Systèmes mécaniques oscillants : le cours

Chapitres

Plan du chapitre

55 min
10 exercices corrigés
8 questions de QCM
Vérifié le 4 octobre 2026

L'essentiel

1. Oscillateur mécanique et oscillations libres

Définition

Un oscillateur mécanique est un système qui effectue un mouvement de va-et-vient de part et d'autre d'une position d'équilibre stable. Les oscillations sont libres quand, après avoir été écarté de sa position d'équilibre (ou après un choc initial), le système évolue seul, sans apport d'énergie extérieur. On étudie ici le cas idéal sans frottement : les oscillations sont alors non amorties.

Le plus simple des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : son mouvement est sinusoïdal.

Propriété

L'abscisse d'un oscillateur harmonique s'écrit $x(t) = X_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t + \varphi\right) = X_m \cos\left(\omega_0\,t + \varphi\right)$ , avec :

$X_m$ l'amplitude (en m pour une translation, en rad pour une rotation) ;
$T_0$ la période propre (en s), $f_0 = \frac{1}{T_0}$ la fréquence propre (en Hz) ;
$\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$ la pulsation propre (en $\text{rad.s}^{-1}$ ) ;
$\varphi$ la phase à l'origine (en rad).

Par dérivation : $v(t) = \dot{x} = -\omega_0\,X_m \sin(\omega_0\,t + \varphi)$ et $a(t) = \ddot{x} = -\omega_0^2\,X_m \cos(\omega_0\,t + \varphi) = -\omega_0^2\,x$ . La vitesse est maximale ( $v_{max} = \omega_0\,X_m$ ) au passage par la position d'équilibre ; l'accélération est maximale ( $a_{max} = \omega_0^2\,X_m$ ) aux positions extrêmes $x = \pm X_m$ .

Propriété

Si l'étude dynamique conduit à une équation de la forme $\ddot{x} + K\,x = 0$ avec $K > 0$ constante, le mouvement est sinusoïdal de pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{K}$ , donc de période propre $T_0 = \frac{2\pi}{\sqrt{K}}$ . En effet, $x(t) = X_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)$ donne $\ddot{x} = -\omega_0^2\,x$ : l'équation est vérifiée si et seulement si $\omega_0^2 = K$ . Les constantes $X_m$ et $\varphi$ ne sont pas imposées par l'équation : elles dépendent des conditions initiales.

Propriété

Avec les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $v(0) = v_0$ : $X_m = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}$ avec $\cos\varphi = \frac{x_0}{X_m}$ et $\sin\varphi = -\frac{v_0}{\omega_0\,X_m}$ .

Cas fréquent : le système est lâché sans vitesse en $x_0 > 0$ : $v_0 = 0$ , donc $X_m = x_0$ et $\varphi = 0$ .

2. Démarche de l'étude dynamique

Pour chaque oscillateur, on suit toujours les mêmes étapes :

choisir le système et un référentiel galiléen (le laboratoire) ;
choisir l'origine du repère à la position d'équilibre ;
faire le bilan des forces (ou des moments) à un instant quelconque, avec la grandeur $x$ (ou $\theta$ ) positive ;
appliquer la 2e loi de Newton (translation) ou la relation fondamentale en rotation $\sum \mathcal{M}_\Delta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ ;
projeter pour obtenir l'équation différentielle, puis identifier $\omega_0$ et $T_0$ .

3. Pendule élastique horizontal

Un solide $S$ de masse $m$ glisse sans frottement sur un plan horizontal. Il est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur $k$ (en $\text{N.m}^{-1}$ ), dont l'autre extrémité est fixe. On repère le centre d'inertie $G$ par son abscisse $x$ sur un axe horizontal, l'origine $O$ étant la position d'équilibre (ressort ni étiré ni comprimé). L'allongement du ressort est alors égal à $x$ .

Forces : le poids $m\vec{g}$ , la réaction $\vec{R}$ du plan (elles sont verticales et se compensent, car $G$ ne se déplace pas verticalement) et la tension du ressort $\vec{T} = -k\,x\,\vec{i}$ (force de rappel, toujours orientée vers $O$ ). La 2e loi de Newton, projetée sur $Ox$ , donne $-k\,x = m\,\ddot{x}$ , soit

\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad\text{et}\quad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Remarque

Plus la masse est grande, plus la période est grande ( $T_0 \propto \sqrt{m}$ ) : le système est plus « lent ». Plus le ressort est raide, plus la période est petite ( $T_0 \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$ ). La période ne dépend ni de l'amplitude ni de $g$ .

4. Pendule élastique vertical

Le ressort est maintenant vertical, le solide $S$ est suspendu à son extrémité libre. On oriente l'axe $Oz$ vers le bas, l'origine $O$ étant la position d'équilibre de $G$ . À l'équilibre, le ressort est déjà allongé de $\Delta\ell_0$ : la condition d'équilibre $k\,\Delta\ell_0 = m\,g$ donne $\Delta\ell_0 = \frac{m\,g}{k}$ .

À un instant quelconque, l'allongement est $\Delta\ell_0 + z$ . La 2e loi de Newton, projetée sur $Oz$ , s'écrit :

m\,g - k\,(\Delta\ell_0 + z) = m\,\ddot{z}

Comme $m\,g - k\,\Delta\ell_0 = 0$ , on obtient $-k\,z = m\,\ddot{z}$ , soit $\ddot{z} + \frac{k}{m}\,z = 0$ : la même équation que pour le pendule horizontal, donc la même période propre

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta\ell_0}{g}}.

Remarque

Le poids ne change pas la période : il décale seulement la position d'équilibre (allongement $\Delta\ell_0$ ). La relation $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta\ell_0}{g}}$ permet de trouver $T_0$ en mesurant l'allongement à l'équilibre. Sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ , on trouve de la même façon $\Delta\ell_0 = \frac{m\,g\sin\alpha}{k}$ et la même période $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .

