\left(\frac{1}{3}\right)^n$ . Puisque $-1 < \frac{1}{3} < 1$ , $\lim u_n = 3$ .

Méthode 4 : Calculer une limite par comparaison

Repère le terme « qui oscille » ( $(-1)^n$ , $\sin n$ , $\cos n$ ) et encadre-le (par exemple $-1 \leq \sin n \leq 1$ ).
Déduis un encadrement de $u_n$ (attention au signe quand tu multiplies ou divises).
Conclus avec les gendarmes, ou avec $|u_n - \ell| \leq v_n$ et $\lim v_n = 0$ .

Exemple

Soit $u_n = \frac{3 + \sin n}{n}$ pour $n \geq 1$ . Comme $2 \leq 3 + \sin n \leq 4$ et $n > 0$ : $\frac{2}{n} \leq u_n \leq \frac{4}{n}$ . Les deux suites qui encadrent tendent vers $0$ , donc $\lim u_n = 0$ .

Méthode 5 : Étudier une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

Trouve un intervalle $I$ tel que $f(I) \subset I$ (souvent avec le tableau de variations de $f$ ), puis montre par récurrence que $u_n \in I$ .
Étudie le signe de $f(x) - x$ sur $I$ : il donne le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$ , donc la monotonie.
Monotone et bornée : la suite converge.
La limite $\ell$ est une solution de $f(x) = x$ dans $I$ ; élimine les solutions incompatibles.

Exemple

Soit $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = u_n^2$ , avec $f(x) = x^2$ et $I = [0, 1]$ . On a $f(I) = [0, 1] \subset I$ , donc $u_n \in [0, 1]$ pour tout $n$ . Sur $I$ , $f(x) - x = x(x - 1) \leq 0$ , donc la suite est décroissante. Décroissante et minorée par $0$ , elle converge vers $\ell \in [0, 1]$ avec $\ell^2 = \ell$ , soit $\ell = 0$ ou $\ell = 1$ . Or $u_n \leq u_0 = \frac{1}{2}$ , donc $\ell \leq \frac{1}{2}$ : $\lim u_n = 0$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Suite arithmétique

Facile

Énoncé

$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_{10} = 32$ .

Détermine la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ .

Voir le corrigé

On a $u_{10} = u_3 + (10 - 3)r$ , donc $32 = 11 + 7r$ , d'où $r = 3$ . Puis $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$ .
$u_n = u_0 + nr = 2 + 3n$ .
La somme compte $20 - 0 + 1 = 21$ termes. Le dernier terme est $u_{20} = 2 + 60 = 62$ . Donc :

S = 21 \times \frac{2 + 62}{2} = 21 \times 32 = 672

Exercice 2 : Suite géométrique et somme

Facile

Énoncé

$(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique telle que $v_1 = 18$ et $v_4 = \frac{2}{3}$ .

Détermine la raison $q$ et $v_0$ .
Exprime $v_n$ en fonction de $n$ .
On pose $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ . Exprime $S_n$ en fonction de $n$ , puis calcule $\lim S_n$ .

Voir le corrigé

On a $v_4 = v_1\,q^3$ , donc $q^3 = \frac{2/3}{18} = \frac{1}{27}$ , d'où $q = \frac{1}{3}$ . Puis $v_0 = \frac{v_1}{q} = 18 \times 3 = 54$ .
$v_n = 54\left(\frac{1}{3}\right)^n$ .
$S_n$ compte $n + 1$ termes et $q \neq 1$ , donc :

S_n = 54 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = 81\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)

Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$ , on a $\lim \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 0$ , donc $\lim S_n = 81$ .

Exercice 3 : Calculs de limites

Facile

Énoncé

Calcule la limite de chaque suite.

$u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}$
$v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
$w_n = \frac{2^n - 5^n}{3^n + 5^n}$
$t_n = n\sqrt{n} - 4n$

Voir le corrigé

On factorise par $n^2$ : $u_n = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}$ . Donc $\lim u_n = \frac{3}{2}$ .
Forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». On multiplie par la quantité conjuguée : $v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ . Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc $\lim v_n = 0$ .
On divise numérateur et dénominateur par $5^n$ : $w_n = \frac{\left(\frac{2}{5}\right)^n - 1}{\left(\frac{3}{5}\right)^n + 1}$ . Comme $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{5}$ sont dans $]-1, 1[$ , leurs puissances tendent vers $0$ , donc $\lim w_n = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$ .
Forme « $+\infty - \infty$ ». On factorise : $t_n = n(\sqrt{n} - 4)$ . Comme $\lim n = +\infty$ et $\lim (\sqrt{n} - 4) = +\infty$ , on obtient $\lim t_n = +\infty$ .

