Décroissance radioactive

1. Le noyau et ses isotopes

Un atome est formé d'un noyau et d'un cortège d'électrons. Le noyau contient des nucléons : les protons (charge $+e$) et les neutrons (charge nulle). On note le noyau d'un élément X :

Les isotopes d'un même élément ont les mêmes propriétés chimiques (même cortège d'électrons) mais des propriétés nucléaires différentes. Par exemple, ${}^{12}_{6}\text{C}$ et ${}^{13}_{6}\text{C}$ sont stables, alors que ${}^{14}_{6}\text{C}$ est radioactif.

Les protons se repoussent (interaction électrique) et pourtant le noyau tient : une interaction forte, attractive et de très courte portée (de l'ordre de $10^{-15}\,\text{m}$), lie tous les nucléons entre eux. Quand l'équilibre entre ces deux interactions est mal réalisé, le noyau est instable.

2. Stabilité et diagramme $(N, Z)$

Dans le diagramme $(N, Z)$ (nombre de neutrons $N$ en abscisse, nombre de protons $Z$ en ordonnée), les noyaux stables occupent une zone étroite : la vallée de stabilité.

• Pour les petites valeurs de $Z$ (jusqu'à environ $20$), elle suit à peu près la droite $Z = N$.
• Pour $Z$ plus grand, elle passe au-dessous de cette droite : il faut plus de neutrons que de protons ($N > Z$) pour compenser la répulsion électrique.
• Au-delà du plomb ($Z = 82$), il n'existe pratiquement plus de noyau stable.

Un noyau instable se trouve hors de cette vallée. Il se désintègre pour s'en rapprocher :

3. La radioactivité et les lois de Soddy

Ce phénomène a trois caractéristiques :

• il est spontané : il ne demande aucun apport d'énergie ;
• il est aléatoire : on ne peut pas prévoir à quel instant un noyau donné va se désintégrer ;
• il est inévitable : la température, la pression ou l'état chimique (corps pur ou combiné) ne le modifient pas.

La radioactivité est naturelle quand le noyau existe dans la nature (uranium 238, potassium 40, carbone 14). Elle est artificielle quand le noyau est fabriqué par une réaction nucléaire provoquée. Exemple historique (1934, Irène et Frédéric Joliot-Curie) : en bombardant de l'aluminium avec des particules $\alpha$, on obtient du phosphore 30 radioactif.

4. Les types d'émission

Radioactivité $\alpha$. La particule $\alpha$ est un noyau d'hélium ${}^{4}_{2}\text{He}$ (2 protons et 2 neutrons). Elle est émise par des noyaux lourds.

Radioactivité $\beta^-$. La particule émise est un électron ${}^{0}_{-1}\text{e}$, accompagné d'un antineutrino $\bar{\nu}$. Elle concerne les noyaux qui ont trop de neutrons : dans le noyau, un neutron se transforme en proton.

Radioactivité $\beta^+$. La particule émise est un positon ${}^{0}_{+1}\text{e}$ (antiparticule de l'électron : même masse, charge $+e$), accompagné d'un neutrino $\nu$. Elle concerne les noyaux qui ont trop de protons : un proton se transforme en neutron.

Émission $\gamma$. Le noyau fils est souvent produit dans un état excité, noté ${}^{A}_{Z}\text{Y}^{*}$. Il revient à son état fondamental en émettant un photon $\gamma$, de nombre de charge $0$ et de nombre de nucléons $0$ :

L'énergie du photon est égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux du noyau : $E_\gamma = h\nu = E_{\text{initial}} - E_{\text{final}}$, avec $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\,\text{J.s}$. L'émission $\gamma$ ne change ni $A$ ni $Z$ : ce n'est pas une désintégration au sens strict, mais une désexcitation.

5. La loi de décroissance radioactive

Un échantillon contient, à la date $t$, un nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs identiques. Pour un noyau donné, l'instant de sa désintégration est imprévisible. Mais pour un grand nombre de noyaux, la proportion de ceux qui se désintègrent pendant une courte durée $dt$ est toujours la même, quel que soit l'âge des noyaux : elle vaut $\lambda\,dt$. La constante $\lambda$, propre à chaque nucléide, s'appelle la constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$).