5. Pendule de torsion

Un pendule de torsion est formé d'un fil (ou d'une tige) vertical, fixé à son extrémité supérieure, dont l'extrémité inférieure est solidaire d'un solide (barre horizontale, disque) de moment d'inertie $J_\Delta$ par rapport à l'axe $\Delta$ vertical du fil. On repère le solide par l'angle de torsion $\theta$ , mesuré à partir de la position d'équilibre où le fil n'est pas tordu.

Quand le fil est tordu de $\theta$ , il exerce un couple de torsion de moment $\mathcal{M} = -C\,\theta$ , où $C$ est la constante de torsion du fil (en $\text{N.m.rad}^{-1}$ ), qui dépend de sa nature, de sa longueur et de son diamètre. Le poids et la tension du fil sont parallèles à l'axe $\Delta$ : leurs moments par rapport à $\Delta$ sont nuls. La relation fondamentale de la dynamique en rotation donne $-C\,\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , soit

\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\,\theta = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J_\Delta}} \quad\text{et}\quad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}

La solution est $\theta(t) = \theta_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t + \varphi\right)$ , où $\theta_m$ est l'amplitude angulaire. Cette loi est valable tant que la torsion reste faible (le fil reste dans son domaine élastique).

6. Pendule pesant

Définition

Un pendule pesant est un solide mobile autour d'un axe horizontal fixe $\Delta$ qui ne passe pas par son centre d'inertie $G$ . On note $d = OG$ la distance entre $G$ et l'axe, et $\theta$ l'angle entre $\vec{OG}$ et la verticale descendante (position d'équilibre stable : $G$ sous l'axe).

Forces : le poids (appliqué en $G$ ) et la réaction de l'axe, dont le moment est nul si l'axe est lisse. Le moment du poids est $-m\,g\,d\,\sin\theta$ : il tend à ramener le solide vers l'équilibre. La relation fondamentale donne

J_\Delta\,\ddot{\theta} = -m\,g\,d\,\sin\theta.

Cette équation n'est pas linéaire. Pour des oscillations de faible amplitude (en pratique jusqu'à $20^\circ$ environ : à $20^\circ$ , $\sin\theta$ et $\theta$ ne diffèrent que d'environ $2\,\%$ ), on a $\sin\theta \approx \theta$ (avec $\theta$ en radians) :

\ddot{\theta} + \frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{m\,g\,d}{J_\Delta}} \quad\text{et}\quad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}

Exemple

Pendule simple : cas limite d'une masse $m$ ponctuelle au bout d'un fil de longueur $\ell$ . On a $J_\Delta = m\,\ell^2$ et $d = \ell$ , donc $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ : la période ne dépend plus de la masse. Tige homogène de longueur $L$ pivotant par une extrémité : $J_\Delta = \frac{1}{3}m\,L^2$ et $d = \frac{L}{2}$ , donc $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3\,g}}$ .

7. Les trois oscillateurs côte à côte

Oscillateur	Grandeur repérée	Inertie	Rappel	Équation différentielle	$T_0$
Élastique	$x$ (m)	$m$ (kg)	$k$ ( $\text{N.m}^{-1}$ )	$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$	$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Torsion	$\theta$ (rad)	$J_\Delta$ ( $\text{kg.m}^2$ )	$C$ ( $\text{N.m.rad}^{-1}$ )	$\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\theta = 0$	$2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}$
Pesant (faible amplitude)	$\theta$ (rad)	$J_\Delta$	$m\,g\,d$ ( $\text{N.m}$ )	$\ddot{\theta} + \frac{m g d}{J_\Delta}\theta = 0$	$2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}$

Dans les trois cas, la période propre est $2\pi\sqrt{\frac{\text{inertie}}{\text{rappel}}}$ : plus l'inertie est grande, plus l'oscillateur est lent ; plus le rappel est fort, plus il est rapide. Dans ces modèles, $T_0$ ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme).

Remarque

Les frottements, qui font décroître l'amplitude (oscillations amorties), ainsi que les échanges d'énergie, sont traités dans le chapitre suivant (aspects énergétiques des oscillations mécaniques).

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique

Choisis l'axe et l'origine $O$ à la position d'équilibre ; fais un schéma à un instant quelconque.
Liste les forces : poids, réaction (ou tension du ressort $-k\,x\,\vec{i}$ pour le horizontal).
Pour le vertical : écris d'abord la condition d'équilibre $k\,\Delta\ell_0 = m\,g$ , puis la 2e loi de Newton avec l'allongement $\Delta\ell_0 + z$ ; le terme $m\,g - k\,\Delta\ell_0$ s'annule.
Projette : $m\,\ddot{x} = -k\,x$ , donc $\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0$ et $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .

Exemple : $m = 0{,}10\,\text{kg}$ et $k = 10\,\text{N.m}^{-1}$ donnent $\omega_0 = \sqrt{\frac{10}{0{,}10}} = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{10} = 0{,}63\,\text{s}$ .

Méthode 2 : Établir l'équation d'un pendule de torsion ou pesant

Fais un schéma vu de dessus (torsion) ou de face (pesant) et choisis le sens positif de $\theta$ .
Calcule les moments des forces par rapport à $\Delta$ : $-C\,\theta$ pour la torsion ; $-m\,g\,d\,\sin\theta$ pour le pendule pesant (la réaction a un moment nul).
Écris $\sum \mathcal{M}_\Delta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ .
Pour le pesant, remplace $\sin\theta$ par $\theta$ en précisant « faible amplitude ». Identifie $\omega_0^2$ et $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$ .

Exemple (pesant) : $J_\Delta = 0{,}040\,\text{kg.m}^2$ , $m = 1{,}0\,\text{kg}$ et $d = 0{,}20\,\text{m}$ donnent $\omega_0^2 = \frac{1{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}20}{0{,}040} = 49\,\text{rad}^2.\text{s}^{-2}$ , soit $\omega_0 = 7{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = 0{,}90\,\text{s}$ .

