Noyaux, masse et énergie : le cours

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Plan du chapitre

55 min
10 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 4 octobre 2026

L'essentiel

1. L'équivalence masse-énergie

Au début du XXe siècle, Einstein a montré que la masse est une forme d'énergie. Au programme, on utilise uniquement la relation suivante.

Théorème (Relation d'Einstein)

Un système de masse $m$ , au repos, possède une énergie de masse $E = m\,c^2$ , où $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ est la célérité de la lumière dans le vide. Quand la masse du système varie de $\Delta m$ , son énergie varie de $\Delta E = \Delta m\,c^2$ .

Exemple

Un gramme de matière a une énergie de masse $E = 1 \times 10^{-3} \times (3{,}00 \times 10^{8})^{2} = 9 \times 10^{13}\,\text{J}$ . Une toute petite variation de masse correspond donc à une énergie très grande à l'échelle humaine.

À l'échelle du noyau, les unités du SI sont peu pratiques. On utilise :

Grandeur	Unité usuelle	Relation avec le SI
masse	unité de masse atomique $\text{u}$ (le douzième de la masse d'un atome de carbone 12)	$1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg}$
énergie	électronvolt (eV) et mégaélectronvolt (MeV)	$1\,\text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\,\text{J}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$
équivalence		$1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$

Grâce à la dernière ligne, une masse de $x$ unités u correspond à une énergie de $931{,}5\,x$ MeV, sans passer par les kilogrammes ni les joules. Pour passer du MeV au joule, on multiplie par $1{,}60 \times 10^{-13}$ .

Exemple

Une variation de masse de $0{,}0305\,\text{u}$ correspond à une énergie $0{,}0305 \times 931{,}5 \approx 28{,}4\,\text{MeV}$ , soit $28{,}4 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 4{,}5 \times 10^{-12}\,\text{J}$ .

Remarque

Si tu fais le calcul en passant par les kilogrammes et $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ , tu trouves une énergie un peu différente (moins de $0{,}3\,\%$ d'écart) à cause de l'arrondi des constantes. Respecte toujours les données de l'énoncé. La théorie de la relativité restreinte dans son ensemble est hors programme.

Les masses des particules, données dans les énoncés, valent environ : proton $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ , neutron $m_n = 1{,}00866\,\text{u}$ , électron (ou positon) $m_e = 0{,}00055\,\text{u}$ .

2. Défaut de masse et énergie de liaison

La masse d'un noyau stable est inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément et au repos.

Définition

Le défaut de masse d'un noyau ${}^{A}_{Z}\text{X}$ est la différence entre la somme des masses de ses nucléons isolés et la masse du noyau :

\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m\left({}^{A}_{Z}\text{X}\right)

Il est toujours positif pour un noyau stable.

Définition

L'énergie de liaison $E_\ell$ d'un noyau est l'énergie qu'il faut fournir au noyau, au repos, pour le dissocier en ses nucléons isolés et au repos :

E_\ell = \Delta m\,c^2

L'énergie de liaison par nucléon est le quotient $\dfrac{E_\ell}{A}$ , exprimé en MeV par nucléon.

On peut le comprendre avec deux niveaux d'énergie. Les nucléons séparés et au repos ont l'énergie de masse $E_1 = \left[Z\,m_p + (A - Z)\,m_n\right]c^2$ . Le noyau au repos a l'énergie $E_2 = m(\text{X})\,c^2 = E_1 - E_\ell$ , plus basse. Quand les nucléons s'assemblent, le système libère l'énergie $E_\ell$ (sous forme de rayonnement) ; pour casser le noyau, il faut la lui rendre.

Exemple

Noyau d'hélium ${}^{4}_{2}\text{He}$ avec $m = 4{,}00151\,\text{u}$ : $\Delta m = 2 \times 1{,}00728 + 2 \times 1{,}00866 - 4{,}00151 = 0{,}03037\,\text{u}$ . Alors $E_\ell = 0{,}03037 \times 931{,}5 \approx 28{,}3\,\text{MeV}$ et $\dfrac{E_\ell}{A} = \dfrac{28{,}3}{4} \approx 7{,}07\,\text{MeV/nucléon}$ .

Attention

Dans tous les calculs, $m(\text{X})$ est la masse du noyau et non celle de l'atome (qui comprend aussi les $Z$ électrons). Vérifie ce que l'énoncé te donne.

3. Stabilité d'un noyau et courbe d'Aston

Plus l'énergie de liaison par nucléon est grande, plus il est difficile d'arracher un nucléon au noyau : le noyau est plus stable. On compare donc des noyaux avec $\dfrac{E_\ell}{A}$ , jamais avec $E_\ell$ seule (un noyau lourd a une grande énergie de liaison simplement parce qu'il a beaucoup de nucléons).

Noyau	$A$	$\dfrac{E_\ell}{A}$ (MeV/nucléon)
${}^{2}_{1}\text{H}$	$2$	$1{,}11$
${}^{4}_{2}\text{He}$	$4$	$7{,}07$
${}^{12}_{6}\text{C}$	$12$	$7{,}68$
${}^{16}_{8}\text{O}$	$16$	$7{,}98$
${}^{56}_{26}\text{Fe}$	$56$	$8{,}79$
${}^{235}_{92}\text{U}$	$235$	$7{,}59$
${}^{238}_{92}\text{U}$	$238$	$7{,}57$

Définition

La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon, $-\dfrac{E_\ell}{A}$ , en fonction du nombre de nucléons $A$ . On trace $-\dfrac{E_\ell}{A}$ pour que la courbe forme une « vallée » : plus un noyau est bas sur la courbe, plus il est stable.

Voici comment lire cette courbe (tu peux la tracer à partir du tableau) :

Pour $A$ petit (environ $A < 20$ ), $-\dfrac{E_\ell}{A}$ décroît rapidement : l'énergie de liaison par nucléon augmente vite avec $A$ . Ces noyaux légers sont peu liés.
Pour $20 \lesssim A \lesssim 190$ , la courbe est plate, proche de $-8$ à $-8{,}8\,\text{MeV/nucléon}$ , avec un minimum vers $A \approx 56$ (fer) : ce sont les noyaux les plus stables.
Pour $A$ grand (environ $A > 190$ ), la courbe remonte lentement : les noyaux lourds sont un peu moins liés que ceux du milieu.

Propriété

Une transformation qui fait passer d'un ou plusieurs noyaux à des noyaux situés plus bas sur la courbe d'Aston libère de l'énergie. C'est possible pour la fusion de noyaux légers ( $A < 20$ ) et pour la fission de noyaux lourds ( $A > 190$ ).

