Nombres complexes (partie 1) : le cours

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Plan du chapitre

60 min
8 exercices corrigés
7 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution. On construit un ensemble plus grand, noté $\mathbb{C}$ , qui contient $\mathbb{R}$ et un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ . Ce chapitre te donne les outils de calcul (forme algébrique, conjugué, module, argument) et leur lecture géométrique dans le plan.

1. Forme algébrique

Définition

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ . C'est la forme algébrique de $z$ . Le réel $a$ est la partie réelle de $z$ , notée $\mathrm{Re}(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire de $z$ , notée $\mathrm{Im}(z)$ .

Si $b = 0$ , alors $z = a$ est un réel : $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .
Si $a = 0$ , alors $z = ib$ est un imaginaire pur (le nombre $0$ est à la fois réel et imaginaire pur).

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$ . En particulier, $a + ib = 0 \iff a = 0$ et $b = 0$ .

Attention

La partie imaginaire de $z = 3 - 5i$ est $-5$ , et non $-5i$ : $\mathrm{Im}(z)$ est toujours un nombre réel.

2. Opérations dans ℂ

On calcule dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$ , en remplaçant $i^2$ par $-1$ . Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ :

z + z' = (a + a') + i(b + b')

z z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)

Les puissances de $i$ se répètent tous les 4 rangs : $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ , puis $i^5 = i$ , etc. Pour calculer $i^n$ , tu cherches le reste $r$ de la division euclidienne de $n$ par 4 : alors $i^n = i^r$ (avec $i^0 = 1$ ).

Les identités remarquables restent vraies. La plus utile est :

(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2

Propriété

Tout nombre complexe $z = a + ib$ non nul admet un inverse : $\frac{1}{z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}$ . Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

3. Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Le conjugué de $z = a + ib$ est le nombre complexe $\overline{z} = a - ib$ .

Propriété

Pour tous $z$ et $z'$ de $\mathbb{C}$ et tout entier naturel $n$ : $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ , $\overline{z z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$ , $\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$ , et si $z' \neq 0$ : $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ . De plus $\overline{\overline{z}} = z$ , $z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , $z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ et $z \overline{z} = a^2 + b^2$ .

Propriété

$z$ est réel $\iff \overline{z} = z$ . $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$ .

Ces deux équivalences servent à démontrer qu'un nombre est réel ou imaginaire pur sans passer par la forme algébrique.

4. Représentation géométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

Définition

Au nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a ; b)$ : $M$ est l'image de $z$ , et $z$ est l'affixe du point $M$ . On note $M(z)$ ou $z_M$ . De même, le vecteur $\vec{w}(a ; b)$ a pour affixe $z_{\vec{w}} = a + ib$ .

L'axe des abscisses contient les images des réels ; l'axe des ordonnées celles des imaginaires purs.
Les images de $z$ et de $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Propriété

Pour deux points $A$ et $B$ : l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$ ; l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$ ; pour tout réel $k$ , le vecteur $k\vec{w} + \vec{w'}$ a pour affixe $k z_{\vec{w}} + z_{\vec{w'}}$ .

Conséquence : $ABCD$ est un parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff z_B - z_A = z_C - z_D$ .

5. Module

Définition

Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \overline{z}}$ . Si $M$ est l'image de $z$ , alors $|z| = OM$ . Pour deux points $A$ et $B$ : $AB = |z_B - z_A|$ .

Propriété

Pour tous $z$ , $z'$ de $\mathbb{C}$ et tout entier naturel $n$ : $|z z'| = |z| \times |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ , et si $z' \neq 0$ : $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ . $|\overline{z}| = |-z| = |z|$ , et $|z| = 0 \iff z = 0$ . Inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ .

Attention

En général $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ . Par exemple $|1 + i| = \sqrt{2}$ , alors que $|1| + |i| = 2$ .

6. Argument et forme trigonométrique

Définition

Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$ . On appelle argument de $z$ toute mesure $\theta$ de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ . On note $\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi]$ . Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

Si $|z| = r$ et $\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi]$ , alors $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$ , donc :

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

Définition

L'écriture $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ est la forme trigonométrique de $z$ . On la note aussi $z = [r, \theta]$ . Pour la trouver à partir de $z = a + ib$ : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ , puis $\theta$ vérifie $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$ .

