Dipôle RC : le cours

Chapitres

Plan du chapitre

60 min
10 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

1. Le condensateur

Un condensateur est un dipôle formé de deux armatures conductrices en regard, séparées par un isolant appelé diélectrique (air, papier, plastique, céramique…). Quand on le relie à un générateur, une armature, notée A, se charge positivement et l'autre, notée B, se charge négativement.

Définition

On adopte la convention récepteur : l'intensité $i$ est orientée vers l'armature A et la tension est $u_C = u_{AB}$ . La charge du condensateur est la charge $q = q_A$ de l'armature A (l'armature B porte $-q$ ). L'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps :

i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

Définition

La capacité $C$ d'un condensateur est la constante de proportionnalité entre sa charge et la tension à ses bornes :

q = C\,u_C

Elle s'exprime en farad (F). On utilise surtout les sous-multiples : $1\,\text{mF} = 10^{-3}\,\text{F}$ , $1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}$ , $1\,\text{nF} = 10^{-9}\,\text{F}$ et $1\,\text{pF} = 10^{-12}\,\text{F}$ .

Comme $C$ est constante, on obtient en dérivant $q = C\,u_C$ la relation entre l'intensité et la tension :

Propriété

Pour un condensateur en convention récepteur :

i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}

Propriété

La tension $u_C$ aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps : elle ne peut pas changer brusquement, sinon $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ et donc $i$ seraient infinis. En revanche, l'intensité $i$ peut varier brusquement.

Propriété

En régime permanent (tension constante), $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 0$ , donc $i = 0$ : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Remarque

À titre d'information : pour un condensateur plan, la capacité augmente avec l'aire $S$ des armatures en regard et diminue quand l'épaisseur $e$ de l'isolant augmente ( $C = \varepsilon\,\frac{S}{e}$ , où $\varepsilon$ dépend du diélectrique). Cette expression n'est pas à retenir : dans les exercices, $C$ est toujours donnée.

2. Association de condensateurs

On remplace plusieurs condensateurs par un seul, de capacité équivalente $C_{eq}$ , qui a la même charge pour la même tension.

Propriété

Condensateurs en série, initialement déchargés (même charge $q$ sur chacun, les tensions s'ajoutent) :

\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots

Condensateurs en dérivation (même tension $u$ aux bornes de chacun, les charges s'ajoutent) :

C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots

Remarque

Preuve pour deux condensateurs. En série : $u = u_1 + u_2 = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2} = \frac{q}{C_{eq}}$ . En dérivation : $q = q_1 + q_2 = C_1 u + C_2 u = (C_1 + C_2)\,u$ .

3. Charge à intensité constante

Un générateur de courant impose une intensité constante $I_0$ . Le condensateur étant initialement déchargé, on a $q(t) = I_0\,t$ , donc :

u_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t

La tension croît linéairement avec le temps : la courbe $u_C(t)$ est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $\frac{I_0}{C}$ . Mesurer cette pente permet de déterminer la capacité $C$ .

4. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension : la charge

Définition

Un échelon de tension montant est une tension qui passe brusquement de $0$ à une valeur constante $E$ à l'instant $t = 0$ . Un échelon descendant passe de $E$ à $0$ . On le réalise avec un générateur idéal de tension et un interrupteur.

On associe en série un générateur idéal de tension $E$ , un conducteur ohmique de résistance $R$ , un condensateur de capacité $C$ et un interrupteur. Le condensateur est initialement déchargé : $u_C(0) = 0$ . À $t = 0$ , on ferme l'interrupteur.

Équation différentielle. La loi d'additivité des tensions donne $E = u_R + u_C$ . Avec $u_R = R\,i$ et $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ :

RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E

Solution. On la met sous la forme $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{RC}\,u_C + \frac{E}{RC}$ , du type $y' = ay + b$ avec $a = -\frac{1}{RC}$ et $b = \frac{E}{RC}$ . Les solutions sont $u_C(t) = A\,e^{-t/RC} + E$ . La condition initiale $u_C(0) = 0$ donne $A = -E$ :

Théorème

Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé à travers un conducteur ohmique, sous un échelon $E$ :

u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \quad \text{avec} \quad \tau = RC

On en déduit les autres grandeurs :

q(t) = C E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \qquad u_R(t) = E\,e^{-t/\tau}

L'intensité est maximale à $t = 0^+$ : $i(0^+) = \frac{E}{R}$ . Elle varie brusquement de $0$ à $\frac{E}{R}$ à la fermeture, alors que $u_C$ reste continue. Quand $t \to +\infty$ , $u_C \to E$ et $i \to 0$ : c'est le régime permanent.

