Définitions de maths 2e Bac PC/SVT : tous les termes du cours par chapitre

continue#

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant le réel $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Continuité en un point et sur un intervalle (1/2)#

$f$ est continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. Elle est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Continuité en un point et sur un intervalle (2/2)#

$f$ est continue sur l'intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$. Elle est continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Fonction racine n-ième et puissances rationnelles#

Soit $x > 0$ et $r = \frac{p}{q}$ un nombre rationnel, avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^{\ast}$. On pose $x^{r} = \sqrt[q]{x^p}$.

racine n-ième#

La fonction réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $[0, +\infty[$ est la fonction racine n-ième, notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$. Pour tous $x \geq 0$ et $y \geq 0$ : $\sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x$.

Branches infinies (1/3)#

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

Branches infinies (2/3)#

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ avec $b$ réel, la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (de même en $-\infty$).

Branches infinies (3/3)#

Si $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax - b) = 0$ avec $a \neq 0$, la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (de même en $-\infty$).

Concavité et points d'inflexion (1/2)#

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. La courbe $(C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est située au-dessus de toutes ses tangentes en des points d'abscisse dans $I$. Elle est concave sur $I$ si elle est située au-dessous de toutes ces tangentes.

Concavité et points d'inflexion (2/2)#

Le point $A(a, f(a))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ si la courbe change de concavité en $A$. En un tel point, la courbe traverse sa tangente.

Dérivabilité en un point#

$f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est un réel, noté $f'_d(a)$. De même, $f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est un réel, noté $f'_g(a)$.

dérivable#

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant le réel $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est un réel. Ce réel est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Limite d'une suite#

On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$, ou simplement $\lim u_n = \ell$. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Monotonie#

La suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$, constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$. Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Suites majorées, minorées, bornées#

La suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$. Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Définition : Fonctions primitives#

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

Définition de la fonction logarithme népérien#

Le nombre $e$ est l'unique réel strictement positif tel que $\ln e = 1$. On a $e \approx 2{,}718$.

logarithme de base $a$#

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est définie sur $]0,+\infty[$ par $\log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a}$.

logarithme décimal#

Le logarithme décimal, noté $\log$, est le logarithme de base $10$ : $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$. Pour tout entier relatif $n$, $\log(10^n) = n$.

logarithme népérien#

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en $1$.

exponentielle népérienne#

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, est la fonction réciproque de la fonction $\ln$. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ et tout réel $y > 0$ : $y = \exp(x) \iff x = \ln y$.

La fonction $x \mapsto a^x$ ($a > 0$)#

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x$, on pose $a^x = e^{x\ln a}$. La fonction $x \mapsto a^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base $a$.

argument#

Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure $\theta$ de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$. On note $\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi]$. Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

conjugué#

Le conjugué de $z = a + ib$ est le nombre complexe $\overline{z} = a - ib$.

forme algébrique#

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$. C'est la forme algébrique de $z$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$.

forme trigonométrique#

L'écriture $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ est la forme trigonométrique de $z$. On la note aussi $z = [r, \theta]$. Pour la trouver à partir de $z = a + ib$ : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis $\theta$ vérifie $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$.

image#

Au nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a ; b)$ : $M$ est l'image de $z$, et $z$ est l'affixe du point $M$. On note $M(z)$ ou $z_M$. De même, le vecteur $\vec{w}(a ; b)$ a pour affixe $z_{\vec{w}} = a + ib$.

module#

Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \overline{z}}$. Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z| = OM$. Pour deux points $A$ et $B$ : $AB = |z_B - z_A|$.

Notation exponentielle#

Pour tout réel $\theta$, on pose $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. C'est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ : $|e^{i\theta}| = 1$ et $\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \ [2\pi]$.

équation caractéristique#

Soit $a$ et $b$ deux réels. L'équation $r^2 + ar + b = 0$, d'inconnue $r$, s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle $y'' + ay' + by = 0$. On note $\Delta = a^2 - 4b$ son discriminant.

Intégrale d'une fonction continue#

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et $a$, $b$ deux éléments de $I$. Le réel $F(b) - F(a)$ s'appelle l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$. On le note $\int_a^b f(x)\,dx$ et on écrit $\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$.

Valeur moyenne#

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le réel $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Produit scalaire#

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$, où $\theta$ est une mesure de l'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Produit vectoriel#

Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est le vecteur défini ainsi :

• si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ ;
• sinon, $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est directe et $\|\vec{w}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\theta$, où $\theta$ est une mesure de l'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Sphère#

La sphère $(S)$ de centre $\Omega$ et de rayon $R > 0$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\Omega M = R$.

Vecteur normal#

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal au plan $(P)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $(P)$. Il est alors orthogonal à tout vecteur de $(P)$.

Arrangements, permutations, combinaisons#

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier avec $0 \leq p \leq n$.

• Un arrangement de $p$ éléments de $E$ est une liste ordonnée de $p$ éléments distincts. Leur nombre est $A_n^p = n(n - 1) \cdots (n - p + 1) = \frac{n!}{(n - p)!}$.
• Une permutation de $E$ est un arrangement de ses $n$ éléments. Leur nombre est $A_n^n = n!$.
• Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est une partie de $E$ à $p$ éléments (sans ordre). Leur nombre est $C_n^p = \frac{n!}{p!\,(n - p)!} = \frac{A_n^p}{p!}$.

Espérance, variance, écart-type#

• Espérance : $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$.
• Variance : $V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2\,p_i = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2$, avec $E(X^2) = x_1^2 p_1 + \cdots + x_n^2 p_n$.
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Indépendance#

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$. Lorsque $p(B) \neq 0$, cela revient à dire $p_B(A) = p(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

Loi binomiale#

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : « succès » de probabilité $p$ et « échec » de probabilité $1 - p$. La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$.

Probabilité#

Définir une probabilité sur $\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_n\}$, c'est associer à chaque issue $\omega_i$ un réel $p_i \geq 0$ avec $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$. La probabilité d'un événement $A$ est la somme des $p_i$ des issues qui le composent.

Probabilité conditionnelle#

Soit $B$ un événement tel que $p(B) \neq 0$. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

On la note aussi $p(A / B)$.

Variable aléatoire#

Une variable aléatoire $X$ est une application qui associe un nombre réel à chaque issue de $\Omega$. On note $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ l'ensemble de ses valeurs.