Aspects énergétiques des oscillations mécaniques

Chapitres

Plan du chapitre

55 min
10 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 4 octobre 2026

L'essentiel

1. Rappels : travail d'une force

Définition

Le travail d'une force constante $\vec{F}$ dont le point d'application se déplace en ligne droite de $A$ à $B$ est $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$ , en joules, où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$ . Il est moteur ( $W > 0$ ) si $\alpha < 90^\circ$ et résistant ( $W < 0$ ) si $\alpha > 90^\circ$ .

Les travaux à connaître pour les oscillateurs :

Poids (axe vertical orienté vers le haut) : $W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B)$ ;
Tension d'un ressort (allongement algébrique $x$ ) : $W_{AB}(\vec{T}) = \frac{1}{2}\,k\,(x_A^2 - x_B^2)$ ;
Couple de torsion (angle de torsion $\theta$ ) : $W_{AB} = \frac{1}{2}\,C\,(\theta_A^2 - \theta_B^2)$ ;
Force de frottement de valeur constante $f$ , opposée au mouvement, sur la distance $d$ parcourue : $W = -f\,d$ .

Propriété

Le poids, la tension d'un ressort et le couple de torsion sont des forces conservatives : leur travail ne dépend que de la position initiale et de la position finale, pas du chemin suivi. Le travail d'une force de frottement dépend du chemin : ce n'est pas une force conservative.

2. Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un solide en translation est $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ ; pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, $E_c = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2$ ( $\omega$ en $\text{rad.s}^{-1}$ ). Entre deux instants, le théorème de l'énergie cinétique s'écrit $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$ .

3. Énergies potentielles

Définition

L'énergie potentielle $E_p$ associée à une force conservative est définie par sa variation : $\Delta E_p = E_p(B) - E_p(A) = -W_{AB}(\vec{F})$ . Elle est définie à une constante près : seule sa variation a un sens physique ; on choisit une référence où $E_p = 0$ .

Propriété

Pesanteur (axe $Oz$ vertical vers le haut) : $E_{pp} = m\,g\,z + \text{cste}$ .
Élastique (ressort de raideur $k$ , allongement $x$ ) : $E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,x^2 + \text{cste}$ . Avec la référence « ressort non déformé » ( $E_{pe} = 0$ pour $x = 0$ ), la constante est nulle.
Torsion (fil de constante $C$ , angle de torsion $\theta$ ) : $E_{pt} = \frac{1}{2}\,C\,\theta^2 + \text{cste}$ ; référence : fil non tordu.

4. Énergie mécanique et conservation

Définition

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles : $E_m = E_c + E_p$ .

Théorème

Entre deux instants, $\Delta E_m = \sum W(\text{forces non conservatives})$ . Si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (ou à des forces dont le travail est nul, comme la réaction d'un support lisse), l'énergie mécanique se conserve : $E_m = \text{constante}$ .

5. Pendule élastique horizontal

On prend l'origine $O$ à la position d'équilibre (ressort non déformé) et la référence $E_p = 0$ en $x = 0$ . Le poids et la réaction du support ne travaillent pas (ils sont perpendiculaires au déplacement), et la tension du ressort est conservative. Donc :

E_m = E_c + E_{pe} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \text{constante}.

Aux positions extrêmes $x = \pm X_m$ , la vitesse est nulle, donc $E_m = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2$ . Au passage par $x = 0$ , $E_p = 0$ , donc $E_m = \frac{1}{2}\,m\,v_{max}^2$ . On en déduit :

\frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2 \qquad\Rightarrow\qquad v^2 = \frac{k}{m}\left(X_m^2 - x^2\right) = \omega_0^2\left(X_m^2 - x^2\right)

Propriété

Retrouver l'équation différentielle. On dérive $E_m = \frac{1}{2}\,m\,\dot{x}^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2$ par rapport au temps : $\frac{dE_m}{dt} = m\,\dot{x}\,\ddot{x} + k\,x\,\dot{x} = \dot{x}\left(m\,\ddot{x} + k\,x\right)$ . Comme $E_m$ est constante, cette dérivée est nulle pour tout $t$ ; avec $\dot{x} \neq 0$ la plupart du temps, on obtient $m\,\ddot{x} + k\,x = 0$ , soit $\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0$ .

6. Échanges d'énergie au cours du temps

Avec $x(t) = X_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)$ et $v(t) = -\omega_0\,X_m\sin(\omega_0\,t + \varphi)$ , et $m\,\omega_0^2 = k$ :

E_p(t) = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2\cos^2(\omega_0\,t + \varphi) \qquad E_c(t) = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2\sin^2(\omega_0\,t + \varphi)

et $E_c + E_p = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2 = E_m$ . En utilisant $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ et $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$ , on voit que $E_c$ et $E_p$ varient avec une période $\frac{T_0}{2}$ (fréquence double de celle de $x$ ), et que leur valeur moyenne est $\frac{E_m}{2}$ .

Position	$E_c$	$E_p$	$E_m$
$x = 0$ (équilibre)	maximale, égale à $E_m$	nulle	$E_m$
$x = \pm\frac{X_m}{\sqrt{2}}$	$\frac{E_m}{2}$	$\frac{E_m}{2}$	$E_m$
$x = \pm X_m$ (extrémités)	nulle	maximale, égale à $E_m$	$E_m$

L'oscillation est un échange permanent d'énergie : quand le solide s'éloigne de $O$ , l'énergie cinétique se transforme en énergie potentielle élastique, et inversement quand il revient.

Remarque

Diagramme énergétique. Le graphe de $E_p(x) = \frac{1}{2}k\,x^2$ est une parabole ; $E_m$ est une droite horizontale. À une abscisse $x$ , l'écart vertical entre la droite et la parabole donne $E_c = E_m - E_p(x) \geq 0$ . Le mouvement n'est possible que là où $E_c \geq 0$ , c'est-à-dire pour $|x| \leq X_m$ : les points d'intersection de la droite avec la parabole sont les positions extrêmes.