Voici les valeurs de $u_C$ pendant la charge :

$t$	$0$	$\tau$	$2\tau$	$3\tau$	$4\tau$	$5\tau$
$u_C / E$	$0$	$63{,}2\ \%$	$86{,}5\ \%$	$95{,}0\ \%$	$98{,}2\ \%$	$99{,}3\ \%$

On considère que la charge est terminée au bout d'une durée de l'ordre de $5\tau$ .

5. La constante de temps

Définition

La grandeur $\tau = RC$ s'appelle la constante de temps du dipôle RC. Elle caractérise la rapidité de la charge et de la décharge : plus $\tau$ est grande, plus le régime transitoire dure longtemps.

Dimension. D'après $u_R = R\,i$ , on a $[R] = [U]\,[I]^{-1}$ . D'après $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ , on a $[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1}$ . Donc $[RC] = [T]$ : $\tau$ a la dimension d'un temps et s'exprime en secondes ( $1\,\Omega \times 1\,\text{F} = 1\,\text{s}$ ).

Détermination graphique de $\tau$ , sur la courbe $u_C(t)$ de la charge :

la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale $u_C = E$ au point d'abscisse $t = \tau$ ;
$\tau$ est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée $0{,}63\,E$ .

Remarque

Avec $R$ en kΩ et $C$ en µF, le produit $RC$ est directement en millisecondes : $1\,\text{k}\Omega \times 1\,\mu\text{F} = 1\,\text{ms}$ . Convertis toujours en unités SI en cas de doute.

6. La décharge

Le condensateur est chargé sous la tension $E$ : $u_C(0) = E$ . À $t = 0$ , on le relie au seul conducteur ohmique $R$ (échelon descendant : le générateur n'est plus dans le circuit). La loi d'additivité des tensions donne $u_R + u_C = 0$ , soit :

RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0

Théorème

Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé sous $E$ :

u_C(t) = E\,e^{-t/\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = RC

On en déduit :

q(t) = C E\,e^{-t/\tau} \qquad i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau} \qquad u_R(t) = -E\,e^{-t/\tau}

L'intensité est négative : le courant circule en sens inverse de celui de la charge. Après la durée $\tau$ , la tension est $u_C(\tau) = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E$ ; la décharge est pratiquement terminée après $5\tau$ . Sur la courbe $u_C(t)$ , la tangente à l'origine coupe l'axe des temps au point d'abscisse $t = \tau$ .

7. Énergie emmagasinée

La puissance reçue par le condensateur est $p = u_C\,i = C\,u_C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\,C\,u_C^{2}\right)$ . L'énergie reçue est donc stockée :

Propriété

L'énergie électrique emmagasinée dans un condensateur est :

E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{1}{2}\,q\,u_C

Elle s'exprime en joules (J).

L'énergie $E_e$ est une fonction continue du temps, car $u_C$ est continue. À la fin de la charge, elle vaut $\frac{1}{2}\,C\,E^{2}$ . Pendant la décharge, cette énergie est restituée au circuit et dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique.

Remarque

Pour comprendre : pendant la charge, le générateur fournit en tout l'énergie $C E^{2}$ . La moitié est stockée dans le condensateur, l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans $R$ , quelle que soit la valeur de $R$ . Ce bilan n'est pas exigible.

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle de $u_C$

Flèche la tension $u_C$ et l'intensité $i$ en convention récepteur pour le condensateur, et la tension $u_R$ pour le conducteur ohmique.
Écris la loi d'additivité des tensions : $E = u_R + u_C$ pour la charge, $0 = u_R + u_C$ pour la décharge.
Remplace $u_R = R\,i$ et $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ .
Ordonne : $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ (ou $0$ ).

Exemple

Charge avec $E = 10\,\text{V}$ , $R = 2{,}0\,\text{k}\Omega$ et $C = 50\,\mu\text{F}$ . On a $RC = 2{,}0\times 10^{3} \times 50\times 10^{-6} = 0{,}10\,\text{s}$ , donc $0{,}10\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 10$ , soit $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -10\,u_C + 100$ . Les solutions sont $\alpha e^{-10t} + 10$ et, avec $u_C(0) = 0$ , on trouve $\alpha = -10$ : $u_C(t) = 10\left(1 - e^{-10t}\right)$ en volts.

Méthode 2 : Vérifier qu'une fonction est solution et identifier $\tau$

Écris la fonction proposée, par exemple $u_C = A\,e^{-t/\tau} + B$ , et calcule sa dérivée : $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{A}{\tau}\,e^{-t/\tau}$ .
Remplace dans l'équation différentielle $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ et regroupe : $A\,e^{-t/\tau}\left(1 - \frac{RC}{\tau}\right) + B = E$ .
Cette égalité est vraie pour tout $t$ . Le terme en exponentielle doit donc être nul : $\tau = RC$ . Le terme constant donne $B = E$ .
Détermine $A$ avec la condition initiale : $u_C(0) = A + E = 0$ donne $A = -E$ .