Propriété

Pour $r > 0$ et $r' > 0$ : $[r, \theta] = [r', \theta'] \iff r = r'$ et $\theta \equiv \theta' \ [2\pi]$ . $z$ est un réel strictement positif $\iff \arg(z) \equiv 0 \ [2\pi]$ ; un réel strictement négatif $\iff \arg(z) \equiv \pi \ [2\pi]$ . $z$ est un imaginaire pur non nul $\iff \arg(z) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]$ .

Valeurs à connaître par cœur :

$z$	$1$	$i$	$-1$	$-i$	$1 + i$	$1 + i\sqrt{3}$	$\sqrt{3} + i$
$\lvert z \rvert$	$1$	$1$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$2$	$2$
$\arg(z)$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$-\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{6}$

7. Propriétés de l'argument

Propriété

Pour tous $z$ et $z'$ non nuls et tout entier naturel $n$ (modulo $2\pi$ ) : $\arg(z z') \equiv \arg(z) + \arg(z')$ ; $\arg(z^n) \equiv n\arg(z)$ ; $\arg\left(\frac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z)$ ; $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z')$ ; $\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z)$ ; $\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z)$ .

Avec les crochets, cela donne des calculs très rapides : $[r, \theta] \times [r', \theta'] = [r r', \theta + \theta']$ , $\frac{[r, \theta]}{[r', \theta']} = \left[\frac{r}{r'}, \theta - \theta'\right]$ et $[r, \theta]^n = [r^n, n\theta]$ .

Remarque

Si $k$ est un réel strictement positif, $\arg(kz) \equiv \arg(z)$ ; si $k$ est strictement négatif, $\arg(kz) \equiv \pi + \arg(z)$ . Ainsi $-2(\cos\theta + i\sin\theta)$ n'est pas une forme trigonométrique : elle vaut $[2, \pi + \theta]$ .

8. Interprétation géométrique

Propriété

Pour deux points distincts $A$ et $B$ : $\arg(z_B - z_A) \equiv (\vec{u}, \overrightarrow{AB}) \ [2\pi]$ . Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ deux à deux distincts : $\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = \frac{AC}{AB}$ et $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \ [2\pi]$ .

Conséquences directes, avec $q = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ :

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff q$ est réel.
$(AB) \perp (AC) \iff q$ est imaginaire pur.
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ $\iff |q| = 1$ .
$ABC$ est rectangle isocèle en $A$ $\iff q = i$ ou $q = -i$ .
$ABC$ est équilatéral $\iff q = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $q = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ (c'est-à-dire $q = [1, \pm\frac{\pi}{3}]$ ).

Plus généralement, pour $A \neq B$ et $C \neq D$ : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) \equiv \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \ [2\pi]$ . Donc $(AB) \parallel (CD)$ si et seulement si ce quotient est réel.

Remarque

La condition de cocyclicité de quatre points (le « birapport ») est hors programme PC et SVT : elle est étudiée en Sciences mathématiques. Pour montrer que des points sont sur un même cercle, tu montres qu'ils sont tous à la même distance d'un centre $\Omega$ .

Méthodes

Méthode 1 : Écrire un quotient sous forme algébrique

Repère le dénominateur $c + id$ et son conjugué $c - id$ .
Multiplie le numérateur et le dénominateur par $c - id$ .
Le dénominateur devient le réel $c^2 + d^2$ ; développe le numérateur en remplaçant $i^2$ par $-1$ .
Sépare partie réelle et partie imaginaire.

Exemple. Écrire $z = \frac{3 + i}{1 - 2i}$ sous forme algébrique.

z = \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{1 + 7i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}i

Méthode 2 : Passer à la forme trigonométrique

Calcule le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Factorise par $r$ : $z = r\left(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r}\right)$ .
Reconnais un angle $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$ (attention aux signes : ils fixent le quadrant).
Conclus : $z = [r, \theta]$ .

Exemple. Soit $z = \sqrt{3} - 3i$ . On a $r = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , donc :

z = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{3}}i\right) = 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

Le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ et le sinus $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $\theta = -\frac{\pi}{3}$ . Donc $z = \left[2\sqrt{3}, -\frac{\pi}{3}\right]$ .