7. Pendule élastique vertical

L'axe $Oz$ est orienté vers le bas, l'origine $O$ étant la position d'équilibre ( $k\,\Delta\ell_0 = m\,g$ ). Avec $E_{pp} = 0$ en $z = 0$ , on a $E_{pp} = -m\,g\,z$ (l'altitude diminue quand $z$ augmente) et $E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,(\Delta\ell_0 + z)^2$ . La somme des deux est

E_p = -m\,g\,z + \frac{1}{2}\,k\,(\Delta\ell_0 + z)^2 = \frac{1}{2}\,k\,z^2 + \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2 \quad\text{(car } k\,\Delta\ell_0 = m\,g\text{)}.

À une constante près, $E_p = \frac{1}{2}\,k\,z^2$ : on retrouve la même expression que pour le pendule horizontal. Donc $E_m = \frac{1}{2}\,m\,\dot{z}^2 + \frac{1}{2}\,k\,z^2 + \text{cste}$ , avec la même dynamique.

8. Pendule de torsion et pendule pesant

Pendule de torsion. $E_p = \frac{1}{2}\,C\,\theta^2$ (référence : fil non tordu) et $E_m = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\,C\,\theta^2 = \frac{1}{2}\,C\,\theta_m^2$ . La vitesse angulaire maximale est $\omega_{max} = \omega_0\,\theta_m$ .

Pendule pesant. On prend la référence $E_{pp} = 0$ quand $G$ est à sa position la plus basse (équilibre). Si $G$ est à la distance $d$ de l'axe, son altitude au-dessus de cette position est $d\,(1 - \cos\theta)$ :

E_{pp} = m\,g\,d\,(1 - \cos\theta) \qquad E_m = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\dot{\theta}^2 + m\,g\,d\,(1 - \cos\theta)

La conservation de $E_m$ permet de calculer $\dot{\theta}^2 = \frac{2\,m\,g\,d}{J_\Delta}\left(\cos\theta - \cos\theta_m\right)$ sans aucune approximation. Pour de faibles angles, $1 - \cos\theta \approx \frac{\theta^2}{2}$ et $E_{pp} \approx \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta^2$ .

9. Oscillations amorties : l'énergie n'est plus conservée

En présence de frottements (air, liquide, frottements à l'axe), ces forces ne sont pas conservatives et leur travail est résistant. D'après le théorème de la section 4 :

\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0

L'énergie mécanique diminue : elle est dissipée dans le milieu extérieur sous forme de transfert thermique (chaleur). Les oscillations sont amorties. On distingue trois régimes selon l'importance de l'amortissement :

régime pseudopériodique (amortissement faible) : le système oscille autour de la position d'équilibre avec une amplitude qui décroît ; la pseudo-période $T$ est un peu plus grande que la période propre $T_0$ (et très proche si l'amortissement est faible) ;
régime apériodique (amortissement fort) : le système ne dépasse pas la position d'équilibre et y revient lentement, sans oscillation ;
régime critique (cas limite) : le système revient à l'équilibre le plus vite possible, sans oscillation.

Remarque

Pour un frottement fluide proportionnel à la vitesse, $\vec{f} = -\lambda\,\vec{v}$ , on a $\frac{dE_m}{dt} = -\lambda\,v^2 \leq 0$ : l'énergie mécanique décroît à chaque instant et d'autant plus vite que la vitesse est grande. Les amortisseurs d'une voiture fonctionnent près du régime critique. Pour entretenir les oscillations, il faut apporter à chaque période l'énergie perdue (échappement d'une horloge mécanique, par exemple). L'étude quantitative de l'amortissement n'est pas exigée : on le décrit par le bilan d'énergie.

Méthodes

Méthode 1 : Calculer $E_c$ , $E_p$ et $E_m$ pour un pendule élastique

Précise la référence : $E_p = 0$ au ressort non déformé (horizontal) ou à la position d'équilibre (vertical, après simplification).
Calcule $E_p = \frac{1}{2}\,k\,x^2$ avec $x$ en mètres ; $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ avec $m$ en kg.
Fais la somme $E_m = E_c + E_p$ et vérifie qu'elle est constante (pas de frottement).
Contrôle avec $E_m = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2$ si l'amplitude est connue.

Exemple : $k = 80\,\text{N.m}^{-1}$ , $m = 0{,}20\,\text{kg}$ , $x = 0{,}030\,\text{m}$ et $v = 0{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ donnent $E_p = \frac{1}{2} \times 80 \times 0{,}030^2 = 0{,}036\,\text{J}$ et $E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}20 \times 0{,}60^2 = 0{,}036\,\text{J}$ , donc $E_m = 0{,}072\,\text{J}$ .

Méthode 2 : Utiliser la conservation de l'énergie mécanique

Vérifie que les seules forces qui travaillent sont conservatives (pas de frottement).
Écris $E_m(\text{état 1}) = E_m(\text{état 2})$ .
Isole l'inconnue (vitesse, amplitude, position) : $v^2 = \frac{k}{m}\left(X_m^2 - x^2\right)$ pour le pendule élastique.
Cette méthode évite l'équation différentielle quand le temps n'est pas demandé.

Exemple : avec $k = 80\,\text{N.m}^{-1}$ , $m = 0{,}20\,\text{kg}$ et $X_m = 5{,}0\,\text{cm}$ , la vitesse en $x = 3{,}0\,\text{cm}$ vérifie $v^2 = \frac{80}{0{,}20}\left(0{,}050^2 - 0{,}030^2\right) = 400 \times 0{,}0016 = 0{,}64$ , donc $v = 0{,}80\,\text{m.s}^{-1}$ .

Méthode 3 : Retrouver l'équation différentielle par l'énergie

Écris $E_m$ en fonction de $x$ et $\dot{x}$ : $E_m = \frac{1}{2}\,m\,\dot{x}^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2$ .
Dérive par rapport à $t$ , sans oublier la dérivée d'un carré : $\frac{d}{dt}\left(\dot{x}^2\right) = 2\,\dot{x}\,\ddot{x}$ .
Utilise $\frac{dE_m}{dt} = 0$ et simplifie par $\dot{x}$ pour obtenir $\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0$ .

Pour un pendule de torsion : $E_m = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\,C\,\theta^2$ donne $\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\,\theta = 0$ .

Méthode 4 : Lire un diagramme énergétique

Repère la droite horizontale : sa valeur est $E_m$ .
Les abscisses où la droite coupe la parabole $E_p(x)$ donnent $\pm X_m$ .
Pour une abscisse $x$ , lis $E_p$ sur la parabole ; $E_c = E_m - E_p$ est la distance verticale entre la droite et la parabole.
Déduis $v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m}}$ , et la raideur avec un point de la parabole : $k = \frac{2\,E_p}{x^2}$ .