Remarque

Les valeurs $20$ et $190$ sont des ordres de grandeur couramment utilisés, pas des limites exactes.

4. Bilan de masse et d'énergie d'une réaction nucléaire

Une réaction nucléaire est soit une désintégration spontanée (chapitre précédent), soit une réaction provoquée (fission, fusion, bombardement d'un noyau). Elle respecte les lois de Soddy (conservation de $A$ et de $Z$ ) et la conservation de l'énergie, énergie de masse comprise.

Définition

Pour une réaction nucléaire, on appelle variation de masse $\Delta m = \sum m_{\text{produits}} - \sum m_{\text{réactifs}}$ . La variation d'énergie correspondante est :

\Delta E = \Delta m\,c^2 = \left[\sum m_{\text{produits}} - \sum m_{\text{réactifs}}\right]c^2

Signe de $\Delta E$	Interprétation
$\Delta E < 0$ (masse des produits plus petite)	la réaction libère l'énergie $E_{\text{lib}} = \lvert\Delta E\rvert$
$\Delta E > 0$ (masse des produits plus grande)	il faut fournir l'énergie $\Delta E$ pour que la réaction ait lieu

Attention

Ici, $\Delta m$ est une différence « produits moins réactifs » : elle est négative quand la réaction libère de l'énergie. Ne la confonds pas avec le défaut de masse d'un noyau, qui est positif.

L'énergie libérée apparaît sous forme d'énergie cinétique des produits, éventuellement d'énergie d'un photon $\gamma$ , et finalement d'énergie thermique dans la matière environnante.

Propriété

Quand tous les produits et réactifs sont des noyaux ou des nucléons (sans électrons ni positons), on peut aussi calculer l'énergie à partir des énergies de liaison :

\Delta E = \sum E_\ell(\text{réactifs}) - \sum E_\ell(\text{produits}) \qquad \text{donc} \qquad E_{\text{lib}} = \sum E_\ell(\text{produits}) - \sum E_\ell(\text{réactifs})

Un neutron ou un proton isolé a une énergie de liaison nulle.

En effet, chaque masse de noyau s'écrit $m(\text{X})\,c^2 = [\text{masse des nucléons}]\,c^2 - E_\ell$ ; comme $A$ et $Z$ sont conservés, les nucléons de chaque côté sont les mêmes et seuls les $E_\ell$ restent.

Pour une désintégration radioactive ${}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A'}_{Z'}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$ , avec le noyau père au repos, l'énergie libérée est $E_{\text{lib}} = \left[m(\text{X}) - m(\text{Y}) - m({}^{4}_{2}\text{He})\right]c^2$ . Elle est partagée entre l'énergie cinétique de la particule $\alpha$ , celle du noyau fils et, éventuellement, celle d'un photon $\gamma$ .

5. La fission nucléaire

Définition

La fission est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle un noyau lourd, frappé par un neutron lent, se scinde en deux noyaux plus légers (appelés fragments) et libère quelques neutrons et de l'énergie.

Le noyau d'uranium 235 est fissile : il se casse sous l'impact d'un neutron lent. Un exemple de réaction parmi beaucoup d'autres possibles :

{}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\text{Sr} + {}^{140}_{54}\text{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\text{n}

On vérifie les lois de Soddy : $1 + 235 = 94 + 140 + 2 = 236$ et $92 = 38 + 54$ . L'énergie libérée est de l'ordre de $200\,\text{MeV}$ par noyau d'uranium fissionné, contre quelques eV par atome pour une réaction chimique de combustion.

Les neutrons produits peuvent à leur tour provoquer d'autres fissions : c'est la réaction en chaîne. Elle est :

non contrôlée dans une arme nucléaire ;
contrôlée dans un réacteur : des barres de contrôle absorbent des neutrons et un modérateur (par exemple l'eau) ralentit les neutrons pour qu'ils soient efficaces.

Dans une centrale nucléaire, l'énergie libérée chauffe de l'eau ; la vapeur fait tourner une turbine qui entraîne un alternateur. Avantage : pas d'émission de dioxyde de carbone pendant le fonctionnement. Inconvénients : déchets radioactifs à longue durée de vie et risque d'accident.

6. La fusion nucléaire

Définition

La fusion est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle deux noyaux légers s'unissent pour former un noyau plus lourd, avec libération d'énergie.

Exemple : la fusion du deutérium et du tritium, deux isotopes de l'hydrogène.

{}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n} \qquad E_{\text{lib}} \approx 17{,}6\,\text{MeV}

Les deux noyaux sont chargés positivement : ils se repoussent. Pour qu'ils s'approchent assez près pour que l'interaction forte agisse, il faut une température très élevée (de l'ordre de $10^{8}\,\text{K}$ pour le mélange deutérium-tritium) : la matière est alors un plasma, qu'on doit confiner. Cette condition est réalisée naturellement au cœur des étoiles. Au cœur du Soleil (environ $1{,}5 \times 10^{7}\,\text{K}$ ), des noyaux d'hydrogène fusionnent en hélium ; le bilan s'écrit :

4\,{}^{1}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\text{e} + 2\,\nu

La fusion contrôlée sur Terre est encore à l'étude (par exemple dans le projet international ITER). Avantages attendus : combustible abondant (le deutérium est présent dans l'eau de mer), pas de réaction en chaîne, peu de déchets à longue durée de vie. Difficultés : maintenir un plasma à plusieurs dizaines ou centaines de millions de degrés.

Remarque

Le détail des enchaînements de réactions qui se produisent dans le Soleil est hors programme. Retiens seulement le bilan et l'ordre de grandeur des énergies.

7. Fission et fusion : comparaison

	Fission	Fusion
Noyaux concernés	lourds ( $A > 190$ )	légers ( $A < 20$ )
Principe	un noyau lourd, touché par un neutron lent, donne deux noyaux plus légers	deux noyaux légers donnent un noyau plus lourd
Condition	neutrons lents (réaction en chaîne possible)	température de l'ordre de $10^{7}$ à $10^{8}\,\text{K}$
Énergie par réaction	environ $200\,\text{MeV}$	quelques MeV ( $17{,}6\,\text{MeV}$ pour deutérium-tritium)
Énergie par nucléon	environ $0{,}8\,\text{MeV}$	environ $3{,}5\,\text{MeV}$ (deutérium-tritium)
Exemples	centrales nucléaires	Soleil et étoiles

8. Du noyau à l'échelle macroscopique

Pour passer d'une réaction à une installation, on multiplie. Si une réaction libère l'énergie $E_{\text{lib}}$ et si $n$ réactions ont lieu, l'énergie totale est $E = n\,E_{\text{lib}}$ . Le nombre de noyaux dans une masse $m$ de combustible est $N = \dfrac{m}{M}N_A$ . Pendant une durée $\Delta t$ , la puissance vaut $P = \dfrac{E}{\Delta t}$ . Pour une centrale, le rendement $\eta = \dfrac{P_{\text{électrique}}}{P_{\text{thermique}}}$ est inférieur à $1$ . Enfin, un système qui rayonne la puissance $P$ perd de la masse à raison de $\dfrac{\Delta m}{\Delta t} = \dfrac{P}{c^2}$ : c'est le cas du Soleil.