Méthode 3 : Étudier trois points (alignement, triangle)

Calcule $q = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ sous forme algébrique (le point $A$ est le sommet étudié).
Si $q$ est réel : $A$ , $B$ , $C$ alignés.
Si $q$ est imaginaire pur : triangle rectangle en $A$ ; si de plus $|q| = 1$ ( $q = \pm i$ ) : rectangle isocèle en $A$ .
Si $q = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ : triangle équilatéral.

Exemple 1. $A(1)$ , $B(2 + i)$ , $C(3 + 2i)$ : $z_C - z_A = 2 + 2i = 2(1 + i) = 2(z_B - z_A)$ , donc $q = 2$ est réel et les points sont alignés.

Exemple 2. $A(i)$ , $B(2 + 2i)$ , $C(-1 + 3i)$ : $z_B - z_A = 2 + i$ et $z_C - z_A = -1 + 2i$ . Or $i(2 + i) = 2i - 1$ , donc $q = i$ : le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ .

Méthode 4 : Déterminer un ensemble de points avec le module

Traduis chaque module en distance : $|z - z_A| = AM$ .
$|z - z_A| = r$ (avec $r > 0$ ) : $M$ décrit le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ .
$|z - z_A| = |z - z_B|$ : $AM = BM$ , donc $M$ décrit la médiatrice de $[AB]$ .
Si l'écriture ne se lit pas directement, pose $z = x + iy$ et calcule.

Exemple. Ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 1 - 2i| = |z + 3|$ . On a $|z - (1 + 2i)| = |z - (-3)|$ : c'est la médiatrice de $[AB]$ avec $A(1 + 2i)$ et $B(-3)$ . Avec $z = x + iy$ :

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 3)^2 + y^2 \iff -8x - 4y - 4 = 0 \iff 2x + y + 1 = 0

Contrôle : le milieu de $[AB]$ , d'affixe $-1 + i$ , vérifie bien $2(-1) + 1 + 1 = 0$ .

Méthode 5 : Montrer qu'un nombre est réel ou imaginaire pur avec le conjugué

Calcule $\overline{Z}$ en utilisant les propriétés du conjugué.
Si tu retrouves $Z$ : $Z$ est réel. Si tu trouves $-Z$ : $Z$ est imaginaire pur.
Retiens l'outil clé : si $|z| = 1$ , alors $z\overline{z} = 1$ , donc $\overline{z} = \frac{1}{z}$ .

Exemple. Soit $z$ tel que $|z| = 1$ et $Z = z + \frac{1}{z}$ . Alors $\overline{Z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{z} + z = Z$ , donc $Z$ est réel.

Exercices corrigés

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

Facile

Énoncé

On pose $z_1 = 2 - 3i$ et $z_2 = 1 + 4i$ . Écris sous forme algébrique : $z_1 + z_2$ , $z_1 z_2$ , $z_1^2$ et $\frac{z_1}{z_2}$ .

Voir le corrigé

Somme : $z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(-3 + 4) = 3 + i$ .

Produit : on développe en remplaçant $i^2$ par $-1$ .

z_1 z_2 = (2 - 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i - 3i - 12i^2 = 2 + 5i + 12 = 14 + 5i

Carré : identité $(a - b)^2$ .

z_1^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i

Quotient : on multiplie par le conjugué $1 - 4i$ du dénominateur.

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(2 - 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{2 - 8i - 3i + 12i^2}{1 + 16} = \frac{-10 - 11i}{17}

Donc $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{10}{17} - \frac{11}{17}i$ .

Exercice 2 : Conjugué, module et équation

Facile

Énoncé

Soit $z = (1 + 2i)(3 - i)$ . Écris $z$ sous forme algébrique, puis donne $\overline{z}$ et $|z|$ .
Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z + i\overline{z} = 5 + 4i$ .

Voir le corrigé

1. $z = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i$ . Donc $\overline{z} = 5 - 5i$ et $|z| = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$ .

Vérification par les propriétés du module : $|z| = |1 + 2i| \times |3 - i| = \sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .

2. L'équation contient $z$ et $\overline{z}$ : on pose $z = x + iy$ avec $x$ et $y$ réels, donc $\overline{z} = x - iy$ .