Entre $t$ et $t + dt$, le nombre de noyaux qui disparaissent est donc $-dN = \lambda N\,dt$. On obtient l'équation différentielle :

Elle est de la forme $y' = ay$ avec $a = -\lambda$ : ses solutions sont $N(t) = Ke^{-\lambda t}$, et la condition initiale $N(0) = N_0$ donne $K = N_0$.

On en déduit $e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$, donc :

La demi-vie dépend uniquement du nucléide. Elle ne dépend ni du nombre de noyaux, ni de la température, ni de l'état chimique. Elle varie de fractions de seconde à des milliards d'années : environ $6$ h pour le technétium 99m, $8$ jours pour l'iode 131, $5730$ ans pour le carbone 14, $4{,}5 \times 10^{9}$ ans pour l'uranium 238.

Après $n$ demi-vies, c'est-à-dire à la date $t = n\,t_{1/2}$, il reste $N = \dfrac{N_0}{2^{n}}$ noyaux :

Le nombre de noyaux désintégrés entre $0$ et $t$ vaut $N_0 - N(t) = N_0\left(1 - e^{-\lambda t}\right)$.

Pour passer de la masse $m$ de l'échantillon au nombre de noyaux, on utilise la masse molaire $M$ et la constante d'Avogadro $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$ :

6. L'activité d'un échantillon

En dérivant la loi de décroissance, on obtient :

L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux présents. Elle décroît donc exponentiellement avec la même constante $\lambda$ et la même demi-vie : $a(t_{1/2}) = \dfrac{a_0}{2}$. On peut ainsi remplacer $N$ par $a$ dans toutes les relations de la décroissance : $\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{a(t)}{a_0}$.

Les multiples usuels sont le kilobecquerel (kBq), le mégabecquerel (MBq) et le gigabecquerel (GBq). On mesure l'activité avec un compteur Geiger-Müller, qui compte les particules émises par unité de temps : le comptage est proportionnel à l'activité.

7. La datation par radioactivité

Pour dater un échantillon, on compare le nombre de noyaux radioactifs (ou l'activité) mesuré aujourd'hui à celui de la date « zéro » (formation de la roche, mort de l'être vivant). La loi $N = N_0 e^{-\lambda t}$ donne la durée écoulée :

Le carbone 14. Le carbone 14 est formé en permanence dans la haute atmosphère, quand les neutrons du rayonnement cosmique heurtent l'azote 14 :

Il est radioactif $\beta^-$ avec $t_{1/2} = 5730$ ans. Tant qu'un être vivant est en vie, il échange du carbone avec son environnement : la proportion de carbone 14 dans son organisme reste constante, donc son activité par gramme de carbone aussi. À sa mort, les échanges s'arrêtent et le carbone 14 qu'il contient décroît seul. En mesurant l'activité par gramme de carbone et en la comparant à celle d'un organisme vivant, on date le bois, l'os ou le charbon de bois. Après $10$ demi-vies (soit $57\,300$ ans), il reste moins de $0{,}1\,\%$ du carbone 14 initial. En pratique, la mesure devient trop imprécise au-delà d'environ $50\,000$ ans.

Les roches. Pour des durées de l'ordre du million ou du milliard d'années, on utilise des couples « père-fils » de très longue demi-vie, comme l'uranium 238 (père, de demi-vie $t_{1/2} \approx 4{,}5 \times 10^{9}$ ans) et le plomb 206 (fils, stable). Si la roche ne contenait aucun noyau fils à sa formation et n'en a pas perdu, chaque noyau père désintégré est devenu un noyau fils, donc $N_0 = N_{\text{père}} + N_{\text{fils}}$ et :

8. Applications et dangers

• Médecine (diagnostic). En scintigraphie, on injecte un noyau émetteur $\gamma$ à demi-vie courte (technétium 99m, environ $6$ h) : une caméra repère les photons émis par l'organe étudié. En tomographie par émission de positons (TEP), on utilise un émetteur $\beta^+$ (fluor 18) : le positon rencontre un électron, les deux s'annihilent et émettent deux photons $\gamma$ de $0{,}511\,\text{MeV}$ chacun, détectés par la caméra.
• Médecine (traitement). La radiothérapie cible les tumeurs avec des rayonnements $\gamma$ (cobalt 60) ou avec de l'iode 131 pour la thyroïde.
• Industrie. La gammagraphie contrôle l'intérieur des soudures. Les rayonnements stérilisent du matériel médical.
• Datation. Voir le paragraphe précédent.