Méthode 3 : Vérifier qu'une fonction est solution et déduire $T_0$

Dérive deux fois la fonction proposée : $x(t) = X_m\cos(\omega\,t + \varphi)$ donne $\ddot{x} = -\omega^2\,x$ .
Remplace dans l'équation différentielle : $-\omega^2\,x + \frac{k}{m}\,x = 0$ .
L'égalité est vraie pour tout $t$ si $\omega^2 = \frac{k}{m}$ . Déduis $T_0 = \frac{2\pi}{\omega}$ .

Exemple : avec $\ddot{x} + 25\,x = 0$ , on identifie $\omega_0^2 = 25$ , donc $\omega_0 = 5\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{5} = 1{,}26\,\text{s}$ .

Méthode 4 : Déterminer $X_m$ et $\varphi$ avec les conditions initiales

Écris $x(t) = X_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)$ et $v(t) = -\omega_0\,X_m\sin(\omega_0\,t + \varphi)$ .
Traduis $x(0) = x_0$ et $v(0) = v_0$ : $X_m\cos\varphi = x_0$ et $-\omega_0\,X_m\sin\varphi = v_0$ .
Déduis $X_m = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}$ puis $\varphi$ à l'aide de $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$ .

Exemple : $\omega_0 = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ , $x_0 = 3{,}0\,\text{cm}$ et $v_0 = 0{,}40\,\text{m.s}^{-1}$ donnent $X_m = \sqrt{0{,}030^2 + 0{,}040^2} = 0{,}050\,\text{m}$ , $\cos\varphi = 0{,}60$ et $\sin\varphi = -0{,}80$ , d'où $\varphi = -0{,}93\,\text{rad}$ .

Méthode 5 : Exploiter une mesure et contrôler une formule

Pour mesurer $T_0$ , chronomètre $n$ oscillations (par exemple $n = 10$ ) et divise : $T_0 = \frac{\Delta t}{n}$ , ce qui réduit l'erreur relative sur $T_0$ .
Pour trouver $k$ ou $J_\Delta$ expérimentalement, trace $T_0^2$ en fonction de l'inertie : $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m$ est une droite passant par l'origine, de pente $\frac{4\pi^2}{k}$ .
Contrôle l'homogénéité : $k$ en $\text{N.m}^{-1} = \text{kg.s}^{-2}$ , donc $\frac{m}{k}$ est en $\text{s}^2$ ; $C$ en $\text{N.m.rad}^{-1} = \text{kg.m}^2.\text{s}^{-2}$ (le radian n'a pas de dimension), donc $\frac{J_\Delta}{C}$ est en $\text{s}^2$ .

Exemple : une droite $T_0^2 = 1{,}58\,m$ (avec $T_0^2$ en $\text{s}^2$ et $m$ en kg) donne $k = \frac{4\pi^2}{1{,}58} = 25\,\text{N.m}^{-1}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 : Période d'un pendule élastique horizontal

Facile

Énoncé

Un solide de masse $m = 0{,}200\,\text{kg}$ est fixé à un ressort horizontal de raideur $k = 20\,\text{N.m}^{-1}$ . Il glisse sans frottement. On le met en oscillation.

Calcule la pulsation propre $\omega_0$ , la période propre $T_0$ et la fréquence propre $f_0$ .
On remplace le solide par un solide de masse $0{,}800\,\text{kg}$ . Calcule la nouvelle période. Comment est-elle liée à $T_0$ ?
On garde la masse $0{,}200\,\text{kg}$ et on remplace le ressort par un ressort de raideur $80\,\text{N.m}^{-1}$ . Calcule la période.

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1) $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0{,}200}} = 10{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ . $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 0{,}628\,\text{s}$ et $f_0 = \frac{1}{T_0} = 1{,}59\,\text{Hz}$ .

2) $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}800}{20}} = 2\pi \times 0{,}200 = 1{,}26\,\text{s}$ . La masse a été multipliée par $4$ : la période est multipliée par $\sqrt{4} = 2$ ( $1{,}26 = 2 \times 0{,}628$ ).

3) $T_0'' = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}200}{80}} = 2\pi \times 0{,}0500 = 0{,}314\,\text{s}$ . La raideur a été multipliée par $4$ : la période est divisée par $2$ .

Exercice 2 : Position, vitesse et conditions initiales

Facile

Énoncé

Un pendule élastique horizontal a pour pulsation propre $\omega_0 = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ . On étudie deux départs différents.

Cas A : à $t = 0$ , on écarte le solide de $x_0 = 4{,}0\,\text{cm}$ et on le lâche sans vitesse. Écris $x(t)$ . Calcule la vitesse maximale et l'accélération maximale.
Cas B : à $t = 0$ , le solide passe en $x_0 = 3{,}0\,\text{cm}$ avec la vitesse $v_0 = +0{,}40\,\text{m.s}^{-1}$ (dans le sens des $x$ croissants). Calcule l'amplitude $X_m$ et la phase à l'origine $\varphi$ , puis écris $x(t)$ .
Dans le cas B, calcule la vitesse maximale. Vérifie la cohérence avec $v_0$ .

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1) $v_0 = 0$ donc $X_m = x_0 = 0{,}040\,\text{m}$ et $\varphi = 0$ : $x(t) = 0{,}040\cos(10\,t)$ (en m, avec $t$ en s). $v_{max} = \omega_0\,X_m = 10 \times 0{,}040 = 0{,}40\,\text{m.s}^{-1}$ et $a_{max} = \omega_0^2\,X_m = 100 \times 0{,}040 = 4{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ .

2) $X_m = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2} = \sqrt{0{,}030^2 + 0{,}040^2} = 0{,}050\,\text{m}$ . Alors $\cos\varphi = \frac{x_0}{X_m} = 0{,}60$ et $\sin\varphi = -\frac{v_0}{\omega_0\,X_m} = -\frac{0{,}40}{0{,}50} = -0{,}80$ . Le sinus est négatif et le cosinus positif : $\varphi = -0{,}93\,\text{rad}$ (soit $-53^\circ$ ). Donc $x(t) = 0{,}050\cos(10\,t - 0{,}93)$ (en m).