2(x + iy) + i(x - iy) = 2x + 2iy + ix + y = (2x + y) + i(x + 2y)

Par identification des parties réelles et imaginaires :

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases}

En soustrayant deux fois la seconde ligne à la première : $-3y = -3$ , donc $y = 1$ puis $x = 2$ . La solution est $z = 2 + i$ .

Vérification : $2(2 + i) + i(2 - i) = 4 + 2i + 2i + 1 = 5 + 4i$ .

Exercice 3 : Formes trigonométriques et calculs

Facile

Énoncé

On donne $z_1 = -2 + 2i$ , $z_2 = -3i$ , $z_3 = -5$ et $z_4 = 1 + i\sqrt{3}$ .

Écris chacun de ces nombres sous forme trigonométrique.
En déduis la forme trigonométrique de $z_1 z_4$ et de $\frac{z_1}{z_4}$ .
Calcule $z_4^6$ .

Voir le corrigé

$|z_1| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$ et $z_1 = 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ : cosinus négatif, sinus positif, donc $\theta = \frac{3\pi}{4}$ . Ainsi $z_1 = \left[2\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right]$ .
$z_2 = -3i = 3 \times (-i)$ , donc $z_2 = \left[3, -\frac{\pi}{2}\right]$ .
$z_3 = -5 = 5 \times (-1)$ , donc $z_3 = [5, \pi]$ .
$|z_4| = \sqrt{1 + 3} = 2$ et $z_4 = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , donc $z_4 = \left[2, \frac{\pi}{3}\right]$ .

2. On multiplie les modules et on ajoute les arguments :

z_1 z_4 = \left[2\sqrt{2} \times 2, \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right] = \left[4\sqrt{2}, \frac{13\pi}{12}\right] = \left[4\sqrt{2}, -\frac{11\pi}{12}\right]

car $\frac{13\pi}{12} - 2\pi = -\frac{11\pi}{12}$ . Pour le quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments :

\frac{z_1}{z_4} = \left[\frac{2\sqrt{2}}{2}, \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right] = \left[\sqrt{2}, \frac{5\pi}{12}\right]

3. $z_4^6 = \left[2^6, 6 \times \frac{\pi}{3}\right] = [64, 2\pi] = [64, 0]$ , donc $z_4^6 = 64$ .

Remarque : calculer $z_4^6$ sous forme algébrique serait long ; la forme trigonométrique est l'outil adapté aux puissances.

Exercice 4 : Alignement et rectangle

Moyen

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points $A(1 + i)$ , $B(3 + 2i)$ , $C(-1 + 5i)$ et $E(7 + 4i)$ .

Montre que les points $A$ , $B$ et $E$ sont alignés.
Calcule $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et déduis-en la nature du triangle $ABC$ .
Détermine l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ soit un rectangle, puis l'aire de ce rectangle.

Voir le corrigé

1. $z_B - z_A = 2 + i$ et $z_E - z_A = 6 + 3i = 3(2 + i)$ . Donc $\frac{z_E - z_A}{z_B - z_A} = 3$ est un réel : $A$ , $B$ , $E$ sont alignés (et même $\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB}$ ).

2. $z_C - z_A = -2 + 4i$ , donc :

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-2 + 4i}{2 + i} = \frac{(-2 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-4 + 2i + 8i - 4i^2}{5} = \frac{10i}{5} = 2i

Ce quotient est imaginaire pur : $(AB) \perp (AC)$ , le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Son module vaut $2$ , donc $AC = 2AB$ : le triangle n'est pas isocèle.

3. $ABDC$ est un rectangle si et seulement si c'est un parallélogramme (il a déjà un angle droit en $A$ ). On veut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , soit $z_B - z_A = z_D - z_C$ :

z_D = z_B + z_C - z_A = (3 + 2i) + (-1 + 5i) - (1 + i) = 1 + 6i

Les côtés mesurent $AB = |2 + i| = \sqrt{5}$ et $AC = |-2 + 4i| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ . L'aire vaut $\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 10$ unités d'aire.

Exercice 5 : Ensembles de points

Moyen

Énoncé

Détermine l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ dans chacun des cas suivants.

$|z - 2 + i| = 3$ .
$|z + 1| = |z - 3i|$ .
$Z = \frac{z - i}{z - 2}$ est un nombre réel (avec $z \neq 2$ ).

