Oscillations libres d'un circuit RLC série : le cours

Chapitres

Plan du chapitre

60 min
9 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 3 octobre 2026

L'essentiel

1. Le circuit RLC série et la décharge oscillante

Un circuit RLC série associe en série un condensateur de capacité $C$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ , et un conducteur ohmique de résistance $R$ . On note

R_t = R + r

la résistance totale du circuit. Quand la bobine est idéale ( $r = 0$ ) et qu'il n'y a pas de conducteur ohmique, on parle de circuit LC et $R_t = 0$ .

On charge d'abord le condensateur sous une tension $E$ . À l'instant $t = 0$ , on le décharge dans la bobine et le conducteur ohmique : il n'y a aucun générateur dans le circuit. Les oscillations obtenues sont dites libres, car aucune source ne leur impose sa fréquence.

Conventions : la flèche du courant $i$ est orientée vers l'armature du condensateur qui porte la charge $q$ . On a donc

q = C\,u_C \qquad \text{et} \qquad i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du_C}{dt}

Pendant la décharge, $q$ diminue : $i$ est négative au début (le courant circule en sens inverse du sens positif choisi).

2. Équation différentielle

La loi d'additivité des tensions donne $u_C + u_R + u_L = 0$ , avec $u_R = R\,i$ et $u_L = L\,\frac{di}{dt} + r\,i$ . Donc

u_C + R_t\, i + L\,\frac{di}{dt} = 0

En remplaçant $i = C\frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}$ , on obtient l'équation différentielle de $u_C$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\,\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

Avec $u_C = \frac{q}{C}$ , la même équation s'écrit pour la charge :

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre, du type $y'' + ay' + by = 0$ vu en mathématiques, avec $a = \frac{R_t}{L}$ et $b = \frac{1}{LC}$ .

Remarque

Le discriminant de l'équation caractéristique est $\Delta = \frac{R_t^2}{L^2} - \frac{4}{LC}$ . Le signe de $\Delta$ explique les régimes de la partie suivante : $\Delta < 0$ pour le régime pseudo-périodique, $\Delta = 0$ pour le régime critique, $\Delta > 0$ pour le régime apériodique. En physique, on ne demande pas de résoudre l'équation amortie : on reconnaît le régime à l'allure de $u_C(t)$ .

3. Les régimes d'oscillation

Selon la valeur de $R_t$ , on observe sur l'oscilloscope quatre comportements.

Régime	Valeur de $R_t$	Allure de $u_C(t)$
Périodique	$R_t = 0$ (ou compensée par un dispositif d'entretien)	sinusoïdale, amplitude constante, période $T_0$
Pseudo-périodique	$R_t$ faible	oscillations d'amplitude décroissante, de pseudo-période $T$
Critique	$R_t = R_c$	retour à $0$ le plus rapide possible, sans osciller
Apériodique	$R_t > R_c$	retour lent à $0$ , sans osciller

La pseudo-période $T$ est la durée entre deux maxima consécutifs de $u_C$ . Quand $R_t$ est faible, elle est très proche de la période propre : $T \approx T_0$ .

Remarque

La résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$ (elle correspond à $\Delta = 0$ ). C'est un repère utile, mais le programme demande surtout de reconnaître les régimes et de savoir que l'amortissement croît avec $R_t$ .

L'amortissement a une cause physique unique : l'effet Joule dans les résistances du circuit transforme peu à peu l'énergie électromagnétique en chaleur.

4. Oscillations non amorties : le circuit LC

Pour $R_t = 0$ , l'équation devient

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Théorème

La solution est sinusoïdale : $q(t) = Q_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ , à condition que la période propre soit

T_0 = 2\pi\sqrt{LC}

$T_0$ s'exprime en secondes quand $L$ est en henrys et $C$ en farads. La fréquence propre est $f_0 = \frac{1}{T_0}$ et la pulsation propre $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

Vérification : $\frac{d^2q}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 q$ . L'équation est donc vérifiée si $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , c'est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Les autres grandeurs en découlent :

$u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C} = U_m \cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $U_m = \dfrac{Q_m}{C}$ ;
$i(t) = \dfrac{dq}{dt} = -I_m \sin\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $I_m = \dfrac{2\pi}{T_0}\,Q_m = \omega_0 Q_m$ .

L'amplitude $Q_m$ et la phase $\varphi$ ne dépendent pas du circuit mais des conditions initiales. Pour un condensateur chargé sous $E$ puis déchargé à $t = 0$ , on a $u_C(0) = E$ et $i(0) = 0$ . Alors $\varphi = 0$ , $Q_m = CE$ et $u_C(t) = E\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ .

Remarque

Analyse dimensionnelle de $T_0$ . Comme $u_L = L\frac{di}{dt}$ , la dimension de $L$ est celle d'une tension multipliée par un temps et divisée par une intensité. Comme $i = C\frac{du_C}{dt}$ , celle de $C$ est une intensité multipliée par un temps et divisée par une tension. Dans le produit $LC$ , tensions et intensités se simplifient : $[LC] = T^2$ (un temps au carré), donc $\sqrt{LC}$ est bien un temps.