Méthode 3 : Déterminer $\tau$ graphiquement, puis $R$ ou $C$

Repère l'asymptote horizontale et lis $E$ .
Trace la tangente à l'origine : son intersection avec l'asymptote a pour abscisse $\tau$ . Ou bien cherche l'abscisse du point d'ordonnée $0{,}63\,E$ .
Déduis la grandeur inconnue avec $\tau = RC$ .

Exemple

La tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t = 0{,}30\,\text{s}$ et $R = 15\,\text{k}\Omega$ . Alors $C = \frac{\tau}{R} = \frac{0{,}30}{15\times 10^{3}} = 2{,}0\times 10^{-5}\,\text{F} = 20\,\mu\text{F}$ .

Méthode 4 : Calculer une durée ou une tension

Pour la charge, isole l'exponentielle dans $u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ : $t = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{u_C}{E}\right)$ .
Pour la décharge, dans $u_C = E\,e^{-t/\tau}$ : $t = \tau\,\ln\left(\frac{E}{u_C}\right)$ .
Vérifie que le résultat est cohérent avec la valeur de $\tau$ (de l'ordre de $\tau$ , pas de $100\,\tau$ ).

Exemple

Avec $\tau = 0{,}020\,\text{s}$ et $E = 8{,}0\,\text{V}$ . Charge jusqu'à $6{,}0\,\text{V}$ : $t = -0{,}020\,\ln(1 - 0{,}75) = 0{,}020\,\ln 4 \approx 0{,}028\,\text{s}$ . Décharge de $8{,}0\,\text{V}$ jusqu'à $3{,}0\,\text{V}$ : $t = 0{,}020\,\ln\frac{8{,}0}{3{,}0} \approx 0{,}020\,\text{s}$ .

Méthode 5 : Utiliser la continuité et le régime permanent

Juste après la fermeture ( $t = 0^+$ ) : $u_C$ garde sa valeur d'avant. On en déduit $u_R$ avec la loi des mailles, puis $i = \frac{u_R}{R}$ .
En régime permanent : $i = 0$ , donc $u_R = 0$ et, pour la charge, $u_C = E$ .
Ne suppose jamais que $i$ est continue.

Exemple

Charge sous $E = 12\,\text{V}$ avec $R = 3{,}0\,\text{k}\Omega$ . À $t = 0^+$ : $u_C = 0$ , donc $u_R = 12\,\text{V}$ et $i(0^+) = \frac{12}{3{,}0\times 10^{3}} = 4{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = 4{,}0\,\text{mA}$ . En régime permanent : $i = 0$ et $u_C = 12\,\text{V}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Capacité, charge et énergie

Facile

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 4{,}7\,\mu\text{F}$ est soumis à la tension $u_C = 12\,\text{V}$ .

Calcule la charge $q$ de son armature positive.
Calcule l'énergie qu'il emmagasine.
On double la tension. Comment varient la charge et l'énergie ? Calcule la nouvelle énergie.

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1) $q = C\,u_C = 4{,}7\times 10^{-6} \times 12 = 5{,}6\times 10^{-5}\,\text{C}$ , soit $56\,\mu\text{C}$ .

2) $E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{1}{2} \times 4{,}7\times 10^{-6} \times 12^{2} = 3{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}$ .

3) La charge est proportionnelle à la tension : elle est doublée, $q' = 1{,}1\times 10^{-4}\,\text{C}$ . L'énergie est proportionnelle au carré de la tension : elle est multipliée par 4. $E_e' = \frac{1}{2} \times 4{,}7\times 10^{-6} \times 24^{2} = 1{,}4\times 10^{-3}\,\text{J}$ .

Exercice 2 : Constante de temps et durée de charge

Facile

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 2{,}2\,\mu\text{F}$ , initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 10\,\text{k}\Omega$ par un générateur idéal de tension $E = 5{,}0\,\text{V}$ .

Calcule la constante de temps $\tau$ et vérifie par une analyse dimensionnelle que $RC$ est homogène à un temps.
Calcule $u_C$ aux dates $\tau$ , $3\tau$ et $5\tau$ .
On remplace $R$ par $47\,\text{k}\Omega$ . Calcule la nouvelle constante de temps et compare les durées de charge ( $5\tau$ ) dans les deux cas.

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1) $\tau = RC = 1{,}0\times 10^{4} \times 2{,}2\times 10^{-6} = 2{,}2\times 10^{-2}\,\text{s} = 22\,\text{ms}$ . Dimension : $u_R = R\,i$ donne $[R] = [U]\,[I]^{-1}$ ; $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ donne $[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1}$ . Donc $[RC] = [U]\,[I]^{-1} \times [I]\,[T]\,[U]^{-1} = [T]$ : c'est bien un temps.

2) On utilise $u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ .

$u_C(\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-1}\right) = 3{,}2\,\text{V}$ ;
$u_C(3\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-3}\right) = 4{,}8\,\text{V}$ ;
$u_C(5\tau) = 5{,}0\left(1 - e^{-5}\right) = 5{,}0\,\text{V}$ : le condensateur est pratiquement chargé.

3) $\tau' = 4{,}7\times 10^{4} \times 2{,}2\times 10^{-6} = 0{,}10\,\text{s}$ . La durée de charge passe de $5\tau = 0{,}11\,\text{s}$ à $5\tau' = 0{,}52\,\text{s}$ : elle est multipliée par $4{,}7$ , comme la résistance.

Exercice 3 : Association de condensateurs

Facile

Énoncé

On dispose de deux condensateurs initialement déchargés, de capacités $C_1 = 6{,}0\,\mu\text{F}$ et $C_2 = 3{,}0\,\mu\text{F}$ .

Calcule la capacité équivalente de leur association en série, puis en dérivation.
L'association en série est soumise à la tension $U = 18\,\text{V}$ . Calcule la charge de chaque condensateur et la tension à ses bornes.
L'association en dérivation est soumise à la même tension $U = 18\,\text{V}$ . Calcule la charge de chaque condensateur.

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1) En série : $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6{,}0} + \frac{1}{3{,}0} = \frac{3}{6{,}0}$ , donc $C_{eq} = 2{,}0\,\mu\text{F}$ . En dérivation : $C_{eq}' = C_1 + C_2 = 9{,}0\,\mu\text{F}$ .

2) En série, les deux condensateurs portent la même charge : $q = C_{eq}\,U = 2{,}0\times 10^{-6} \times 18 = 3{,}6\times 10^{-5}\,\text{C} = 36\,\mu\text{C}$ . Les tensions sont $u_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{36}{6{,}0} = 6{,}0\,\text{V}$ et $u_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{36}{3{,}0} = 12\,\text{V}$ . On vérifie : $u_1 + u_2 = 18\,\text{V} = U$ .

3) En dérivation, la tension est la même : $q_1 = C_1\,U = 6{,}0 \times 18 = 108\,\mu\text{C}$ et $q_2 = C_2\,U = 3{,}0 \times 18 = 54\,\mu\text{C}$ . La charge totale est $162\,\mu\text{C} = C_{eq}'\,U = 9{,}0 \times 18$ .

Exercice 4 : Charge à intensité constante

Moyen

Énoncé

Un générateur de courant impose l'intensité constante $I_0 = 20\,\mu\text{A}$ dans un condensateur de capacité inconnue $C$ , initialement déchargé. On mesure la tension $u_C$ à différentes dates :

$t$ (s)	$0$	$20$	$40$	$60$	$80$
$u_C$ (V)	$0$	$0{,}85$	$1{,}70$	$2{,}55$	$3{,}40$

Montre que $u_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t$ et explique pourquoi la courbe $u_C(t)$ est une droite passant par l'origine.
Calcule le coefficient directeur de la droite, puis la capacité $C$ .
Calcule la charge et l'énergie emmagasinée à $t = 60\,\text{s}$ .
À quelle date la tension atteint-elle $5{,}0\,\text{V}$ ?

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1) Comme $i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = I_0$ est constante et que $q(0) = 0$ , on a $q(t) = I_0\,t$ . Avec $q = C\,u_C$ : $u_C(t) = \frac{I_0}{C}\,t$ . C'est une fonction linéaire de $t$ : sa courbe est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $\frac{I_0}{C}$ .

2) Coefficient directeur : $\frac{3{,}40 - 0}{80 - 0} = 4{,}25\times 10^{-2}\,\text{V.s}^{-1}$ . Donc $C = \frac{I_0}{\text{pente}} = \frac{20\times 10^{-6}}{4{,}25\times 10^{-2}} = 4{,}7\times 10^{-4}\,\text{F} = 470\,\mu\text{F}$ .

3) $q = I_0\,t = 20\times 10^{-6} \times 60 = 1{,}2\times 10^{-3}\,\text{C}$ . $E_e = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{\left(1{,}2\times 10^{-3}\right)^{2}}{2 \times 4{,}7\times 10^{-4}} = 1{,}5\times 10^{-3}\,\text{J}$ .

4) $t = \frac{C\,u_C}{I_0} = \frac{4{,}7\times 10^{-4} \times 5{,}0}{20\times 10^{-6}} = 1{,}2\times 10^{2}\,\text{s}$ , soit environ $2$ minutes.

Exercice 5 : Charge dans un circuit RC

Moyen

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 100\,\mu\text{F}$ , initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 1{,}0\,\text{k}\Omega$ par un générateur idéal de tension $E = 6{,}0\,\text{V}$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ et calcule la constante de temps $\tau$ .
Résous cette équation avec la condition initiale $u_C(0) = 0$ .
Donne l'expression de $i(t)$ et calcule $i(0^+)$ .
Calcule $u_C$ à la date $t = 0{,}25\,\text{s}$ .
À quelle date $u_C = 4{,}0\,\text{V}$ ?
Au bout de quelle durée la tension atteint-elle $99\ \%$ de $E$ ? Compare à $5\tau$ .