Voir le corrigé

1. $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$ . Si $\Omega$ est le point d'affixe $2 - i$ , la condition s'écrit $\Omega M = 3$ : l'ensemble est le cercle de centre $\Omega(2 - i)$ et de rayon $3$ .

2. $|z - (-1)| = |z - 3i|$ . Avec $A(-1)$ et $B(3i)$ , la condition s'écrit $AM = BM$ : l'ensemble est la médiatrice de $[AB]$ . Son équation, avec $z = x + iy$ :

(x + 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 3)^2 \iff 2x + 1 = -6y + 9 \iff x + 3y - 4 = 0

3. On pose $z = x + iy$ avec $(x ; y) \neq (2 ; 0)$ . On multiplie par le conjugué du dénominateur :

Z = \frac{\left(x + i(y - 1)\right)\left((x - 2) - iy\right)}{(x - 2)^2 + y^2}

La partie imaginaire du numérateur vaut $(y - 1)(x - 2) - xy = -x - 2y + 2$ . Donc :

Z \in \mathbb{R} \iff -x - 2y + 2 = 0 \iff x + 2y - 2 = 0

C'est une droite qui passe par $A(i)$ et $B(2)$ : on vérifie $0 + 2 - 2 = 0$ et $2 + 0 - 2 = 0$ . Comme $z \neq 2$ , l'ensemble est la droite $(AB)$ privée du point $B$ .

Lecture géométrique : $Z = \frac{z_A - z_M}{z_B - z_M}$ est réel si et seulement si $M = A$ ou $M$ , $A$ , $B$ sont alignés.

Exercice 6 : Un quotient imaginaire pur

Difficile

Énoncé

Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z| = 1$ et $z \neq 1$ . On pose $Z = \frac{1 + z}{1 - z}$ .

Montre que $\overline{z} = \frac{1}{z}$ .
Montre que $Z$ est imaginaire pur.
Vérifie ce résultat pour $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$ .

Voir le corrigé

1. $z\overline{z} = |z|^2 = 1$ et $z \neq 0$ , donc $\overline{z} = \frac{1}{z}$ .

2. On utilise les propriétés du conjugué, puis $\overline{z} = \frac{1}{z}$ :

\overline{Z} = \frac{1 + \overline{z}}{1 - \overline{z}} = \frac{1 + \frac{1}{z}}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{z + 1}{z - 1} = -\frac{1 + z}{1 - z} = -Z

(on a multiplié le numérateur et le dénominateur par $z \neq 0$ ). Comme $\overline{Z} = -Z$ , le nombre $Z$ est imaginaire pur.

3. $|z| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = 1$ et $z \neq 1$ . On calcule :

Z = \frac{\frac{8}{5} + \frac{4}{5}i}{\frac{2}{5} - \frac{4}{5}i} = \frac{8 + 4i}{2 - 4i} = \frac{(8 + 4i)(2 + 4i)}{4 + 16} = \frac{16 + 32i + 8i - 16}{20} = \frac{40i}{20} = 2i

On trouve bien un imaginaire pur.

Exercice 7 : Triangle, carré et angle π/12

Type Bac

Énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . On considère les points $A$ et $B$ d'affixes $a = 1 + i\sqrt{3}$ et $b = \sqrt{3} - i$ .

1. a) Écris $a$ et $b$ sous forme trigonométrique.

1. b) Montre que $a = ib$ , puis déduis-en la nature du triangle $OAB$ .

2. Soit $C$ le point d'affixe $c = a + b$ .

2. a) Montre que $OACB$ est un carré.

2. b) Écris $c$ sous forme algébrique.

2. c) Montre que $c = (1 + i)b$ et déduis-en la forme trigonométrique de $c$ .

2. d) Déduis-en les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ .

3. Montre que $c^{12}$ est un réel négatif et calcule-le.

4. Détermine l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - a| = |z - b|$ .

Voir le corrigé

1. a) $|a| = \sqrt{1 + 3} = 2$ et $a = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , donc $a = \left[2, \frac{\pi}{3}\right]$ .

$|b| = \sqrt{3 + 1} = 2$ et $b = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right)$ , donc $b = \left[2, -\frac{\pi}{6}\right]$ .

