Ondes mécaniques progressives périodiques : le cours

Chapitres

Plan du chapitre

60 min
9 exercices corrigés
7 questions de QCM
Vérifié le 4 octobre 2026

L'essentiel

Dans le chapitre précédent, la source donnait une seule secousse. Ici, elle vibre sans s'arrêter : la lame d'un vibreur, le haut-parleur d'une radio, la pointe d'une cuve à ondes. L'onde devient périodique et deux « longueurs » apparaissent : une dans le temps (la période $T$ ) et une dans l'espace (la longueur d'onde $\lambda$ ). Tu verras ensuite ce qui arrive à une onde qui rencontre une ouverture (la diffraction) ou un milieu qui trie les fréquences (la dispersion).

1. Onde progressive périodique

Définition

Une onde progressive est périodique lorsque la source produit une perturbation qui se répète identiquement à intervalles de temps égaux. Si l'élongation de la source est une fonction sinusoïdale du temps, l'onde est dite sinusoïdale.

Pour une source sinusoïdale :

y_S(t) = a\cos\left(\frac{2\pi}{T}\,t + \varphi_S\right)

où $a$ est l'amplitude, $T$ la période et $\varphi_S$ la phase à l'origine des dates.

Définition

La période $T$ (en s) est la plus petite durée au bout de laquelle le mouvement d'un point se reproduit identique à lui-même. La fréquence est $N = \dfrac{1}{T}$ (en hertz, $\text{Hz}$ ).

Dans ce programme, la fréquence est notée $N$ ; d'autres ouvrages la notent $f$ . Tous les points du milieu atteints par l'onde vibrent avec la même période que la source : $T$ et $N$ ne dépendent que de la source, pas du milieu.

Exemple

Un diapason émet un la de fréquence $N = 440\,\text{Hz}$ : sa période est $T = \dfrac{1}{440} = 2{,}27 \times 10^{-3}\,\text{s}$ .

2. Longueur d'onde et double périodicité

Définition

La longueur d'onde $\lambda$ (en m) est la distance parcourue par l'onde pendant une période. C'est aussi la plus petite distance entre deux points du milieu qui vibrent en phase (par exemple deux crêtes consécutives pour une onde transversale).

\lambda = v\,T = \frac{v}{N}

Une onde progressive périodique présente une double périodicité :

	Périodicité temporelle	Périodicité spatiale
Ce qu'on observe	Un point fixe M au cours du temps	Tout le milieu à un instant donné
Outil	Courbe $y_M(t)$ (oscilloscope, capteur)	Photographie du milieu, courbe $y(x)$
Grandeur qui se répète	Le mouvement de M, tous les $T$	La forme du milieu, tous les $\lambda$
Ce qu'on y lit	La période $T$	La longueur d'onde $\lambda$

Le point M situé à la distance $x = SM$ de la source reproduit le mouvement de S avec le retard $\tau = \dfrac{x}{v}$ . Pour $t \geq \tau$ :

y_M(t) = y_S\left(t - \frac{x}{v}\right) = a\cos\left(\frac{2\pi}{T}\,t - \frac{2\pi}{\lambda}\,x + \varphi_S\right)

Remarque

Sur une photographie, $n$ crêtes consécutives délimitent $n - 1$ longueurs d'onde (et pas $n$ ). Sur un enregistrement temporel, $n$ périodes complètes durent $n\,T$ .

3. Comparer le mouvement de deux points

Soient deux points M et M' situés sur la même ligne de propagation, à la distance $d$ l'un de l'autre.

Propriété

M et M' vibrent en phase si $d = k\,\lambda$ ( $k$ entier). Leur retard vaut alors $k\,T$ : à chaque instant, leurs élongations sont égales.
M et M' vibrent en opposition de phase si $d = (2k+1)\,\dfrac{\lambda}{2}$ ( $k$ entier). Leur retard vaut $(2k+1)\dfrac{T}{2}$ : à chaque instant, leurs élongations sont opposées.

Remarque

Les deux points ont aussi un déphasage, de valeur absolue $|\Delta\varphi| = \dfrac{2\pi\,d}{\lambda}$ , qui se déduit de l'écriture de $y_M(t)$ ci-dessus. En phase : $\Delta\varphi$ multiple de $2\pi$ . En opposition : $\Delta\varphi$ multiple impair de $\pi$ .