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1) $E = u_R + u_C = R\,i + u_C$ et $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ , donc $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ . Ici $\tau = RC = 1{,}0\times 10^{3} \times 1{,}0\times 10^{-4} = 0{,}10\,\text{s}$ .

2) On écrit $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -10\,u_C + 60$ . Les solutions sont $u_C(t) = \alpha\,e^{-10t} + 6{,}0$ . Avec $u_C(0) = 0$ : $\alpha = -6{,}0$ , donc $u_C(t) = 6{,}0\left(1 - e^{-10t}\right)$ en volts.

3) $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 1{,}0\times 10^{-4} \times 60\,e^{-10t} = 6{,}0\times 10^{-3}\,e^{-10t}$ en ampères. $i(0^+) = 6{,}0\,\text{mA}$ , qui est bien $\frac{E}{R}$ .

4) $u_C(0{,}25) = 6{,}0\left(1 - e^{-2{,}5}\right) = 5{,}5\,\text{V}$ .

5) $6{,}0\left(1 - e^{-10t}\right) = 4{,}0 \iff e^{-10t} = \frac{1}{3} \iff t = \frac{\ln 3}{10} = 0{,}11\,\text{s}$ .

6) $1 - e^{-10t} = 0{,}99 \iff e^{-10t} = 0{,}01 \iff t = \frac{\ln 100}{10} = 0{,}46\,\text{s}$ , soit $4{,}6\,\tau$ . C'est cohérent avec la durée de charge d'environ $5\tau = 0{,}50\,\text{s}$ .

Exercice 6 : Lecture d'un enregistrement

Moyen

Énoncé

Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 22\,\text{k}\Omega$ par un générateur idéal de tension $E$ . Un oscilloscope donne la tension $u_C$ :

$t$ (ms)	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$60$	$100$	$150$	$500$
$u_C$ (V)	$0$	$1{,}18$	$2{,}05$	$2{,}69$	$3{,}16$	$3{,}77$	$4{,}28$	$4{,}45$	$4{,}50$

Quelle est la valeur de $E$ ? Justifie.
Calcule $0{,}63\,E$ et détermine $\tau$ par interpolation linéaire entre deux points du tableau.
Déduis la capacité $C$ .
Calcule le coefficient directeur de la tangente à l'origine et l'intensité $i(0^+)$ .
Vérifie que la valeur de $u_C$ à $t = 3\tau$ est cohérente avec le tableau.

Voir le corrigé

1) Les dernières valeurs n'évoluent presque plus ( $4{,}45\,\text{V}$ à $150\,\text{ms}$ , $4{,}50\,\text{V}$ à $500\,\text{ms}$ ) : la courbe a atteint son asymptote, c'est le régime permanent. Alors $i = 0$ , donc $u_R = 0$ et $u_C = E$ . Donc $E = 4{,}50\,\text{V}$ .

2) $0{,}63\,E = 0{,}63 \times 4{,}50 = 2{,}835\,\text{V}$ . Cette valeur est comprise entre $2{,}69\,\text{V}$ (à $30\,\text{ms}$ ) et $3{,}16\,\text{V}$ (à $40\,\text{ms}$ ). Par interpolation linéaire : $t = 30 + 10 \times \frac{2{,}835 - 2{,}69}{3{,}16 - 2{,}69} = 33\,\text{ms}$ . Donc $\tau \approx 33\,\text{ms}$ .

3) $C = \frac{\tau}{R} = \frac{33\times 10^{-3}}{22\times 10^{3}} = 1{,}5\times 10^{-6}\,\text{F} = 1{,}5\,\mu\text{F}$ .

4) La tangente à l'origine passe par $(0\,;\,0)$ et par $(\tau\,;\,E)$ . Son coefficient directeur est $\frac{E}{\tau} = \frac{4{,}50}{33} = 0{,}14\,\text{V.ms}^{-1}$ , soit $1{,}4\times 10^{2}\,\text{V.s}^{-1}$ . À $t = 0^+$ , $u_C = 0$ donc $i(0^+) = \frac{E}{R} = \frac{4{,}50}{22\times 10^{3}} = 2{,}0\times 10^{-4}\,\text{A} = 0{,}20\,\text{mA}$ .

5) $3\tau = 99\,\text{ms}$ et $u_C(3\tau) = 4{,}50\left(1 - e^{-3}\right) = 4{,}28\,\text{V}$ . Le tableau donne bien $4{,}28\,\text{V}$ à $t = 100\,\text{ms}$ .