Remarque

Dans le régime pseudo-périodique, il existe une expression exacte de la pseudo-période, un peu plus grande que $T_0$ . Elle n'est pas au programme : retiens seulement $T \approx T_0$ pour $R_t$ faible.

5. Étude énergétique

L'énergie emmagasinée dans le condensateur est $E_e = \frac{1}{2}C\,u_C^2 = \frac{q^2}{2C}$ . Celle de la bobine est $E_m = \frac{1}{2}L\,i^2$ . L'énergie totale du circuit est

E = E_e + E_m = \frac{1}{2}C\,u_C^2 + \frac{1}{2}L\,i^2

En dérivant par rapport au temps, puis en utilisant $C\frac{du_C}{dt} = i$ et l'équation du circuit :

\frac{dE}{dt} = u_C\,i + L\,i\,\frac{di}{dt} = i\left(u_C + L\frac{di}{dt}\right) = -R_t\, i^2

Propriété

L'énergie totale d'un circuit RLC libre vérifie $\frac{dE}{dt} = -R_t\, i^2 \le 0$ . Elle diminue : l'énergie perdue est dissipée par effet Joule. Dans un circuit LC ( $R_t = 0$ ), l'énergie totale est constante.

Pour un circuit LC avec $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ :

E = \frac{1}{2}C\,U_m^2 = \frac{Q_m^2}{2C} = \frac{1}{2}L\,I_m^2

L'énergie oscille entre les deux formes, tandis que leur somme reste constante :

E_e(t) = \frac{E}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{4\pi}{T_0}t + 2\varphi\right)\right] \qquad E_m(t) = \frac{E}{2}\left[1 - \cos\left(\frac{4\pi}{T_0}t + 2\varphi\right)\right]

Les énergies $E_e$ et $E_m$ ont donc pour période $\frac{T_0}{2}$ . Quand $u_C$ est extrémale, $i = 0$ et l'énergie est entièrement électrique ; quand $|i|$ est maximale, $u_C = 0$ et l'énergie est entièrement magnétique.

6. Entretien des oscillations

Pour compenser l'énergie dissipée par effet Joule, on insère dans le circuit un dispositif d'entretien : un dipôle actif (par exemple un montage à amplificateur opérationnel alimenté) qui se comporte comme un générateur délivrant une tension proportionnelle à l'intensité :

u_G = R_0\, i

où $R_0$ est un coefficient réglable (en ohms). L'additivité des tensions devient $u_C + R_t\,i + L\frac{di}{dt} = R_0\, i$ , soit

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Réglage	Coefficient $\frac{R_t - R_0}{L}$	Oscillations
$R_0 < R_t$	positif	amorties
$R_0 = R_t$	nul	sinusoïdales, amplitude constante
$R_0 > R_t$	négatif	amplitude croissante (limitée en pratique par la saturation du montage)

Propriété

Si $R_0 = R_t = R + r$ , le dispositif fournit à chaque instant la puissance $R_0\,i^2$ , qui compense exactement l'effet Joule : l'énergie totale reste constante et les oscillations sont sinusoïdales, de période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Le dispositif d'entretien ne fixe ni la fréquence ni l'amplitude : la période est la période propre $T_0$ du circuit, et l'amplitude dépend des conditions initiales.

Remarque

Ne confonds pas oscillations libres (entretenues ou non, la fréquence est celle du circuit) et oscillations forcées (un générateur sinusoïdal impose sa fréquence, avec un phénomène de résonance). Ce chapitre ne traite que les oscillations libres ; selon la version du programme, l'étude des oscillations forcées est vue dans un chapitre à part : vérifie avec ton professeur ce qui est exigible dans ta classe.

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC

Représente le circuit, choisis le sens de $i$ et oriente chaque tension en convention récepteur.
Écris l'additivité des tensions : $u_C + u_R + u_L = 0$ (ou $= u_G$ s'il y a un dispositif d'entretien).
Exprime chaque tension : $u_R = R\,i$ , $u_L = L\frac{di}{dt} + r\,i$ , $i = C\frac{du_C}{dt}$ .
Remplace, regroupe les termes et divise par le coefficient de la dérivée seconde pour obtenir la forme standard.

Exemple

Pour $L = 0{,}20\,\text{H}$ , $R_t = 50\,\Omega$ et $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ , l'équation $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$ s'écrit numériquement $\frac{d^2u_C}{dt^2} + 250\,\frac{du_C}{dt} + 2{,}5\times 10^{6}\,u_C = 0$ (avec $t$ en secondes), car $\frac{R_t}{L} = 250\,\text{s}^{-1}$ et $\frac{1}{LC} = 2{,}5\times 10^{6}\,\text{s}^{-2}$ .