4. Voir l'onde au ralenti : le stroboscope

Un stroboscope éclaire le milieu par des éclairs brefs de fréquence $N_e$ réglable.

Si $N_e = N$ (ou $N_e = \dfrac{N}{2}$ , $\dfrac{N}{3}$ , …) : à chaque éclair, chaque point est dans le même état. Le milieu paraît immobile : c'est l'immobilité apparente. On peut alors mesurer $\lambda$ sur l'image.
Si $N_e$ est légèrement différente de $N$ : le mouvement paraît ralenti, avec une fréquence apparente $|N - N_e|$ : c'est le ralenti apparent. Il se fait dans le sens réel si $N_e$ est légèrement inférieure à $N$ , et en sens inverse si $N_e$ est légèrement supérieure à $N$ .

5. Ondes sonores et ultrasonores

Un son est une onde mécanique longitudinale dans l'air ; les ultrasons sont des ondes de même nature, de fréquence supérieure à $20\,\text{kHz}$ (limite de l'audition humaine). Pour mesurer leur longueur d'onde, tu places un émetteur E, un récepteur fixe $R_1$ et un récepteur mobile $R_2$ , tous alignés, et tu visualises les deux signaux sur un oscilloscope. Quand tu éloignes $R_2$ , les signaux sont de nouveau en phase chaque fois que $R_2$ s'est éloigné d'une longueur d'onde de plus.

Attention

Mesure la distance qui correspond à plusieurs longueurs d'onde (par exemple $10\,\lambda$ ) puis divise : l'incertitude relative est beaucoup plus petite qu'avec une seule.

6. Changement de milieu

Propriété

Quand une onde passe d'un milieu à un autre, sa fréquence $N$ ne change pas (elle est imposée par la source). Sa célérité change, donc sa longueur d'onde aussi : $\lambda = \dfrac{v}{N}$ .

Exemple

Un son de $500\,\text{Hz}$ se propage à $340\,\text{m.s}^{-1}$ dans l'air et à $1{,}5 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}$ dans l'eau. Sa longueur d'onde est $\dfrac{340}{500} = 0{,}68\,\text{m}$ dans l'air et $\dfrac{1{,}5 \times 10^{3}}{500} = 3{,}0\,\text{m}$ dans l'eau, avec la même fréquence.

7. Diffraction des ondes mécaniques

Définition

La diffraction est le changement de direction de propagation d'une onde, avec étalement, lorsqu'elle rencontre une ouverture ou un obstacle de petite dimension $a$ .

Sur une cuve à ondes, une onde plane qui arrive sur une fente de largeur $a$ donne :

si $a$ est grande devant $\lambda$ : l'onde traverse en ligne droite et les bords de l'ombre sont nets ;
si $a$ est du même ordre de grandeur que $\lambda$ ou plus petite : l'onde est nettement diffractée. Derrière la fente, elle se propage dans toutes les directions sous forme d'ondes circulaires, comme si la fente était une source.

Propriété

L'onde diffractée a la même fréquence, la même célérité et la même longueur d'onde que l'onde incidente. Seule sa direction de propagation (et son amplitude) change. La diffraction est d'autant plus marquée que $\dfrac{a}{\lambda}$ est petit.

Exemple

Tu entends quelqu'un parler dans la pièce voisine, porte entrouverte, sans le voir : la voix a des longueurs d'onde de l'ordre de $0{,}1$ à $2\,\text{m}$ , comparables à la largeur de la porte. La lumière, de longueur d'onde environ $5 \times 10^{-7}\,\text{m}$ , ne contourne pas la porte de façon perceptible.

La loi quantitative reliant l'écart angulaire $\theta$ , la longueur d'onde et la largeur de l'ouverture est étudiée pour la lumière au chapitre suivant. Les interférences ne sont pas traitées dans ce chapitre.

8. Milieu dispersif

Définition

Un milieu est dispersif si la célérité d'une onde sinusoïdale y dépend de sa fréquence : $v = v(N)$ . Il est non dispersif si $v$ est la même pour toutes les fréquences.

Conséquence : une perturbation complexe formée de plusieurs fréquences se déforme en se propageant dans un milieu dispersif, car chaque composante avance à sa propre vitesse. Dans un milieu non dispersif, elle garde sa forme. L'air est non dispersif pour les sons audibles, ce qui permet d'entendre une mélodie sans déformation à distance. La surface de l'eau d'une cuve à ondes est dispersive. Pour la lumière, le verre est dispersif (chapitre 3).