3) $v_{max} = \omega_0\,X_m = 10 \times 0{,}050 = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ . C'est plus que $v_0 = 0{,}40\,\text{m.s}^{-1}$ , ce qui est normal : à $t = 0$ , le solide est en $x_0 = 3{,}0\,\text{cm}$ et non en $x = 0$ , où la vitesse est maximale. Comme il s'éloigne de $O$ ( $x_0 > 0$ et $v_0 > 0$ ), il ralentit ensuite jusqu'à $x = X_m$ .

Exercice 3 : Un pendule élastique vertical

Moyen

Énoncé

Un ressort de raideur $k = 40\,\text{N.m}^{-1}$ et de longueur à vide $\ell_0 = 20\,\text{cm}$ est suspendu verticalement. On accroche à son extrémité libre un solide de masse $m = 0{,}400\,\text{kg}$ . On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Calcule l'allongement $\Delta\ell_0$ à l'équilibre et la longueur du ressort à l'équilibre.
L'axe $Oz$ est vertical dirigé vers le bas, l'origine $O$ étant la position d'équilibre de $G$ . Établis l'équation différentielle vérifiée par $z(t)$ lors des oscillations.
Déduis la période propre $T_0$ . Vérifie que $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta\ell_0}{g}}$ .
On tire le solide de $5{,}0\,\text{cm}$ vers le bas à partir de l'équilibre et on le lâche sans vitesse à $t = 0$ . Écris $z(t)$ et calcule la vitesse maximale.
Calcule les valeurs maximale et minimale de la tension du ressort pendant le mouvement. Le ressort reste-t-il toujours tendu ?

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1) À l'équilibre, $k\,\Delta\ell_0 = m\,g$ , donc $\Delta\ell_0 = \frac{0{,}400 \times 9{,}8}{40} = 9{,}8 \times 10^{-2}\,\text{m}$ , soit $9{,}8\,\text{cm}$ . La longueur à l'équilibre est $\ell_{eq} = 20 + 9{,}8 = 29{,}8\,\text{cm}$ .

2) Système : le solide ; référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids $m\vec{g}$ et la tension $\vec{T}$ du ressort, de valeur $k\,(\Delta\ell_0 + z)$ (allongement à l'instant $t$ ). 2e loi de Newton projetée sur $Oz$ : $m\,g - k\,(\Delta\ell_0 + z) = m\,\ddot{z}$ . Avec $m\,g = k\,\Delta\ell_0$ , il reste $-k\,z = m\,\ddot{z}$ , c'est-à-dire $\ddot{z} + \frac{k}{m}\,z = 0$ , soit $\ddot{z} + 100\,z = 0$ (en $\text{s}^{-2}$ ).

3) On identifie $\omega_0^2 = \frac{k}{m} = 100\,\text{rad}^2.\text{s}^{-2}$ , donc $\omega_0 = 10\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 0{,}628\,\text{s}$ . Vérification : $2\pi\sqrt{\frac{0{,}098}{9{,}8}} = 2\pi\sqrt{0{,}010} = 0{,}628\,\text{s}$ .

4) Conditions initiales : $z(0) = +0{,}050\,\text{m}$ et $\dot{z}(0) = 0$ , donc $Z_m = 0{,}050\,\text{m}$ et $\varphi = 0$ : $z(t) = 0{,}050\cos(10\,t)$ (en m). La vitesse maximale est $v_{max} = \omega_0\,Z_m = 10 \times 0{,}050 = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ (au passage par la position d'équilibre).

5) La tension a pour valeur $k\,(\Delta\ell_0 + z)$ . Maximale pour $z = +0{,}050\,\text{m}$ : $40 \times (0{,}098 + 0{,}050) = 5{,}92\,\text{N}$ . Minimale pour $z = -0{,}050\,\text{m}$ : $40 \times (0{,}098 - 0{,}050) = 1{,}92\,\text{N}$ . Cette valeur reste positive : l'allongement $\Delta\ell_0 + z$ ne s'annule jamais, car l'amplitude ( $5{,}0\,\text{cm}$ ) est plus petite que $\Delta\ell_0$ ( $9{,}8\,\text{cm}$ ). Le ressort reste donc toujours tendu.

Exercice 4 : Retrouver la raideur d'un ressort par une courbe

Moyen

Énoncé

Dans un TP, on accroche successivement différentes masses $m$ à un même ressort horizontal sans frottement. Pour chaque masse, on mesure la période propre $T_0$ (sur $10$ oscillations).

$m$ (kg)	0,100	0,200	0,300	0,400	0,500
$T_0$ (s)	0,397	0,562	0,688	0,795	0,889

Calcule $T_0^2$ pour chaque masse.
Montre que la courbe $T_0^2 = f(m)$ est une droite passant par l'origine, et que ce résultat est conforme à la théorie.
Calcule le coefficient directeur de la droite avec les points extrêmes, puis déduis la raideur $k$ du ressort.

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1) Les valeurs de $T_0^2$ (en $\text{s}^2$ ) sont : $0{,}1576$ ; $0{,}3158$ ; $0{,}4733$ ; $0{,}6320$ ; $0{,}7903$ .

2) Le rapport $\frac{T_0^2}{m}$ vaut $1{,}576$ ; $1{,}579$ ; $1{,}578$ ; $1{,}580$ ; $1{,}581$ ( $\text{s}^2.\text{kg}^{-1}$ ) : il est constant aux erreurs de mesure près. Donc $T_0^2$ est proportionnelle à $m$ et la courbe est une droite passant par l'origine. C'est conforme à la théorie : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ donne $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m$ .