Méthode 2 : Vérifier une solution sinusoïdale et trouver ses constantes

Dérive deux fois la solution proposée, par exemple $u_C = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ .
Remplace dans l'équation du circuit LC : le terme en cosinus se factorise et impose $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ .
Utilise les conditions initiales ( $u_C(0)$ et $i(0)$ ) pour trouver $U_m$ et $\varphi$ .
Déduis $i(t) = C\frac{du_C}{dt}$ et son amplitude $I_m = C\,\omega_0\,U_m$ .

Exemple

Avec $L = 0{,}20\,\text{H}$ , $C = 5{,}0\,\mu\text{F}$ et $u_C(t) = 4{,}0\cos(\omega_0 t)$ en volts : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 1{,}0\times 10^{3}\,\text{rad.s}^{-1}$ , donc $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 6{,}3\,\text{ms}$ et $I_m = C\,\omega_0\,U_m = 5{,}0\times 10^{-6}\times 1{,}0\times 10^{3}\times 4{,}0 = 2{,}0\times 10^{-2}\,\text{A}$ .

Méthode 3 : Mesurer $T_0$ (ou $T$ ) sur un oscillogramme et en déduire $L$ ou $C$

Mesure la durée de plusieurs périodes (le plus possible) et divise par leur nombre : on gagne en précision.
Convertis les divisions en secondes avec la base de temps (sensibilité horizontale en ms par division).
Isole l'inconnue dans $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : $\;L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$ ou $C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L}$ .
Convertis les unités en SI avant le calcul, et donne un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Exemple

Cinq pseudo-périodes occupent $7{,}5$ divisions pour une base de temps de $2{,}0\,\text{ms/div}$ : $5T = 15\,\text{ms}$ , donc $T = 3{,}0\,\text{ms}$ . Avec $C = 1{,}0\,\mu\text{F}$ et $T \approx T_0$ : $L = \frac{(3{,}0\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 1{,}0\times 10^{-6}} = 0{,}23\,\text{H}$ .

Méthode 4 : Étudier les échanges d'énergie

Écris $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ .
Pour un circuit LC, repère l'instant où $i = 0$ (donc $u_C = \pm U_m$ ) : $E = \frac{1}{2}CU_m^2$ s'en déduit.
À un instant donné, calcule $E_e$ à partir de $u_C$ , puis $E_m = E - E_e$ , puis $|i| = \sqrt{\frac{2E_m}{L}}$ .
Pour un circuit RLC, l'énergie dissipée entre deux instants est $E(t_1) - E(t_2)$ : calcule $E$ aux instants où $i = 0$ (maxima de $u_C$ ), car alors $E = \frac{1}{2}Cu_C^2$ .

Exemple

LC avec $L = 0{,}10\,\text{H}$ , $C = 10\,\mu\text{F}$ et $U_m = 5{,}0\,\text{V}$ . Alors $E = \frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 5{,}0^2 = 1{,}25\times 10^{-4}\,\text{J}$ (on garde un chiffre de plus pour la suite du calcul ; le résultat arrondi est $1{,}3\times 10^{-4}\,\text{J}$ ). Quand $u_C = 3{,}0\,\text{V}$ : $E_e = 4{,}5\times 10^{-5}\,\text{J}$ , $E_m = 8{,}0\times 10^{-5}\,\text{J}$ et $|i| = \sqrt{\frac{2\times 8{,}0\times 10^{-5}}{0{,}10}} = 0{,}040\,\text{A}$ .

Méthode 5 : Déterminer le réglage du dispositif d'entretien

Écris l'additivité des tensions avec $u_G = R_0\,i$ du côté du générateur.
Obtiens l'équation $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$ .
Annule le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ : $R_0 = R_t = R + r$ (n'oublie pas la résistance $r$ de la bobine).
Précise la période des oscillations entretenues : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ , indépendante de $R_0$ .

Exemple

Avec $R = 30\,\Omega$ et $r = 5{,}0\,\Omega$ , il faut régler $R_0 = 35\,\Omega$ . Si $R_0 = 33\,\Omega$ , le coefficient $\frac{R_t - R_0}{L}$ est positif et les oscillations restent amorties, mais moins vite qu'avec $R_0 = 0$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Période et fréquence propres

Facile

Énoncé

Un circuit LC est formé d'une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}50\,\text{H}$ et d'un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ .

Calcule la période propre $T_0$ et la fréquence propre $f_0$ .
On remplace le condensateur par un autre de capacité $C' = 8{,}0\,\mu\text{F}$ . Que devient la période propre ?

Voir le corrigé

On applique $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ avec $L$ en henrys et $C$ en farads :

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\times 1{,}0\times 10^{-3} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}

La fréquence propre est $f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{6{,}283\times 10^{-3}} = 1{,}6\times 10^{2}\,\text{Hz}$ .