Méthodes

Méthode 1 : Déterminer $T$ , $N$ , $\lambda$ et $v$ à partir d'enregistrements

Sur la courbe en fonction du temps, mesure la durée de plusieurs périodes (par exemple $n$ périodes), puis $T = \dfrac{\text{durée}}{n}$ et $N = \dfrac{1}{T}$ .
Sur la photographie en fonction de la position, mesure la distance entre $n$ crêtes consécutives : elle vaut $(n-1)\,\lambda$ .
Calcule $v = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda N$ .
Convertis les échelles et les unités avant de calculer (ms, cm, kHz).

Méthode 2 : Décider si deux points vibrent en phase ou en opposition

Calcule la distance $d$ entre les deux points (ou le retard $\tau = \dfrac{d}{v}$ ).
Calcule le rapport $\dfrac{d}{\lambda}$ (ou $\dfrac{\tau}{T}$ ).
Entier : en phase. Demi-entier ( $0{,}5$ ; $1{,}5$ ; $2{,}5$ …) : en opposition de phase. Autre valeur : ni l'un ni l'autre.

Exemple

Avec $\lambda = 0{,}20\,\text{m}$ , deux points distants de $0{,}50\,\text{m}$ ont $\dfrac{d}{\lambda} = 2{,}5$ : ils vibrent en opposition de phase.

Méthode 3 : Mesurer $\lambda$ avec deux récepteurs et un oscilloscope

Place $R_2$ contre $R_1$ : les signaux sont en phase.
Éloigne $R_2$ et compte les positions successives où les signaux sont de nouveau en phase.
La distance entre la position de départ et la $n$ -ième position en phase vaut $n\,\lambda$ : $\lambda = \dfrac{d_n}{n}$ .
Déduis $v = \lambda N$ (la fréquence $N$ est connue ou lue sur l'oscilloscope).

Méthode 4 : Utiliser un stroboscope

Cherche la plus grande fréquence $N_e$ qui donne une image immobile et nette (une seule image de chaque crête) : c'est $N$ . Les autres valeurs possibles sont $\dfrac{N}{2}$ , $\dfrac{N}{3}$ …
Mesure sur l'image immobile la distance entre $n$ lignes de crêtes consécutives : elle vaut $(n-1)\,\lambda$ .
Calcule $v = \lambda N$ .

Méthode 5 : Prévoir si la diffraction est notable

Calcule $\lambda = \dfrac{v}{N}$ dans le milieu considéré.
Compare la dimension $a$ de l'ouverture (ou de l'obstacle) à $\lambda$ .
$a \lesssim \lambda$ : diffraction nette. $a \gg \lambda$ : propagation pratiquement rectiligne. Conclus avec la valeur de $\dfrac{a}{\lambda}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Période, fréquence, longueur d'onde

Facile

Énoncé

Données : célérité du son dans l'air $340\,\text{m.s}^{-1}$ ; dans l'eau $1{,}5 \times 10^{3}\,\text{m.s}^{-1}$ .

Un diapason émet un son pur de fréquence $N = 440\,\text{Hz}$ . Calcule sa période.
Un haut-parleur est alimenté par une tension de période $T = 2{,}5\,\text{ms}$ . Calcule la fréquence du son émis.
Une houle a une période de $6{,}0\,\text{s}$ . Calcule sa fréquence.
Calcule la longueur d'onde du son du diapason dans l'air.
Ce son passe dans l'eau. Que deviennent sa fréquence et sa longueur d'onde ?

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$T = \dfrac{1}{N} = \dfrac{1}{440} = 2{,}27 \times 10^{-3}\,\text{s} = 2{,}27\,\text{ms}$ .

$N = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2{,}5 \times 10^{-3}} = 4{,}0 \times 10^{2}\,\text{Hz}$ .

$N = \dfrac{1}{6{,}0} = 0{,}17\,\text{Hz}$ .

$\lambda = \dfrac{v}{N} = \dfrac{340}{440} = 0{,}77\,\text{m}$ .