Méthodes

Méthode 1 : Calculer un défaut de masse et une énergie de liaison

Compte les protons $Z$ et les neutrons $A - Z$ du noyau.
Calcule $\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m(\text{noyau})$ avec toutes les décimales fournies, en u.
Convertis : $E_\ell = \Delta m \times 931{,}5$ en MeV, puis éventuellement en joules ( $\times\, 1{,}60 \times 10^{-13}$ ).
Divise par $A$ pour obtenir $\dfrac{E_\ell}{A}$ .

Exemple

Tritium ${}^{3}_{1}\text{H}$ : $m = 3{,}01550\,\text{u}$ , $Z = 1$ et $N = 2$ . $\Delta m = 1{,}00728 + 2 \times 1{,}00866 - 3{,}01550 = 0{,}00910\,\text{u}$ . $E_\ell = 0{,}00910 \times 931{,}5 \approx 8{,}48\,\text{MeV}$ et $\dfrac{E_\ell}{A} \approx 2{,}83\,\text{MeV/nucléon}$ .

Méthode 2 : Comparer la stabilité de deux noyaux

Calcule (ou lis dans l'énoncé) $\dfrac{E_\ell}{A}$ pour chaque noyau.
Le noyau de plus grande valeur de $\dfrac{E_\ell}{A}$ est le plus stable.
Ne compare jamais directement les $E_\ell$ de noyaux qui n'ont pas le même nombre de nucléons.

Exemple

Fer 56 : $E_\ell = 56 \times 8{,}79 \approx 492\,\text{MeV}$ . Uranium 235 : $E_\ell = 235 \times 7{,}59 \approx 1784\,\text{MeV}$ . L'uranium a la plus grande énergie de liaison, mais $8{,}79 > 7{,}59$ : c'est le fer qui est le plus stable.

Méthode 3 : Équilibrer une réaction nucléaire provoquée

Écris la réaction avec l'inconnue ${}^{A}_{Z}\text{X}$ (ou un coefficient inconnu devant les neutrons).
Écris la conservation de $A$ , puis de $Z$ , avec les coefficients stœchiométriques.
Identifie l'inconnue grâce à $Z$ et reconnais le type de réaction : un noyau lourd qui se casse (fission), deux noyaux légers qui s'unissent (fusion).

Exemple

${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{139}_{54}\text{Xe} + {}^{A}_{Z}\text{Sr} + 3\,{}^{1}_{0}\text{n}$ . Conservation de $A$ : $1 + 235 = 139 + A + 3$ , donc $A = 94$ . Conservation de $Z$ : $92 = 54 + Z$ , donc $Z = 38$ : c'est bien le strontium ${}^{94}_{38}\text{Sr}$ . Un noyau lourd est cassé par un neutron : c'est une fission.

Méthode 4 : Faire le bilan énergétique d'une réaction

Écris l'équation de la réaction en vérifiant $A$ et $Z$ .
Calcule $\Delta m = \sum m_{\text{produits}} - \sum m_{\text{réactifs}}$ (compte les coefficients, et simplifie les neutrons présents des deux côtés).
Calcule $\Delta E = \Delta m \times 931{,}5$ en MeV. Si $\Delta E < 0$ , l'énergie libérée est $E_{\text{lib}} = \lvert\Delta E\rvert$ .
Convertis en joules si on te le demande.

Exemple

Désintégration $\alpha$ du polonium 210 : ${}^{210}_{84}\text{Po} \to {}^{206}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$ avec les masses des noyaux $m(\text{Po}) = 209{,}93679\,\text{u}$ , $m(\text{Pb}) = 205{,}92948\,\text{u}$ , $m(\text{He}) = 4{,}00151\,\text{u}$ . $\Delta m = 205{,}92948 + 4{,}00151 - 209{,}93679 = -0{,}00580\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}00580 \times 931{,}5 \approx 5{,}40\,\text{MeV} \approx 8{,}64 \times 10^{-13}\,\text{J}$ .

Méthode 5 : Passer à l'échelle macroscopique

Convertis l'énergie d'une réaction en joules.
Nombre de réactions par seconde : $n = \dfrac{P}{E_{\text{lib}}}$ ; pour une masse donnée : $N = \dfrac{m}{M}N_A$ .
Énergie totale : $E = N \times E_{\text{lib}}$ ; masse consommée : $m = \dfrac{N}{N_A}M$ .
Si l'énoncé parle de rendement, convertis entre puissance thermique et puissance électrique avec $\eta$ .

Exemple

Un réacteur de puissance thermique $1{,}0\,\text{GW}$ fonctionne avec des fissions de $185\,\text{MeV} = 2{,}96 \times 10^{-11}\,\text{J}$ . Nombre de fissions par seconde : $n = \dfrac{1{,}0 \times 10^{9}}{2{,}96 \times 10^{-11}} \approx 3{,}4 \times 10^{19}\,\text{s}^{-1}$ . En un jour : $3{,}4 \times 10^{19} \times 86\,400 \approx 2{,}9 \times 10^{24}$ fissions, soit une masse d'uranium 235 de $\dfrac{2{,}9 \times 10^{24}}{6{,}02 \times 10^{23}} \times 235 \approx 1{,}1 \times 10^{3}\,\text{g}$ : environ $1{,}1$ kg par jour.

Exercices corrigés

Exercice 1 : Conversions d'unités

Facile

Énoncé

Données : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ ; $1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ ; masse de l'électron $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$ .

Calcule en joules l'énergie de masse de $3{,}0\,\text{g}$ de matière.
Calcule l'énergie de masse d'un électron, en joules puis en MeV.
Quelle masse, en kg puis en u, correspond à une énergie de $1{,}0\,\text{MeV}$ ?
Le noyau d'hélium 4 a pour masse $4{,}00151\,\text{u}$ . Exprime cette masse en kg et en $\text{MeV.c}^{-2}$ .

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1) $m = 3{,}0 \times 10^{-3}\,\text{kg}$ donc $E = mc^2 = 3{,}0 \times 10^{-3} \times (3{,}00 \times 10^{8})^{2} = 2{,}7 \times 10^{14}\,\text{J}$ .