Exemple : une parabole passe par $(x = 4{,}0\,\text{cm}\,;\ E_p = 0{,}16\,\text{J})$ , donc $k = \frac{2 \times 0{,}16}{0{,}040^2} = 200\,\text{N.m}^{-1}$ .

Méthode 5 : Traiter un cas avec frottements

Calcule $E_m$ à deux instants (par exemple aux amplitudes successives, où $v = 0$ et $E_m = \frac{1}{2}\,k\,X^2$ ).
L'énergie dissipée est $\left|\Delta E_m\right| = E_m(\text{initial}) - E_m(\text{final})$ ; elle correspond au travail résistant : $\Delta E_m = W(\vec{f})$ .
Exprime la perte en pourcentage : $\frac{\left|\Delta E_m\right|}{E_m(\text{initial})} \times 100$ .
Si le rapport des amplitudes successives est $r$ , le rapport des énergies est $r^2$ .

Exemple : l'amplitude passe de $5{,}0\,\text{cm}$ à $4{,}0\,\text{cm}$ : $r = 0{,}80$ , donc l'énergie est multipliée par $0{,}64$ et $36\,\%$ de l'énergie sont dissipés.

Exercices corrigés

Exercice 1 : Travaux des forces conservatives et du frottement

Facile

Énoncé

Calcule le travail de chacune des forces suivantes, avec $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Un ressort de raideur $k = 50\,\text{N.m}^{-1}$ passe d'un allongement $x_A = 2{,}0\,\text{cm}$ à $x_B = 6{,}0\,\text{cm}$ : travail de la tension du ressort. Même question pour le trajet inverse de $B$ à $A$ .
Un solide de masse $0{,}30\,\text{kg}$ descend de $0{,}50\,\text{m}$ : travail de son poids. Même question s'il monte de $0{,}50\,\text{m}$ .
Un fil de torsion de constante $C = 0{,}20\,\text{N.m.rad}^{-1}$ passe d'un angle de torsion $\theta_A = 0{,}50\,\text{rad}$ à $\theta_B = 0$ : travail du couple de torsion.
Un frottement de valeur constante $f = 0{,}50\,\text{N}$ s'exerce sur un solide qui parcourt $0{,}80\,\text{m}$ : travail de la force de frottement.

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1) $W_{AB} = \frac{1}{2}\,k\,(x_A^2 - x_B^2) = \frac{1}{2} \times 50 \times (0{,}020^2 - 0{,}060^2) = 25 \times (4{,}0 \times 10^{-4} - 3{,}6 \times 10^{-3}) = -8{,}0 \times 10^{-2}\,\text{J}$ : travail résistant, car on étire davantage le ressort. Pour le trajet inverse, $W_{BA} = +8{,}0 \times 10^{-2}\,\text{J}$ (le ressort revient vers sa position d'équilibre, travail moteur).

2) En descendant, $z_A - z_B = +0{,}50\,\text{m}$ : $W = m\,g\,(z_A - z_B) = 0{,}30 \times 9{,}8 \times 0{,}50 = 1{,}47\,\text{J}$ (moteur). En montant, $z_A - z_B = -0{,}50\,\text{m}$ et $W = -1{,}47\,\text{J}$ (résistant).

3) $W = \frac{1}{2}\,C\,(\theta_A^2 - \theta_B^2) = \frac{1}{2} \times 0{,}20 \times (0{,}50^2 - 0) = 2{,}5 \times 10^{-2}\,\text{J}$ : le fil se détord, le travail est moteur.

4) $W = -f\,d = -0{,}50 \times 0{,}80 = -0{,}40\,\text{J}$ . Ce travail dépend du chemin parcouru : si le solide fait un aller-retour de $0{,}40\,\text{m}$ chacun, le travail est encore $-0{,}40\,\text{J}$ alors qu'il est revenu à son point de départ (pour une force conservative, il serait nul).

Exercice 2 : Énergies d'un pendule élastique horizontal

Facile

Énoncé

Un solide de masse $m = 0{,}250\,\text{kg}$ est fixé à un ressort horizontal de raideur $k = 100\,\text{N.m}^{-1}$ . Il glisse sans frottement. On l'écarte de $X_m = 4{,}0\,\text{cm}$ de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse. On prend $E_p = 0$ pour $x = 0$ .

Calcule l'énergie mécanique du système.
Calcule l'énergie potentielle et l'énergie cinétique quand $x = 2{,}0\,\text{cm}$ . Déduis la vitesse en cet endroit.
Calcule la vitesse maximale. Où est-elle atteinte ?
Pour quelles abscisses a-t-on $E_c = E_p$ ?

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1) Au départ, $v = 0$ et $x = X_m$ : $E_m = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0{,}040)^2 = 8{,}0 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . Il n'y a pas de frottement : $E_m$ reste constante.

2) $E_p = \frac{1}{2} \times 100 \times (0{,}020)^2 = 2{,}0 \times 10^{-2}\,\text{J}$ , donc $E_c = E_m - E_p = 6{,}0 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . De $E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ : $v = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}0 \times 10^{-2}}{0{,}250}} = \sqrt{0{,}48} = 0{,}69\,\text{m.s}^{-1}$ .

3) La vitesse est maximale quand $E_p = 0$ , c'est-à-dire en $x = 0$ (passage par l'équilibre) : $\frac{1}{2}\,m\,v_{max}^2 = E_m$ , donc $v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 8{,}0 \times 10^{-2}}{0{,}250}} = 0{,}80\,\text{m.s}^{-1}$ . Contrôle : $\omega_0 = \sqrt{\frac{100}{0{,}250}} = 20\,\text{rad.s}^{-1}$ et $v_{max} = \omega_0\,X_m = 20 \times 0{,}040 = 0{,}80\,\text{m.s}^{-1}$ .

4) $E_c = E_p$ avec $E_c + E_p = E_m$ donne $E_p = \frac{E_m}{2}$ , soit $\frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{4}\,k\,X_m^2$ , d'où $x = \pm\frac{X_m}{\sqrt{2}} = \pm 2{,}8\,\text{cm}$ .