La fréquence est imposée par la source : elle reste $N = 440\,\text{Hz}$ . La longueur d'onde change : $\lambda' = \dfrac{1{,}5 \times 10^{3}}{440} = 3{,}4\,\text{m}$ .

Exercice 2 : Points d'une corde

Facile

Énoncé

Une onde sinusoïdale de fréquence $N = 25\,\text{Hz}$ se propage le long d'une corde avec la célérité $v = 10\,\text{m.s}^{-1}$ . Les points $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ et $M_4$ sont situés à $0{,}20\,\text{m}$ , $0{,}60\,\text{m}$ , $0{,}80\,\text{m}$ et $1{,}00\,\text{m}$ de la source S.

Calcule la longueur d'onde.
Pour chaque point, indique s'il vibre en phase ou en opposition de phase avec S.
Calcule le retard de $M_4$ par rapport à S et exprime-le en fonction de la période $T$ .

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$\lambda = \dfrac{v}{N} = \dfrac{10}{25} = 0{,}40\,\text{m}$ .

On calcule $\dfrac{d}{\lambda}$ pour chaque point :

Point	$d$ (m)	$d/\lambda$	Conclusion
$M_1$	$0{,}20$	$0{,}5$	opposition de phase
$M_2$	$0{,}60$	$1{,}5$	opposition de phase
$M_3$	$0{,}80$	$2$	en phase
$M_4$	$1{,}00$	$2{,}5$	opposition de phase

$\tau_4 = \dfrac{1{,}00}{10} = 0{,}10\,\text{s}$ . Comme $T = \dfrac{1}{25} = 0{,}040\,\text{s}$ , on a $\tau_4 = 2{,}5\,T$ , ce qui confirme l'opposition de phase.

Exercice 3 : Lire une photographie et un enregistrement

Facile

Énoncé

Une onde sinusoïdale progressive parcourt une corde. Sur une photographie à l'échelle 1 de la corde, on mesure $60\,\text{cm}$ entre la 1re et la 5e crête consécutives. Un capteur placé en un point fixe enregistre l'élongation en fonction du temps : $4$ périodes complètes occupent $0{,}10\,\text{s}$ .

Calcule la longueur d'onde.
Calcule la période et la fréquence.
Déduis la célérité de l'onde, d'abord avec $T$ , puis avec $N$ .

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Entre la 1re et la 5e crête, il y a $4$ intervalles : $4\,\lambda = 60\,\text{cm}$ , donc $\lambda = 15\,\text{cm} = 0{,}15\,\text{m}$ .

$T = \dfrac{0{,}10}{4} = 0{,}025\,\text{s}$ et $N = \dfrac{1}{T} = 40\,\text{Hz}$ .

$v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}15}{0{,}025} = 6{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ et $v = \lambda N = 0{,}15 \times 40 = 6{,}0\,\text{m.s}^{-1}$ : les deux résultats concordent.

Exercice 4 : Longueur d'onde des ultrasons

Moyen

Énoncé

Un émetteur E envoie dans l'air des ultrasons sinusoïdaux de fréquence $N = 40\,\text{kHz}$ . Deux récepteurs $R_1$ (fixe) et $R_2$ (mobile), alignés avec E, sont reliés à un oscilloscope. Au départ, $R_2$ touche $R_1$ et les deux signaux sont en phase. On éloigne $R_2$ et on repère les positions où les deux signaux sont de nouveau en phase : la dixième de ces positions est à $d = 85{,}0\,\text{mm}$ de la position de départ.

Pourquoi les signaux sont-ils en phase à chaque fois ? Exprime $d$ en fonction de $\lambda$ .
Calcule $\lambda$ puis la célérité des ultrasons.
Pourquoi a-t-on mesuré la distance sur dix positions plutôt qu'une seule ?
Calcule la période des ultrasons.
Un récepteur est placé à $0{,}50\,\text{m}$ de E. Calcule le retard du signal reçu et exprime la distance $0{,}50\,\text{m}$ en nombre de longueurs d'onde.

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$R_2$ et $R_1$ vibrent en phase lorsque leur distance est un multiple entier de la longueur d'onde. La dixième position en phase correspond à $d = 10\,\lambda$ .

