Formulaire de maths 2e Bac PC/SVT : toutes les formules par chapitre

Propriété

En $+\infty$ ou en $-\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Une fonction rationnelle a la même limite que le quotient du terme de plus haut degré du numérateur par celui du dénominateur.

Propriété

Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.

Propriété

Au voisinage de $+\infty$ : si $f(x) \geq u(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Si $f(x) \leq v(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} v(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. Si $\lvert f(x) - l \rvert \leq v(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} v(x) = 0$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$.

Propriété

$f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à droite et à gauche en $a$.

Propriété

Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors $f + g$, $kf$ ($k$ réel) et $f \times g$ sont continues sur $I$. La fonction $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ si $g$ ne s'annule pas sur $I$, et $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ si $f \geq 0$ sur $I$.

Propriété

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, cette solution est unique.

Propriété

La fonction $f^{-1}$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de variation que $f$. Pour tout $x \in I$, $f^{-1}(f(x)) = x$ et pour tout $x \in J$, $f(f^{-1}(x)) = x$. Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Propriété

Pour tous réels $x \geq 0$, $y \geq 0$ et tous entiers $n \geq 1$, $p \geq 1$ : $(\sqrt[n]{x})^n = \sqrt[n]{x^n} = x$ ; $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y}$ ; $\sqrt[n]{x^p} = (\sqrt[n]{x})^p$ ; $\sqrt[n]{\sqrt[p]{x}} = \sqrt[np]{x}$ ; $\sqrt[np]{x^p} = \sqrt[n]{x}$. Si de plus $y > 0$ : $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

Propriété

Si $u$ est continue et positive sur $I$, alors $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est continue sur $I$. Si $u \geq 0$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x \to a} u(x) = l$ avec $l \geq 0$, alors $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{l}$. Si $\lim_{x \to a} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$. Ici $a$ est un réel ou $\pm\infty$.

Propriété

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $a$ avec $f'_d(a) = f'_g(a)$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : $x \mapsto \lvert x \rvert$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable.

Propriété

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$ et, pour tout $x \in J$ : $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

Propriété

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$. Réciproquement, si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum local de $f$.

Propriété

Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $A(a, f(a))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.

Propriété

La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) = f(x)$.

Propriété

Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ : $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) + f(x) = 2b$.

Propriété

Soit $P(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n \geq n_0$. Si $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et si, pour tout $n \geq n_0$, « $P(n)$ vraie » entraîne « $P(n+1)$ vraie » (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

Propriété

Si une suite converge, sa limite est unique.

Propriété

Pour tout rationnel $a > 0$ : $\lim n^{a} = +\infty$ et $\lim n^{-a} = \lim \frac{1}{n^{a}} = 0$. En particulier $\lim \sqrt{n} = \lim n^2 = +\infty$ et $\lim \frac{1}{n} = \lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.

Propriété

Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

Propriété

Si $\lim u_n = \ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\lim f(u_n) = f(\ell)$.

Propriété

Si $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + k$, où $k$ est une constante réelle.

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$. Il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$.

Propriété

Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$, et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels, alors $\alpha F + \beta G$ est une primitive de $\alpha f + \beta g$ sur $I$.

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$. En particulier, pour $x > 0$ : $\ln x > 0 \iff x > 1$ et $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$.

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a$ ; $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$.

Propriété

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

Propriété

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et qui ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $x \mapsto \ln|u(x)|$ est dérivable sur $I$ et $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$.

Propriété

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors les primitives de $\frac{u'}{u}$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto \ln|u(x)| + C$, où $C \in \mathbb{R}$. Si de plus $u > 0$ sur $I$, ce sont les fonctions $x \mapsto \ln(u(x)) + C$.

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout rationnel $r$ : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ ; $(e^a)^r = e^{ra}$.

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$. Pour tout réel $a$ et tout réel $b > 0$ : $e^a = b \iff a = \ln b$.

Propriété

La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ : $(e^x)' = e^x$. Comme $e^x > 0$, la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Propriété

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $(e^u)' = u'e^u$.

Propriété

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, les primitives de $u'e^u$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto e^{u(x)} + C$, où $C \in \mathbb{R}$.

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$. En particulier, $a + ib = 0 \iff a = 0$ et $b = 0$.

Propriété

Tout nombre complexe $z = a + ib$ non nul admet un inverse : $\frac{1}{z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}$. Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Propriété

Pour tous $z$ et $z'$ de $\mathbb{C}$ et tout entier naturel $n$ : $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$, $\overline{z z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$, $\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$, et si $z' \neq 0$ : $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$. De plus $\overline{\overline{z}} = z$, $z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$, $z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ et $z \overline{z} = a^2 + b^2$.

Propriété

$z$ est réel $\iff \overline{z} = z$. $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$.