2) $E = m_e c^2 = 9{,}11 \times 10^{-31} \times 9{,}00 \times 10^{16} \approx 8{,}20 \times 10^{-14}\,\text{J}$ . En MeV : $\dfrac{8{,}20 \times 10^{-14}}{1{,}60 \times 10^{-13}} \approx 0{,}51\,\text{MeV}$ .

3) $m = \dfrac{E}{c^2} = \dfrac{1{,}0 \times 1{,}60 \times 10^{-13}}{9{,}00 \times 10^{16}} \approx 1{,}78 \times 10^{-30}\,\text{kg}$ . En u : $\dfrac{1{,}0}{931{,}5} \approx 1{,}07 \times 10^{-3}\,\text{u}$ .

4) $4{,}00151 \times 1{,}66 \times 10^{-27} \approx 6{,}64 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ et $4{,}00151 \times 931{,}5 \approx 3{,}727 \times 10^{3}\,\text{MeV.c}^{-2}$ .

Exercice 2 : Énergie de liaison du carbone 12

Facile

Énoncé

Données : masse du noyau de carbone 12, $m = 11{,}99671\,\text{u}$ ; $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ ; $m_n = 1{,}00866\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ .

Calcule le défaut de masse du noyau ${}^{12}_{6}\text{C}$ .
Calcule son énergie de liaison en MeV puis en joules.
Calcule son énergie de liaison par nucléon.

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1) Le noyau contient $6$ protons et $12 - 6 = 6$ neutrons. $\Delta m = 6 \times 1{,}00728 + 6 \times 1{,}00866 - 11{,}99671 = 6{,}04368 + 6{,}05196 - 11{,}99671 = 0{,}09893\,\text{u}$ .

2) $E_\ell = \Delta m \times 931{,}5 = 0{,}09893 \times 931{,}5 \approx 92{,}15\,\text{MeV}$ . En joules : $92{,}15 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 1{,}47 \times 10^{-11}\,\text{J}$ .

3) $\dfrac{E_\ell}{A} = \dfrac{92{,}15}{12} \approx 7{,}68\,\text{MeV/nucléon}$ .

Exercice 3 : Quel noyau est le plus stable ?

Facile

Énoncé

On donne les masses des noyaux : ${}^{16}_{8}\text{O}$ : $15{,}99052\,\text{u}$ ; ${}^{56}_{26}\text{Fe}$ : $55{,}92067\,\text{u}$ ; ${}^{238}_{92}\text{U}$ : $238{,}00032\,\text{u}$ . Autres données : $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ ; $m_n = 1{,}00866\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ .

Calcule l'énergie de liaison et l'énergie de liaison par nucléon de chaque noyau.
Classe ces noyaux du plus stable au moins stable.
Quel noyau a la plus grande énergie de liaison ? Peut-on en conclure qu'il est le plus stable ?

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1) On calcule $\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m$ puis $E_\ell = 931{,}5\,\Delta m$ .

Oxygène 16 ( $Z = 8$ , $N = 8$ ) : $\Delta m = 8 \times 1{,}00728 + 8 \times 1{,}00866 - 15{,}99052 = 0{,}13700\,\text{u}$ , donc $E_\ell \approx 127{,}6\,\text{MeV}$ et $\dfrac{E_\ell}{A} = \dfrac{127{,}6}{16} \approx 7{,}98\,\text{MeV/nucléon}$ .
Fer 56 ( $Z = 26$ , $N = 30$ ) : $\Delta m = 26 \times 1{,}00728 + 30 \times 1{,}00866 - 55{,}92067 = 0{,}52841\,\text{u}$ , donc $E_\ell \approx 492{,}2\,\text{MeV}$ et $\dfrac{E_\ell}{A} \approx 8{,}79\,\text{MeV/nucléon}$ .
Uranium 238 ( $Z = 92$ , $N = 146$ ) : $\Delta m = 92 \times 1{,}00728 + 146 \times 1{,}00866 - 238{,}00032 = 1{,}93380\,\text{u}$ , donc $E_\ell \approx 1801{,}3\,\text{MeV}$ et $\dfrac{E_\ell}{A} \approx 7{,}57\,\text{MeV/nucléon}$ .

2) Plus $\dfrac{E_\ell}{A}$ est grande, plus le noyau est stable. Classement : fer 56 ( $8{,}79$ ), oxygène 16 ( $7{,}98$ ), uranium 238 ( $7{,}57$ ).

3) C'est l'uranium 238 qui a la plus grande énergie de liaison ( $1801{,}3\,\text{MeV}$ ), mais seulement parce qu'il a $238$ nucléons. Il ne faut pas conclure : le critère de stabilité est $\dfrac{E_\ell}{A}$ , et l'uranium est le moins stable des trois. Le fer 56 se situe au minimum de la courbe d'Aston.

Exercice 4 : Utiliser les énergies de liaison par nucléon

Moyen

Énoncé

On donne les énergies de liaison par nucléon de quelques noyaux :

Noyau	${}^{2}_{1}\text{H}$	${}^{3}_{1}\text{H}$	${}^{4}_{2}\text{He}$	${}^{235}_{92}\text{U}$	${}^{94}_{38}\text{Sr}$	${}^{140}_{54}\text{Xe}$
$\dfrac{E_\ell}{A}$ (MeV/nucléon)	$1{,}11$	$2{,}83$	$7{,}07$	$7{,}59$	$8{,}59$	$8{,}29$

Calcule l'énergie de liaison de chacun de ces noyaux.
Écris l'équation de la fusion d'un noyau de deutérium ${}^{2}_{1}\text{H}$ et d'un noyau de tritium ${}^{3}_{1}\text{H}$ en hélium 4 et un neutron. Calcule l'énergie libérée à l'aide des énergies de liaison.
Écris l'équation de la fission d'un noyau d'uranium 235 par un neutron en strontium 94, xénon 140 et neutrons. Calcule l'énergie libérée à l'aide des énergies de liaison.
À l'aide de la courbe d'Aston, explique pourquoi ces deux réactions libèrent de l'énergie.

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1) On multiplie par $A$ : ${}^{2}_{1}\text{H}$ : $2 \times 1{,}11 = 2{,}22\,\text{MeV}$ ; ${}^{3}_{1}\text{H}$ : $3 \times 2{,}83 = 8{,}49\,\text{MeV}$ ; ${}^{4}_{2}\text{He}$ : $4 \times 7{,}07 = 28{,}28\,\text{MeV}$ ; ${}^{235}_{92}\text{U}$ : $235 \times 7{,}59 \approx 1783{,}7\,\text{MeV}$ ; ${}^{94}_{38}\text{Sr}$ : $94 \times 8{,}59 \approx 807{,}5\,\text{MeV}$ ; ${}^{140}_{54}\text{Xe}$ : $140 \times 8{,}29 \approx 1160{,}6\,\text{MeV}$ .

2) ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$ (vérification : $2 + 3 = 4 + 1$ et $1 + 1 = 2 + 0$ ). Le neutron isolé a une énergie de liaison nulle. Donc :

E_{\text{lib}} = E_\ell(\text{He}) - \left[E_\ell(\text{H-2}) + E_\ell(\text{H-3})\right] = 28{,}28 - (2{,}22 + 8{,}49) = 17{,}57\,\text{MeV}

3) ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\text{Sr} + {}^{140}_{54}\text{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\text{n}$ (vérification : $1 + 235 = 94 + 140 + 2$ et $92 = 38 + 54$ ). Les neutrons ont une énergie de liaison nulle :

E_{\text{lib}} = E_\ell(\text{Sr}) + E_\ell(\text{Xe}) - E_\ell(\text{U}) = 807{,}46 + 1160{,}6 - 1783{,}65 \approx 184\,\text{MeV}

4) Fusion : les noyaux de départ ont de petites valeurs de $\dfrac{E_\ell}{A}$ ( $1{,}11$ et $2{,}83$ ) et le noyau formé a une valeur beaucoup plus grande ( $7{,}07$ ) : les nucléons sont plus liés après qu'avant, donc le système libère de l'énergie. Fission : le noyau lourd a $\dfrac{E_\ell}{A} = 7{,}59$ et les fragments, situés plus près du minimum de la courbe d'Aston, ont $8{,}59$ et $8{,}29$ : l'énergie de liaison totale augmente, d'où l'énergie libérée.

Exercice 5 : Désintégration alpha du radium 226

Moyen

Énoncé

Le radium 226 ( ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ ) est radioactif $\alpha$ et donne le radon ( ${}^{A}_{86}\text{Rn}$ ). Données (masses des noyaux) : $m(\text{Ra}) = 225{,}97714\,\text{u}$ ; $m(\text{Rn}) = 221{,}97040\,\text{u}$ ; $m(\text{He}) = 4{,}00151\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ .

Écris l'équation de la désintégration.
Calcule l'énergie libérée en MeV puis en joules.
On mesure l'énergie cinétique de la particule $\alpha$ : $E_c(\alpha) = 4{,}78\,\text{MeV}$ . On suppose que le noyau père est au repos et qu'il n'y a pas d'émission $\gamma$ . Déduis l'énergie cinétique du noyau de radon, puis la vitesse de la particule $\alpha$ (on la traitera en mécanique classique).
Compare $E_c(\alpha)$ et $E_c(\text{Rn})$ et explique ce résultat. Le calcul classique de la vitesse est-il justifié ?

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1) ${}^{226}_{88}\text{Ra} \longrightarrow {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\text{He}$ ( $A = 226 - 4 = 222$ , $Z = 88 - 2 = 86$ ).

2) $\Delta m = m(\text{Rn}) + m(\text{He}) - m(\text{Ra}) = 221{,}97040 + 4{,}00151 - 225{,}97714 = -0{,}00523\,\text{u}$ . Donc $\Delta E = -0{,}00523 \times 931{,}5 \approx -4{,}87\,\text{MeV}$ et l'énergie libérée est $E_{\text{lib}} = 4{,}87\,\text{MeV} = 4{,}87 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 7{,}79 \times 10^{-13}\,\text{J}$ .

3) L'énergie libérée est entièrement convertie en énergie cinétique : $E_{\text{lib}} = E_c(\alpha) + E_c(\text{Rn})$ , donc $E_c(\text{Rn}) = 4{,}87 - 4{,}78 = 0{,}09\,\text{MeV}$ . Pour la particule $\alpha$ : $E_c(\alpha) = 4{,}78 \times 1{,}60 \times 10^{-13} = 7{,}65 \times 10^{-13}\,\text{J}$ et $m(\alpha) = 4{,}00151 \times 1{,}66 \times 10^{-27} = 6{,}64 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ . Comme $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ :

v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 7{,}65 \times 10^{-13}}{6{,}64 \times 10^{-27}}} \approx 1{,}52 \times 10^{7}\,\text{m.s}^{-1}

4) $E_c(\alpha) \approx 4{,}78\,\text{MeV}$ est plus de $50$ fois plus grande que $E_c(\text{Rn}) \approx 0{,}09\,\text{MeV}$ : presque toute l'énergie libérée revient à la particule $\alpha$ . Le noyau de radon, environ $55$ fois plus lourd, recule beaucoup plus lentement. (Pour aller plus loin : la conservation de la quantité de mouvement, étudiée en mécanique, donne même $\dfrac{E_c(\alpha)}{E_c(\text{Rn})} = \dfrac{m(\text{Rn})}{m(\alpha)} \approx 55$ .) Enfin, $\dfrac{v}{c} = \dfrac{1{,}52 \times 10^{7}}{3{,}00 \times 10^{8}} \approx 0{,}05$ : la vitesse est environ $5\,\%$ de celle de la lumière, très inférieure à $c$ : le calcul classique est acceptable.

Exercice 6 : Radioactivité du carbone 14

Moyen

Énoncé

Le carbone 14 ( ${}^{14}_{6}\text{C}$ ) est radioactif $\beta^-$ et donne l'azote ( ${}^{A}_{7}\text{N}$ ). Données (masses des noyaux) : $m({}^{14}_{6}\text{C}) = 13{,}999950\,\text{u}$ ; $m({}^{14}_{7}\text{N}) = 13{,}999234\,\text{u}$ ; masse de l'électron $m_e = 0{,}000549\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ . On néglige la masse de l'antineutrino.

Écris l'équation de la désintégration.
Calcule l'énergie libérée en MeV puis en joules.
Cette énergie est partagée entre l'électron et l'antineutrino (le recul du noyau d'azote est négligeable). Quelle est l'énergie cinétique maximale de l'électron émis ?
Dans le diagramme $(N, Z)$ , le carbone 14 est-il au-dessus ou au-dessous de la vallée de stabilité ? Est-ce cohérent avec le type de désintégration ?

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1) ${}^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$ ( $14 = 14 + 0$ et $6 = 7 - 1$ ).

2) $\Delta m = m(\text{N}) + m_e - m(\text{C}) = 13{,}999234 + 0{,}000549 - 13{,}999950 = -0{,}000167\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}000167 \times 931{,}5 \approx 0{,}156\,\text{MeV}$ , soit $0{,}156 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 2{,}5 \times 10^{-14}\,\text{J}$ .