$\lambda = \dfrac{d}{10} = \dfrac{85{,}0}{10} = 8{,}50\,\text{mm}$ et

v = \lambda N = 8{,}50 \times 10^{-3} \times 40 \times 10^{3} = 3{,}40 \times 10^{2}\,\text{m.s}^{-1}

L'incertitude absolue sur la lecture d'une position (de l'ordre du millimètre) ne change pas, mais l'incertitude relative sur $\lambda$ est dix fois plus petite quand on mesure $10\,\lambda$ au lieu de $\lambda$ : la mesure est plus précise.

$T = \dfrac{1}{N} = \dfrac{1}{40 \times 10^{3}} = 2{,}5 \times 10^{-5}\,\text{s} = 25\,\mu\text{s}$ .

$\tau = \dfrac{0{,}50}{340} = 1{,}5 \times 10^{-3}\,\text{s}$ et $\dfrac{0{,}50}{8{,}50 \times 10^{-3}} = 59$ longueurs d'onde environ.

Exercice 5 : Cuve à ondes et stroboscope

Moyen

Énoncé

Une pointe fixée à un vibreur de fréquence $N = 25\,\text{Hz}$ frappe la surface de l'eau d'une cuve à ondes et crée des rides circulaires. On éclaire la cuve avec un stroboscope dont on règle la fréquence $N_e$ .

Donne les trois plus grandes valeurs de $N_e$ (avec $N_e \leq N$ ) pour lesquelles les rides paraissent immobiles.
Avec la plus grande de ces valeurs, on mesure sur l'image (échelle 1) une distance de $8{,}0\,\text{cm}$ entre la 1re et la 6e ligne de crêtes. Calcule la longueur d'onde puis la célérité.
On règle $N_e = 24\,\text{Hz}$ . Que voit-on ? Quelle est la fréquence apparente du mouvement ?

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L'immobilité apparente apparaît pour $N_e = N$ , $\dfrac{N}{2}$ , $\dfrac{N}{3}$ : soit $25\,\text{Hz}$ , $12{,}5\,\text{Hz}$ et $8{,}3\,\text{Hz}$ .

Avec $N_e = 25\,\text{Hz}$ , entre la 1re et la 6e ligne il y a $5$ intervalles : $5\,\lambda = 8{,}0\,\text{cm}$ , donc $\lambda = 1{,}6\,\text{cm}$ . Alors

v = \lambda N = 1{,}6 \times 10^{-2} \times 25 = 0{,}40\,\text{m.s}^{-1}

$N_e$ est légèrement inférieure à $N$ : on observe un ralenti apparent, les rides semblent se propager très lentement dans leur sens réel. La fréquence apparente vaut $|N - N_e| = |25 - 24| = 1{,}0\,\text{Hz}$ .

Exercice 6 : Entendre derrière une porte

Moyen

Énoncé

Une personne parle dans un couloir. Tu te trouves dans une pièce voisine, à côté de l'encadrement d'une porte ouverte de largeur $a = 0{,}90\,\text{m}$ , hors de la ligne droite qui te relie à elle : tu l'entends, mais tu ne la vois pas. Les fréquences de la voix vont de $200\,\text{Hz}$ à $4{,}0\,\text{kHz}$ . Célérité du son : $340\,\text{m.s}^{-1}$ . La lumière visible a une longueur d'onde voisine de $5 \times 10^{-7}\,\text{m}$ .

Calcule les longueurs d'onde extrêmes de la voix.
Compare $a$ à chacune d'elles. Pour quelle fréquence la diffraction est-elle la plus marquée ?
Explique pourquoi tu entends la voix sans voir la personne.
Pourquoi la voix paraît-elle plus sourde que si tu étais en face de la porte ?

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$\lambda_{\max} = \dfrac{340}{200} = 1{,}7\,\text{m}$ et $\lambda_{\min} = \dfrac{340}{4{,}0 \times 10^{3}} = 0{,}085\,\text{m}$ .

Pour $200\,\text{Hz}$ : $\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{0{,}90}{1{,}7} = 0{,}53$ ; $a$ est plus petite que $\lambda$ : diffraction très marquée. Pour $4{,}0\,\text{kHz}$ : $\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{0{,}90}{0{,}085} = 11$ ; $a \gg \lambda$ : diffraction faible. La diffraction est la plus marquée pour la fréquence la plus basse.