Exercice 7 : Décharge et énergie

Moyen

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 200\,\mu\text{F}$ est chargé sous la tension $E = 9{,}0\,\text{V}$ . À $t = 0$ , on le relie aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $R = 5{,}0\,\text{k}\Omega$ .

Établis l'équation différentielle de la décharge et écris la solution $u_C(t)$ .
Calcule la constante de temps $\tau$ , puis $u_C$ à la date $t = 2{,}0\,\text{s}$ .
Calcule l'intensité $i(0^+)$ et interprète son signe.
Calcule l'énergie initialement emmagasinée, puis l'énergie restante à $t = 2{,}0\,\text{s}$ .
À quelle date l'énergie emmagasinée est-elle divisée par 2 ?

Voir le corrigé

1) Pour la décharge, $u_R + u_C = 0$ , soit $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$ . La solution avec $u_C(0) = E$ est $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ .

2) $\tau = RC = 5{,}0\times 10^{3} \times 200\times 10^{-6} = 1{,}0\,\text{s}$ . $u_C(2{,}0) = 9{,}0\,e^{-2{,}0} = 1{,}2\,\text{V}$ .

3) $i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ , donc $i(0^+) = -\frac{9{,}0}{5{,}0\times 10^{3}} = -1{,}8\times 10^{-3}\,\text{A} = -1{,}8\,\text{mA}$ . Le signe négatif signifie que le courant circule en sens inverse du sens positif choisi pour la charge : le condensateur joue le rôle de générateur.

4) $E_e(0) = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 200\times 10^{-6} \times 9{,}0^{2} = 8{,}1\times 10^{-3}\,\text{J}$ . À $t = 2{,}0\,\text{s}$ : $E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{1}{2} \times 200\times 10^{-6} \times 1{,}218^{2} = 1{,}5\times 10^{-4}\,\text{J}$ , soit $E_e(0)\,e^{-4}$ , environ $1{,}8\ \%$ de l'énergie initiale.

5) $E_e(t) = \frac{1}{2}\,C\,E^{2}\,e^{-2t/\tau}$ . On veut $e^{-2t/\tau} = \frac{1}{2}$ , donc $t = \frac{\tau}{2}\,\ln 2 = 0{,}35\,\text{s}$ . L'énergie diminue plus vite que la tension, car elle dépend de $u_C^{2}$ .

Exercice 8 : Minuterie d'éclairage

Difficile

Énoncé

Dans une minuterie, un condensateur de capacité $C = 470\,\mu\text{F}$ , initialement déchargé, est chargé à travers un conducteur ohmique $R$ par une source idéale de tension $E = 9{,}0\,\text{V}$ . Un comparateur éteint la lampe quand la tension $u_C$ atteint $U_s = 6{,}0\,\text{V}$ .

Exprime la durée d'allumage $t_s$ en fonction de $R$ , $C$ , $E$ et $U_s$ .
Calcule la résistance $R$ pour obtenir $t_s = 30\,\text{s}$ .
On ne dispose que d'une résistance de $56\,\text{k}\Omega$ . Calcule la durée obtenue.
La capacité de ce condensateur est connue à $\pm 20\ \%$ . Donne l'intervalle dans lequel se trouve la durée $t_s$ avec $R = 56\,\text{k}\Omega$ .

Voir le corrigé

1) $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right)$ . La condition $u_C(t_s) = U_s$ donne $e^{-t_s/RC} = 1 - \frac{U_s}{E} = \frac{E - U_s}{E}$ , donc :

t_s = RC\,\ln\left(\frac{E}{E - U_s}\right)

2) $\ln\left(\frac{9{,}0}{3{,}0}\right) = \ln 3 = 1{,}0986$ . Donc $R = \frac{t_s}{C\,\ln 3} = \frac{30}{470\times 10^{-6} \times 1{,}0986} = 5{,}8\times 10^{4}\,\Omega = 58\,\text{k}\Omega$ .

3) $t_s = 56\times 10^{3} \times 470\times 10^{-6} \times 1{,}0986 = 28{,}9\,\text{s}$ , soit environ $29\,\text{s}$ .

4) La durée $t_s$ est proportionnelle à $C$ . Avec $-20\ \%$ : $0{,}8 \times 28{,}9 = 23\,\text{s}$ . Avec $+20\ \%$ : $1{,}2 \times 28{,}9 = 35\,\text{s}$ . La durée est donc comprise entre $23\,\text{s}$ et $35\,\text{s}$ : avec une telle tolérance, la durée d'allumage est imprécise.