3) Coefficient directeur : $p = \frac{0{,}7903 - 0{,}1576}{0{,}500 - 0{,}100} = 1{,}58\,\text{s}^2.\text{kg}^{-1}$ . D'après la théorie, $p = \frac{4\pi^2}{k}$ , donc $k = \frac{4\pi^2}{p} = \frac{39{,}48}{1{,}58} = 25\,\text{N.m}^{-1}$ .

Exercice 5 : Un pendule de torsion

Moyen

Énoncé

Un disque homogène de masse $m = 0{,}40\,\text{kg}$ et de rayon $R = 10\,\text{cm}$ est suspendu par son centre à un fil de torsion vertical, de constante de torsion $C = 0{,}025\,\text{N.m.rad}^{-1}$ . On tourne le disque dans un plan horizontal et on le lâche : il oscille sans frottement autour de l'axe du fil. On rappelle que le moment d'inertie d'un disque homogène par rapport à son axe de révolution est $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2$ .

Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ du disque par rapport à l'axe du fil.
Établis l'équation différentielle du mouvement et donne l'expression de $T_0$ . Calcule $T_0$ .
On fixe sur le disque deux petites masses ponctuelles identiques de $50\,\text{g}$ chacune, à $8{,}0\,\text{cm}$ de l'axe de part et d'autre. Calcule le nouveau moment d'inertie et la nouvelle période.
Quelle constante de torsion $C'$ faudrait-il pour que le disque seul ait une période de $1{,}00\,\text{s}$ ?

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}40 \times (0{,}10)^2 = 2{,}0 \times 10^{-3}\,\text{kg.m}^2$ .

2) Seul le couple de torsion a un moment non nul : $-C\,\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , donc $\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\,\theta = 0$ . C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J_\Delta}}$ et de période $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}$ . Application : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}025}} = 2\pi\sqrt{0{,}080} = 1{,}78\,\text{s}$ .

3) Le moment d'inertie est additif. Chaque masse ajoute $m_1\,r^2 = 0{,}050 \times (0{,}080)^2 = 3{,}2 \times 10^{-4}\,\text{kg.m}^2$ . Pour deux masses : $\Delta J = 6{,}4 \times 10^{-4}\,\text{kg.m}^2$ , donc $J_\Delta' = 2{,}0 \times 10^{-3} + 6{,}4 \times 10^{-4} = 2{,}64 \times 10^{-3}\,\text{kg.m}^2$ . La nouvelle période est $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}64 \times 10^{-3}}{0{,}025}} = 2{,}04\,\text{s}$ : le moment d'inertie augmente, donc la période augmente.

4) $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C'}}$ donne $C' = \frac{4\pi^2\,J_\Delta}{T_0^2} = \frac{39{,}48 \times 2{,}0 \times 10^{-3}}{(1{,}00)^2} = 7{,}9 \times 10^{-2}\,\text{N.m.rad}^{-1}$ . Il faut un fil plus rigide, environ trois fois plus.

Exercice 6 : Une tige qui oscille comme un pendule pesant

Moyen

Énoncé

Une tige homogène de longueur $L = 0{,}80\,\text{m}$ et de masse $m = 0{,}50\,\text{kg}$ peut osciller sans frottement autour d'un axe horizontal $\Delta$ passant par son extrémité $O$ . Son moment d'inertie par rapport à $\Delta$ est $J_\Delta = \frac{1}{3}\,m\,L^2$ . On donne $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Calcule $J_\Delta$ et la distance $d = OG$ .
Établis l'équation différentielle du mouvement pour de faibles oscillations. Déduis l'expression et la valeur de la période propre $T_0$ .
On écarte la tige de $\theta_m = 0{,}15\,\text{rad}$ et on la lâche sans vitesse. Justifie l'approximation de faible amplitude. Calcule la vitesse angulaire maximale et la vitesse linéaire maximale de l'extrémité libre.
Calcule la longueur $\ell$ d'un pendule simple qui aurait la même période.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{3} \times 0{,}50 \times (0{,}80)^2 = 0{,}107\,\text{kg.m}^2$ (valeur exacte $\frac{0{,}32}{3} = 0{,}1067\,\text{kg.m}^2$ ). Le centre d'inertie est au milieu : $d = \frac{L}{2} = 0{,}40\,\text{m}$ .

2) Le poids a pour moment $-m\,g\,d\,\sin\theta$ ; la réaction de l'axe a un moment nul. La relation fondamentale donne $J_\Delta\,\ddot{\theta} = -m\,g\,d\,\sin\theta$ . Pour de faibles oscillations, $\sin\theta \approx \theta$ : $\ddot{\theta} + \frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta = 0$ . Donc $\omega_0 = \sqrt{\frac{m\,g\,d}{J_\Delta}}$ et $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}$ . Application : $\frac{J_\Delta}{m\,g\,d} = \frac{0{,}1067}{0{,}50 \times 9{,}8 \times 0{,}40} = 0{,}0544\,\text{s}^2$ , donc $T_0 = 2\pi \times 0{,}2333 = 1{,}47\,\text{s}$ .

3) Pour $\theta = 0{,}15\,\text{rad}$ (environ $8{,}6^\circ$ ), $\sin(0{,}15) = 0{,}1494$ , soit une différence de moins de $0{,}4\,\%$ avec $\theta$ : l'approximation est justifiée. Pulsation propre : $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = 4{,}29\,\text{rad.s}^{-1}$ . Vitesse angulaire maximale : $\omega_{max} = \omega_0\,\theta_m = 4{,}29 \times 0{,}15 = 0{,}643\,\text{rad.s}^{-1}$ . L'extrémité libre est à $L = 0{,}80\,\text{m}$ de l'axe : $v_{max} = L\,\omega_{max} = 0{,}80 \times 0{,}643 = 0{,}51\,\text{m.s}^{-1}$ .

4) Pour un pendule simple, $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ . L'égalité des périodes donne $\frac{\ell}{g} = \frac{J_\Delta}{m\,g\,d}$ , soit $\ell = \frac{J_\Delta}{m\,d} = \frac{0{,}1067}{0{,}50 \times 0{,}40} = 0{,}533\,\text{m}$ (c'est $\frac{2L}{3}$ pour une tige).