Pour les fréquences les plus basses de la voix, $a$ est comparable à $\lambda$ , voire plus petite : l'onde sonore est diffractée par la porte et se répartit dans toute la pièce. Pour la lumière, $\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{0{,}90}{5 \times 10^{-7}} \approx 2 \times 10^{6}$ : la diffraction est imperceptible, la lumière se propage en ligne droite et tu ne vois pas la personne.

Les composantes de basse fréquence (grandes longueurs d'onde) sont beaucoup plus diffractées que celles de haute fréquence. Hors de l'axe de la porte, tu reçois donc surtout les graves : la voix paraît plus sourde.

Exercice 7 : Ce milieu est-il dispersif ?

Moyen

Énoncé

Dans un liquide, on mesure la célérité d'ondes sinusoïdales de fréquences différentes :

$N$ (Hz)	$10$	$20$	$30$
$v$ ( $\text{m.s}^{-1}$ )	$0{,}28$	$0{,}32$	$0{,}36$

Calcule la longueur d'onde pour chaque fréquence.
Ce milieu est-il dispersif ? Justifie.
Une perturbation composée des deux fréquences $10\,\text{Hz}$ et $30\,\text{Hz}$ est émise à la date $t = 0$ . À $d = 1{,}2\,\text{m}$ de la source, quel intervalle de temps sépare l'arrivée des deux composantes ?
Que peut-on dire de la forme du signal reçu par rapport au signal émis ?

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$\lambda = \dfrac{v}{N}$ : pour $10\,\text{Hz}$ , $\lambda = \dfrac{0{,}28}{10} = 2{,}8\,\text{cm}$ ; pour $20\,\text{Hz}$ , $\lambda = 1{,}6\,\text{cm}$ ; pour $30\,\text{Hz}$ , $\lambda = 1{,}2\,\text{cm}$ .

La célérité dépend de la fréquence ( $0{,}28$ , $0{,}32$ puis $0{,}36\,\text{m.s}^{-1}$ ) : le milieu est dispersif.

La composante à $10\,\text{Hz}$ arrive à $t_1 = \dfrac{1{,}2}{0{,}28} = 4{,}286\,\text{s}$ , celle à $30\,\text{Hz}$ à $t_2 = \dfrac{1{,}2}{0{,}36} = 3{,}333\,\text{s}$ . L'intervalle est $\Delta t = 4{,}286 - 3{,}333 = 0{,}95\,\text{s}$ .

Les deux composantes, émises ensemble, n'arrivent plus ensemble : le signal reçu est déformé par rapport au signal émis. Dans un milieu non dispersif, il aurait gardé sa forme.

Exercice 8 : Onde sinusoïdale sur une corde

Type Bac

Énoncé

Une lame vibrante (source S) impose à l'extrémité d'une longue corde élastique horizontale un mouvement vertical sinusoïdal d'amplitude $a = 2{,}0\,\text{mm}$ et de fréquence $N = 50\,\text{Hz}$ . L'onde progressive qui en résulte se propage avec la célérité $v = 15\,\text{m.s}^{-1}$ . L'autre extrémité de la corde est munie d'un absorbeur qui évite toute réflexion. À $t = 0$ , l'élongation de S est maximale : $y_S(t) = a\cos(2\pi N t)$ .

L'onde est-elle transversale ou longitudinale ? Pourquoi la qualifie-t-on de périodique ?
Calcule la période $T$ et la longueur d'onde $\lambda$ .
Un point M est à $x = 0{,}75\,\text{m}$ de S. Calcule son retard $\tau$ et exprime-le en fonction de $T$ . Que dire des mouvements de M et de S ?
Écris l'expression de $y_M(t)$ pour $t \geq \tau$ puis simplifie-la.
Calcule $y_M$ et $y_S$ à la date $t = 0{,}070\,\text{s}$ et vérifie la réponse à la question 3.
Les points $M_1$ et $M_2$ sont à $x_1 = 0{,}45\,\text{m}$ et $x_2 = 0{,}90\,\text{m}$ de S. Compare leurs mouvements à celui de S, puis entre eux.

Voir le corrigé

Le déplacement des points est vertical, la propagation horizontale : l'onde est transversale. Elle est périodique car la source répète le même mouvement à intervalles de temps égaux ( $T$ ) et chaque point de la corde fait de même.

$T = \dfrac{1}{N} = \dfrac{1}{50} = 0{,}020\,\text{s}$ et $\lambda = v\,T = 15 \times 0{,}020 = 0{,}30\,\text{m}$ .