Exercice 3 : Évolution temporelle de $E_c$ et $E_p$

Moyen

Énoncé

Un pendule élastique horizontal sans frottement a pour masse $m = 0{,}250\,\text{kg}$ et pour raideur $k = 100\,\text{N.m}^{-1}$ . Le solide est lâché sans vitesse à $t = 0$ de la position $x_0 = 4{,}0\,\text{cm}$ . Son abscisse est $x(t) = X_m\cos(\omega_0\,t)$ .

Calcule $\omega_0$ , $T_0$ et écris $x(t)$ avec les valeurs numériques.
Établis les expressions de $E_p(t)$ et $E_c(t)$ et montre que leur somme est constante.
Quelle est la période de $E_c(t)$ ? Quelle est sa valeur moyenne ?
À quel instant a-t-on $E_c = E_p$ pour la première fois ? Quel intervalle sépare deux égalités successives ?

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1) $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0{,}250}} = 20\,\text{rad.s}^{-1}$ , $T_0 = \frac{2\pi}{20} = 0{,}314\,\text{s}$ . Départ sans vitesse : $X_m = x_0 = 0{,}040\,\text{m}$ et $\varphi = 0$ , donc $x(t) = 0{,}040\cos(20\,t)$ (en m).

2) $E_p(t) = \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 0{,}040^2\cos^2(20\,t) = 0{,}080\cos^2(20\,t)$ (en J). La vitesse est $v = -\omega_0\,X_m\sin(20\,t) = -0{,}80\sin(20\,t)$ , donc $E_c(t) = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}250 \times 0{,}80^2\sin^2(20\,t) = 0{,}080\sin^2(20\,t)$ . La somme est $E_m = 0{,}080\left(\cos^2 + \sin^2\right) = 0{,}080\,\text{J}$ : constante.

3) $E_c(t) = 0{,}080\sin^2(20\,t) = 0{,}040\left(1 - \cos(40\,t)\right)$ . La pulsation est $40\,\text{rad.s}^{-1}$ , donc la période est $\frac{2\pi}{40} = 0{,}157\,\text{s} = \frac{T_0}{2}$ . La valeur moyenne est $0{,}040\,\text{J} = \frac{E_m}{2}$ .

4) $E_c = E_p$ équivaut à $\sin^2(20\,t) = \cos^2(20\,t)$ , soit $\tan(20\,t) = \pm 1$ . La première solution est $20\,t = \frac{\pi}{4}$ , donc $t = \frac{\pi}{80} = 3{,}9 \times 10^{-2}\,\text{s}$ . Les égalités se répètent chaque fois que $20\,t$ augmente de $\frac{\pi}{2}$ , c'est-à-dire tous les $\frac{T_0}{4} = 7{,}9 \times 10^{-2}\,\text{s}$ .

Exercice 4 : L'énergie potentielle d'un pendule vertical

Moyen

Énoncé

Un ressort de raideur $k = 40\,\text{N.m}^{-1}$ est suspendu verticalement. On accroche un solide de masse $m = 0{,}400\,\text{kg}$ . À l'équilibre, le ressort est allongé de $\Delta\ell_0$ . On repère $G$ sur un axe $Oz$ vertical vers le bas, d'origine la position d'équilibre. On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ . On choisit $E_{pp} = 0$ en $z = 0$ et $E_{pe} = 0$ pour le ressort non déformé.

Calcule $\Delta\ell_0$ et l'énergie potentielle élastique à l'équilibre.
Exprime $E_{pp}$ et $E_{pe}$ en fonction de $z$ . Montre que $E_p = E_{pp} + E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,z^2 + \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2$ .
On écarte le solide de $5{,}0\,\text{cm}$ vers le bas et on le lâche sans vitesse. Calcule la vitesse au passage par la position d'équilibre.
Vérifie ce résultat en calculant séparément les variations d'énergie potentielle de pesanteur et d'énergie potentielle élastique entre la position lâchée et la position d'équilibre.

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1) $\Delta\ell_0 = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}400 \times 9{,}8}{40} = 9{,}8 \times 10^{-2}\,\text{m}$ . À l'équilibre, $E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2 = \frac{1}{2} \times 40 \times (0{,}098)^2 = 0{,}192\,\text{J}$ .

2) L'axe est vers le bas : l'altitude diminue quand $z$ augmente, donc $E_{pp} = -m\,g\,z$ . L'allongement est $\Delta\ell_0 + z$ , donc $E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,(\Delta\ell_0 + z)^2 = \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2 + k\,\Delta\ell_0\,z + \frac{1}{2}\,k\,z^2$ . En additionnant et avec $k\,\Delta\ell_0 = m\,g$ : $E_p = -m\,g\,z + \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2 + m\,g\,z + \frac{1}{2}\,k\,z^2 = \frac{1}{2}\,k\,z^2 + \frac{1}{2}\,k\,\Delta\ell_0^2$ .

3) Pas de frottement : $E_m$ se conserve. Lâché en $z_0 = 0{,}050\,\text{m}$ sans vitesse : $E_m = \frac{1}{2}\,k\,z_0^2 + \text{cste}$ . En $z = 0$ : $E_m = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \text{cste}$ . Donc $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\,k\,z_0^2$ et $v = z_0\sqrt{\frac{k}{m}} = 0{,}050 \times 10 = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ .

4) Le solide remonte de $0{,}050\,\text{m}$ : $\Delta E_{pp} = m\,g \times 0{,}050 = 0{,}400 \times 9{,}8 \times 0{,}050 = +0{,}196\,\text{J}$ . L'allongement passe de $0{,}098 + 0{,}050 = 0{,}148\,\text{m}$ à $0{,}098\,\text{m}$ : $\Delta E_{pe} = \frac{1}{2} \times 40 \times (0{,}098^2 - 0{,}148^2) = 20 \times (-0{,}0123) = -0{,}246\,\text{J}$ . Variation totale $\Delta E_p = -0{,}050\,\text{J}$ . La conservation de $E_m$ donne $\Delta E_c = +0{,}050\,\text{J} = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ , donc $v = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}050}{0{,}400}} = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ : le résultat est confirmé.