3) L'énergie $0{,}156\,\text{MeV}$ est répartie entre l'électron et l'antineutrino. Si l'antineutrino emportait une énergie négligeable, l'électron aurait toute l'énergie : son énergie cinétique maximale est donc $0{,}156\,\text{MeV}$ . Dans les autres cas, elle est comprise entre $0$ et $0{,}156\,\text{MeV}$ .

4) Le carbone 14 compte $N = 8$ neutrons pour $Z = 6$ protons, alors que le carbone 12, stable, a $N = Z = 6$ (le carbone 13, stable aussi, a $N = 7$ ). Le carbone 14 a donc un excès de neutrons : dans le diagramme $(N, Z)$ , il se trouve au-dessous de la vallée de stabilité. C'est cohérent avec une désintégration $\beta^-$ : un neutron se transforme en proton, ce qui rapproche le noyau de la vallée.

Exercice 7 : Fission de l'uranium 235

Moyen

Énoncé

Un noyau d'uranium 235, frappé par un neutron lent, peut subir la fission : ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\text{Sr} + {}^{140}_{54}\text{Xe} + x\,{}^{1}_{0}\text{n}$ . Données (masses des noyaux) : $m(\text{U}) = 234{,}9935\,\text{u}$ ; $m(\text{Sr}) = 93{,}8945\,\text{u}$ ; $m(\text{Xe}) = 139{,}8920\,\text{u}$ ; $m(\text{n}) = 1{,}0087\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ ; $M(\text{U}) = 235\,\text{g.mol}^{-1}$ ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$ ; pouvoir calorifique du charbon : $2{,}9 \times 10^{7}\,\text{J.kg}^{-1}$ .

Détermine $x$ .
Calcule la variation de masse et l'énergie libérée par une fission, en MeV puis en joules.
Calcule l'énergie libérée par nucléon du noyau d'uranium 235 qui fissionne.
Calcule l'énergie libérée par la fission complète de $1{,}0\,\text{g}$ d'uranium 235.
Quelle masse de charbon fournit la même énergie en brûlant ?

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1) Conservation de $A$ : $1 + 235 = 94 + 140 + x$ , donc $x = 2$ . Conservation de $Z$ : $92 = 38 + 54$ (vérifiée).

2) On simplifie un neutron de chaque côté : $\Delta m = m(\text{Sr}) + m(\text{Xe}) + m(\text{n}) - m(\text{U}) = 93{,}8945 + 139{,}8920 + 1{,}0087 - 234{,}9935 = -0{,}1983\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}1983 \times 931{,}5 \approx 184{,}7\,\text{MeV}$ , soit $184{,}7 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 2{,}96 \times 10^{-11}\,\text{J}$ .

3) $\dfrac{E_{\text{lib}}}{A} = \dfrac{184{,}7}{235} \approx 0{,}79\,\text{MeV par nucléon}$ .

4) Nombre de noyaux dans $1{,}0\,\text{g}$ : $N = \dfrac{1{,}0}{235} \times 6{,}02 \times 10^{23} \approx 2{,}56 \times 10^{21}$ . Énergie : $E = N \times E_{\text{lib}} = 2{,}56 \times 10^{21} \times 2{,}96 \times 10^{-11} \approx 7{,}6 \times 10^{10}\,\text{J}$ .

5) $m_{\text{charbon}} = \dfrac{E}{2{,}9 \times 10^{7}} = \dfrac{7{,}6 \times 10^{10}}{2{,}9 \times 10^{7}} \approx 2{,}6 \times 10^{3}\,\text{kg}$ : un gramme d'uranium 235 fournit autant d'énergie que $2{,}6$ tonnes de charbon.

Exercice 8 : Fusion du deutérium et du tritium

Difficile

Énoncé

On étudie la réaction ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + \text{X}$ . Données (masses des noyaux) : $m({}^{2}_{1}\text{H}) = 2{,}01355\,\text{u}$ ; $m({}^{3}_{1}\text{H}) = 3{,}01550\,\text{u}$ ; $m({}^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}00151\,\text{u}$ ; $m(\text{n}) = 1{,}00866\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$ .

Identifie la particule X.
Calcule l'énergie libérée par une réaction, en MeV puis en joules.
Calcule l'énergie libérée par nucléon engagé dans la réaction et compare-la à celle de la fission de l'uranium 235 ( $0{,}79\,\text{MeV}$ par nucléon).
On fait fusionner un mélange contenant autant de noyaux de deutérium que de tritium, de masse totale $1{,}0\,\text{g}$ (masses molaires : $2{,}0\,\text{g.mol}^{-1}$ et $3{,}0\,\text{g.mol}^{-1}$ ). Calcule l'énergie libérée et compare-la à celle de $1{,}0\,\text{g}$ d'uranium 235 ( $7{,}6 \times 10^{10}\,\text{J}$ ).
Pourquoi la fusion exige-t-elle des températures très élevées ?

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1) Conservation de $A$ : $2 + 3 = 4 + A$ , donc $A = 1$ . Conservation de $Z$ : $1 + 1 = 2 + Z$ , donc $Z = 0$ . La particule X est un neutron ${}^{1}_{0}\text{n}$ .

2) $\Delta m = m(\text{He}) + m(\text{n}) - m(\text{H-2}) - m(\text{H-3}) = 4{,}00151 + 1{,}00866 - 2{,}01355 - 3{,}01550 = -0{,}01888\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}01888 \times 931{,}5 \approx 17{,}59\,\text{MeV}$ , soit $17{,}59 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 2{,}81 \times 10^{-12}\,\text{J}$ .

3) Cinq nucléons sont engagés ( $2 + 3$ ) : $\dfrac{17{,}59}{5} \approx 3{,}52\,\text{MeV par nucléon}$ . Le rapport avec la fission vaut $\dfrac{3{,}52}{0{,}79} \approx 4{,}5$ : à masse égale, la fusion libère environ $4$ à $5$ fois plus d'énergie que la fission.

4) Une réaction consomme un noyau de deutérium et un noyau de tritium, soit $2{,}0 + 3{,}0 = 5{,}0\,\text{g.mol}^{-1}$ de « paires ». Dans $1{,}0\,\text{g}$ : $\dfrac{1{,}0}{5{,}0} = 0{,}20\,\text{mol}$ de paires, soit $0{,}20 \times 6{,}02 \times 10^{23} = 1{,}2 \times 10^{23}$ réactions. Énergie : $E = 1{,}2 \times 10^{23} \times 2{,}81 \times 10^{-12} \approx 3{,}4 \times 10^{11}\,\text{J}$ , soit environ $4{,}5$ fois l'énergie fournie par $1{,}0\,\text{g}$ d'uranium 235.