$\tau = \dfrac{x}{v} = \dfrac{0{,}75}{15} = 0{,}050\,\text{s} = 2{,}5\,T$ . Comme $\dfrac{x}{\lambda} = 2{,}5$ (demi-entier), M vibre en opposition de phase avec S.

Pour $t \geq \tau$ :

y_M(t) = y_S(t - \tau) = a\cos\big(100\pi\,(t - 0{,}050)\big) = a\cos(100\pi\,t - 5\pi)

Comme $\cos(\alpha - 5\pi) = -\cos\alpha$ , on obtient $y_M(t) = -a\cos(100\pi\,t)$ : c'est exactement l'opposé de $y_S(t)$ .

$y_M(0{,}070) = -a\cos(7\pi) = +a = +2{,}0\,\text{mm}$ , car $\cos(7\pi) = -1$ . Et $y_S(0{,}070) = a\cos(7\pi) = -2{,}0\,\text{mm}$ . Les élongations sont opposées : c'est cohérent avec l'opposition de phase.

$\dfrac{x_1}{\lambda} = \dfrac{0{,}45}{0{,}30} = 1{,}5$ : $M_1$ est en opposition de phase avec S. $\dfrac{x_2}{\lambda} = \dfrac{0{,}90}{0{,}30} = 3$ : $M_2$ est en phase avec S. Entre eux, la distance $0{,}45\,\text{m} = 1{,}5\,\lambda$ : $M_1$ et $M_2$ vibrent en opposition de phase.

Exercice 9 : Ultrasons et diffraction

Type Bac

Énoncé

Partie A. Un émetteur E envoie dans l'air des ultrasons sinusoïdaux de fréquence $N = 40\,\text{kHz}$ . Un récepteur fixe $R_1$ et un récepteur mobile $R_2$ , alignés avec E, sont reliés à un oscilloscope. Au départ, $R_2$ touche $R_1$ et les signaux sont en phase. En éloignant $R_2$ , on repère les positions où les signaux sont de nouveau en phase : la quatrième est à $34{,}0\,\text{mm}$ de la position de départ.

Définis la longueur d'onde. Calcule sa valeur.
Calcule la célérité des ultrasons dans l'air.
On double la fréquence de l'émetteur dans les mêmes conditions. Que deviennent la célérité et la longueur d'onde ?

Partie B. On place devant E une plaque percée d'une fente de largeur $a$ . Un récepteur R se déplace sur un arc de cercle centré sur la fente, derrière la plaque.

Pour $a = 5{,}0\,\text{mm}$ , R détecte des ultrasons même loin de l'axe E-fente. Nomme le phénomène et compare $a$ à $\lambda$ .
Pour $a = 5{,}0\,\text{cm}$ , R ne détecte les ultrasons que près de l'axe. Explique.
Les ondes derrière la fente ont-elles la même fréquence et la même longueur d'onde que l'onde incidente ? Justifie.
On remplace E par un émetteur de fréquence $20\,\text{kHz}$ . Pour $a = 5{,}0\,\text{mm}$ , le phénomène est-il plus ou moins marqué ?

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Partie A

La longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période, ou la plus petite distance entre deux points qui vibrent en phase. La quatrième position en phase est à $4\,\lambda$ de la position de départ : $\lambda = \dfrac{34{,}0}{4} = 8{,}50\,\text{mm}$ .

$v = \lambda N = 8{,}50 \times 10^{-3} \times 40 \times 10^{3} = 3{,}40 \times 10^{2}\,\text{m.s}^{-1}$ .

La célérité ne dépend que du milieu : elle reste $3{,}40 \times 10^{2}\,\text{m.s}^{-1}$ . La longueur d'onde est divisée par 2 : $\lambda' = \dfrac{v}{N'} = \dfrac{340}{80 \times 10^{3}} = 4{,}25\,\text{mm}$ .

Partie B

C'est la diffraction. Ici $a = 5{,}0\,\text{mm} < \lambda = 8{,}5\,\text{mm}$ : $\dfrac{a}{\lambda} = 0{,}59$ , l'ouverture est plus petite que la longueur d'onde, la diffraction est très marquée.

Pour $a = 5{,}0\,\text{cm}$ , $\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{50}{8{,}5} = 5{,}9$ : l'ouverture est grande devant $\lambda$ , la diffraction est faible et l'onde passe pratiquement en ligne droite.