Exercice 7 : Oscillateurs emportés sur la Lune

Moyen

Énoncé

Un astronaute emporte sur la Lune (où $g_L = 1{,}62\,\text{m.s}^{-2}$ ) deux oscillateurs étudiés sur Terre ( $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ ) :

un pendule élastique vertical : ressort de raideur $k = 40\,\text{N.m}^{-1}$ et solide de masse $m = 0{,}400\,\text{kg}$ ;
un pendule pesant : tige homogène de longueur $L = 0{,}80\,\text{m}$ et de masse $0{,}50\,\text{kg}$ , pivotant par une extrémité, avec $J_\Delta = \frac{1}{3}\,m\,L^2$ et $d = \frac{L}{2}$ .

Calcule la période du pendule élastique sur Terre, puis sur la Lune. Calcule son allongement à l'équilibre dans chaque cas.
Calcule la période du pendule pesant sur Terre, puis sur la Lune. Quel est le rapport entre les deux périodes ?
Quel oscillateur permet de mesurer l'intensité de la pesanteur ? Explique.

Voir le corrigé

1) La période du pendule élastique est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}400}{40}} = 0{,}628\,\text{s}$ : elle ne dépend pas de $g$ , donc elle est la même sur la Lune, $0{,}628\,\text{s}$ . En revanche, l'allongement à l'équilibre $\Delta\ell_0 = \frac{m\,g}{k}$ vaut $9{,}8\,\text{cm}$ sur Terre et $\frac{0{,}400 \times 1{,}62}{40} = 1{,}62\,\text{cm}$ sur la Lune : le ressort est moins étiré, mais il oscille aussi vite.

2) Sur Terre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}1067}{0{,}50 \times 9{,}8 \times 0{,}40}} = 1{,}47\,\text{s}$ . Sur la Lune : $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}1067}{0{,}50 \times 1{,}62 \times 0{,}40}} = 3{,}61\,\text{s}$ . Le rapport est $\frac{T_0'}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g_L}} = \sqrt{\frac{9{,}8}{1{,}62}} = 2{,}46$ : le pendule pesant oscille environ $2{,}5$ fois plus lentement sur la Lune.

3) Le pendule pesant (ou le pendule simple), car sa période dépend de $g$ : on mesure $T_0$ puis $g = \frac{4\pi^2\,J_\Delta}{m\,d\,T_0^2}$ . Le pendule élastique ne convient pas, puisque sa période ne dépend pas de $g$ .

Exercice 8 : Pendule pesant composé

Difficile

Énoncé

Un pendule est formé d'une tige homogène $AB$ de masse $m_1 = 0{,}30\,\text{kg}$ et de longueur $L = 0{,}60\,\text{m}$ , mobile sans frottement autour d'un axe horizontal $\Delta$ passant par l'extrémité $A$ , et d'une petite sphère assimilée à un point matériel de masse $m_2 = 0{,}20\,\text{kg}$ fixée en $B$ . On donne le moment d'inertie de la tige seule par rapport à $\Delta$ : $J_1 = \frac{1}{3}\,m_1\,L^2$ , et $g = 9{,}8\,\text{m.s}^{-2}$ .

Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ du pendule (tige + sphère).
Calcule la distance $d$ entre l'axe et le centre d'inertie $G$ du pendule.
Établis l'équation différentielle pour de faibles oscillations et calcule la période propre.
Calcule la période de la tige seule. Pourquoi la sphère augmente-t-elle la période ?
Calcule la longueur du pendule simple synchrone.

Voir le corrigé

1) Le moment d'inertie est additif. Tige : $J_1 = \frac{1}{3} \times 0{,}30 \times (0{,}60)^2 = 0{,}036\,\text{kg.m}^2$ . Sphère ponctuelle : $J_2 = m_2\,L^2 = 0{,}20 \times (0{,}60)^2 = 0{,}072\,\text{kg.m}^2$ . Total : $J_\Delta = 0{,}108\,\text{kg.m}^2$ .

2) Le centre d'inertie est le barycentre : $d = \frac{m_1\,\frac{L}{2} + m_2\,L}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}30 \times 0{,}30 + 0{,}20 \times 0{,}60}{0{,}50} = \frac{0{,}21}{0{,}50} = 0{,}42\,\text{m}$ .

3) Avec $m = m_1 + m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$ , le moment du poids est $-m\,g\,d\,\sin\theta$ et, pour de faibles oscillations, $J_\Delta\,\ddot{\theta} = -m\,g\,d\,\theta$ , donc $\ddot{\theta} + \frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta = 0$ . On a $m\,g\,d = 0{,}50 \times 9{,}8 \times 0{,}42 = 2{,}058\,\text{N.m}$ et $\omega_0^2 = \frac{2{,}058}{0{,}108} = 19{,}06\,\text{rad}^2.\text{s}^{-2}$ , donc $\omega_0 = 4{,}37\,\text{rad.s}^{-1}$ et $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 1{,}44\,\text{s}$ .

4) Tige seule : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3\,g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}2}{29{,}4}} = 1{,}27\,\text{s}$ . La sphère à l'extrémité ajoute un moment d'inertie important ( $0{,}072\,\text{kg.m}^2$ , le double de celui de la tige) : $J_\Delta$ est multiplié par $3$ (de $0{,}036$ à $0{,}108\,\text{kg.m}^2$ ), alors que $m\,g\,d$ est multiplié par $2{,}33$ seulement (de $0{,}882$ à $2{,}058\,\text{N.m}$ ). Le rapport $\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}$ augmente, donc la période aussi.

5) $\ell = \frac{J_\Delta}{m\,d} = \frac{0{,}108}{0{,}50 \times 0{,}42} = 0{,}514\,\text{m}$ . Contrôle : $2\pi\sqrt{\frac{0{,}514}{9{,}8}} = 1{,}44\,\text{s}$ .