5) Les deux noyaux ont une charge positive et se repoussent. Pour s'approcher à une distance de l'ordre de $10^{-15}\,\text{m}$ , où l'interaction forte l'emporte, ils doivent avoir une très grande énergie cinétique, donc une température extrêmement élevée.

Exercice 9 : Une centrale nucléaire

Type Bac

Énoncé

Dans le réacteur d'une centrale, une des fissions possibles de l'uranium 235 s'écrit : ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{A}_{36}\text{Kr} + {}^{142}_{56}\text{Ba} + 3\,{}^{1}_{0}\text{n}$ . Données (masses des noyaux) : $m(\text{U}) = 234{,}9935\,\text{u}$ ; $m(\text{Kr}) = 90{,}9037\,\text{u}$ ; $m(\text{Ba}) = 141{,}8857\,\text{u}$ ; $m(\text{n}) = 1{,}0087\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ ; $M(\text{U}) = 235\,\text{g.mol}^{-1}$ ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$ ; pouvoir calorifique du charbon : $2{,}9 \times 10^{7}\,\text{J.kg}^{-1}$ .

Partie A : la réaction

Détermine $A$ et vérifie la conservation du nombre de charge.
Quel nom donne-t-on à cette réaction ? Pourquoi les neutrons émis jouent-ils un rôle essentiel dans le fonctionnement du réacteur ?
Calcule l'énergie libérée par une réaction, en MeV puis en joules.

Partie B : la centrale

La centrale fournit une puissance électrique $P_{\text{el}} = 900\,\text{MW}$ avec un rendement $\eta = 33\,\%$ . On admet que toute l'énergie thermique provient de fissions du type étudié, chacune libérant l'énergie calculée en A.3.

Calcule la puissance thermique $P_{\text{th}}$ du réacteur.
Calcule le nombre de fissions par seconde.
Calcule la masse d'uranium 235 consommée en un jour.
Quelle masse de charbon faudrait-il brûler en un jour pour obtenir la même énergie thermique ?

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Partie A.

1) Conservation de $A$ : $1 + 235 = A + 142 + 3$ , donc $A = 91$ . Conservation de $Z$ : $92 = 36 + 56 = 92$ , elle est bien vérifiée.

2) C'est une fission nucléaire. Les neutrons émis peuvent provoquer à leur tour la fission d'autres noyaux d'uranium 235 : c'est la réaction en chaîne, qui entretient la production d'énergie. Dans un réacteur, on la contrôle en absorbant une partie des neutrons (barres de contrôle) pour que le nombre de fissions reste constant.

3) On simplifie un neutron de chaque côté : $\Delta m = m(\text{Kr}) + m(\text{Ba}) + 2\,m(\text{n}) - m(\text{U}) = 90{,}9037 + 141{,}8857 + 2 \times 1{,}0087 - 234{,}9935 = -0{,}1867\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}1867 \times 931{,}5 \approx 173{,}9\,\text{MeV}$ , soit $173{,}9 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 2{,}78 \times 10^{-11}\,\text{J}$ .

Partie B.

4) $\eta = \dfrac{P_{\text{el}}}{P_{\text{th}}}$ donc $P_{\text{th}} = \dfrac{900}{0{,}33} \approx 2727\,\text{MW} = 2{,}727 \times 10^{9}\,\text{W}$ .

5) Chaque seconde, l'énergie thermique produite est $P_{\text{th}} \times 1\,\text{s}$ , donc $n = \dfrac{P_{\text{th}}}{E_{\text{lib}}} = \dfrac{2{,}727 \times 10^{9}}{2{,}78 \times 10^{-11}} \approx 9{,}81 \times 10^{19}\,\text{fissions par seconde}$ .

6) En un jour ( $86\,400\,\text{s}$ ) : $N = 9{,}81 \times 10^{19} \times 86\,400 \approx 8{,}48 \times 10^{24}$ noyaux fissionnés. Masse : $m = \dfrac{N}{N_A}M = \dfrac{8{,}48 \times 10^{24}}{6{,}02 \times 10^{23}} \times 235 \approx 3{,}31 \times 10^{3}\,\text{g}$ , soit environ $3{,}3\,\text{kg}$ d'uranium 235 par jour.

7) Énergie thermique d'un jour : $E = P_{\text{th}} \times 86\,400 = 2{,}727 \times 10^{9} \times 86\,400 \approx 2{,}36 \times 10^{14}\,\text{J}$ . Masse de charbon : $\dfrac{2{,}36 \times 10^{14}}{2{,}9 \times 10^{7}} \approx 8{,}1 \times 10^{6}\,\text{kg}$ , soit environ $8100$ tonnes de charbon contre $3{,}3\,\text{kg}$ d'uranium 235.

Exercice 10 : L'énergie du Soleil

Type Bac

Énoncé

Le Soleil tire son énergie de la fusion de l'hydrogène en hélium. Le bilan de cette transformation s'écrit : $4\,{}^{1}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\text{e} + 2\,\nu$ . Données (masses des noyaux) : $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ ; $m({}^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}00151\,\text{u}$ ; masse du positon $m_e = 0{,}00055\,\text{u}$ ; $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ ; $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\text{m.s}^{-1}$ ; masse d'un proton $1{,}67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ ; puissance rayonnée par le Soleil $P = 3{,}8 \times 10^{26}\,\text{W}$ ; masse du Soleil $2{,}0 \times 10^{30}\,\text{kg}$ ; $1\,\text{an} = 3{,}156 \times 10^{7}\,\text{s}$ . Les neutrinos ont une masse négligeable.

Vérifie que ce bilan respecte les lois de Soddy. S'agit-il d'une fusion ou d'une fission ? Justifie.
Calcule l'énergie libérée par ce bilan, en MeV puis en joules.
Calcule la perte de masse du Soleil par seconde.
Calcule le nombre de bilans qui se produisent par seconde, puis la masse d'hydrogène consommée par seconde.
Vérifie que la perte de masse par seconde représente environ $0{,}66\,\%$ de la masse d'hydrogène consommée par seconde, et retrouve ce pourcentage à partir des masses de l'énoncé.
Montre que la masse perdue en un an est négligeable devant la masse du Soleil.

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1) Conservation de $A$ : à gauche $4 \times 1 = 4$ ; à droite $4 + 2 \times 0 + 2 \times 0 = 4$ . Conservation de $Z$ : à gauche $4 \times 1 = 4$ ; à droite $2 + 2 \times (+1) + 0 = 4$ . Les deux lois sont respectées. Des noyaux légers (hydrogène) s'unissent pour former un noyau plus lourd (hélium) : c'est une fusion.