Exercice 9 : Flash d'appareil photo

Type Bac

Énoncé

Pour étudier la charge du condensateur d'un flash, on réalise le montage suivant : un générateur idéal de tension $E = 12\,\text{V}$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 2{,}0\,\text{k}\Omega$ , un condensateur de capacité $C$ inconnue, initialement déchargé, et un interrupteur $K$ , tous en série. À $t = 0$ , on ferme $K$ . On enregistre $u_C(t)$ . La tangente à la courbe à l'origine coupe l'asymptote horizontale à la date $t = 0{,}60\,\text{s}$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
La solution est de la forme $u_C(t) = A\left(1 - e^{-\alpha t}\right)$ . Détermine $A$ et $\alpha$ en fonction de $E$ , $R$ et $C$ .
Montre par analyse dimensionnelle que le produit $RC$ est homogène à un temps.
Détermine graphiquement la constante de temps $\tau$ , puis la capacité $C$ .
Donne l'expression de $i(t)$ , puis calcule $i(0^+)$ et $i(\tau)$ .
Calcule l'énergie emmagasinée par le condensateur en fin de charge.
À quelle date l'énergie emmagasinée vaut-elle la moitié de sa valeur finale ?

Voir le corrigé

1) Loi d'additivité des tensions : $E = u_R + u_C = R\,i + u_C$ . Avec $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ :

RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E

2) On a $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = A\alpha\,e^{-\alpha t}$ . En remplaçant : $RC\,A\alpha\,e^{-\alpha t} + A - A\,e^{-\alpha t} = E$ , soit $A\,e^{-\alpha t}\left(RC\,\alpha - 1\right) + A = E$ . Cette égalité est vraie pour tout $t$ : le terme en exponentielle est nul, donc $\alpha = \frac{1}{RC}$ , et $A = E$ . Ainsi $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right)$ et $\tau = RC$ .

3) $[R] = [U]\,[I]^{-1}$ (car $u_R = R\,i$ ) et $[C] = [I]\,[T]\,[U]^{-1}$ (car $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ ). Donc $[RC] = [T]$ : $RC$ est homogène à un temps.

4) L'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote est $\tau$ : $\tau = 0{,}60\,\text{s}$ . Donc $C = \frac{\tau}{R} = \frac{0{,}60}{2{,}0\times 10^{3}} = 3{,}0\times 10^{-4}\,\text{F} = 3{,}0\times 10^{2}\,\mu\text{F}$ .

5) $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ . $i(0^+) = \frac{12}{2{,}0\times 10^{3}} = 6{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = 6{,}0\,\text{mA}$ . $i(\tau) = 6{,}0\,e^{-1} = 2{,}2\,\text{mA}$ .

6) En fin de charge, $u_C = E$ : $E_e = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 3{,}0\times 10^{-4} \times 12^{2} = 2{,}2\times 10^{-2}\,\text{J}$ .

7) $E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2}$ vaut la moitié de $\frac{1}{2}\,C\,E^{2}$ quand $u_C^{2} = \frac{E^{2}}{2}$ , c'est-à-dire $u_C = \frac{E}{\sqrt{2}}$ . Alors $1 - e^{-t/\tau} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , donc $t = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -0{,}60 \times \ln(0{,}293) = 0{,}74\,\text{s}$ .

Exercice 10 : Charge puis décharge d'un condensateur

Type Bac

Énoncé

Un générateur idéal de tension $E = 10\,\text{V}$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 5{,}0\,\text{k}\Omega$ et un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ sont reliés par un interrupteur $K$ à deux positions. Position 1 : le générateur, $R$ et $C$ sont en série (charge). Position 2 : $R$ et $C$ sont reliés seuls (décharge). Le condensateur est initialement déchargé. À $t = 0$ , on place $K$ en position 1.

Charge : établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ , donne sa solution et calcule la constante de temps $\tau$ .
Calcule la durée $t_{99}$ au bout de laquelle $u_C$ atteint $99\ \%$ de $E$ .
À la date $t_1 = 60\,\text{ms}$ , on bascule $K$ en position 2. On prend une nouvelle origine des dates : $t' = t - t_1$ . Vérifie que le condensateur peut être considéré comme chargé à $t_1$ , puis établis l'équation différentielle de la décharge et donne $u_C(t')$ .
Donne l'expression de $i(t')$ pendant la décharge, calcule $i(0^+)$ et interprète le signe.
Calcule l'énergie dissipée par effet Joule dans $R$ pendant la décharge.
À quelle date $t'$ la tension $u_C$ vaut-elle $2{,}0\,\text{V}$ ?

Voir le corrigé

1) $E = R\,i + u_C$ avec $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ donne $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ . Avec $u_C(0) = 0$ , la solution est $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ , avec $\tau = RC = 5{,}0\times 10^{3} \times 2{,}0\times 10^{-6} = 1{,}0\times 10^{-2}\,\text{s} = 10\,\text{ms}$ .

2) $1 - e^{-t/\tau} = 0{,}99 \iff e^{-t/\tau} = 0{,}01 \iff t_{99} = \tau\,\ln 100 = 46\,\text{ms}$ , soit $4{,}6\,\tau$ .