Les rayonnements radioactifs sont ionisants : ils arrachent des électrons aux atomes, ce qui peut endommager les cellules vivantes et leur ADN. Pour se protéger, on réduit le temps d'exposition, on s'éloigne de la source et on s'abrite derrière un écran adapté (plomb, béton). Une source $\alpha$ est arrêtée par la peau mais devient très dangereuse si elle est inhalée ou avalée. Les déchets à longue demi-vie doivent être stockés pendant des durées très longues.

Méthode 1 : Écrire l'équation d'une désintégration

1. Identifie le type de radioactivité : il est donné dans l'énoncé, ou on le déduit de la position du noyau (noyau lourd : $\alpha$ ; excès de neutrons : $\beta^-$ ; excès de protons : $\beta^+$).
2. Écris le noyau père, une flèche, le noyau fils inconnu et la particule émise (${}^{4}_{2}\text{He}$, ${}^{0}_{-1}\text{e}$ ou ${}^{0}_{+1}\text{e}$).
3. Applique les lois de Soddy : égalité des sommes des $A$ et des sommes des $Z$ de chaque côté.
4. Identifie le noyau fils grâce à son $Z$ (le tableau périodique est fourni dans l'énoncé si nécessaire).

Méthode 2 : Calculer $\lambda$, $\tau$ et $t_{1/2}$

1. Convertis la demi-vie dans l'unité demandée (en secondes si $\lambda$ doit être en $\text{s}^{-1}$) : $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$, $1\,\text{jour} = 86\,400\,\text{s}$.
2. Calcule $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$.
3. Calcule $\tau = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}$ : c'est toujours un peu plus grand que $t_{1/2}$ (environ $1{,}44$ fois).

Méthode 3 : Calculer ce qui reste au bout d'une durée donnée

1. Calcule $n = \dfrac{t}{t_{1/2}}$.
2. Si $n$ est entier, utilise $N = \dfrac{N_0}{2^{n}}$ (ou $a = \dfrac{a_0}{2^{n}}$). Sinon, utilise $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, ou $N = N_0 \times 2^{-n}$ avec la calculatrice.
3. Pour trouver la durée qui amène à une fraction $\dfrac{N}{N_0}$ donnée, résous $t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{N_0}{N}$.

Méthode 4 : Passer de la masse au nombre de noyaux, puis à l'activité

1. Calcule $N_0 = \dfrac{m}{M}N_A$ (masse en grammes, masse molaire en $\text{g.mol}^{-1}$).
2. Calcule $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ (méthode 2).
3. Calcule l'activité $a_0 = \lambda N_0$ en becquerels.

Méthode 5 : Dater un échantillon

1. Repère la grandeur de référence $N_0$ ou $a_0$ (valeur pour un organisme vivant, quantité de père + fils, etc.) et la grandeur mesurée $N$ ou $a$.
2. Calcule le rapport $\dfrac{a_0}{a}$ (ou $\dfrac{N_0}{N}$) : il doit être supérieur à $1$.
3. Applique $t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{a_0}{a}$ en gardant la même unité de temps que $t_{1/2}$.
4. Vérifie la cohérence : si $\dfrac{a}{a_0} = 0{,}50$, l'âge doit être exactement $t_{1/2}$ ; si $\dfrac{a}{a_0} = 0{,}25$, il doit valoir $2\,t_{1/2}$.

Méthode 6 : Exploiter une série de mesures

1. Calcule $\ln a$ (ou $\ln N$) pour chaque mesure : comme $\ln a = \ln a_0 - \lambda t$, tu dois obtenir des points alignés sur une droite.
2. Le coefficient directeur de cette droite vaut $-\lambda$. Calcule-le avec deux points éloignés : $-\lambda = \dfrac{\ln a_2 - \ln a_1}{t_2 - t_1}$.
3. Déduis $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ et $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$.
4. Sur une courbe $a(t)$, tu peux aussi lire $t_{1/2}$ : c'est la date où $a = \dfrac{a_0}{2}$.