Exercice 4 : Limites par comparaison

Moyen

Énoncé

Soit $u_n = \frac{2n + (-1)^n}{n + 3}$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Calcule $\lim u_n$ .
Soit $v_n = \frac{\cos n}{\sqrt{n}}$ pour $n \geq 1$ . Calcule $\lim v_n$ .
Soit $w_n = n^2 + (-1)^n\,n$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Calcule $\lim w_n$ .

Voir le corrigé

On a $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ et $n + 3 > 0$ , donc :

\frac{2n - 1}{n + 3} \leq u_n \leq \frac{2n + 1}{n + 3}

Les deux suites qui encadrent tendent vers $2$ (quotient des termes de plus haut degré). D'après le théorème des gendarmes, $\lim u_n = 2$ .

Comme $|\cos n| \leq 1$ , on a $|v_n - 0| = \frac{|\cos n|}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ , et $\lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ . Donc $\lim v_n = 0$ .

Comme $(-1)^n\,n \geq -n$ , on a $w_n \geq n^2 - n = n(n - 1)$ . Or $\lim n(n-1) = +\infty$ , donc $\lim w_n = +\infty$ .

Exercice 5 : Monotonie, bornes et convergence

Moyen

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ .

Vérifie que $u_n = 3 - \frac{5}{n + 2}$ .
Étudie le sens de variation de $(u_n)$ .
Montre que $\frac{1}{2} \leq u_n < 3$ pour tout $n$ .
Justifie que $(u_n)$ converge et calcule sa limite.

Voir le corrigé

$3 - \frac{5}{n+2} = \frac{3(n+2) - 5}{n+2} = \frac{3n + 1}{n + 2} = u_n$ .
On calcule :

u_{n+1} - u_n = -\frac{5}{n+3} + \frac{5}{n+2} = \frac{5\big((n+3) - (n+2)\big)}{(n+2)(n+3)} = \frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0

La suite est strictement croissante.

La suite est croissante, donc $u_n \geq u_0 = \frac{1}{2}$ . De plus $\frac{5}{n+2} > 0$ , donc $u_n < 3$ .
$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ , donc elle converge. Comme $\lim \frac{5}{n+2} = 0$ , on a $\lim u_n = 3$ .

Exercice 6 : Suite récurrente avec une racine carrée

Moyen

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Montre par récurrence que $0 \leq u_n < 4$ pour tout $n$ .
Montre que $u_{n+1} - u_n = \frac{(4 - u_n)(u_n + 1)}{\sqrt{3u_n + 4} + u_n}$ , puis déduis le sens de variation de $(u_n)$ .
Montre que $(u_n)$ converge et détermine sa limite.

Voir le corrigé

Initialisation : $u_0 = 0$ vérifie $0 \leq u_0 < 4$ .

Hérédité : supposons $0 \leq u_n < 4$ . Alors $4 \leq 3u_n + 4 < 16$ , et comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ : $2 \leq \sqrt{3u_n + 4} < 4$ . Donc $0 \leq u_{n+1} < 4$ .

Conclusion : $0 \leq u_n < 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

On multiplie par la quantité conjuguée :

u_{n+1} - u_n = \sqrt{3u_n + 4} - u_n = \frac{3u_n + 4 - u_n^2}{\sqrt{3u_n + 4} + u_n}

Or $-x^2 + 3x + 4 = (4 - x)(x + 1)$ (on vérifie en développant). D'où la formule. Comme $0 \leq u_n < 4$ : $4 - u_n > 0$ , $u_n + 1 > 0$ et le dénominateur est supérieur ou égal à $2$ . Donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite est strictement croissante.

$(u_n)$ est croissante et majorée par $4$ , donc elle converge vers un réel $\ell$ , et $0 \leq \ell \leq 4$ par passage à la limite.

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{3x + 4}$ est continue sur $I = [0, 4]$ , croissante, avec $f(0) = 2$ et $f(4) = 4$ , donc $f(I) = [2, 4] \subset I$ . Comme $u_0 \in I$ et $\ell \in I$ , on a $f(\ell) = \ell$ :

\sqrt{3\ell + 4} = \ell \iff \ell^2 = 3\ell + 4 \ \text{et} \ \ell \geq 0 \iff (\ell - 4)(\ell + 1) = 0 \ \text{et} \ \ell \geq 0

On rejette $\ell = -1$ : donc $\lim u_n = 4$ .

Exercice 7 : Suite homographique et suite auxiliaire

Type Bac

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n - 2}{u_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

a) Vérifie que $u_{n+1} - 2 = \frac{2(u_n - 2)}{u_n + 1}$ . b) Montre par récurrence que $u_n > 2$ pour tout $n$ .
a) Montre que $u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 1)(u_n - 2)}{u_n + 1}$ . b) Déduis que $(u_n)$ est décroissante, puis qu'elle est convergente.
On pose $v_n = \frac{u_n - 2}{u_n - 1}$ . a) Montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{3}$ et calcule $v_0$ . b) Exprime $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Calcule $\lim u_n$ .