Le rapport des capacités vaut $\frac{C'}{C} = 4$ . Comme $T_0$ est proportionnelle à $\sqrt{C}$ , la période est multipliée par $\sqrt{4} = 2$ :

T_0' = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 8{,}0\times 10^{-6}} = 1{,}3\times 10^{-2}\,\text{s} = 13\,\text{ms}

Exercice 2 : Analyse dimensionnelle et capacité inconnue

Facile

Énoncé

Montre que la grandeur $\sqrt{LC}$ est homogène à un temps.
Une bobine idéale d'inductance $L = 40\,\text{mH}$ forme avec un condensateur un circuit LC dont la période propre mesurée est $T_0 = 4{,}0\,\text{ms}$ . Calcule la capacité $C$ du condensateur.

Voir le corrigé

D'après $u_L = L\frac{di}{dt}$ , l'unité de $L$ est le volt-seconde par ampère ( $\text{V.s.A}^{-1}$ ). D'après $i = C\frac{du_C}{dt}$ , l'unité de $C$ est l'ampère-seconde par volt ( $\text{A.s.V}^{-1}$ ). Le produit s'écrit

[LC] = \frac{\text{V.s}}{\text{A}}\times\frac{\text{A.s}}{\text{V}} = \text{s}^2

donc $\sqrt{LC}$ s'exprime en secondes : la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est homogène.

On isole $C$ dans $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . En élevant au carré, $T_0^2 = 4\pi^2 LC$ , donc

C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L} = \frac{(4{,}0\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 40\times 10^{-3}} = 1{,}0\times 10^{-5}\,\text{F} = 10\,\mu\text{F}

Exercice 3 : Reconnaître les régimes

Facile

Énoncé

Un condensateur chargé se décharge dans un circuit comprenant une bobine et un conducteur ohmique de résistance réglable ; on peut aussi y insérer un dispositif d'entretien. On visualise $u_C(t)$ dans quatre situations et on observe :

enregistrement A : $u_C$ oscille de part et d'autre de $0$ et ses maxima successifs sont de plus en plus petits ;
enregistrement B : $u_C$ revient à $0$ le plus vite possible, sans jamais changer de signe ;
enregistrement C : $u_C$ revient à $0$ sans changer de signe, mais beaucoup plus lentement que dans B ;
enregistrement D : $u_C$ oscille de façon sinusoïdale avec une amplitude constante.

Nomme le régime de chaque enregistrement.
Classe les enregistrements A, B et C par résistance totale $R_t$ croissante. Comment obtient-on l'enregistrement D ?
Explique pourquoi l'amplitude diminue dans l'enregistrement A.

Voir le corrigé

A : régime pseudo-périodique. B : régime critique. C : régime apériodique. D : régime périodique.

L'amortissement augmente avec $R_t$ . L'ordre croissant est A (résistance faible), puis B (résistance critique), puis C (résistance supérieure à la valeur critique). Une bobine réelle a toujours une résistance $r > 0$ : on ne peut donc pas annuler $R_t$ en réglant seulement le conducteur ohmique. L'enregistrement D s'obtient avec le dispositif d'entretien, qui compense exactement les pertes par effet Joule.

L'énergie totale $E = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ vérifie $\frac{dE}{dt} = -R_t\,i^2 \le 0$ : elle est dissipée par effet Joule dans les résistances. Comme l'énergie diminue, l'amplitude des oscillations diminue aussi.

Exercice 4 : Solution de l'équation et conditions initiales

Moyen

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 0{,}10\,\mu\text{F}$ est chargé sous $E = 6{,}0\,\text{V}$ . À $t = 0$ , on le relie à une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}10\,\text{H}$ . On cherche la charge sous la forme $q(t) = Q_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ avec $Q_m > 0$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $q$ .
Détermine la valeur de $\omega_0$ pour que la fonction proposée soit solution. Calcule $\omega_0$ et $T_0$ .
À $t = 0$ , $u_C = E$ et $i = 0$ . Détermine $Q_m$ et $\varphi$ .
Écris $i(t)$ et donne la valeur de $I_m$ .
À quel instant $u_C$ s'annule-t-elle pour la première fois ? Que vaut alors $i$ ?

Voir le corrigé

D'après l'additivité des tensions, $u_C + L\frac{di}{dt} = 0$ , soit $\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2} = 0$ :

\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0

On a $\frac{d^2q}{dt^2} = -\omega_0^2\,Q_m\cos(\omega_0 t + \varphi) = -\omega_0^2\,q$ . En remplaçant : $\left(\frac{1}{LC} - \omega_0^2\right)q = 0$ pour tout $t$ , donc $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0{,}10\times 0{,}10\times 10^{-6}}} = 1{,}0\times 10^{4}\,\text{rad.s}^{-1} \qquad T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 6{,}3\times 10^{-4}\,\text{s}

On a $i = \frac{dq}{dt} = -\omega_0 Q_m\sin(\omega_0 t + \varphi)$ . La condition $i(0) = 0$ donne $\sin\varphi = 0$ , donc $\varphi = 0$ ou $\varphi = \pi$ . La condition $q(0) = CE > 0$ avec $Q_m > 0$ impose $\cos\varphi > 0$ , donc $\varphi = 0$ . Alors $Q_m = CE = 0{,}10\times 10^{-6}\times 6{,}0 = 6{,}0\times 10^{-7}\,\text{C}$ .

