Chute verticale d'un solide

1. La chute libre

La chute libre est exacte dans le vide. Dans l'air, elle est une bonne approximation pour un solide dense, compact et peu rapide, dont le poids est très grand devant la poussée d'Archimède et les frottements.

On étudie le mouvement du centre d'inertie $G$ dans le référentiel terrestre (galiléen). On choisit un axe $Oz$ vertical orienté vers le bas (le sens naturel d'une chute). La deuxième loi de Newton $m\vec{g} = m\vec{a}_G$ donne :

L'accélération est constante et ne dépend ni de la masse ni de la forme du solide : c'est un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Avec les conditions initiales $z(0) = z_0$ et $v(0) = v_0$ :

Si tu orientes l'axe vers le haut (pour un lancer vertical vers le haut), alors $a_z = -g$, $v(t) = -g\,t + v_0$ et $z(t) = -\frac{1}{2}g\,t^2 + v_0\,t + z_0$. Le sommet est atteint quand $v = 0$, c'est-à-dire à l'instant $t_s = \frac{v_0}{g}$, à l'altitude $z_{max} = z_0 + \frac{v_0^2}{2g}$.

2. Les forces exercées par un fluide

Quand un solide tombe dans un fluide (liquide ou gaz), il subit, en plus de son poids, deux forces dues au fluide.

Dimension de $k$ : une force s'exprime en $\text{kg.m.s}^{-2}$, donc $k$ s'exprime en $\text{kg.s}^{-1}$ si $n = 1$ et en $\text{kg.m}^{-1}$ si $n = 2$.

3. Équation différentielle du mouvement

Un solide de masse $m$ et de volume $V$ est abandonné dans un fluide. On oriente $Oz$ vers le bas. Dans le référentiel terrestre, la deuxième loi de Newton s'écrit $\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{f} = m\vec{a}_G$. Comme le mouvement est vertical et que la vitesse $v$ est comptée positive vers le bas, la projection sur $Oz$ donne

On divise par $m$ et on note :

Ici $A > 0$ si le solide est plus dense que le fluide ($\rho_s > \rho_f$) : il coule. Si $\rho_s < \rho_f$, la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids et le solide remonte : on oriente alors l'axe vers le haut et on adapte les signes (voir l'exercice 8).

4. Le cas n = 1 : solution, vitesse limite, temps caractéristique

Pour $n = 1$, l'équation $\frac{dv}{dt} + B\,v = A$ est du type $y' = ay + b$ vu en mathématiques. Avec $v(0) = 0$, sa solution est

On introduit deux grandeurs caractéristiques :

Alors $v(t) = v_{lim}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ et l'équation différentielle s'écrit $\frac{dv}{dt} + \frac{v}{\tau} = \frac{v_{lim}}{\tau}$, car $\frac{v_{lim}}{\tau} = A$.

La vitesse n'atteint jamais exactement $v_{lim}$, mais s'en approche très vite :

5. Régimes du mouvement et lecture de la courbe $v(t)$

• Régime initial (transitoire) : la vitesse augmente, l'accélération $a = \frac{dv}{dt}$ diminue de la valeur $A$ (à $t = 0$, quand $v = 0$) vers $0$.
• Régime permanent (asymptotique) : la vitesse a pratiquement atteint $v_{lim}$ et reste constante. Alors $a = 0$, donc d'après la première loi, $\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{f} = \vec{0}$ : $mg - \rho_f V g = k\,v_{lim}^n$. Les forces ne disparaissent pas, elles se compensent.

Sur le graphe $v(t)$ :

• $v_{lim}$ est l'ordonnée de l'asymptote horizontale (le plateau) ;
• $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote ; pour $n = 1$ seulement, c'est aussi l'instant où $v = 0{,}63\,v_{lim}$ ;
• le coefficient directeur de la tangente à l'origine est $A = \frac{v_{lim}}{\tau}$ (accélération initiale) ;
• la durée du régime transitoire est de l'ordre de $5\tau$ : on dit que $\tau$ est le temps caractéristique de la chute.