Exercice 5 : Énergie d'un pendule de torsion

Moyen

Énoncé

Un pendule de torsion est formé d'un fil de constante de torsion $C = 0{,}10\,\text{N.m.rad}^{-1}$ et d'un solide de moment d'inertie $J_\Delta = 4{,}0 \times 10^{-3}\,\text{kg.m}^2$ . On le tourne de $\theta_m = 0{,}40\,\text{rad}$ et on le lâche sans vitesse. Les frottements sont négligés. On prend $E_{pt} = 0$ pour $\theta = 0$ .

Calcule l'énergie mécanique du système.
Calcule la vitesse angulaire maximale. Vérifie-la avec $\omega_{max} = \omega_0\,\theta_m$ .
Calcule $E_p$ , $E_c$ et la vitesse angulaire quand $\theta = 0{,}20\,\text{rad}$ .
Un point du solide situé à $r = 0{,}25\,\text{m}$ de l'axe passe par la position d'équilibre : quelle est sa vitesse linéaire ?

Voir le corrigé

1) $E_m = \frac{1}{2}\,C\,\theta_m^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}10 \times (0{,}40)^2 = 8{,}0 \times 10^{-3}\,\text{J}$ .

2) À l'équilibre, $E_p = 0$ donc $\frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega_{max}^2 = E_m$ et $\omega_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 8{,}0 \times 10^{-3}}{4{,}0 \times 10^{-3}}} = 2{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ . Contrôle : $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J_\Delta}} = \sqrt{\frac{0{,}10}{4{,}0 \times 10^{-3}}} = 5{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ et $\omega_0\,\theta_m = 5{,}0 \times 0{,}40 = 2{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ .

3) $E_p = \frac{1}{2} \times 0{,}10 \times (0{,}20)^2 = 2{,}0 \times 10^{-3}\,\text{J}$ , donc $E_c = 8{,}0 \times 10^{-3} - 2{,}0 \times 10^{-3} = 6{,}0 \times 10^{-3}\,\text{J}$ . De $E_c = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2$ : $\omega = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}0 \times 10^{-3}}{4{,}0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{3{,}0} = 1{,}7\,\text{rad.s}^{-1}$ .

4) $v = r\,\omega_{max} = 0{,}25 \times 2{,}0 = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ .

Exercice 6 : Lire un diagramme énergétique

Moyen

Énoncé

Un solide de masse $m = 0{,}500\,\text{kg}$ est lié à un ressort horizontal. On a tracé le diagramme énergétique du système (sans frottement) : la droite horizontale $E_m$ est à l'ordonnée $0{,}50\,\text{J}$ , et la parabole $E_p(x)$ passe par les points suivants.

$x$ (cm)	0	2,0	4,0	5,0
$E_p$ (J)	0	0,040	0,16	0,25

Déduis de ces points la raideur $k$ du ressort.
Calcule l'amplitude $X_m$ des oscillations.
Calcule l'énergie cinétique et la vitesse du solide quand $x = 5{,}0\,\text{cm}$ .
Calcule la vitesse maximale et la période propre.

Voir le corrigé

1) $E_p = \frac{1}{2}\,k\,x^2$ donne $k = \frac{2\,E_p}{x^2}$ . Avec le point $(4{,}0\,\text{cm}\,;\,0{,}16\,\text{J})$ : $k = \frac{2 \times 0{,}16}{(0{,}040)^2} = 200\,\text{N.m}^{-1}$ . Avec $(2{,}0\,\text{cm}\,;\,0{,}040\,\text{J})$ : $\frac{2 \times 0{,}040}{(0{,}020)^2} = 200\,\text{N.m}^{-1}$ : les points sont cohérents. Avec $(5{,}0\,\text{cm}\,;\,0{,}25\,\text{J})$ , on trouve encore $200\,\text{N.m}^{-1}$ .

2) Aux positions extrêmes, $E_p = E_m$ : $\frac{1}{2}\,k\,X_m^2 = 0{,}50$ , donc $X_m = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}50}{200}} = \sqrt{5{,}0 \times 10^{-3}} = 7{,}1 \times 10^{-2}\,\text{m}$ , soit $7{,}1\,\text{cm}$ .

3) En $x = 5{,}0\,\text{cm}$ , $E_p = 0{,}25\,\text{J}$ , donc $E_c = E_m - E_p = 0{,}50 - 0{,}25 = 0{,}25\,\text{J}$ . La vitesse est $v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}25}{0{,}500}} = 1{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ .

4) $v_{max} = \sqrt{\frac{2\,E_m}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}50}{0{,}500}} = \sqrt{2{,}0} = 1{,}41\,\text{m.s}^{-1}$ . La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}500}{200}} = 0{,}314\,\text{s}$ (contrôle : $v_{max} = \omega_0\,X_m = 20 \times 0{,}0707 = 1{,}41\,\text{m.s}^{-1}$ ).

Exercice 7 : Pendule pesant et conservation de l'énergie

Difficile

Énoncé

Une tige homogène de longueur $L = 1{,}0\,\text{m}$ et de masse $m = 0{,}60\,\text{kg}$ peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $\Delta$ passant par son extrémité $O$ . Son moment d'inertie par rapport à $\Delta$ est $J_\Delta = \frac{1}{3}\,m\,L^2$ . On écarte la tige d'un angle $\theta_m = 60^\circ$ de la verticale et on la lâche sans vitesse. On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ et on prend $E_{pp} = 0$ quand la tige est verticale (position d'équilibre).

Calcule $J_\Delta$ et la distance $d$ entre l'axe et le centre d'inertie $G$ .
Exprime l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de $\theta$ . Calcule-la pour $\theta_m = 60^\circ$ .
Calcule la vitesse angulaire de la tige quand elle passe par la verticale, puis la vitesse linéaire de son extrémité libre.
Calcule la vitesse angulaire quand $\theta = 30^\circ$ .
L'approximation des petits angles ( $\sin\theta \approx \theta$ ) est-elle valable pour cette amplitude ? Justifie.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{3} \times 0{,}60 \times (1{,}0)^2 = 0{,}20\,\text{kg.m}^2$ et $d = \frac{L}{2} = 0{,}50\,\text{m}$ .

2) L'altitude de $G$ au-dessus de sa position la plus basse est $d\,(1 - \cos\theta)$ , donc $E_{pp} = m\,g\,d\,(1 - \cos\theta)$ . Avec $m\,g\,d = 0{,}60 \times 9{,}8 \times 0{,}50 = 2{,}94\,\text{J}$ : pour $60^\circ$ , $E_{pp} = 2{,}94 \times (1 - 0{,}50) = 1{,}47\,\text{J}$ .