On obtient $i(t) = -I_m\sin(\omega_0 t)$ avec

I_m = \omega_0\,Q_m = 1{,}0\times 10^{4}\times 6{,}0\times 10^{-7} = 6{,}0\times 10^{-3}\,\text{A} = 6{,}0\,\text{mA}

$u_C(t) = 6{,}0\cos(\omega_0 t)$ s'annule pour $\omega_0 t = \frac{\pi}{2}$ , soit $t = \frac{T_0}{4} = 1{,}6\times 10^{-4}\,\text{s}$ . À cet instant, $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ donc $i = -6{,}0\,\text{mA}$ : la valeur absolue de l'intensité est maximale, et le signe négatif indique que le courant circule en sens inverse du sens positif choisi (décharge).

Exercice 5 : Échanges d'énergie dans un circuit LC

Moyen

Énoncé

Un circuit LC est formé d'une bobine idéale de $L = 50\,\text{mH}$ et d'un condensateur de $C = 20\,\mu\text{F}$ . La tension maximale aux bornes du condensateur est $U_m = 10\,\text{V}$ .

Calcule l'énergie totale $E$ du circuit et la période propre $T_0$ .
Calcule l'intensité maximale $I_m$ à l'aide de l'énergie.
À un instant où $u_C = 6{,}0\,\text{V}$ , calcule $E_e$ , $E_m$ et $|i|$ .
Le condensateur est initialement chargé ( $u_C(0) = U_m$ ). À quel instant a-t-on pour la première fois $E_e = E_m$ ?

Voir le corrigé

À l'instant où $u_C = U_m$ , on a $i = 0$ : toute l'énergie est électrique.

E = \frac{1}{2}CU_m^2 = \frac{1}{2}\times 20\times 10^{-6}\times 10^2 = 1{,}0\times 10^{-3}\,\text{J}

T_0 = 2\pi\sqrt{50\times 10^{-3}\times 20\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}

Quand $|i| = I_m$ , toute l'énergie est magnétique : $E = \frac{1}{2}LI_m^2$ , d'où

I_m = \sqrt{\frac{2E}{L}} = \sqrt{\frac{2\times 1{,}0\times 10^{-3}}{50\times 10^{-3}}} = 0{,}20\,\text{A}

$E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}\times 20\times 10^{-6}\times 6{,}0^2 = 3{,}6\times 10^{-4}\,\text{J}$ . L'énergie totale se conserve, donc $E_m = E - E_e = 1{,}0\times 10^{-3} - 3{,}6\times 10^{-4} = 6{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}$ . Enfin

|i| = \sqrt{\frac{2E_m}{L}} = \sqrt{\frac{2\times 6{,}4\times 10^{-4}}{50\times 10^{-3}}} = 0{,}16\,\text{A}

Avec $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ , on a $E_e = E\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . La condition $E_e = E_m = \frac{E}{2}$ donne $\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) = \frac{1}{2}$ , soit $\frac{2\pi}{T_0}t = \frac{\pi}{4}$ pour la première fois. Donc

t = \frac{T_0}{8} = \frac{6{,}28\times 10^{-3}}{8} = 7{,}9\times 10^{-4}\,\text{s}

Exercice 6 : Régime pseudo-périodique et énergie dissipée

Moyen

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 10\,\mu\text{F}$ est chargé sous $E = 8{,}0\,\text{V}$ puis déchargé à $t = 0$ dans une bobine d'inductance $L = 0{,}40\,\text{H}$ en série avec un conducteur ohmique. La résistance totale du circuit est $R_t = 15\,\Omega$ . On observe un régime pseudo-périodique. Au bout de trois pseudo-périodes, la valeur maximale de $u_C$ relevée est $3{,}9\,\text{V}$ .

Calcule la période propre $T_0$ et, en admettant $T \approx T_0$ , la durée de trois pseudo-périodes.
Calcule l'énergie initiale du circuit.
Calcule l'énergie à $t = 3T$ (justifie que l'énergie est alors entièrement électrique), puis l'énergie dissipée et sa proportion par rapport à l'énergie initiale.
Déduis la puissance moyenne dissipée par effet Joule sur cette durée.

Voir le corrigé

$T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}40\times 10\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\times 2{,}0\times 10^{-3} = 1{,}26\times 10^{-2}\,\text{s}$ , soit $12{,}6\,\text{ms}$ . Pour trois pseudo-périodes : $3T \approx 3\times 12{,}6 = 37{,}7\,\text{ms}$ .