1. b) $ib = i\sqrt{3} - i^2 = 1 + i\sqrt{3} = a$ . Donc $\frac{a}{b} = i$ , d'où :

\left|\frac{a - 0}{b - 0}\right| = \frac{OA}{OB} = 1 \quad \text{et} \quad (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}) \equiv \arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]

Le triangle $OAB$ est rectangle isocèle en $O$ . (Contrôle avec les formes trigonométriques : $\frac{a}{b} = \left[1, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right] = \left[1, \frac{\pi}{2}\right] = i$ .)

2. a) $c - b = a$ , donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}$ : $OACB$ est un parallélogramme. Il a un angle droit en $O$ et deux côtés consécutifs égaux ( $OA = OB = 2$ ) : c'est un carré.

2. b) $c = (1 + i\sqrt{3}) + (\sqrt{3} - i) = (1 + \sqrt{3}) + i(\sqrt{3} - 1)$ .

2. c) $c = a + b = ib + b = (1 + i)b$ . Comme $1 + i = \left[\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right]$ :

c = \left[\sqrt{2} \times 2, \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right] = \left[2\sqrt{2}, \frac{\pi}{12}\right]

Contrôle : $OC$ est la diagonale d'un carré de côté $2$ , donc $OC = 2\sqrt{2}$ .

2. d) On identifie les deux écritures de $c$ : $2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12} = 1 + \sqrt{3}$ et $2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - 1$ . Donc :

\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \quad \text{et} \quad \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

(valeurs approchées : $0{,}966$ et $0{,}259$ ).

3. $c^{12} = \left[(2\sqrt{2})^{12}, 12 \times \frac{\pi}{12}\right] = \left[(2\sqrt{2})^{12}, \pi\right]$ . Un argument égal à $\pi$ signifie que $c^{12}$ est un réel strictement négatif. Comme $(2\sqrt{2})^2 = 8$ , on a $(2\sqrt{2})^{12} = 8^6 = 262144$ , donc $c^{12} = -262144$ .

4. $|z - a| = |z - b| \iff AM = BM$ : l'ensemble est la médiatrice de $[AB]$ . Or $OA = OB$ et, dans le carré, $CA = CB$ : les points $O$ et $C$ (distincts) sont sur cette médiatrice. L'ensemble cherché est donc la droite $(OC)$ .

Exercice 8 : Ensembles de points et triangles rectangles

Type Bac

Énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . On considère les points $A(2i)$ et $B(2)$ . Pour tout $z \neq 2$ , on pose $Z = \frac{z - 2i}{z - 2}$ et on note $M$ le point d'affixe $z$ .

1. Calcule $Z$ lorsque $M = O$ , puis interprète géométriquement le résultat.

2. On pose $z = x + iy$ avec $x$ et $y$ réels. Montre que $\mathrm{Re}(Z) = \frac{x^2 + y^2 - 2x - 2y}{(x - 2)^2 + y^2}$ et $\mathrm{Im}(Z) = \frac{4 - 2x - 2y}{(x - 2)^2 + y^2}$ .

3. a) Détermine l'ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel.

3. b) Détermine l'ensemble $(F)$ des points $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.

3. c) Détermine l'ensemble $(G)$ des points $M$ tels que $|Z| = 1$ .

4. Détermine les points communs à $(F)$ et $(G)$ , puis la nature du triangle $MAB$ pour chacun d'eux.

Voir le corrigé

1. Pour $z = 0$ : $Z = \frac{-2i}{-2} = i$ . Comme $Z = \frac{z_A - z_M}{z_B - z_M}$ , on a $|Z| = \frac{MA}{MB}$ et $\arg(Z) \equiv (\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA}) \ [2\pi]$ . Ici $|i| = 1$ et $\arg(i) \equiv \frac{\pi}{2}$ : $OA = OB$ et $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$ . Le triangle $OAB$ est rectangle isocèle en $O$ .

2. $Z = \frac{x + i(y - 2)}{(x - 2) + iy}$ . On multiplie par le conjugué $(x - 2) - iy$ du dénominateur. Le numérateur devient :

\left(x + i(y - 2)\right)\left((x - 2) - iy\right) = x(x - 2) + y(y - 2) + i\left[(y - 2)(x - 2) - xy\right]

Or $x(x - 2) + y(y - 2) = x^2 + y^2 - 2x - 2y$ et $(y - 2)(x - 2) - xy = 4 - 2x - 2y$ . Le dénominateur vaut $(x - 2)^2 + y^2$ , ce qui donne les formules demandées.