3) La réaction de l'axe ne travaille pas (son point d'application est fixe) et le poids est conservatif : $E_m$ se conserve. À la verticale, $E_{pp} = 0$ : $\frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2 = 1{,}47\,\text{J}$ , donc $\omega = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}47}{0{,}20}} = \sqrt{14{,}7} = 3{,}8\,\text{rad.s}^{-1}$ . L'extrémité libre est à $L = 1{,}0\,\text{m}$ de l'axe : $v = L\,\omega = 3{,}8\,\text{m.s}^{-1}$ .

4) À $\theta = 30^\circ$ , $E_{pp} = 2{,}94 \times (1 - \cos 30^\circ) = 2{,}94 \times 0{,}134 = 0{,}394\,\text{J}$ . La conservation de l'énergie donne $\frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2 = 1{,}47 - 0{,}394 = 1{,}076\,\text{J}$ , donc $\omega = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}076}{0{,}20}} = 3{,}3\,\text{rad.s}^{-1}$ . La tige est plus lente qu'à la verticale, ce qui est normal.

5) Pour $\theta_m = 60^\circ = 1{,}047\,\text{rad}$ , on a $\sin\theta_m = 0{,}866$ : l'écart entre $\theta$ et $\sin\theta$ est d'environ $21\,\%$ . L'approximation $\sin\theta \approx \theta$ n'est pas valable ici, donc la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}$ ne s'applique pas. En revanche, la conservation de l'énergie mécanique est exacte quelle que soit l'amplitude, ce qui rend le résultat de la question 3 correct.

Exercice 8 : Des oscillations amorties

Difficile

Énoncé

Un solide de masse $m = 0{,}500\,\text{kg}$ est fixé à un ressort horizontal de raideur $k = 50\,\text{N.m}^{-1}$ . Il oscille dans un liquide visqueux. On relève les élongations maximales positives successives (une par pseudo-période, la vitesse y est nulle) :

Maximum n°	1	2	3	4
$x_{max}$ (cm)	5,00	4,00	3,20	2,56

On a mesuré une pseudo-période $T = 0{,}63\,\text{s}$ .

Calcule la période propre $T_0$ de l'oscillateur non amorti. Compare à $T$ et nomme le régime.
Calcule l'énergie mécanique à chaque maximum.
Calcule l'énergie dissipée entre les maximums 1 et 2, puis entre 2 et 3. Exprime-les en pourcentage de l'énergie au début de chaque intervalle.
Quelle fraction de l'énergie initiale reste-t-il au quatrième maximum ?
Au bout de combien de pseudo-périodes l'énergie mécanique est-elle devenue inférieure à $10\,\%$ de sa valeur initiale ? Quelle durée cela représente-t-il ?

Voir le corrigé

1) $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}500}{50}} = 0{,}628\,\text{s}$ . La pseudo-période $T = 0{,}63\,\text{s}$ est très proche de $T_0$ (un peu supérieure) : l'amortissement est faible. Le régime est pseudopériodique (les maximums décroissent).

2) Au maximum, $v = 0$ donc $E_m = \frac{1}{2}\,k\,x_{max}^2 = 25\,x_{max}^2$ : $E_1 = 25 \times 0{,}0500^2 = 6{,}25 \times 10^{-2}\,\text{J}$ ; $E_2 = 25 \times 0{,}0400^2 = 4{,}00 \times 10^{-2}\,\text{J}$ ; $E_3 = 25 \times 0{,}0320^2 = 2{,}56 \times 10^{-2}\,\text{J}$ ; $E_4 = 25 \times 0{,}0256^2 = 1{,}64 \times 10^{-2}\,\text{J}$ .

3) Entre 1 et 2 : $\Delta E_m = E_2 - E_1 = -2{,}25 \times 10^{-2}\,\text{J}$ , soit $\frac{2{,}25}{6{,}25} = 36\,\%$ de $E_1$ . Entre 2 et 3 : $\Delta E_m = -1{,}44 \times 10^{-2}\,\text{J}$ , soit $\frac{1{,}44}{4{,}00} = 36\,\%$ de $E_2$ . Ces valeurs correspondent au travail résistant des forces de frottement. Le pourcentage perdu par période est constant : $\frac{x_{n+1}}{x_n} = 0{,}80$ donc $\frac{E_{n+1}}{E_n} = 0{,}80^2 = 0{,}64$ .

4) $\frac{E_4}{E_1} = \frac{1{,}64 \times 10^{-2}}{6{,}25 \times 10^{-2}} = 0{,}262 = 0{,}64^3$ . Il reste environ $26\,\%$ de l'énergie initiale ( $74\,\%$ ont été dissipés).

5) On cherche $n$ tel que $0{,}64^n < 0{,}10$ . On a $0{,}64^5 = 0{,}107$ (encore supérieur à $10\,\%$ ) et $0{,}64^6 = 0{,}069$ : il faut $n = 6$ pseudo-périodes (avec le logarithme : $n > \frac{\ln 0{,}10}{\ln 0{,}64} = 5{,}16$ ). La durée correspondante est $6\,T = 6 \times 0{,}63 = 3{,}8\,\text{s}$ .

Exercice 9 : Bilan énergétique d'un chariot sur un ressort

Type Bac

Énoncé

Un chariot de masse $m = 0{,}400\,\text{kg}$ glisse sans frottement sur un rail horizontal. Il est attaché à un ressort horizontal de raideur $k = 40\,\text{N.m}^{-1}$ dont l'autre extrémité est fixe. L'origine $O$ de l'axe $Ox$ est la position de $G$ à l'équilibre. À $t = 0$ , on lâche le chariot sans vitesse depuis $x_0 = 6{,}0\,\text{cm}$ . On choisit $E_p = 0$ pour $x = 0$ .