À $t = 0$ , $i = 0$ : $E_0 = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 8{,}0^2 = 3{,}2\times 10^{-4}\,\text{J}$ .

À $t = 3T$ , $u_C$ est maximale, donc $i = C\frac{du_C}{dt} = 0$ : l'énergie magnétique est nulle. Ainsi

E_3 = \frac{1}{2}C\,u_C^2 = \frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 3{,}9^2 = 7{,}6\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie dissipée vaut $E_0 - E_3 = 3{,}2\times 10^{-4} - 0{,}76\times 10^{-4} = 2{,}4\times 10^{-4}\,\text{J}$ . Elle représente $\frac{2{,}44\times 10^{-4}}{3{,}2\times 10^{-4}} = 0{,}76$ , soit environ $76\,\%$ de l'énergie initiale.

La puissance moyenne dissipée est

P = \frac{E_0 - E_3}{3T} = \frac{2{,}44\times 10^{-4}}{37{,}7\times 10^{-3}} = 6{,}5\times 10^{-3}\,\text{W} = 6{,}5\,\text{mW}

Exercice 7 : Entretien des oscillations

Difficile

Énoncé

Un circuit série comprend un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ , une bobine d'inductance $L = 0{,}20\,\text{H}$ et de résistance $r = 10\,\Omega$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 40\,\Omega$ et un dispositif d'entretien qui se comporte comme un générateur de tension $u_G = R_0\,i$ , où $R_0$ est réglable. La tension $u_G$ est orientée comme celle d'un générateur : $u_C + u_R + u_L = u_G$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ du condensateur.
Quelle valeur faut-il donner à $R_0$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ? Calcule alors la période.
Pour une amplitude d'intensité $I_m = 20\,\text{mA}$ , calcule la puissance moyenne fournie par le dispositif. Que représente cette puissance ?
On règle $R_0 = 45\,\Omega$ , puis $R_0 = 55\,\Omega$ . Donne dans chaque cas le signe du coefficient de $\frac{dq}{dt}$ et décris l'évolution de l'amplitude.

Voir le corrigé

On remplace $u_R = R\,i$ , $u_L = L\frac{di}{dt} + r\,i$ et $u_C = \frac{q}{C}$ dans $u_C + u_R + u_L = R_0\,i$ . Avec $R_t = R + r$ et $i = \frac{dq}{dt}$ :

L\frac{d^2q}{dt^2} + (R_t - R_0)\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0

Les oscillations sont sinusoïdales quand le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ est nul : $R_0 = R_t = R + r = 40 + 10 = 50\,\Omega$ . L'équation devient $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{LC} = 0$ et la période est la période propre :

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}20\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4{,}0\times 10^{-7}} = 3{,}97\times 10^{-3}\,\text{s} \approx 4{,}0\,\text{ms}

La puissance fournie est $p = u_G\,i = R_0\,i^2$ . Avec $i = -I_m\sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ , la valeur moyenne de $i^2$ vaut $\frac{I_m^2}{2}$ :

P = \frac{R_0\,I_m^2}{2} = \frac{50\times (20\times 10^{-3})^2}{2} = 1{,}0\times 10^{-2}\,\text{W} = 10\,\text{mW}

C'est exactement la puissance dissipée par effet Joule dans les résistances $R_t$ : le dispositif compense les pertes.

Pour $R_0 = 45\,\Omega$ : $\frac{R_t - R_0}{L} = \frac{50 - 45}{0{,}20} = +25\,\text{s}^{-1}$ . Le coefficient est positif, donc les oscillations sont encore amorties (moins qu'avec $R_0 = 0$ ). Pour $R_0 = 55\,\Omega$ : $\frac{R_t - R_0}{L} = \frac{50 - 55}{0{,}20} = -25\,\text{s}^{-1}$ . Le coefficient est négatif : l'amplitude augmente (le dispositif fournit plus d'énergie que le circuit n'en dissipe), jusqu'à ce que le montage sature.

Exercice 8 : Décharge d'un condensateur dans un circuit RLC

Type Bac

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 2{,}0\,\mu\text{F}$ , chargé sous une tension $E = 10\,\text{V}$ , est relié à $t = 0$ à une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r = 5{,}0\,\Omega$ , en série avec un conducteur ohmique de résistance $R = 15\,\Omega$ . On enregistre la tension $u_C(t)$ : on observe des oscillations dont l'amplitude diminue. Cinq pseudo-périodes occupent $31{,}5\,\text{ms}$ . À $t = 2T$ , la valeur maximale lue de $u_C$ est $7{,}8\,\text{V}$ .