Exercice 9 : Un chariot sur un ressort horizontal

Type Bac

Énoncé

Un chariot $S$ de masse $m = 0{,}500\,\text{kg}$ peut glisser sans frottement sur un rail horizontal. Il est attaché à un ressort de raideur $k$ à spires non jointives, d'axe horizontal, dont l'autre extrémité est fixe. L'origine $O$ de l'axe horizontal $Ox$ est la position de $G$ à l'équilibre. À $t = 0$ , on écarte le chariot de $5{,}0\,\text{cm}$ dans le sens positif et on le lâche sans vitesse. Un enregistrement montre que $10$ oscillations durent $6{,}28\,\text{s}$ .

Fais le bilan des forces appliquées au chariot à un instant quelconque et représente-les sur un schéma.
Établis l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ .
Montre que $x(t) = X_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t + \varphi\right)$ est solution de cette équation et donne l'expression de $T_0$ .
Calcule $T_0$ à partir de l'enregistrement. Déduis la raideur $k$ .
Détermine $X_m$ et $\varphi$ puis écris $x(t)$ .
Calcule la vitesse maximale du chariot et l'instant où elle est atteinte pour la première fois. Calcule l'accélération maximale et vérifie-la avec la force maximale exercée par le ressort.
On remplace le chariot par un chariot de masse $m' = 2m$ . Calcule la nouvelle période.

Voir le corrigé

1) Le chariot est soumis à son poids $m\vec{g}$ (vertical, vers le bas), à la réaction $\vec{R}$ du rail (verticale, vers le haut, car il n'y a pas de frottement) et à la tension $\vec{T}$ du ressort (horizontale, dirigée vers $O$ quand $x > 0$ ).

2) 2e loi de Newton : $m\vec{g} + \vec{R} + \vec{T} = m\vec{a}$ . Projection sur $Ox$ : $T_x = -k\,x = m\,\ddot{x}$ . L'équation est $\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0$ .

3) Avec $x = X_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)$ , on a $\ddot{x} = -\omega_0^2\,x$ . En remplaçant : $\left(-\omega_0^2 + \frac{k}{m}\right)x = 0$ pour tout $t$ , donc $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ . Ainsi $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$ donne $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .

4) $T_0 = \frac{6{,}28}{10} = 0{,}628\,\text{s}$ . De $T_0^2 = \frac{4\pi^2\,m}{k}$ , on tire $k = \frac{4\pi^2\,m}{T_0^2} = \frac{39{,}48 \times 0{,}500}{(0{,}628)^2} = 50\,\text{N.m}^{-1}$ .

5) $x_0 = 0{,}050\,\text{m}$ et $v_0 = 0$ : $X_m = 0{,}050\,\text{m}$ et $\varphi = 0$ . La pulsation est $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = 10{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ . Donc $x(t) = 0{,}050\cos(10\,t)$ (en m).

6) $v_{max} = \omega_0\,X_m = 10 \times 0{,}050 = 0{,}50\,\text{m.s}^{-1}$ , atteinte quand $x = 0$ , c'est-à-dire pour $10\,t = \frac{\pi}{2}$ , soit $t = \frac{T_0}{4} = 0{,}157\,\text{s}$ . $a_{max} = \omega_0^2\,X_m = 100 \times 0{,}050 = 5{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ . La force maximale du ressort est $k\,X_m = 50 \times 0{,}050 = 2{,}5\,\text{N}$ , et $\frac{F_{max}}{m} = \frac{2{,}5}{0{,}500} = 5{,}0\,\text{m.s}^{-2}$ : on retrouve $a_{max}$ .

7) $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}00}{50}} = 0{,}889\,\text{s}$ , c'est-à-dire $\sqrt{2}\,T_0$ .

Exercice 10 : Un pendule de torsion à tige horizontale

Type Bac

Énoncé

Un pendule de torsion est constitué d'un fil vertical de constante de torsion $C$ , dont l'extrémité supérieure est fixe et dont l'extrémité inférieure est attachée au milieu d'une tige homogène horizontale $AB$ de masse $m = 0{,}300\,\text{kg}$ et de longueur $L = 0{,}50\,\text{m}$ . L'axe $\Delta$ est confondu avec le fil. Le moment d'inertie de la tige par rapport à $\Delta$ est $J_\Delta = \frac{1}{12}\,m\,L^2$ . On repère la tige par l'angle de torsion $\theta$ à partir de la position d'équilibre (fil non tordu). À $t = 0$ , on tourne la tige de $\theta_0 = 0{,}30\,\text{rad}$ et on la lâche sans vitesse. Les frottements sont négligés. Un enregistrement donne $10$ périodes en $7{,}85\,\text{s}$ .

Calcule $J_\Delta$ .
Établis l'équation différentielle vérifiée par $\theta(t)$ , sachant que le moment du couple de torsion vaut $-C\,\theta$ .
Donne l'expression de la période propre $T_0$ . Calcule $T_0$ puis la constante de torsion $C$ .
Écris $\theta(t)$ avec les valeurs numériques.
Calcule la vitesse angulaire maximale, puis la vitesse linéaire maximale de l'extrémité $A$ de la tige.
Calcule la valeur maximale du moment du couple de torsion.
On remplace le fil par un fil de constante de torsion $C' = 4C$ . Calcule la nouvelle période.

Voir le corrigé

1) $J_\Delta = \frac{1}{12} \times 0{,}300 \times (0{,}50)^2 = 6{,}25 \times 10^{-3}\,\text{kg.m}^2$ .

2) Système : la tige, dans le référentiel du laboratoire (galiléen). Le poids et la réaction du fil ont un moment nul par rapport à $\Delta$ . Le seul moment est celui du couple de torsion, $-C\,\theta$ . La relation fondamentale : $-C\,\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta}$ , donc $\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\,\theta = 0$ .