6. Le cas n = 2

L'équation s'écrit $\frac{dv}{dt} = A - B\,v^2$. En régime permanent, $\frac{dv}{dt} = 0$, donc $A = B\,v_{lim}^2$ :

Dans l'air, avec la poussée d'Archimède négligée, $v_{lim} = \sqrt{\frac{m g}{k}}$. Le temps caractéristique garde la définition $\tau = \frac{v_{lim}}{A}$ (la tangente à l'origine, de pente $A$, coupe l'asymptote à $t = \tau$), mais la solution n'est plus du type $1 - e^{-t/\tau}$ : la lecture « $v = 0{,}63\,v_{lim}$ » ne donne plus $\tau$, il faut passer par la tangente à l'origine.

7. La méthode d'Euler

C'est une méthode de résolution approchée d'une équation différentielle $\frac{dv}{dt} = F(v)$. On remplace la dérivée par sa tangente sur un petit intervalle de temps $\Delta t$, le pas de la méthode. À l'instant $t_i$, l'accélération vaut $a_i = A - B\,v_i^n$, et on calcule de proche en proche :

On part de la condition initiale $v_0 = v(t = 0)$. Avec un tableur, on obtient ainsi la courbe $v(t)$, qu'on compare à l'expérience. Si on veut aussi la position, on ajoute $z_{i+1} = z_i + v_i\,\Delta t$.

Quand $v_i$ approche $v_{lim}$, les accélérations $a_i$ tendent vers $0$ : les valeurs de $v_i$ se stabilisent sur le plateau.

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle de la chute

1. Système : le solide. Référentiel : le référentiel terrestre (galiléen). Axe $Oz$ vertical vers le bas.
2. Bilan des forces : $\vec{P}$, $\vec{F}_A$ (si on ne la néglige pas) et $\vec{f}$ (opposée à la vitesse).
3. Écris $\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{f} = m\vec{a}_G$ et projette sur $Oz$.
4. Divise par $m$ et mets sous la forme $\frac{dv}{dt} = A - B\,v^n$ : identifie $A$ et $B$.

Exemple : une boule de masse $m = 0{,}20\,\text{kg}$ et de volume $V = 5{,}0 \times 10^{-5}\,\text{m}^3$ tombe dans l'eau ($\rho_f = 1\,000\,\text{kg.m}^{-3}$) avec $f = k\,v$ et $k = 2{,}0\,\text{kg.s}^{-1}$. Alors $A = g\left(1 - \frac{\rho_f V}{m}\right) = 9{,}8 \times \left(1 - \frac{0{,}050}{0{,}20}\right) = 7{,}35\,\text{m.s}^{-2}$ et $B = \frac{k}{m} = 10\,\text{s}^{-1}$.

Méthode 2 : Déterminer $v_{lim}$ et $\tau$

1. Par le calcul ($n = 1$) : $v_{lim} = \frac{A}{B}$ et $\tau = \frac{1}{B} = \frac{m}{k}$. Pour $n = 2$ : $v_{lim} = \sqrt{\frac{A}{B}}$ et $\tau = \frac{v_{lim}}{A}$.
2. Par le graphe : lis le plateau pour $v_{lim}$ ; pour $\tau$, trace la tangente à l'origine et note l'abscisse de son intersection avec l'asymptote, ou (pour $n = 1$ seulement) lis l'instant où $v = 0{,}63\,v_{lim}$.
3. Vérifie la cohérence : $A = \frac{v_{lim}}{\tau}$ (pour $n = 1$).

Exemple (suite de la méthode 1) : $v_{lim} = \frac{7{,}35}{10} = 0{,}735\,\text{m.s}^{-1}$ et $\tau = 0{,}10\,\text{s}$. Autre cas, par le graphe : un plateau à $0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ et une tangente à l'origine qui coupe l'asymptote à $t = 0{,}080\,\text{s}$ donnent $\tau = 0{,}080\,\text{s}$ et $A = \frac{0{,}50}{0{,}080} = 6{,}25\,\text{m.s}^{-2}$.