3. a) $Z$ réel $\iff \mathrm{Im}(Z) = 0 \iff 4 - 2x - 2y = 0 \iff x + y - 2 = 0$ . Cette droite passe par $A(0 ; 2)$ et $B(2 ; 0)$ . Comme $z \neq 2$ : $(E)$ est la droite $(AB)$ privée de $B$ .

3. b) $Z$ imaginaire pur $\iff \mathrm{Re}(Z) = 0 \iff x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ . On complète les carrés :

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

C'est le cercle de centre $\Omega(1 + i)$ et de rayon $\sqrt{2}$ . Le point $B$ est sur ce cercle mais doit être exclu : $(F)$ est le cercle de centre $\Omega(1 + i)$ et de rayon $\sqrt{2}$ privé de $B$ . On remarque que $\Omega$ est le milieu de $[AB]$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$ , ce qui est cohérent avec l'angle droit en $M$ .

3. c) $|Z| = 1 \iff |z - 2i| = |z - 2| \iff MA = MB$ : $(G)$ est la médiatrice de $[AB]$ , c'est-à-dire la droite d'équation $y = x$ (elle ne contient pas $B$ ).

4. On résout le système $y = x$ et $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ : $2x^2 - 4x = 0$ , soit $2x(x - 2) = 0$ . On obtient $O(0)$ et $P(2 + 2i)$ .

Pour $M = O$ , on a vu que $Z = i$ . Pour $M = P$ : $Z = \frac{2 + 2i - 2i}{2 + 2i - 2} = \frac{2}{2i} = -i$ .

Dans les deux cas $|Z| = 1$ et $Z$ est imaginaire pur : les triangles $OAB$ et $PAB$ sont rectangles isocèles (en $O$ et en $P$ ). On reconnaît les deux points qui complètent le carré $OBPA$ .

QCM

QCM de 7 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Écrire $\mathrm{Im}(3 - 5i) = -5i$ : la partie imaginaire est le réel $-5$ .
Calculer $|a + ib| = a + b$ ou $\sqrt{a^2 - b^2}$ : la bonne formule est $\sqrt{a^2 + b^2}$ , toujours avec un signe plus.
Croire que $|z + z'| = |z| + |z'|$ : c'est faux en général, seule l'inégalité $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ est vraie.
Trouver l'argument avec la seule tangente $\frac{b}{a}$ : tu risques de te tromper de quadrant. Utilise toujours le cosinus et le sinus.
Garder un « module » négatif : $-3\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$ n'est pas une forme trigonométrique, elle vaut $[3, \pi + \theta]$ .
Inverser l'ordre des points : $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ mesure l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ , et non $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ .
Oublier les points exclus dans un ensemble de points : si $Z = \frac{z - z_A}{z - z_B}$ , le point $B$ doit être retiré.
Écrire $\frac{1}{a + ib} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ib}$ : on multiplie par le conjugué, $\frac{1}{a + ib} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}$ .

À retenir

$i^2 = -1$ et tout complexe s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a = \mathrm{Re}(z)$ et $b = \mathrm{Im}(z)$ réels.
Pour un quotient, multiplie par le conjugué du dénominateur : $(c + id)(c - id) = c^2 + d^2$ .
$\overline{z} = a - ib$ ; $z$ réel $\iff \overline{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$ .
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\overline{z}}$ et $AB = |z_B - z_A|$ ; l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$ .
Forme trigonométrique : $z = [r, \theta] = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| > 0$ , $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$ .
Produit : on multiplie les modules et on ajoute les arguments ; puissance : $[r, \theta]^n = [r^n, n\theta]$ .
$\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ a pour module $\frac{AC}{AB}$ et pour argument $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ .
Ce quotient réel : alignement ; imaginaire pur : angle droit en $A$ ; égal à $\pm i$ : rectangle isocèle en $A$ .
$|z - z_A| = r$ : cercle de centre $A$ ; $|z - z_A| = |z - z_B|$ : médiatrice de $[AB]$ .

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Tes notes restent sur cet appareil.

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