Écris l'expression de l'énergie mécanique $E_m$ en fonction de $x$ et de la vitesse $v$ . Justifie qu'elle est constante.
En dérivant $E_m$ par rapport au temps, retrouve l'équation différentielle du mouvement. Donne la période propre $T_0$ .
Calcule $E_m$ et la vitesse maximale du chariot.
L'abscisse est $x(t) = 0{,}060\cos(10\,t)$ (en m). Établis les expressions de $E_p(t)$ et de $E_c(t)$ .
Donne la période des fonctions $E_c(t)$ et $E_p(t)$ . Quelle est la valeur moyenne de $E_c$ ?
Calcule la vitesse du chariot quand $x = 3{,}0\,\text{cm}$ .
À quel instant a-t-on $E_c = E_p$ pour la première fois ?

Voir le corrigé

1) $E_m = E_c + E_{pe} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2$ . Le poids et la réaction du rail sont verticales, donc perpendiculaires au déplacement : leur travail est nul. La tension du ressort est une force conservative, et il n'y a pas de frottement. Donc $E_m$ se conserve.

2) $\frac{dE_m}{dt} = m\,\dot{x}\,\ddot{x} + k\,x\,\dot{x} = \dot{x}\left(m\,\ddot{x} + k\,x\right) = 0$ pour tout $t$ , donc $\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0$ . On identifie $\omega_0^2 = \frac{k}{m} = \frac{40}{0{,}400} = 100\,\text{rad}^2.\text{s}^{-2}$ , soit $\omega_0 = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 0{,}628\,\text{s}$ .

3) À $t = 0$ , $v = 0$ : $E_m = \frac{1}{2}\,k\,x_0^2 = \frac{1}{2} \times 40 \times (0{,}060)^2 = 7{,}2 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . En $x = 0$ , $E_c = E_m$ : $v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 7{,}2 \times 10^{-2}}{0{,}400}} = 0{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ (contrôle : $\omega_0\,X_m = 10 \times 0{,}060 = 0{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ ).

4) $E_p(t) = \frac{1}{2}\,k\,x^2 = 0{,}072\cos^2(10\,t)$ (en J). $v(t) = -0{,}60\sin(10\,t)$ , donc $E_c(t) = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}400 \times 0{,}36\sin^2(10\,t) = 0{,}072\sin^2(10\,t)$ (en J). La somme vaut $0{,}072\,\text{J}$ à chaque instant.

5) $E_c(t) = 0{,}036\left(1 - \cos(20\,t)\right)$ : sa pulsation est $20\,\text{rad.s}^{-1}$ , donc sa période est $\frac{2\pi}{20} = 0{,}314\,\text{s} = \frac{T_0}{2}$ . C'est la même pour $E_p(t)$ . La valeur moyenne de $E_c$ est $0{,}036\,\text{J} = \frac{E_m}{2}$ .

6) En $x = 0{,}030\,\text{m}$ : $E_p = \frac{1}{2} \times 40 \times 0{,}030^2 = 1{,}8 \times 10^{-2}\,\text{J}$ , donc $E_c = 7{,}2 \times 10^{-2} - 1{,}8 \times 10^{-2} = 5{,}4 \times 10^{-2}\,\text{J}$ et $v = \sqrt{\frac{2 \times 5{,}4 \times 10^{-2}}{0{,}400}} = 0{,}52\,\text{m.s}^{-1}$ . (Avec $v^2 = \omega_0^2\left(X_m^2 - x^2\right) = 100 \times 2{,}7 \times 10^{-3} = 0{,}27$ .)

7) $E_c = E_p$ équivaut à $\tan^2(10\,t) = 1$ . Première solution : $10\,t = \frac{\pi}{4}$ , donc $t = \frac{\pi}{40} = 7{,}9 \times 10^{-2}\,\text{s}$ (soit $\frac{T_0}{8}$ ).

Exercice 10 : Un pendule pesant avec frottements à l'axe

Type Bac

Énoncé

Un pendule pesant est une tige homogène de longueur $L = 0{,}60\,\text{m}$ et de masse $m = 0{,}30\,\text{kg}$ , mobile autour d'un axe horizontal $\Delta$ passant par son extrémité $O$ . Son moment d'inertie par rapport à $\Delta$ est $J_\Delta = \frac{1}{3}\,m\,L^2$ . On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ . L'énergie potentielle de pesanteur est nulle quand la tige est verticale (position d'équilibre stable). On repère la tige par l'angle $\theta$ avec la verticale.

Calcule $J_\Delta$ , la distance $d = OG$ et le produit $m\,g\,d$ .
Montre que l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit $E_{pp} = m\,g\,d\,(1 - \cos\theta)$ . Pour de faibles angles, donne son expression approchée.
Pour de faibles angles, écris l'énergie mécanique sans frottement. En la dérivant par rapport au temps, retrouve l'équation différentielle et calcule la période propre $T_0$ .
On lâche la tige sans vitesse depuis $\theta_0 = 0{,}20\,\text{rad}$ . Calcule l'énergie mécanique, la vitesse angulaire maximale et la vitesse linéaire maximale de l'extrémité libre.
Compare la valeur approchée de $E_{pp}$ pour $\theta_0$ à la valeur exacte. Conclus.
En réalité, à cause des frottements à l'axe, l'amplitude n'est plus que de $0{,}10\,\text{rad}$ après $10$ oscillations. Calcule l'énergie dissipée et le pourcentage de perte.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{3} \times 0{,}30 \times (0{,}60)^2 = 3{,}6 \times 10^{-2}\,\text{kg.m}^2$ , $d = \frac{L}{2} = 0{,}30\,\text{m}$ et $m\,g\,d = 0{,}30 \times 9{,}8 \times 0{,}30 = 0{,}882\,\text{N.m}$ .

2) Quand la tige est écartée de $\theta$ , l'altitude de $G$ par rapport à sa position la plus basse est $h = d - d\cos\theta = d\,(1 - \cos\theta)$ . Avec la référence choisie, $E_{pp} = m\,g\,h = m\,g\,d\,(1 - \cos\theta)$ . Pour de faibles angles, $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ , donc $E_{pp} \approx \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta^2$ .

3) $E_m = \frac{1}{2}\,J_\Delta\,\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta^2$ . La réaction de l'axe ne travaille pas et le poids est conservatif : $\frac{dE_m}{dt} = J_\Delta\,\dot{\theta}\,\ddot{\theta} + m\,g\,d\,\theta\,\dot{\theta} = \dot{\theta}\left(J_\Delta\,\ddot{\theta} + m\,g\,d\,\theta\right) = 0$ , donc $\ddot{\theta} + \frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta = 0$ . On a $\omega_0^2 = \frac{0{,}882}{3{,}6 \times 10^{-2}} = 24{,}5\,\text{rad}^2.\text{s}^{-2}$ , soit $\omega_0 = 4{,}95\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 1{,}27\,\text{s}$ .