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Nomme le régime observé et explique pourquoi l'amplitude diminue.
Détermine la pseudo-période $T$ , puis la valeur de $L$ en admettant $T \approx T_0$ .
a) Donne l'expression de l'énergie totale $E_{tot}(t)$ du circuit et montre que $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_t\,i^2$ . b) Calcule l'énergie à $t = 0$ et à $t = 2T$ (justifie que $i = 0$ à $t = 2T$ ), puis l'énergie dissipée entre ces deux instants.
On place dans le circuit un dispositif d'entretien de tension $u_G = R_0\,i$ . Quelle valeur donner à $R_0$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ? Quelle est alors leur période ?

Voir le corrigé

Additivité des tensions : $u_C + R\,i + L\frac{di}{dt} + r\,i = 0$ . Avec $R_t = R + r = 20\,\Omega$ , $i = C\frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

Les oscillations ont une amplitude décroissante : le régime est pseudo-périodique. L'amplitude décroît car l'énergie du circuit est dissipée par effet Joule dans la résistance totale $R_t$ .

$T = \frac{31{,}5\,\text{ms}}{5} = 6{,}3\,\text{ms}$ . En admettant $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ :

L = \frac{T^2}{4\pi^2 C} = \frac{(6{,}3\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 0{,}50\,\text{H}

a) $E_{tot} = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . En dérivant et en utilisant $C\frac{du_C}{dt} = i$ :

\frac{dE_{tot}}{dt} = u_C\,i + L\,i\,\frac{di}{dt} = i\left(u_C + L\frac{di}{dt}\right)

D'après l'équation du circuit, $u_C + L\frac{di}{dt} = -R_t\,i$ , donc $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_t\,i^2$ .

b) À $t = 0$ , $i = 0$ et $u_C = E$ : $E_{tot}(0) = \frac{1}{2}\times 2{,}0\times 10^{-6}\times 10^2 = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{J}$ . À $t = 2T$ , $u_C$ est maximale donc $\frac{du_C}{dt} = 0$ et $i = C\frac{du_C}{dt} = 0$ . Alors

E_{tot}(2T) = \frac{1}{2}\times 2{,}0\times 10^{-6}\times 7{,}8^2 = 6{,}1\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie dissipée vaut $1{,}0\times 10^{-4} - 6{,}1\times 10^{-5} = 3{,}9\times 10^{-5}\,\text{J}$ .

Avec le dispositif, l'additivité des tensions s'écrit $u_C + R_t\,i + L\frac{di}{dt} = R_0\,i$ , soit $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_t - R_0}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0$ . Le coefficient de $\frac{dq}{dt}$ s'annule pour $R_0 = R_t = 20\,\Omega$ . Les oscillations sont alors sinusoïdales de période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}50\times 2{,}0\times 10^{-6}} = 6{,}3\times 10^{-3}\,\text{s}$ .

Exercice 9 : Circuit LC, capacité inconnue et énergie

Type Bac

Énoncé

Un condensateur de capacité $C$ inconnue est chargé sous $E = 8{,}0\,\text{V}$ , puis relié à $t = 0$ à une bobine d'inductance $L = 0{,}250\,\text{H}$ dont on néglige la résistance. On visualise $u_C(t)$ : la base de temps vaut $2{,}0\,\text{ms/div}$ et quatre périodes occupent $6{,}3$ divisions.

Établis l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Vérifie que $u_C(t) = U_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ est solution si $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Donne $U_m$ et $\varphi$ avec les conditions initiales.
Détermine la période $T_0$ mesurée, puis la capacité $C$ .
Exprime l'énergie électrique $E_e(t)$ et l'énergie magnétique $E_m(t)$ , puis montre que leur somme est constante. Calcule cette énergie totale.
Calcule l'intensité maximale $I_m$ .
Quelle durée sépare deux instants consécutifs où $E_e = E_m$ ?

Voir le corrigé

$u_C + L\frac{di}{dt} = 0$ avec $i = C\frac{du_C}{dt}$ :

\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0

En dérivant deux fois, $\frac{d^2u_C}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2u_C$ . L'équation devient $\left[\frac{1}{LC} - \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\right]u_C = 0$ : elle est vérifiée si $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , c'est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Conditions initiales : $u_C(0) = U_m\cos\varphi = E > 0$ et $i(0) = 0$ donc $\sin\varphi = 0$ . Ainsi $\varphi = 0$ et $U_m = E = 8{,}0\,\text{V}$ .

$4T_0 = 6{,}3\times 2{,}0\,\text{ms} = 12{,}6\,\text{ms}$ , donc $T_0 = 3{,}15\,\text{ms}$ . On en tire

C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L} = \frac{(3{,}15\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 0{,}250} = 1{,}0\times 10^{-6}\,\text{F} = 1{,}0\,\mu\text{F}

Avec $\varphi = 0$ : $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}CE^2\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . Le courant est $i = C\frac{du_C}{dt} = -CE\,\frac{2\pi}{T_0}\sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . Comme $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$ , on obtient $E_m = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}L\,C^2E^2\,\frac{1}{LC}\sin^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) = \frac{1}{2}CE^2\sin^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$ . La somme est

E_e + E_m = \frac{1}{2}CE^2\left[\cos^2 + \sin^2\right] = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\times 1{,}0\times 10^{-6}\times 8{,}0^2 = 3{,}2\times 10^{-5}\,\text{J}

L'énergie totale est constante, égale à $32\,\mu\text{J}$ .