Méthode 3 : Vérifier qu'une fonction est solution de l'équation différentielle

1. Dérive la fonction proposée.
2. Remplace $v$ et $\frac{dv}{dt}$ dans l'équation différentielle.
3. Vérifie que l'égalité est vraie pour tout $t$ (et contrôle la condition initiale).

Exemple : $v(t) = 0{,}50\left(1 - e^{-t/0{,}080}\right)$ est-elle solution de $\frac{dv}{dt} + 12{,}5\,v = 6{,}25$ ? On a $\frac{dv}{dt} = \frac{0{,}50}{0{,}080}e^{-12{,}5\,t} = 6{,}25\,e^{-12{,}5\,t}$ et $12{,}5\,v = 6{,}25 - 6{,}25\,e^{-12{,}5\,t}$. La somme vaut $6{,}25$ : c'est bien une solution, et $v(0) = 0$.

Méthode 4 : Appliquer la méthode d'Euler

1. Note $A$, $B$, $n$, la condition initiale $v_0$ et le pas $\Delta t$.
2. Construis un tableau avec les colonnes $t_i$, $v_i$, $a_i = A - B\,v_i^n$ et $v_{i+1} = v_i + a_i\,\Delta t$.
3. Remplis ligne par ligne : la valeur $v_{i+1}$ calculée sur une ligne devient $v_i$ de la ligne suivante.
4. Compare à $v_{lim}$ ou à la solution exacte pour juger la précision.

Exemple : $\frac{dv}{dt} = 6{,}0 - 3{,}0\,v$ (SI), $v_0 = 0$, $\Delta t = 0{,}10\,\text{s}$. Ligne 0 : $a_0 = 6{,}0$ donc $v_1 = 0{,}60$. Ligne 1 : $a_1 = 6{,}0 - 3{,}0 \times 0{,}60 = 4{,}2$ donc $v_2 = 0{,}60 + 0{,}42 = 1{,}02$. Ligne 2 : $a_2 = 6{,}0 - 3{,}0 \times 1{,}02 = 2{,}94$ donc $v_3 = 1{,}02 + 0{,}294 \approx 1{,}31$. On approche bien $v_{lim} = \frac{6{,}0}{3{,}0} = 2{,}0\,\text{m.s}^{-1}$.

Méthode 5 : Décider si on néglige la poussée d'Archimède

1. Calcule le rapport $\frac{F_A}{P} = \frac{\rho_f}{\rho_s}$ (solide homogène).
2. Si ce rapport est très inférieur à $1$ (de l'ordre de $10^{-3}$ ou moins), tu peux négliger $F_A$ ; sinon, tu la gardes.
3. Si l'énoncé dit « on néglige la poussée d'Archimède », ne la fais pas intervenir.

Exemple : une pierre de masse volumique $2\,700\,\text{kg.m}^{-3}$ dans l'air : $\frac{1{,}2}{2\,700} \approx 4{,}4 \times 10^{-4}$, négligeable. La même pierre dans l'eau : $\frac{1\,000}{2\,700} \approx 0{,}37$, non négligeable.

Méthode 6 : Étudier une chute libre

1. Choisis l'axe (vers le bas pour une chute, vers le haut pour un lancer) et note les conditions initiales.
2. Écris $a_z = \pm g$, puis $v(t)$ et $z(t)$ par intégration.
3. Pour une durée, résous $z(t) =$ valeur demandée ; pour une vitesse sans durée, utilise $v^2 - v_0^2 = 2a(z - z_0)$.

Exemple : une pierre lâchée sans vitesse d'une hauteur de $45\,\text{m}$ (axe vers le bas) : $z = \frac{1}{2}g\,t^2 = 45$ donne $t = \sqrt{\frac{90}{9{,}8}} \approx 3{,}03\,\text{s}$ et $v = g\,t \approx 29{,}7\,\text{m.s}^{-1}$.