Voir le corrigé

a) $u_{n+1} - 2 = \frac{4u_n - 2 - 2(u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{2u_n - 4}{u_n + 1} = \frac{2(u_n - 2)}{u_n + 1}$ .

b) Initialisation : $u_0 = 3 > 2$ . Hérédité : si $u_n > 2$ , alors $u_n - 2 > 0$ et $u_n + 1 > 0$ , donc $u_{n+1} - 2 > 0$ d'après a). Conclusion : $u_n > 2$ pour tout $n$ .

a) $u_{n+1} - u_n = \frac{4u_n - 2 - u_n(u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{-u_n^2 + 3u_n - 2}{u_n + 1} = -\frac{(u_n - 1)(u_n - 2)}{u_n + 1}$ , car $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ .

b) Comme $u_n > 2$ : $u_n - 1 > 0$ , $u_n - 2 > 0$ et $u_n + 1 > 0$ , donc $u_{n+1} - u_n < 0$ . La suite est décroissante et minorée par $2$ : elle converge.

a) Comme $u_n > 2$ , $u_n - 1 \neq 0$ et $v_n$ est bien défini. On calcule $u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 2 - (u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 1}$ . Avec 1. a) :

v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} - 1} = \frac{2(u_n - 2)}{3(u_n - 1)} = \frac{2}{3}\,v_n

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{3}$ , de premier terme $v_0 = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$ .

b) $v_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ . De $v_n(u_n - 1) = u_n - 2$ , on tire $u_n(1 - v_n) = 2 - v_n$ , et $v_n \leq \frac{1}{2}$ donc $1 - v_n \neq 0$ :

u_n = \frac{2 - v_n}{1 - v_n} = \frac{4 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{2 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}

Contrôle : pour $n = 0$ , on retrouve $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3 = u_0$ .

c) Comme $-1 < \frac{2}{3} < 1$ , $\lim \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$ , donc $\lim u_n = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercice 8 : Étude de fonction et suite récurrente

Type Bac

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^3 + 2}{3}$ .

Partie A

Calcule $f'(x)$ et montre que $f$ est croissante sur $[0, 1]$ . Déduis que $f([0, 1]) \subset [0, 1]$ .
Vérifie que $f(x) - x = \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{3}$ , puis déduis le signe de $f(x) - x$ sur $[0, 1]$ .

Partie B : soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ .
Montre par récurrence que $0 \leq u_n \leq 1$ pour tout $n$ .
Montre que $(u_n)$ est croissante.
Déduis que $(u_n)$ converge et calcule sa limite.

Voir le corrigé

Partie A

$f'(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \geq 0$ , donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0, 1]$ . Pour $0 \leq x \leq 1$ : $f(0) \leq f(x) \leq f(1)$ , soit $\frac{2}{3} \leq f(x) \leq 1$ . Donc $f([0, 1]) = \left[\frac{2}{3}, 1\right] \subset [0, 1]$ .

$f(x) - x = \frac{x^3 - 3x + 2}{3}$ . En développant : $(x - 1)^2(x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ . D'où l'égalité. Sur $[0, 1]$ , $(x - 1)^2 \geq 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $f(x) - x \geq 0$ .

Partie B

$u_1 = f(0) = \frac{2}{3}$ et $u_2 = f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\frac{8}{27} + 2}{3} = \frac{62}{81}$ .

Initialisation : $u_0 = 0 \in [0, 1]$ . Hérédité : si $u_n \in [0, 1]$ , alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f([0, 1]) \subset [0, 1]$ . Conclusion : $0 \leq u_n \leq 1$ pour tout $n$ .

$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \geq 0$ d'après A.2, car $u_n \in [0, 1]$ . La suite est croissante.

$(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ , donc elle converge vers un réel $\ell \in [0, 1]$ . La fonction $f$ est continue sur $[0, 1]$ , $f([0, 1]) \subset [0, 1]$ et $u_0 \in [0, 1]$ , donc $f(\ell) = \ell$ , c'est-à-dire $(\ell - 1)^2(\ell + 2) = 0$ . Comme $\ell \in [0, 1]$ , on rejette $\ell = -2$ : $\lim u_n = 1$ .

Exercice 9 : Approcher 2 avec une suite

Difficile

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{4}{u_n}\right)$ .