Quand $|i|$ est maximale, toute l'énergie est magnétique : $\frac{1}{2}LI_m^2 = 3{,}2\times 10^{-5}\,\text{J}$ , donc

I_m = \sqrt{\frac{2\times 3{,}2\times 10^{-5}}{0{,}250}} = 1{,}6\times 10^{-2}\,\text{A} = 16\,\text{mA}

$E_e = E_m$ pour $\cos^2 = \sin^2$ , c'est-à-dire $\frac{2\pi}{T_0}t = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2}$ . Deux instants consécutifs sont séparés par $\frac{T_0}{4}$ :

\Delta t = \frac{T_0}{4} = \frac{3{,}15}{4} = 0{,}79\,\text{ms}

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Oublier la résistance de la bobine. La résistance totale est $R_t = R + r$ : le réglage d'entretien est $R_0 = R + r$ , pas seulement $R_0 = R$ .
Écrire $T_0 = 2\pi LC$ ou $T_0 = 2\pi\sqrt{L/C}$ . La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : pense à vérifier l'unité (le produit $LC$ est en $\text{s}^2$ ).
Ne pas convertir les unités. $\mu\text{F}$ , $\text{mH}$ et $\text{ms}$ doivent être convertis en F, H et s avant d'appliquer la formule. Laisser des $\mu\text{F}$ non convertis multiplie le produit $LC$ par $10^{6}$ , donc la période par $\sqrt{10^{6}} = 1000$ .
Dire que $T = T_0$ dans le régime pseudo-périodique. La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ ; on écrit $T \approx T_0$ seulement quand $R_t$ est faible.
Parler d'énergie « perdue » sans dire où elle va. L'énergie n'est pas détruite : elle est dissipée par effet Joule dans les résistances (transfert thermique vers le milieu extérieur).
Penser que le dispositif d'entretien impose sa fréquence. Il compense seulement l'énergie dissipée : la période reste $T_0$ et l'amplitude dépend des conditions initiales.
Oublier le signe de $i$ pendant la décharge. Avec $i = \frac{dq}{dt}$ , la charge diminue : $i$ est négative au début. Une valeur de $i$ ne se déduit pas de $u_C$ sans le signe de $\frac{du_C}{dt}$ .
Mesurer une seule période sur l'oscillogramme. Mesure plusieurs périodes consécutives puis divise : l'incertitude de lecture est partagée entre toutes.

À retenir

Circuit RLC série libre : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_t}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$ , avec $R_t = R + r$ .
Régimes : périodique ( $R_t = 0$ ou compensée), pseudo-périodique ( $R_t$ faible), critique, apériodique ( $R_t$ grande).
Circuit LC : $q = Q_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ avec $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; $Q_m$ et $\varphi$ viennent des conditions initiales.
Pseudo-période : $T \approx T_0$ si $R_t$ est faible ; l'amplitude décroît à cause de l'effet Joule.
Énergie : $E = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ ; $\frac{dE}{dt} = -R_t\,i^2$ ; constante dans un circuit LC.
Dans un circuit LC : $E = \frac{1}{2}CU_m^2 = \frac{1}{2}LI_m^2$ ; $E_e$ et $E_m$ ont pour période $\frac{T_0}{2}$ .
Entretien : $u_G = R_0\,i$ avec $R_0 = R_t = R + r$ ; les oscillations sont sinusoïdales de période $T_0$ .
Le dispositif d'entretien n'impose ni la fréquence ni l'amplitude : il compense seulement la puissance $R_t\,i^2$ dissipée par effet Joule.
Oscillations libres (le circuit fixe sa fréquence) et oscillations forcées (un générateur impose la sienne) sont deux situations différentes.

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

M'entraîner

Voir la page actuelle de ce chapitre Signaler une erreurContenu original 9raya, gratuit, sous licence CC BY-NC-SA 4.0

L'essentiel

1. Le circuit RLC série et la décharge oscillante

2. Équation différentielle

3. Les régimes d'oscillation

4. Oscillations non amorties : le circuit LC

5. Étude énergétique

6. Entretien des oscillations

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC

Méthode 2 : Vérifier une solution sinusoïdale et trouver ses constantes

Méthode 3 : Mesurer T0T_0T0​ (ou TTT) sur un oscillogramme et en déduire LLL ou CCC

Méthode 4 : Étudier les échanges d'énergie

Méthode 5 : Déterminer le réglage du dispositif d'entretien

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 3 : Mesurer $T_0$ (ou $T$ ) sur un oscillogramme et en déduire $L$ ou $C$