Nombres complexes (partie 2)

Dans la partie 1, tu as appris à manipuler la forme algébrique et la forme trigonométrique. Ici, une notation plus compacte, $e^{i\theta}$, rend les calculs de produits et de puissances presque immédiats. Elle sert ensuite à résoudre des équations, à linéariser des puissances de cosinus et de sinus, et à écrire les transformations du plan.

1. Notation exponentielle

Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit donc :

C'est la forme exponentielle de $z$ (avec $r > 0$).

Valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$, $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$, $e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ces règles sont celles des puissances : c'est tout l'intérêt de la notation. Par exemple $r e^{i\theta} \times r' e^{i\theta'} = r r' e^{i(\theta + \theta')}$.

2. Formule de Moivre

Deux usages principaux :

• calculer une puissance : si $z = r e^{i\theta}$, alors $z^n = r^n e^{in\theta}$ ;
• exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, en développant le membre de gauche puis en identifiant parties réelles et imaginaires.

Pour $n = 2$, on retrouve $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$. Pour $n = 3$, on obtient (voir l'exercice 5) :

3. Formules d'Euler et linéarisation

Linéariser une expression comme $\cos^3 x$, c'est l'écrire comme une somme de termes du type $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$, sans puissance. C'est très utile pour dériver, chercher une primitive ou calculer une valeur exacte. Résultats à connaître :

4. Équation du second degré à coefficients réels

On considère l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a$, $b$, $c$ réels et $a \neq 0$, et son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Dans tous les cas (avec $z_1 = z_2 = z_0$ si $\Delta = 0$) : $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$, $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$. Ces deux dernières relations te permettent de vérifier tes solutions en quelques secondes.

5. Transformations du plan et écriture complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. Une transformation associe à tout point $M(z)$ un point $M'(z')$. Son écriture complexe exprime $z'$ en fonction de $z$.

Lecture géométrique de la rotation : si $M \neq \Omega$, alors $\Omega M' = \Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) \equiv \theta \ [2\pi]$. Le centre $\Omega$ est le seul point invariant (si $\theta \not\equiv 0 \ [2\pi]$).

Pour $a \neq 1$, le centre s'obtient en cherchant le point invariant : $\omega = a\omega + b \iff \omega = \frac{b}{1 - a}$. En soustrayant membre à membre $z' = az + b$ et $\omega = a\omega + b$, on obtient $z' - \omega = a(z - \omega)$ : c'est exactement l'écriture d'une homothétie de centre $\Omega$ (si $a$ est réel) ou d'une rotation de centre $\Omega$ (si $a = e^{i\theta}$). Cette justification suffit à reconnaître la transformation.

6. Caractérisations géométriques utiles

Pour trois points $A$, $B$, $C$ distincts :

• $ABC$ est équilatéral direct (équilatéral avec $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$) $\iff z_C - z_A = e^{i\frac{\pi}{3}}(z_B - z_A)$ : $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
• $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ $\iff z_C - z_A = e^{i\frac{\pi}{2}}(z_B - z_A)$ ou $z_C - z_A = e^{-i\frac{\pi}{2}}(z_B - z_A)$, c'est-à-dire $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \pm i$.
• Plus généralement, $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{AC}{AB} e^{i\alpha}$ où $\alpha$ est une mesure de $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Méthode 1 : Calculer une puissance avec la forme exponentielle

1. Écris $z$ sous la forme $r e^{i\theta}$ (module, puis argument avec cosinus et sinus).
2. Applique Moivre : $z^n = r^n e^{in\theta}$.
3. Réduis l'angle $n\theta$ modulo $2\pi$ pour le ramener dans $]-\pi ; \pi]$.
4. Reviens à la forme algébrique si on te la demande.

Exemple. Calculer $(-1 + i)^6$. On a $|-1 + i| = \sqrt{2}$ et $-1 + i = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$. Donc :

car $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$.

Méthode 2 : Linéariser avec les formules d'Euler

1. Remplace chaque $\cos x$ par $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ et chaque $\sin x$ par $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$.
2. Développe (binôme : coefficients $1, 2, 1$ puis $1, 3, 3, 1$ puis $1, 4, 6, 4, 1$).
3. Regroupe les termes deux à deux : $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ et $e^{ikx} - e^{-ikx} = 2i\sin(kx)$.
4. Simplifie les constantes.

Exemple. Linéariser $\sin^3 x$. Comme $(2i)^3 = -8i$ :

Donc $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$. Contrôle pour $x = \frac{\pi}{2}$ : à gauche $1$, à droite $\frac{3 - (-1)}{4} = 1$.

Méthode 3 : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

1. Vérifie que les coefficients sont réels et calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. Si $\Delta < 0$, écris $\Delta = -(\sqrt{-\Delta})^2 = (i\sqrt{-\Delta})^2$.
3. Donne les deux solutions conjuguées $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
4. Contrôle : somme $= -\frac{b}{a}$ et produit $= \frac{c}{a}$.

Exemple. $3z^2 - 2z + 1 = 0$. $\Delta = 4 - 12 = -8 = (2i\sqrt{2})^2$. Les solutions sont :

Contrôle : $z_1 + z_2 = \frac{2}{3}$ et $z_1 z_2 = \frac{1 + 2}{9} = \frac{1}{3}$, conformes à $-\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$.

Méthode 4 : Écrire une transformation et calculer une image

1. Identifie la transformation et ses éléments (vecteur, centre, rapport, angle).
2. Écris la formule du cours : $z' = z + b$, $z' - \omega = k(z - \omega)$ ou $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.
3. Pour l'image d'un point, remplace $z$ par son affixe et calcule.
4. Contrôle avec une distance : pour une rotation, $\Omega M' = \Omega M$.

Exemple. $R$ est la rotation de centre $\Omega(2 - i)$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$. Image du point $A(2 + i)$ :

Contrôle : $\Omega A = |2i| = 2$ et $\Omega A' = |-\sqrt{3} + i| = 2$.

Méthode 5 : Reconnaître une transformation à partir de z' = az + b

1. Regarde $a$ : $a = 1$ (translation), $a$ réel différent de $1$ (homothétie), $|a| = 1$ avec $a \neq 1$ (rotation).
2. Pour une homothétie ou une rotation, calcule le centre $\omega = \frac{b}{1 - a}$.
3. Le rapport est $a$ (homothétie) ; l'angle est $\arg(a)$ (rotation).
4. Vérifie que $a\omega + b = \omega$, puis justifie en écrivant $z' - \omega = a(z - \omega)$.

Exemple 1. $z' = iz + 1 - i$ : $|i| = 1$, donc rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et de centre $\omega = \frac{1 - i}{1 - i} = 1$. Contrôle : $i \times 1 + 1 - i = 1$.

Exemple 2. $z' = 3z - 4i$ : $a = 3$ est réel, donc homothétie de rapport $3$ et de centre $\omega = \frac{-4i}{1 - 3} = 2i$. Contrôle : $3 \times 2i - 4i = 2i$.

Méthode 6 : Utiliser la technique de l'angle moitié

1. Factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ : $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.
2. Étudie le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle donné.
3. S'il est strictement positif : module $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et argument $\frac{\theta}{2}$.
4. S'il est strictement négatif : module $-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et argument $\frac{\theta}{2} + \pi$.

Exemple. $1 + e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}\, e^{i\frac{\pi}{6}}$. Contrôle algébrique : $1 + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, et $\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$ donne bien la même chose.