Montre que, si $u_n > 0$ , alors $u_{n+1} - 2 = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n}$ .
Montre par récurrence que $u_n \geq 2$ pour tout $n$ .
Montre que $u_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{2}(u_n - 2)$ pour tout $n$ .
Déduis que $0 \leq u_n - 2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , puis calcule $\lim u_n$ .
Donne un entier $n$ pour lequel $u_n$ est une valeur approchée de $2$ à $10^{-3}$ près.

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$u_{n+1} - 2 = \frac{u_n^2 + 4}{2u_n} - 2 = \frac{u_n^2 - 4u_n + 4}{2u_n} = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n}$ .

Initialisation : $u_0 = 3 \geq 2$ . Hérédité : si $u_n \geq 2$ , alors $u_n > 0$ et, d'après 1., $u_{n+1} - 2 = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n} \geq 0$ . Conclusion : $u_n \geq 2$ pour tout $n$ .

On écrit $u_{n+1} - 2 = (u_n - 2) \times \frac{u_n - 2}{2u_n}$ . Comme $u_n \geq 2$ , on a $0 \leq u_n - 2 < u_n$ , donc $0 \leq \frac{u_n - 2}{2u_n} < \frac{1}{2}$ . En multipliant par $u_n - 2 \geq 0$ : $u_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{2}(u_n - 2)$ .

Par récurrence : pour $n = 0$ , $0 \leq u_0 - 2 = 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0$ . Si $0 \leq u_n - 2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , alors avec 2. et 3. : $0 \leq u_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ .

Comme $-1 < \frac{1}{2} < 1$ , $\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ . Avec $|u_n - 2| \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , on conclut : $\lim u_n = 2$ .

Il suffit que $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq 10^{-3}$ , soit $2^n \geq 1000$ . Comme $2^{10} = 1024$ , l'entier $n = 10$ convient. En réalité, la convergence est bien plus rapide : $u_2 = \frac{313}{156} \approx 2{,}0064$ et $u_3 \approx 2{,}00001$ .

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans une récurrence : l'hérédité seule ne prouve rien. Écris toujours les trois étapes.
Se tromper sur le nombre de termes : $u_0 + u_1 + \dots + u_n$ compte $n + 1$ termes, pas $n$ .
Écrire « croissante et majorée par $M$ , donc elle converge vers $M$ » : la limite est seulement inférieure ou égale à $M$ .
Croire que $\lim q^n = 0$ dès que $q < 1$ : il faut $-1 < q < 1$ . Pour $q \leq -1$ , la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
Résoudre $f(\ell) = \ell$ sans avoir prouvé la convergence : l'équation donne seulement les limites possibles.
Garder une solution de $f(\ell) = \ell$ qui n'est pas dans l'intervalle $I$ , ou qui contredit la monotonie de la suite.
Passer à la limite en gardant une inégalité stricte : $u_n < 4$ pour tout $n$ donne seulement $\ell \leq 4$ .

À retenir

Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
Monotonie : signe de $u_{n+1} - u_n$ , ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$ si les termes sont strictement positifs.
Arithmétique : $u_n = u_p + (n - p)r$ et somme $= N \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .
Géométrique : $u_n = u_p\,q^{n-p}$ et somme $= \text{premier} \times \frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$ .
$\lim q^n = 0$ si $-1 < q < 1$ , $+\infty$ si $q > 1$ , pas de limite si $q \leq -1$ .
Pour $a$ rationnel strictement positif : $\lim n^{a} = +\infty$ et $\lim \frac{1}{n^{a}} = 0$ .
Croissante et majorée (ou décroissante et minorée) implique convergente.
Gendarmes, ou $|u_n - \ell| \leq v_n$ avec $\lim v_n = 0$ , pour les suites avec $(-1)^n$ , $\sin n$ , $\cos n$ .
Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $f(I) \subset I$ : la limite (si elle existe et appartient à $I$ ) vérifie $f(\ell) = \ell$ .
Pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ : pose $v_n = u_n - \alpha$ avec $\alpha = a\alpha + b$ , elle est géométrique de raison $a$ .

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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L'essentiel

1. Le raisonnement par récurrence

2. Suites majorées, minorées, bornées

3. Monotonie

4. Suites arithmétiques et géométriques (rappels)

5. Limite d'une suite

6. Critères de convergence par comparaison

7. Suites monotones et convergence

8. Suites du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

9. Hors programme PC/SVT

Méthodes

Méthode 1 : Rédiger une démonstration par récurrence

Méthode 2 : Étudier le sens de variation d'une suite

Méthode 3 : Utiliser une suite auxiliaire pour un+1=a un+bu_{n+1} = a\,u_n + bun+1​=aun​+b

Méthode 4 : Calculer une limite par comparaison

Méthode 5 : Étudier une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

8. Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$

Méthode 3 : Utiliser une suite auxiliaire pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$

Méthode 5 : Étudier une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$