4) $E_m = \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta_0^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}882 \times 0{,}20^2 = 1{,}76 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . Vitesse angulaire maximale (en $\theta = 0$ ) : $\omega_{max} = \omega_0\,\theta_0 = 4{,}95 \times 0{,}20 = 0{,}99\,\text{rad.s}^{-1}$ (même résultat avec $\frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega_{max}^2 = E_m$ ). L'extrémité libre est à $L = 0{,}60\,\text{m}$ de l'axe : $v_{max} = L\,\omega_{max} = 0{,}60 \times 0{,}99 = 0{,}59\,\text{m.s}^{-1}$ .

5) Valeur exacte : $m\,g\,d\,(1 - \cos 0{,}20) = 0{,}882 \times 0{,}01993 = 1{,}758 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . Valeur approchée : $1{,}764 \times 10^{-2}\,\text{J}$ . L'écart relatif est d'environ $0{,}3\,\%$ : l'approximation des petits angles est tout à fait justifiée pour $0{,}20\,\text{rad}$ (environ $11{,}5^\circ$ ).

6) L'énergie est proportionnelle au carré de l'amplitude : au départ $E_m = 1{,}76 \times 10^{-2}\,\text{J}$ et, après $10$ oscillations, $E_m' = \frac{1}{2} \times 0{,}882 \times 0{,}10^2 = 4{,}41 \times 10^{-3}\,\text{J}$ . L'énergie dissipée est $\left|\Delta E_m\right| = 1{,}76 \times 10^{-2} - 4{,}41 \times 10^{-3} = 1{,}32 \times 10^{-2}\,\text{J}$ , soit $75\,\%$ de l'énergie initiale (l'amplitude a été divisée par $2$ , donc l'énergie par $4$ ). Cette énergie correspond au travail résistant des frottements ( $\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0$ ).

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Utiliser la longueur du ressort au lieu de l'allongement dans $\frac{1}{2}\,k\,x^2$ : $x$ est la différence entre la longueur du ressort et sa longueur à vide, pas sa longueur.
Penser que l'énergie mécanique se conserve toujours : avec des frottements, $E_m$ diminue ( $\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0$ ). Elle n'est constante que si les forces non conservatives ne travaillent pas.
Dire que $E_c$ et $E_p$ oscillent avec la période $T_0$ : leur période est $\frac{T_0}{2}$ . L'énergie mécanique est constante, sans oscillation.
Placer la vitesse maximale aux extrémités : la vitesse est maximale au passage par la position d'équilibre (là où $E_p$ est minimale) et nulle aux extrémités.
Oublier l'énergie potentielle de pesanteur pour un pendule vertical : $E_{pe}$ seule vaut $\frac{1}{2}\,k\,(\Delta\ell_0 + z)^2$ ; c'est la somme $E_{pe} + E_{pp}$ qui se réduit à $\frac{1}{2}\,k\,z^2$ à une constante près.
Se tromper de signe pour le travail du poids : avec $z$ vers le haut, $W = m\,g\,(z_A - z_B)$ est positif en descente et négatif en montée.
Utiliser $E_{pp} = \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta^2$ pour toute amplitude : c'est une approximation de $m\,g\,d\,(1 - \cos\theta)$ , valable seulement pour de faibles angles ( $\theta$ en radians).
Confondre l'énergie dissipée et l'énergie restante : la fraction perdue est $1 - \frac{E_{final}}{E_{initial}}$ , et le rapport des énergies est le carré du rapport des amplitudes.

À retenir

$E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ (translation) ou $\frac{1}{2}\,J_\Delta\,\omega^2$ (rotation) ; $E_{pe} = \frac{1}{2}\,k\,x^2$ ; $E_{pt} = \frac{1}{2}\,C\,\theta^2$ ; $E_{pp} = m\,g\,z + \text{cste}$ (avec $z$ vers le haut).
L'énergie potentielle est définie à une constante près : on choisit une référence, seule sa variation compte ( $\Delta E_p = -W$ des forces conservatives).
$E_m = E_c + E_p$ ; $\Delta E_m = \sum W(\text{forces non conservatives})$ . Sans frottement, $E_m$ est constante.
Pendule élastique : $E_m = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\,k\,X_m^2$ ; $v^2 = \omega_0^2\left(X_m^2 - x^2\right)$ ; $v_{max} = \omega_0\,X_m$ en $x = 0$ .
$\frac{dE_m}{dt} = 0$ redonne l'équation différentielle $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$ (ou $\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\theta = 0$ ).
$E_c(t)$ et $E_p(t)$ varient avec la période $\frac{T_0}{2}$ , avec une valeur moyenne $\frac{E_m}{2}$ chacune ; elles s'échangent de l'énergie à $E_m$ constante.
Pendule pesant : $E_{pp} = m\,g\,d\,(1 - \cos\theta) \approx \frac{1}{2}\,m\,g\,d\,\theta^2$ pour de faibles angles ; la conservation de $E_m$ reste exacte pour toute amplitude.
Avec frottements : $\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0$ , régimes pseudopériodique, critique et apériodique ; le rapport des énergies est le carré du rapport des amplitudes.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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L'essentiel

1. Rappels : travail d'une force

2. Énergie cinétique

3. Énergies potentielles

4. Énergie mécanique et conservation

5. Pendule élastique horizontal

6. Échanges d'énergie au cours du temps

7. Pendule élastique vertical

8. Pendule de torsion et pendule pesant

9. Oscillations amorties : l'énergie n'est plus conservée

Méthodes

Méthode 1 : Calculer EcE_cEc​, EpE_pEp​ et EmE_mEm​ pour un pendule élastique

Méthode 2 : Utiliser la conservation de l'énergie mécanique

Méthode 3 : Retrouver l'équation différentielle par l'énergie

Méthode 4 : Lire un diagramme énergétique

Méthode 5 : Traiter un cas avec frottements

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 1 : Calculer $E_c$ , $E_p$ et $E_m$ pour un pendule élastique