Oui : la fréquence est imposée par l'émetteur et le milieu est le même (l'air) donc la célérité, et par suite la longueur d'onde $\lambda = \dfrac{v}{N}$ , ne changent pas. Seule la direction de propagation est modifiée.

Pour $N' = 20\,\text{kHz}$ : $\lambda' = \dfrac{340}{20 \times 10^{3}} = 17\,\text{mm}$ et $\dfrac{a}{\lambda'} = \dfrac{5{,}0}{17} = 0{,}29$ . Le rapport est plus petit qu'avant ( $0{,}59$ ) : la diffraction est plus marquée.

QCM

QCM de 7 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Lire $\lambda$ sur une courbe en fonction du temps (ou $T$ sur une photographie). La courbe $y_M(t)$ donne $T$ ; la photographie $y(x)$ donne $\lambda$ .
Compter les crêtes au lieu des intervalles. Entre la 1re et la 6e crête, il y a $5$ longueurs d'onde, pas $6$ .
Dire que la fréquence change quand l'onde change de milieu. La fréquence est imposée par la source ; ce sont la célérité et la longueur d'onde qui changent.
Confondre la condition de phase et celle d'opposition. En phase : $d = k\lambda$ . En opposition de phase : $d = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$ .
Penser que la diffraction est plus nette avec une grande ouverture. C'est l'inverse : elle est marquée quand $a$ est petite, de l'ordre de $\lambda$ ou moins.
Croire qu'un milieu est dispersif parce que la célérité change avec l'amplitude ou la forme du signal. La dispersion concerne la dépendance de $v$ vis-à-vis de la fréquence.
Oublier les conversions. Passe les kHz en Hz, les mm et cm en m, les ms en s avant d'appliquer $\lambda = \dfrac{v}{N}$ .
Oublier le principe de mesure sur plusieurs longueurs d'onde. Mesurer une seule longueur d'onde donne un résultat bien moins précis que dix.

À retenir

Une onde progressive périodique est entretenue par une source qui vibre ; sa période $T$ et sa fréquence $N = \dfrac{1}{T}$ sont celles de la source.
Longueur d'onde : $\lambda = v\,T = \dfrac{v}{N}$ (distance parcourue en une période, plus courte distance entre deux points en phase).
Double périodicité : dans le temps ( $T$ , lue sur $y_M(t)$ ) et dans l'espace ( $\lambda$ , lue sur une photographie).
Le point M à la distance $x$ de S vérifie $y_M(t) = y_S\left(t - \dfrac{x}{v}\right)$ .
En phase : $d = k\lambda$ ; en opposition de phase : $d = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$ .
Stroboscope : immobilité apparente si $N_e = N$ (ou $N/2$ , $N/3$ …) ; ralenti apparent si $N_e$ est proche de $N$ .
Changement de milieu : $N$ reste constante, $v$ et $\lambda$ changent.
Diffraction : nette si $a$ est du même ordre que $\lambda$ ou plus petite ; $N$ , $v$ et $\lambda$ ne changent pas.
Un milieu est dispersif si $v$ dépend de $N$ : un signal complexe s'y déforme.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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Voir la page actuelle de ce chapitre Signaler une erreurContenu original 9raya, gratuit, sous licence CC BY-NC-SA 4.0

L'essentiel

1. Onde progressive périodique

2. Longueur d'onde et double périodicité

3. Comparer le mouvement de deux points

4. Voir l'onde au ralenti : le stroboscope

5. Ondes sonores et ultrasonores

6. Changement de milieu

7. Diffraction des ondes mécaniques

8. Milieu dispersif

Méthodes

Méthode 1 : Déterminer TTT, NNN, λ\lambdaλ et vvv à partir d'enregistrements

Méthode 2 : Décider si deux points vibrent en phase ou en opposition

Méthode 3 : Mesurer λ\lambdaλ avec deux récepteurs et un oscilloscope

Méthode 4 : Utiliser un stroboscope

Méthode 5 : Prévoir si la diffraction est notable

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 1 : Déterminer $T$ , $N$ , $\lambda$ et $v$ à partir d'enregistrements

Méthode 3 : Mesurer $\lambda$ avec deux récepteurs et un oscilloscope