3) C'est l'équation d'un oscillateur harmonique : $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J_\Delta}}$ et $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}$ . Avec l'enregistrement : $T_0 = \frac{7{,}85}{10} = 0{,}785\,\text{s}$ . On en tire $C = \frac{4\pi^2\,J_\Delta}{T_0^2} = \frac{39{,}48 \times 6{,}25 \times 10^{-3}}{(0{,}785)^2} = 0{,}40\,\text{N.m.rad}^{-1}$ .

4) $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = 8{,}0\,\text{rad.s}^{-1}$ . Conditions initiales : $\theta(0) = 0{,}30\,\text{rad}$ et $\dot{\theta}(0) = 0$ , donc $\theta_m = 0{,}30\,\text{rad}$ et $\varphi = 0$ : $\theta(t) = 0{,}30\cos(8{,}0\,t)$ (en rad).

5) $\omega_{max} = \omega_0\,\theta_m = 8{,}0 \times 0{,}30 = 2{,}4\,\text{rad.s}^{-1}$ . L'extrémité $A$ est à $r = \frac{L}{2} = 0{,}25\,\text{m}$ de l'axe : $v_{max} = r\,\omega_{max} = 0{,}25 \times 2{,}4 = 0{,}60\,\text{m.s}^{-1}$ .

6) $|\mathcal{M}|_{max} = C\,\theta_m = 0{,}40 \times 0{,}30 = 0{,}12\,\text{N.m}$ (atteint aux positions extrêmes, où la vitesse est nulle).

7) $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{4C}} = \frac{T_0}{2} = 0{,}39\,\text{s}$ : un fil quatre fois plus rigide divise la période par $2$ .

QCM

QCM de 8 questions

Une réponse, puis l'explication : les questions ratées sont gardées dans Mes pièges.

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Erreurs fréquentes

Repérer $G$ à partir du ressort à vide au lieu de la position d'équilibre : pour un pendule vertical, place l'origine à la position d'équilibre et écris l'allongement $\Delta\ell_0 + z$ . Sinon, le terme $m\,g$ ne se simplifie pas et l'équation n'est pas celle d'un oscillateur harmonique centré en $O$ .
Croire que la période du pendule élastique vertical dépend de $g$ : elle vaut $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ comme en horizontal. Le poids ne change que la position d'équilibre.
Oublier le signe moins de la force de rappel : la force du ressort est $-k\,x$ , de sens opposé à l'écart. Sans ce signe, tu obtiens $\ddot{x} - \frac{k}{m}x = 0$ (solution exponentielle, pas d'oscillations).
Écrire $m$ au lieu de $J_\Delta$ (torsion, pesant) ou $L$ au lieu de $d$ (pesant) : l'inertie de rotation est $J_\Delta$ et $d$ est la distance entre l'axe et le centre d'inertie $G$ (pour une tige pivotant par une extrémité, $d = \frac{L}{2}$ ).
Appliquer $\sin\theta \approx \theta$ avec $\theta$ en degrés, ou pour une grande amplitude : $\theta$ doit être en radians et l'amplitude faible (moins de $20^\circ$ environ).
Confondre $\omega_0$ , $f_0$ et $T_0$ : $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = 2\pi f_0$ . Une pulsation s'exprime en $\text{rad.s}^{-1}$ , pas en Hz.
Dire que la période dépend de l'amplitude : pour l'oscillateur harmonique, $T_0$ est indépendante de $X_m$ .
Oublier les conversions : la masse en kg (les grammes se divisent par $1000$ ), $k$ en $\text{N.m}^{-1}$ (pas $\text{N.cm}^{-1}$ ), les longueurs en mètres.

À retenir

Un oscillateur harmonique vérifie $\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0$ ; sa solution est $x(t) = X_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)$ avec $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$ ; $X_m$ et $\varphi$ viennent des conditions initiales.
Pendule élastique (horizontal ou vertical) : $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$ et $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ; le poids ne modifie pas $T_0$ (il décale l'équilibre : $\Delta\ell_0 = \frac{m\,g}{k}$ ).
Pendule de torsion : $\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\theta = 0$ et $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}$ ; moment du couple de torsion $-C\,\theta$ .
Pendule pesant, faible amplitude ( $\sin\theta \approx \theta$ ) : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}$ ; pendule simple : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ .
Dans tous les cas, $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\text{inertie}}{\text{rappel}}}$ ; $T_0$ ne dépend pas de l'amplitude.
Vitesse maximale $v_{max} = \omega_0\,X_m$ en $x = 0$ ; accélération maximale $a_{max} = \omega_0^2\,X_m$ en $x = \pm X_m$ .
Méthode de l'étude dynamique : origine à l'équilibre, bilan des forces (ou moments), 2e loi de Newton (ou relation fondamentale), équation différentielle, identification de $\omega_0$ .
Pour la mesure : chronomètre $10$ oscillations ; $T_0^2$ en fonction de $m$ est une droite de pente $\frac{4\pi^2}{k}$ .

Mes notes

Tes notes restent sur cet appareil.

M'entraîner

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L'essentiel

1. Oscillateur mécanique et oscillations libres

2. Démarche de l'étude dynamique

3. Pendule élastique horizontal

4. Pendule élastique vertical

5. Pendule de torsion

6. Pendule pesant

7. Les trois oscillateurs côte à côte

Méthodes

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique

Méthode 2 : Établir l'équation d'un pendule de torsion ou pesant

Méthode 3 : Vérifier qu'une fonction est solution et déduire T0T_0T0​

Méthode 4 : Déterminer XmX_mXm​ et φ\varphiφ avec les conditions initiales

Méthode 5 : Exploiter une mesure et contrôler une formule

Exercices corrigés

QCM

Erreurs fréquentes

À retenir

Mes notes

Méthode 3 : Vérifier qu'une fonction est solution et déduire $T_0$

Méthode 4 : Déterminer $X_m$ et $\varphi$ avec les conditions initiales