3) À $t_1 = 60\,\text{ms} = 6\tau$ : $u_C = 10\left(1 - e^{-6}\right) = 9{,}98\,\text{V}$ , qui est pratiquement $E$ : le condensateur est chargé. En position 2, $u_R + u_C = 0$ , donc $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$ . Avec $u_C(t' = 0) = E$ (continuité de $u_C$ ), la solution est $u_C(t') = E\,e^{-t'/\tau}$ .

4) $i(t') = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t'} = -\frac{E}{R}\,e^{-t'/\tau}$ . $i(0^+) = -\frac{10}{5{,}0\times 10^{3}} = -2{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = -2{,}0\,\text{mA}$ . Le signe négatif indique que le courant circule en sens inverse de celui de la charge : le condensateur se comporte en générateur. À la bascule, $i$ passe brusquement d'une valeur pratiquement nulle (fin de charge) à $-2{,}0\,\text{mA}$ , alors que $u_C$ reste continue.

5) Toute l'énergie du condensateur est dissipée dans $R$ : $E_J = \frac{1}{2}\,C\,E^{2} = \frac{1}{2} \times 2{,}0\times 10^{-6} \times 10^{2} = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{J}$ .

6) $E\,e^{-t'/\tau} = 2{,}0 \iff t' = \tau\,\ln\left(\frac{E}{2{,}0}\right) = 10 \times \ln 5 = 16\,\text{ms}$ .

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Écrire $i = \frac{q}{C}$ ou $i = C\,u_C$ . La bonne relation est $i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ , et $q = C\,u_C$ relie la charge à la tension.
Croire que l'intensité est continue à la fermeture de l'interrupteur. C'est $u_C$ qui est continue ; $i$ passe brusquement de $0$ à $\frac{E}{R}$ dans la charge.
Oublier le signe de l'intensité pendant la décharge : $i(t) = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ est négative avec le sens de la charge.
Mélanger les deux valeurs de repère : en charge $u_C(\tau) = 0{,}63\,E$ , en décharge $u_C(\tau) = 0{,}37\,E$ .
Appliquer à la décharge la méthode de la charge : en décharge, la tangente à l'origine coupe l'axe des temps en $t = \tau$ , et non l'asymptote $u_C = E$ (l'asymptote est l'axe des temps).
Écrire l'équation de la décharge avec $E$ au second membre. Pour la décharge, le second membre est $0$ .
Calculer $\tau = RC$ sans convertir les unités (µF, kΩ). Convertis en F et en $\Omega$ avant de calculer.
Écrire $E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C$ : il manque le carré. Doubler la tension multiplie l'énergie par $4$ .
Confondre $E$ , la tension du générateur, avec $E_e$ , l'énergie emmagasinée.

À retenir

Pour un condensateur (convention récepteur) : $q = C\,u_C$ et $i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ ; la capacité s'exprime en farads.
La tension $u_C$ est continue ; l'intensité $i$ peut varier brusquement. En régime permanent, $i = 0$ : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert.
Condensateurs en série : $\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{1}{C_k}$ ; en dérivation : $C_{eq} = \sum C_k$ .
Charge sous un échelon $E$ : $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ , de solution $u_C = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ et $i = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ .
Décharge : $RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$ , de solution $u_C = E\,e^{-t/\tau}$ et $i = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ .
La constante de temps $\tau = RC$ s'exprime en secondes. Elle se lit avec la tangente à l'origine ou avec $0{,}63\,E$ (charge) ; le régime transitoire dure environ $5\tau$ .
Durées : charge $t = -\tau\,\ln\left(1 - \frac{u_C}{E}\right)$ , décharge $t = \tau\,\ln\left(\frac{E}{u_C}\right)$ .
L'énergie emmagasinée est $E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^{2} = \frac{q^{2}}{2C}$ ; elle est continue et vaut $\frac{1}{2}\,C\,E^{2}$ en fin de charge.
En charge à courant constant $I_0$ : $u_C = \frac{I_0}{C}\,t$ , une droite passant par l'origine.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

M'entraîner

Voir la page actuelle de ce chapitre Signaler une erreurContenu original 9raya, gratuit, sous licence CC BY-NC-SA 4.0

L'essentiel

1. Le condensateur

2. Association de condensateurs

3. Charge à intensité constante

4. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension : la charge

5. La constante de temps

6. La décharge

7. Énergie emmagasinée

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle de uCu_CuC​

Méthode 2 : Vérifier qu'une fonction est solution et identifier τ\tauτ

Méthode 3 : Déterminer τ\tauτ graphiquement, puis RRR ou CCC

Méthode 4 : Calculer une durée ou une tension

Méthode 5 : Utiliser la continuité et le régime permanent

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle de $u_C$

Méthode 2 : Vérifier qu'une fonction est solution et identifier $\tau$

Méthode 3 : Déterminer $\tau$ graphiquement, puis $R$ ou $C$