2) $\Delta m = m(\text{He}) + 2\,m_e - 4\,m_p = 4{,}00151 + 2 \times 0{,}00055 - 4 \times 1{,}00728 = -0{,}02651\,\text{u}$ . Donc $E_{\text{lib}} = 0{,}02651 \times 931{,}5 \approx 24{,}7\,\text{MeV}$ , soit $24{,}7 \times 1{,}60 \times 10^{-13} \approx 3{,}95 \times 10^{-12}\,\text{J}$ .

3) La puissance rayonnée correspond à une énergie $E = P\,\Delta t$ cédée à l'espace, donc à une perte de masse $\Delta m = \dfrac{E}{c^2}$ . Par seconde : $\dfrac{\Delta m}{\Delta t} = \dfrac{P}{c^2} = \dfrac{3{,}8 \times 10^{26}}{(3{,}00 \times 10^{8})^{2}} \approx 4{,}2 \times 10^{9}\,\text{kg.s}^{-1}$ , soit environ $4{,}2$ millions de tonnes par seconde.

4) Nombre de bilans par seconde : $n = \dfrac{P}{E_{\text{lib}}} = \dfrac{3{,}8 \times 10^{26}}{3{,}95 \times 10^{-12}} \approx 9{,}6 \times 10^{37}\,\text{s}^{-1}$ . Chaque bilan consomme $4$ protons, d'où une masse d'hydrogène consommée par seconde de $4 \times 1{,}67 \times 10^{-27} \times 9{,}62 \times 10^{37} \approx 6{,}4 \times 10^{11}\,\text{kg.s}^{-1}$ .

5) $\dfrac{4{,}22 \times 10^{9}}{6{,}43 \times 10^{11}} \approx 6{,}6 \times 10^{-3}$ , soit $0{,}66\,\%$ . Avec les masses de l'énoncé : $\dfrac{\lvert\Delta m\rvert}{4\,m_p} = \dfrac{0{,}02651}{4 \times 1{,}00728} \approx 0{,}0066$ , soit le même pourcentage. Ainsi, environ $0{,}66\,\%$ de la masse d'hydrogène qui fusionne se transforme en énergie.

6) Perte de masse en un an : $4{,}2 \times 10^{9} \times 3{,}156 \times 10^{7} \approx 1{,}3 \times 10^{17}\,\text{kg}$ . Rapportée à la masse du Soleil : $\dfrac{1{,}3 \times 10^{17}}{2{,}0 \times 10^{30}} \approx 7 \times 10^{-14}$ , ce qui est négligeable.

En réalité, chaque positon rencontre un électron du plasma et s'annihile en libérant environ $1{,}02\,\text{MeV}$ de plus : l'énergie totale par bilan est alors voisine de $26{,}7\,\text{MeV}$ . L'ordre de grandeur des résultats est inchangé.

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Confondre la masse du noyau et celle de l'atome. La masse de l'atome comprend aussi les $Z$ électrons. Vérifie quelle masse l'énoncé fournit et n'utilise que des masses de noyaux dans le défaut de masse.
Se tromper de signe. Le défaut de masse d'un noyau est positif ; pour une réaction qui libère de l'énergie, $\Delta m$ et $\Delta E$ sont négatifs, et l'énergie libérée est $E_{\text{lib}} = \lvert\Delta E\rvert > 0$ . Ne donne jamais une énergie libérée négative.
Comparer les $E_\ell$ au lieu des $\dfrac{E_\ell}{A}$ . C'est $\dfrac{E_\ell}{A}$ qui mesure la stabilité : l'uranium 238 a une énergie de liaison bien plus grande que le fer 56, mais le fer est plus stable.
Mélanger les unités. Les $931{,}5$ ne s'appliquent qu'à une masse en u. Si la masse est en kg, utilise $E = mc^2$ en joules. Et $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ (et non $10^{-19}$ , qui est la valeur pour l'eV).
Oublier les coefficients et les neutrons dans le bilan de masse. Dans $\text{n} + \text{U} \to \text{Sr} + \text{Xe} + 2\,\text{n}$ , il y a deux neutrons à droite : ils comptent. Tu peux simplifier un neutron de chaque côté, mais sans en oublier.
Inverser fission et fusion. La fission casse un noyau lourd ( $A > 190$ ) ; la fusion unit des noyaux légers ( $A < 20$ ). Les deux libèrent de l'énergie car elles rapprochent les noyaux du minimum de la courbe d'Aston.
Utiliser la formule avec les énergies de liaison pour une désintégration $\beta$ . Cette formule n'est valable que si l'électron ou le positon n'intervient pas ; dans ce cas, utilise les masses.
Dire que « la masse disparaît ». La masse n'est pas détruite : l'énergie de masse se transforme en énergie cinétique et en rayonnement. L'énergie totale se conserve.

À retenir

Relation d'Einstein : $E = mc^2$ ; une variation de masse $\Delta m$ correspond à une variation d'énergie $\Delta E = \Delta m\,c^2$ .
Unités : $1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg} = 931{,}5\,\text{MeV.c}^{-2}$ ; $1\,\text{MeV} = 1{,}60 \times 10^{-13}\,\text{J}$ .
Défaut de masse : $\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m(\text{noyau}) > 0$ ; énergie de liaison $E_\ell = \Delta m\,c^2$ .
La stabilité d'un noyau se mesure par $\dfrac{E_\ell}{A}$ (en MeV par nucléon) : plus elle est grande, plus le noyau est stable.
Courbe d'Aston $-\dfrac{E_\ell}{A} = f(A)$ : minimum vers le fer 56 ( $\dfrac{E_\ell}{A} \approx 8{,}8\,\text{MeV/nucléon}$ ) ; fusion possible pour $A < 20$ , fission possible pour $A > 190$ .
Bilan d'une réaction : $\Delta E = \left[\sum m_{\text{produits}} - \sum m_{\text{réactifs}}\right]c^2$ ; si $\Delta E < 0$ , l'énergie libérée vaut $E_{\text{lib}} = \lvert\Delta E\rvert$ .
Fission : un noyau lourd, touché par un neutron lent, se casse en deux noyaux plus légers (environ $200\,\text{MeV}$ par noyau d'uranium 235) ; la réaction en chaîne est contrôlée dans un réacteur.
Fusion : deux noyaux légers s'unissent (deutérium + tritium : $17{,}6\,\text{MeV}$ ) ; elle exige des températures de l'ordre de $10^{7}$ à $10^{8}\,\text{K}$ et alimente le Soleil.
À l'échelle macroscopique : $E = n\,E_{\text{lib}}$ , $N = \dfrac{m}{M}N_A$ , $P = \dfrac{E}{\Delta t}$ et rendement $\eta = \dfrac{P_{\text{électrique}}}{P_{\text{thermique}}}$ .

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

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